矩阵特征值与特征向量的计算方法

(2)设P(x) r0 r1x rm xm为任一m次多项式； 定义矩阵 P( A) r0I r1A rm Am 则：
(1) P()为P( A)的特征值，即P( A)x P()x； (2) P()且x为P( A)的特征向量。
Th2 设A与B为相似矩阵，即B P1AP，则
第六章 矩阵特征值与 特征向量的计算方法
引言
A (aij ) Rnn
a 1


a

1

a
a 1


a

1

a
( a)n 0
( a)n

j
(
)

a


1 n
ei
2 j n
( j 1,2,, n)
Th1 (1)设为A的特征值，且Ax x，其中x 0；
R(x) ( Ax, x) (x, x)
为对应向量x的瑞利(Rayleigh)商。
Th6 设A Rnn为对称矩阵，其特征值为
1 2 n , 其对应的特征向量 x1, x2 ,, xn
组成规范化正交组，则
(1)
n

( Ax, x) (x, x)
1
(x Rn , x 0)

1k (1x1 k ) max(1k (1x1 k ))
1x1 k
x1
max(1x1 k ) max(x1)
(**)
vk

Ak v0 max( Ak1v0 )

1k (1x1 k ) max(1k1(1x1 k1))
1k

r
1k (
i 1
r
i xi
i 1
i xi

n
i
ir 1
( i 1
)k
xi
)
εk
非零向量的规范化
v u v max(v)
u0 v0 0
迭代序列
v1 Au0

vk Auk1
max(v )表示向量v 绝对值最大的分量
规范化序列
u1

v1 max(v1 )
)

（*）
vk

Ak v0 max( Ak1v0 )

uk

Ak v0 max(Akv0 )

n
v0 i xi i 1
n
Akv0 iik xi 1k (1x1 k ) i 1
k

i
n 2

i
(
i 1
)
k
xi
0
(k )
uk

Ak v0 max(Akv0 )
幂法的其本思想
任取初始向量 v0 Rn


v1 v2
Baidu Nhomakorabea

Av0 Av1

A2v0


vk 1

Avk

Ak 1v0

现分析 1、x1 与{vk }的关系：
Th7
(1)设A (aij ) Rnn有n个线性无关的特征向量；
(2)设A的特征值满足
| 1 || 2 | | n |

uk

vk max(vk )
改进的幂法
设u0 v0 0(1 0)
迭代：vk Auk1
k max(vk ) 规范化：uk vk / k
k 1,2,
迭代序列
v1 Au0
v2

A2v0 max(Av0 )

规范化序列
u1 u2

Av0
maxA(2Avv00 ) max( A2v0
例：设
4 1 A 1 0
1 1
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
(2)
1
max R(x) xR n
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全的特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
(3)幂法：v0 0(且1 0)
vk Avk1(k 1,2,)
(1)
lim
k
vk
1k
1x1；
则：
(2) lim (vk1)i k (vk )i
1
若A的主特征值为实的重根
| 1 || 2 | | r || r1 | | n |
R11 QT AQ
R12 R1n
R22

R2n


Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称
(1) A与B有相同的特征值； (2) 若y是B的特征向量，则Py是A的特征向量。
Th3 (Gerschgorin圆盘定理)
(1)设A (aij )nn , 则A的每一个特征值必属于下述
某个圆盘；| aii | ri | aij | ( j 1,2,, n) ji
(2)若A的m圆盘组成并集S (连通的)且与余下的 n m个圆盘是分离的(即不相交)，则S内恰包含 m个A的特征值。特别，当S是由一个圆盘组成 且与其他n 1个圆盘是分离的(即为孤立圆盘)， 则S中精确地包含A的一个特征值。
三个孤立圆盘
Th4 (Schur定理)
设A Rnn，则存在酉阵U使
r11 r12 r1n
U H AU

r22
r2n


R

(上三角阵)



rnn
其中i rii (i 1,2,, n)为A的特征值。
Th5 (实Schur分解)
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
设A有n个线性无关的特征向量，x1, x2 ,, xn，
且Axi 1xi (i 1,2,, r) Axi i xi (i r 1,, n)
n
任取初始向量 v0 i xi (且1,,r不全为零)
由幂法有
i 1
vk Akv0
lim
k
vk