2008年全国中学生数学能力竞赛初二年级初赛试题
日东初中2008年冬八年级数学竞赛试题(学竞赛试题(含答案)64
2008年八年级数学竞赛试题一、选择题（每小题4分，共32分）1．已知x 2+kxy+64y 2是一个完全式，则k 的值是（ ）A ．8B ．±8C ．16D ．±16 2．下列各命题中，假命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形;②三个角对应相等的两个三角形是全等三角形;③全等三角形的周长相等④有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知点P 1（a-1，5）和P 2（2，b-1）关于x 轴对称，则（a+b ）2005的值为（ ）． A ．0 B ．-1 C ．1 D ．（-3）20054．如左图所示，在锐角三角形ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，且CD ，BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是( ) **°B.130°C.120°D.100°5．如右图所示，有一矩形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为( ) **B.6C.8D.106、直线与1y x =-两坐标轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，若△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）。
A 、4个B 、5个C 、7个D 、8个7、如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，是一个改造后的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球学校 姓名 准考证号………………………………密……………………………………………封……………………………………线……………………………………………………AB C D E孔，如果一个球按图中所示的方向被击中(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是 ( )A．1号袋 B．2号袋C．3号袋 D．4号袋二、填空题（每小题5分，共30分）1、已知|a+12|+（b-3）2=0，求代数式[（2a+b）2+（2a+b）（b-2a）-6b]÷2b= 2、一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .3、等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是3cm，则腰长为______cm．4、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．5、某个游泳池有2个进水口和一个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间的关系如图2所示，某天早上5点到10点，该游泳池的蓄水量与时间的关系如图3所示．在下面的论断中：①5点到6点，打开进水口，关闭出水口；②6点到8点，同时关闭两个进水口和一个出水口；③8点到9点，关闭两个进水口，打开出水口；④10点到11点，同时打开两个进水口和一个出水口．可能正确的是。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
Ａ．叶 ６ ｃ Ｏ ＋＞
６ ．已知 、 是 ｉ个非负 实数 ，满 ￣ ３＋ ｙｚ ５ Ｈ ｚ２ 若 ： ．ｘ ２ ＋＝ ， －＝ ，
Ｓ ２ ＋ 一 ． 的 最 大 值 与最 小 值 的 和 为 （ ： ｘ ３ 则５
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７
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Ｄ．８
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１ 若一 ≤ ． ≤ｌⅡ 式了、 丽 ，！ ｌ ／
２
４ ．如 图３ △‘Ｂ 内接 于 ＯＤ， 曰 Ｃ， ， ４ Ｃ 且Ａ 直径ＡＤ交Ｂ 于Ｅ， Ｃ ）
Ｂ．５ Ｃ．２ ＋ ｘ ３ Ｄ． ｘ ３ ４＋
等于 （
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４ ．６１： ２ １０
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２
因 为ｘ＋ ｘ ｄ－ 的 根 是ｂ ｄ ２ｃ ＋ － Ｏ 和 ．
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１由． ， 略 理
（ ） 一 若ｄ≠０ 则 由６ 知易 ｌ ， ｄ ＝
的 内心 是 ， △Ａ
求 证 ：１Ａ２，、 、 （ ） Ｉ２ ３ 、 ， Ａ 四点 共 圆 ；２ ／１ ：＝ ０ ． （ ） 厶 ９ 。
图 １
2008年全国初中数学联赛江西卷
≤∑100k =1a 2k +1∑100k =1(a 2k +2a k +1a k +2)2=1×∑100k =1(a2k+2a k +1a k +2)2=∑100k =1(a4k+4a 2k a k +1a k +2+4a 2k +1a 2k +2)≤∑100k =1[a 4k +2a 2k (a 2k +1+a 2k +2)+4a 2k +1a 2k +2]=∑100k =1(a 4k+6a 2k a 2k +1+2a 2k a 2k +2).又∑100k =1(a 4k +2a 2k a 2k +1+2a 2k a 2k +2)≤∑100k =1a 2k2,∑100k =1a2ka 2k +1≤∑50i =1a22i -1∑50j =1a22j,故 (3S )2≤∑100k =1a2k2+4∑50i =1a22i -1∑50j =1a22j≤1+∑50i =1a 22i -1+∑50j =1a 22j2=2.从而,S ≤23≈014714<0148=1225.7.本届I M O 第6题.2008年全国初中数学联赛(江西卷) 说明:2008年全国初中数学联赛于4月13日举行,因当日与江西省其他考试的时间重叠,经与联赛组委会商议,联赛江西省赛区竞赛改于4月19日举行,并由江西另行命制一份试题.第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.从分数组12,14,16,18,110,112中删去两个分数,使剩下的数之和为1.则删去的两个数是( ).(A )14与18(B )14与110(C )18与110(D )18与1122.化简32+51+5的结果是( ).(A )12 (B )54 (C )38 (D )1+573.555的末尾三位数字是( ).(A )125(B )375(C )625(D )875.4.若实数x 、y 、z 满足方程组:xy x +2y =1,①yz y +2z=2,②zx z +2x=3,③则( ).(A )x +2y +3z =0(B )7x +5y +2z =0(C )9x +6y +3z =0(D )10x +7y +z=05.将正三角形每条边四等分,然后过这图1些分点作平行于其他两边的直线.则以图1中线段为边的菱形个数为( ).(A )15(B )18(C )21(D )246.某人将2008看成了一个填数游戏式:28.于是,他在每个框中各填写了一个两位数ab 与cd ,结果发现,所得到的六位数2abcd 8恰是一个完全立方数.则ab +cd =( ).(A )40(B )50(C )60(D )70二、填空题(每小题7分,共28分)1.设x +x 2+1y +y 2+4=9.则x y 2+4+yx 2+1= .图22.如图2,在边长为1的正△ABC 中,由两条含120°圆心角的弓形AOB 、AOC 及边BC 所围成的(火炬形)阴影部分的面积是 .3.一本书共有61页,顺次编号为1,2,…,61.某人在将这些数相加时,有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了(形如ab 的两位数被当成了两位数ba ),结果得到的总和是2008.那么,书上这两个两位数页码之和的最大值是 .4.不超过5+36的最大整数是 .第二试一、(20分)设a 为整数,使得关于x 的方程ax 2-(a +5)x +a +7=0至少有一个有理根.试求方程所有可能的有理根.二、(25分)如图3,在四边形ABCD 中,图3E 、F 分别是边AB 、CD 的中点,P 为对角线AC 延长线上的任意一点,PF 交AD 于点M ,PE 交BC 于点N ,EF 交MN 于点K .求证:K是线段MN 的中点.三、(25分)120人参加数学竞赛,试题共有5道大题.已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对.如果至少做对3题便可获奖,问:这次竞赛至少有几人获奖?参考答案第一试 一、1.C.由14+112=13,而12+13+16=1,故删去18与110后,可使剩下的数之和为1.2.A.32+5=38(2+5)8=12316+85 =123(1+5)3=1+52]32+51+5=12.3.A.注意到555=5×554.因为52被8除余1,所以,554被8除余1.故555被8除余5.而在125、375、625、875四个数中,只有125被8除余5.4.D.由式①、③得y =x x -2,z =6xx -3.故x ≠0.代入式②解得x =2710.所以,y =277,z =-54.检验知此组解满足原方程组.于是,10x +7y +z =0.5.C.图1中只有边长为1或2的两种菱形,每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线,原正三角形内部每条长为1的线段,恰是一个边长为1的菱形的对角线;这种线段有18条,对应着18个边长为1的菱形;原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线,三条中位线对应着3个边长为2的菱形.共得21个菱形.6.D.设2abcd 8=(xy )3.据末位数字特征得y =2,进而确定xy .因603=216000,703=343000,所以, 60<xy<70.故只有xy=62.而623=238328,则ab=38,cd=32,ab+cd=70.二、1.77 18.据条件式有xy+y x2+1+x y2+4+(x2+1)(y2+4)=9.①令x y2+4+y x2+1=z.则式①化为z+xy+(x2+1)(y2+4)=9,即 9-z=xy+(x2+1)(y2+4).平方得81-18z+z2=x2y2+(x2+1)(y2+4)+2xy(x2+1)(y2+4).②又z2=(x y2+4+y x2+1)2=x2(y2+4)+y2(x2+1)+2xy(x2+1)(y2+4),代入式②得81-18z=4.所以,z=7718.2.312.图4如图4,联结OA、OB、OC.线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形,将这两个弓形分别按顺时针及逆时针方向绕点O旋转120°后,阴影部分便合并成△OBC,它的面积等于△ABC面积的13,即等于312.3.68.注意到1+2+…+61=1891,2008-1891=117.由于形如ab的页码被当成ba后,加得的和数将相差9|a-b|,因为a、b只能在1,2,…,9中取值,|a-b|≤8,所以,9|a-b|≤72.由于117=72+45=63+54,设弄错的两数是ab和cd.若9|a-b|=72,9|c-d|=45,则只有ab=19,而cd可以取16,27,38,49,此时,ab+ cd的最大值是68;若9|a-b|=63,9|c-d|=54,则ab可以取18,29,而cd可以取17,28,39,此时, ab+cd的最大值也是68.4.3903.注意到(5+3)6=(8+215)3.令8+215=a,8-215=b.得a+b=16,ab=4.知a、b是方程x2-16x+4=0的两个根,则有a2=16a-4,b2=16b-4;a3=16a2-4a,b3=16b2-4b.故a3+b3=16(a2+b2)-4(a+b)=16[16(a+b)-8]-4(a+b)=252(a+b)-128=3904.而0<b<1,故3903<a3<3904.因此,不超过(5+3)6的最大整数是3903.第二试一、当a=0时,方程的有理根为x=75.以下考虑a≠0的情况.此时,原方程为一元二次方程,由判别式(a+5)2-4a(a+7)≥0,即 3a2+18a-25≤0.解得-9-1563≤a≤-9+1563.整数a只能在其中的非零整数1,-1, -2,-3,-4,-5,-6,-7中取值.由方程得x=a+5±52-3(a+3)22a.①当a=1时,由式①得x=2和4;当a=-1时,方程无有理根;当a=-2时,由式①得x=1和-52;当a =-3时,方程无有理根;当a =-4时,由式①得x =-1和34;当a =-5时,方程无有理根;当a =-6时,由式①得x =12和-13;当a =-7时,由式①得x =0和27.因此,相对于不同的a 值,方程共有11个有理根.二、证法1:如图3,EF 截△PMN ,则N K K M ・MF FP ・PEEN =1.①BC 截△P A E ,则E B BA ・AC CP ・PNN E=1.故PN N E =2CPAC.所以,PE EN =2CP +AC AC .②AD 截△PCF ,则FD DC ・C A A P ・PM MF =1,PM MF =2A P AC.所以,FP MF =2A P -ACAC.③因为A P =AC +CP ,所以,2CP +AC =2A P -AC .由式②、③得PE EN =FP MF ,即MF FP ・PEEN=1.由式①得N K =K M ,即K 是线段MN 的中点.图5证法2:如图5,在PF 上取点G ,使GF =FM ,CG ∥DM ,又取C A 的中点L ,联结GC 、G N 、L E 、L F .则L E 、L F分别为△ABC 、△ACD 的中位线,有L F ∥AD ,L E ∥CB .得∠GCN =∠F L E ,CG L F =PC P L =CNL E.故△CNG △L EF ,NG ∥EF .于是,FK 是△MNG 的中位线.所以,K 是MN 的中点.三、将这120人分别编号为P 1,P 2,…,P 120,并视为数轴上的120个点.用A k (k =1,2,3,4,5)表示这120人之中未答对第k 题的人所成的组,|A k |为该组的人数.则|A 1|=24,|A 2|=37,|A 3|=46,|A 4|=54,|A 5|=85.将以上五个组分别赋予五种颜色,如果某人未做对第k (k =1,2,3,4,5)题,则将表示该人的点染第k 色.问题转化为:求出至少染有三色的点最多有几个.由|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|+|A 5|=246,知至少染有三色的点不多于2463=82个.一方面,将点P 1,P 2,…,P 85这85个点染第5色,因85>82,而为使染有三色的点数尽可能多,需在上述85个点中将尽可能多的点再加染另两色,由于|A 1|+|A 2|+|A 3|+|A 4|=161,故加染另两色的点不会多于1612=80个,即染有三色的点不多于80个.另一方面,可以具体构造一种染法,使得有80个点染有三种颜色.例如,如图6,将点P 1,P 2,…,P 85这85个点染第5色;点P 1,P 2,…,P 44以及点P 79、P 80这46个点染第3色;点P 45,P 46,…,P 81这37个点染第2色;点P 1,P 2,…,P 24这24个点染第1色;点P 25,P 26…,P 78这54个点染第4色.于是,至少染有三种颜色的点最多有80个.因此,染色数不多于两种的点至少有40个,即至少有40人获奖(他们每人至多答错两题,而至少答对三题,例如,P 81,P 82,…,P 120这40个人).图6(陶平生 提供)。
2008年北京市中学生数学竞赛_初二_
提供 )
DE FP AB , BP + CD AF + CD B1 M = = , 2 2 PF + DE AB + DE E1 M = = . 2 2
同理 , 作 BCDO , 联结 OF , 取 OF 的中 点 N , 联结 A 1 N 、 D 1 N . 由梯形中位线定理知 A1N ND 1 AF EF BO OD CD , BC ,
故 CDE = AFE . 五、 ( 1) 设自然数 m = 7 q + r ( r = 0, 1,
2 2
, 6) .
2 2
则 m = ( 7 q + r ) = 49 q + 14 qr + r . 2 由于 r 只能取 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 被 7 除的余数对应为 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1. 因此 , 一个 自然数的平方被 7 除的余数只能是 0, 1, 4, 2. ( 2) 由于 n ( n + 2) ( n + 4) ( n + 6) 2 2 = ( n + 6 n ) ( n + 6 n + 8) ( n = 1, 2, ) , 2 令 k = n + 6n. 则 n ( n + 2) ( n + 4) ( n + 6) 2 2 = ( n + 6 n ) ( n + 6 n + 8) = k ( k + 8) ( k 故 7) .
AF + BO AF + CD = , 2 2 EF + OD EF + BC AB + DE D1N= = = . 2 2 2 在 B 1 ME 1 与 A 1ND 1 中, B1 M = A 1 N , E1 M = D 1 N . A1N= 又因为 A 1 D 1 = B 1 E 1 , 所以 , B 1 ME 1 因此 , A 1 ND 1 . A 1 ND 1 . B 1 ME 1 =
2008年全国初中数学竞赛山东初赛试卷
２ 一 只盒子 中有红球ｍ个 ， ． 白球ｌ Ｉ ， 球ｎ ， Ｏ ＂黑 个 每个球 除颜
色外 都相 同 ， 中任 取 一个球 ． 得是 白球 的 概率 与不 从 取
是 白球 的概率相 同 ． 么ｍ与ｎ 那 的关系是 （
Ａ．ｍ＋ ＝ Ｏ ｎ ｌ Ｂ．ｍ＋ ｔ ５ ｒ ＝ Ｃ．ｍ＝ ＝１ ｎ ０
１．若０，２… ， 为正 整数 ， ｌ ２… ≤２ ０ ．为保 ５ ｌ ， 均 ｎ 且ｎ＜ ＜ ｎ ０７
证 这些 整 数 中总存 在 四个互 不 相 同的数ａ， ，ｔ ／ ， ａ， 使 得
Ｄ．５ ０
那么ｎ 的最 小值是 多少 ？并 说明理 由．
图 ２
参考答案见Ｐ 田目
３ 『 ２ 数学金刊・ 版 初中
的 中点 ． 上Ｃ Ｄ于Ｐ， ＬＮ Ｃ 则 Ｐ 的度数为— Ｂ 第二 象限 ． Ｄ 第 四象 限 ．
Ｄ
ｎ ０
１ ．已知 函数 ２—— ＋
—
．
么， （ ，） 点Ｐ ｘｙ 应在直角坐标平面 的（ Ａ ．第一象限 Ｃ 第三象 限 ．
１ ． 实数。 ０若 满足 ２３ ＝ 一 ＋ ， ＿ 叶２ 则叶 ：
在Ｒ ＡＡＤＣ中 ． ＝ ２Ａ ５ 所 ｔ ＡＤ １ ，Ｂ＝ ，
以Ａ －、 Ｃ
万
＝／ 、
ｒ＝
、 １ ５ １ ． ／ ２＋ ＝ ３
６ 明略． ．证
８ １２ （）．９ ．（ ） ２ ４１
７Ｂ ．
程 只 有 一 个 解 ， 为０ 解 ；
当ｍ＝ 时 ，原 方 程 为 ４ ２３ ＝ ． ＋ ０
）
Ｎ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ
Ｄ．ｍ＝ ｎ ３ ２， ＝
３ 我省规定 ： ． 每年 １， １ ｑ的最后一 个星期 日举行 初 中数 学竞 赛， 明年举行初 中数学竞赛 的 日期是 （
2008年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷
2008年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷（3月16日上午9∶00～11∶00）一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里）（1）若11=-m m，则mm +1的值等于（ ）．（A ）25 （B ）25-（C ）5- （D ）5（2）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半时间以每小时b 千米的速度行走；而乙用每小时a 千米的速度走了一半的路程，另一半的路程以每小时b 千米的速度行走（a ，b 均大于0且b a ≠）．则（ ）．（A ）甲先到达B 地 （B ）乙先到达B 地 （C ）甲乙同时到达B 地 （D ）甲乙谁先到达B 地不确定（3）如图，已知□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P ．若ba EBAE =，nm FDAF =（a 、b 、m 、n 均为正数），则PCAP 的值为（ ）．（A ）bman am + （B ）bman bn +C（C ）bman am am ++ （D ）bnbm an bn ++（4）如图，在△ABC 中，已知︒=∠45BAC ，若BC AD ⊥于点D ，且2=BD ，3=CD ，则△ABC 的面积为（ ）． （A ）25 （B ）5 （C ）215 （D ）15（5）一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于43n，则算过关，否则，不算过关．现有下列说法：①过第一关是必然事件； ②过第二关的概率为3635；③可以过第四关； ④过第五关的概率大于0. 其中，正确说法的个数为（ ）．（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分．把答案填在题中横线上）（6）若关于x 的函数a x a x a y 4)14()3(2+---=的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为 . （7）如图，在△ABC 中，已知︒=∠40B ，︒=∠30BAD ，若CD AB =，则ACD ∠的大小为 （度）.（8）如图，有五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切，如果其中最小圆与最 大圆的直径分别为18和32，那么⊙3O 的直径为 .（9）已知四个实数d c b a ,,,，且d c b a ≠≠,．若四个关系式：22=+ac a ，22=+bc b ，第（8）题图第（7）题图ABDC 第（4）题图ABDC42=+ac c ，42=+ad d同时成立，则d c b a 2326+++的值等于 .（10）已知n m ,都是正整数，若301≤≤≤n m ，且mn 能被21整除，则满足条件的数对),(n m 共有 个.三、解答题（本大题共3小题，每小题满分20分，共60分）（11）（本小题满分20分）已知b a 、为实数，且322=++b ab a ，若22b ab a +-的最大值是m ，最小值是n ，求n m +的值．（12）（本小题满分20分）如图，在△ABC 中，已知BC AC =， 20=∠C ，E D 、分别为边AC BC 、上的点，若 20=∠CAD ， 30=∠CBE ，求ADE ∠的大小．CBDAE已知n 个正整数n x x x ,,,21 满足200821=+++n x x x ，求这n 个正整数乘积nx x x 21的最大值．（13）（本小题满分20分）2008年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分） （1）若11=-m m，则mm+1的值等于（ D ）．（A ） 25 （B ） 25-（C ） 5- （D ）5 【解】∵11=-m m ，∴11>+=m m，即0>m ，m m =．∴5414)1()1(22=+=+-=+m mm m，∴51=+m m ．（2）甲、乙两人同时从A 地出发沿同一条路线去B 地，若甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半时间以每小时b 千米的速度行走；而乙用每小时a 千米的速度走了一半的路程，另一半的路程以每小时b 千米的速度行走（a ，b 均大于0且b a ≠）．则（ A ）．（A ）甲先到达B 地 （B ）乙先到达B 地 （C ）甲乙同时到达B 地 （D ）甲乙谁先到达B 地不确定 【解】由已知，设A 、B 两地相距s 千米，则甲走完全程所用的时间为ba s +2，乙走完全程所用的时间为abb a s bs as 2)(22+=+．∵0)(2)()(2])(4[2)(222<+--=++-=+-+b a ab b a s b a ab b a ab s abb a s ba s （b a ≠）．∴甲所用的时间少，甲先到达B 地．（3）如图，已知□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交于点P ．若ba EB AE =，nm FDAF =（a 、b 、m 、n 均为正数），则PCAP 的值为（ C ）．（A ）bman am + （B ）bman bn +（C ）bman am am ++ （D ）bnbm an bn ++【解】延长FE 、CB 交于点G .∵□ABCD 中，BC AD //， ∴△AEF ∽△BEG ，有ba BGAF BEAE ==，即△AFP ∽△CGP ，有PCAP CGAF =.∵FD AF BG AD BG BC BG CG ++=+=+=. 由nm FDAF =，得AFmn FD =.∴bman am am AFm n AF AF ab AFPCAP ++=++=.（4）如图，在△ABC 中，已知︒=∠45BAC ，若BC AD ⊥于点D ，且2=BD ，3=CD ，则△ABC 的面积为（ D ）． （A ）25 （B ） 5 （C ）215 （D ）15【解】如图，过点C 作AB CE ⊥于点E ，则△BCE ∽△BAD ，∴ADCE ABBC =.若设h AD =，则由2=BD ，3=CD ，∴在Rt △ABD 中，2224hADBDAB +=+=，在Rt △ACD 中，2229hAD CDAC +=+=.又∵在Rt △ACE 中，由︒=∠45BAC ， 得BAC AC CE ∠⋅=sin ，∴2292⋅+=h CE .而5=+=CD BD BC ，∴hh h2294522⋅+=+，即0363724=+-h h .解得1=h 或6=h (负值舍去). 当1=h 时, 得BAC ∠为钝角，舍去，∴6=h . ∴S △ABC 15652121=⨯⨯=⋅=h BC .（5）一项“过关游戏”规定：在第n 关要掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于43n，则算过关，否则，不算过关. 现有下列说法：①过第一关是必然事件； ②过第二关的概率为3635；③可以过第四关； ④过第五关的概率大于0.AEBDC其中，正确说法的个数为（ B ）．（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 【解】要过第一关，点数需大于43，显然，抛掷一颗骰子一次至少有1点，故①对；要过第二关，点数之和需大于49，即点数之和至少是3．而抛掷两次的点数之和至少为2，因此，不能过第二关的只有一种可能：就是两次抛掷的点数均为1，即两次抛掷的36种可能结果中，有35种结果可以过第二关.所以，过第二关的概率为3635，故②对；要过第四关，点数之和需大于4120434=，若每次抛出的点数均为6，则点数之和412024>，所以第四关是可以通过的，故③对；要过第五关，点数之和需大于435，显然是不可能的，所以，过第5关是不可能事件，概率为0，说法④错．综上①②③正确.二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，满分30分．)（6）若关于x 的函数a x a x a y 4)14()3(2+---=的图象与坐标轴有两个交点，则a 的值为 3，0或401-.【解】当03=-a ，即3=a 时，原函数变为1211+-=x y ，其图象与坐标轴有两个交点. 当03≠-a ，即3≠a 时，原函数为二次函数，其图象与y 轴一定有一个交点)4,0(a ，若此交点不是原点，由已知，其图象与x 轴只能有一个交点，所以)3(16)14(2=---=∆a a a ，解得401-=a ；若此交点是原点，则0=a ，此时函数为x x y +-=23，其图象必与x 轴有两个不同的交点.综上可知a 的值为3，0或401-.（7）如图，在△ABC 中，已知︒=∠40B ，︒=∠30BAD ，若CD AB =，则ACD ∠的大小为 40°（度）.【解】如图，将△ABD 沿AD 所在直线对折，使点B 落在点E 位置，得△AED ，AE 与CD 交于点O . ∵△AED ≌△ABD ，∴︒=∠=∠301BAD ，︒=∠=∠402B . 由4∠为△ABD 的一个外角，得︒=∠+∠=∠704B BAD . ∴在△ADE 中，︒=∠+∠+∠-︒=∠40)421(1803. ∴32∠=∠,有OE OD =.又∵AE 为AB 沿AD 对折得到，有AB AE =， 已知CD AB =，∴AE CD =.∴OE AE OD CD -=-.即OA OC =.∴5∠=∠ACD . ∵在△ABC 中，︒=∠+∠+∠+∠+∠18051ACD BAD B ， ∴︒=︒-︒-︒-︒=∠40)303040180(21ACD .（8）如图，有五个圆顺次相外切，且又都与直线a 、b 相切，如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么⊙3O 的直径为 24 .【解】如图，设五个圆⊙1O ，⊙2O ，⊙3O ，⊙4O ，⊙5O 的半径分别为1r ，2r ，3r ，4r ，5r .过点1O 、2O 、3O 作直线a 的垂线，垂足分别为1A ，2A ，3A .连接1O 3O ，显然圆心2O 在1O 3O 上，作2211A O B O ⊥于点1B ，3322A O B O ⊥于点2B ，则△121B O O ∽△232B O O . ∴23123221B O B O O O O O =, 即23123221r r r r r r r r --=++，可得2312r r r r =同理，3423r r r r =，4534r r r r =.设kr r =12，有12kr r =,123r k r =,134r k r =,145r k r =.∵92181==r ,162325==r ,∴342=k ，∴123=r . ∴⊙3O 的直径为24.（9）已知四个实数d c b a ,,,，且d c b a ≠≠,．若四个关系式：22=+ac a ，22=+bc b ，42=+ac c ，42=+ad d同时成立，则d c b a 2326+++的值等于 0 .12【解】由022)()(22=-=+-+bc b ac a ，044)()(22=-=+-+ad d ac c ，得0))((=++-c b a b a ，0))((=++-d c a d c ．因为d c b a ≠≠,，所以0=++c b a ，0=++d c a ．可得)(c a d b +-==． 又642)()(22=+=+++ac c ac a ，242)()(22-=-=+-+ac c ac a ， 得6±=+c a ，2))((-=+-c a c a ． 当6=+c a 时，得36-=-c a ．解得362,36==c a ． 当6-=+c a 时，得36=-c a ．解得362,36-=-=c a ．所以，02)(4364362326=-=+-+=++=+++c a c a c a b c a d c b a ．（10）已知n m ,都是正整数，若301≤≤≤n m ，且mn 能被21整除，则满足条件的数对),(n m 共有多少 57 个． 【解】因为正整数n m ,满足mn 能被21整除，且301≤≤≤n m ，若21=m ，则30,,22,21 =n ．满足条件的数对),(n m 有10个． 若21≠m ，当21=n 时，20,,2,1 =m ．满足条件的数对),(n m 有20个． 当21≠n 时，因为7321⨯=，①如果b n a m 7,3==，其中b a ,都是正整数，且3,7≠≠b a ， 得30731≤≤≤b a ．1=b 时，2,1=a ；2=b 时，4,3,2,1=a ；4=b 时，9,8,6,5,4,3,2,1=a ．满足条件的数对),(n m 有14842=++个．②如果b n a m 3,7==，其中b a ,都是正整数，且7,3≠≠b a ， 得30371≤≤≤b a ．3=b ，4时，a 的值均为1；5=b ，6，8，9时，a 的值均为1，2； 10=b 时，a 的值为1，2，4．满足条件的数对),(n m 有1332412=+⨯+⨯个．综上，满足条件的数对),(n m 共有5713142010=+++个． 三、解答题（本大题共3小题，每小题满分20分，共60分）（11）已知b a 、为实数，且322=++b ab a ，若22b ab a +-的最大值是m ，最小值是n ，求n m +的值．【解】设k b ab a =+-22，则由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++.,32222k b ab a b ab a 得23k ab -=． ………………………………5分于是 29233)()(222k k ab b ab a b a -=-+=+++=+，而 2)(b a +≥0，有29k -≥0，所以 k ≤9． ………………………………10分 这样29k b a -±=+，23k ab -=，实数b a 、可以看作是一元二次方程023292=-+-k x k x的两个根． ……15分判别式233234292-=-⨯-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∆k k k ≥0， 所以 k ≥1， 有1≤k ≤9．所以22b ab a +-的最大值是9=m ，最小值1=n ，10=+n m ． ………………………………20分（12）如图，在△ABC 中，已知BC AC =， 20=∠C ，E D 、分别为边AC BC 、上的点，若， 20=∠CAD 30=∠CBE ，求ADE ∠的大小． 【解】如图，过点D 作DG ∥BA ，交AC 于点G ，连接BG 与AD 交于点H ，则GHDH BH AH BG AD ===,,．∵在△ABC 中，BC AC =， 20=∠C ， ∴ 80=∠=∠CBA CAB ．有 602080=-=∠-∠=∠CAD CAB HAB ．CB D A EGF H∴△ABH 、△GDH 均为正三角形． ………………………5分 ∵在△ABE 中，由 503080=-=∠-∠=∠CBE CBA EBA ， 得 505080180180=--=∠-∠-=∠EBA CAB AEB ． ∴EBA AEB ∠=∠．有AE AB =．∴AH AE =． ① ………………………………10分 过点D 作DF ∥BE ，交AC 于点F ，则△GDF ∽△ABE ．有DG FG =． ∴DH FG =． ②①＋②，得AD DH AH FG AE =+=+． ③ 又∵在△ABC 中，由 20=∠=∠C CAD ，得CD AD =． 而由CG CD =，可得FG CF CG AD +==． ④∴比较③、④，可得CF AE =． ………………………………15分 综上，有△AED ≌△CFD ．得CDF ADE ∠=∠． ∵AFD ∠为△CFD 的一个外角， 50=∠=∠AEB AFD ， ∴ 302050=-=∠-∠=∠C AFD CDF ．∴ 30=∠ADE ． ……………………………… 20分 （13）已知n 个正整数n x x x ,,,21 满足200821=+++n x x x ，求这n 个正整数乘积nx x x 21的最大值．【解】 设n x x x 21的最大值为M ，由于200821=+++n x x x ，显然M 中的每一个i x 均大于1，n i ,,2,1 =． 若其中有i x ≥4，可将i x 分成2-i x 和2两个数，考察它们的乘积，有 )4(422)2(-+=-=⨯-i i i i x x x x ≥i x ，这样所有大于或等于4的正整数i x 分成2-i x 和2两个数后，其和不变，但使得乘积变大． ………………………5分于是，在最大值n x x x M 21=中不可能出现大于或等于4的正整数， 故 2=i x 或3=i x ，这就是说M 可以写成q p 32⋅的形式． ……………10分 又因为33222+=++， 但2332<，即在乘积中用2个3替代3个2可使乘积增大，所以 p ≤2． …………………15分 又2266832008++⨯=，所以668232⋅=M …………………20分。
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷
2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷(3月21日下午2：30━4：30或3月22日上午9：00━11：00)学校___________________年级___________班 姓名_________________一、选择题（本大题满分42分，每小题7分） 1、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于（ ） （A ）－4x ＋3 （B ）5 （C ）2x ＋3 （D ）4x ＋32、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为（ ） （A ）1 （B ）32 （C ）21 （D ）313、已知a 为非负整数，关于x 的方程0412=+---a x a x 至少有一个整数根，则a 可能取值的个数为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ） 14、如图，设△ABC 和△CDE 都是正三角形，且∠EBD ＝62o ，则∠AEB 的度数是（ ） （A ）124o （B ）122o （C ）120o （D ）118o5、如图，直线x ＝1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴，则有（ ） （A ）a ＋b ＋c ＞0 （B ）b ＞a ＋c（C ）abc ＜0 （D ）c ＞2b6、已知x 、y 、z 是三个非负实数，满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若S ＝2x ＋y －z ，则S 的最大值与最小值的和为（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、已知a 是方程x 2－5x ＋1＝0的一个根，则44-+a a 的个位数字为_____________． 2、在凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，若S △OAD ＝4，S △OBC ＝9，则凸四边形ABCD 面积的最小值为__________________．3、实数x 、y 满足x 2－2x －4y ＝5，记t ＝x －2y ，则t 的取值范围为___________________．4、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于E，F是OE的中点．如果BD//CF，BC＝25，则线段CD的长度为__________________．三、（本大题满分20分）已知方程x2＋ax－b＝0的根是a和c，方程x2＋cx＋d＝0的根是b和d．其中，a、b、c、d为不同实数，求a、b、c、d的值．四、（本大题满分25分）如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3＝90o．五、（本大题满分25分）如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．2008年全国初中数学联赛四川初赛试卷参考答案及评分细则一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、B2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 1、7 2、25 3、29≤t 4、6 三、（本大题20分）解：∵方程x 2＋ax －b ＝0的根是a 和c ，∴a ＋c ＝－a ，ac ＝－b ∵x 2＋cx ＋d ＝0的根是b 和d ，∴b ＋d ＝－c ，bd ＝d ······································· 5分 （一）若d ≠0，则由bd ＝d 知b ＝1由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知－2a 2＝－1，解得22±=a ················· 10分 当22=a 时，2-=c 得d ＝－c －b ＝12-； ········································· （1） 当22-=a 时2=c ，得d ＝－c －b ＝12--． ······································· （2） 经验证，22±=a ，b ＝1，2 =c ，d ＝12-±是符合条件的两组解． ······· 15分 （二）若d ＝0，则b ＝－c ，由a ＋c ＝－a 知c ＝－2a ，由ac ＝－b 知ac ＝c 若c ＝0，则a ＝0，这与a 、b 、c 、d 是不同的实数矛盾． 若c ≠0，则a ＝1，再由c ＝－2a 知c ＝－2，从而b ＝－c ＝2 经验证，a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝0也是符合条件的解． ································ 20分 四、（本大题25分） 证明：（1）如图，连结I 1A 1，I 1A 2，I 1A 3，I 2A 2和I 2A 3∵I 1是△A 1A 2A 3的内心，∴∠I 1A 1A 2＝∠I 1A 1A 3＝21∠A 2A 1A 3 ∠I 1A 2A 1＝∠I 1A 2A 3＝21∠A 1A 2A 3，∠I 1A 3A 1＝∠I 1A 3A 2＝21∠A 1A 3A 2 ···················· 5分延长A 1I 1交四边形A 1A 2A 3A 4外接圆于P ，则∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 1P ＋∠PI 1A 3＝∠I 1A 1A 2＋∠I 1A 2A 1＋∠I 1A 1A 3＋∠I 1A 3A 1 ＝21(∠A 2A 1A 3＋∠A 1A 2A 3＋∠A 2A 3A 1)＋21∠A 2A 1A 3＝90o ＋21∠A 2A 1A 3 ··············· 10分同理∠A 2I 2A 3＝90o ＋21∠A 2A 4A 3，又∵四边形A 1A 2A 3A 4内接于一圆 ∴∠A 2A 1A 3＝∠A 2A 4A 3，∴∠A 2I 1A 3＝∠A 2I 2A 3．∴A 2、I 1、I 2、A 3四点共圆．········ 15分 （2）又连结I 3A 4，则由（1）知A 3、I 2、I 3、A 4四点共圆∴∠I 1I 2A 3＝180o －∠I 1A 2A 3＝180o －21∠A 1A 2A 3 同理∠I 3I 2A 3＝180o －∠I 3A 4A 3＝180o －21∠A 1A 4A 3 ··········································· 20分∴∠I 1I 2I 3＝360o －(∠I 1I 2A 3＋∠I 3I 2A 3)＝21(∠A 1A 2A 3＋∠A 1A 4A 3)＝90o ················· 25分五、（本大题25分）解：1、计算总的放法数N ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法；第二枚硬币放入剩下的15个格子有15种放法；第三枚硬币放入剩下的14个格子有14种放法．所以，总的放法数N ＝16×15×14＝3360． ············································ 10分2、计算满足题目要求的放法数m ：第一枚硬币放入16个格子有16种放法，与它不同行或不同列的格子有9个．因此，与第一枚硬币不同行或不同列的第二枚硬币有9种放法．与前两枚硬币不同行或不同列的格子有4个，第三枚硬币放入剩下的4个格子有4种放法．所以，满足题目要求的放法数m ＝16×9×4＝576． ·································· 20分所求概率P ＝3561415164916=⨯⨯⨯⨯=N m ． ·················································· 25分。
2008年全国初中数学竞赛山东初赛试卷
２００８年全国初中数学竞赛山东初赛试卷作者：来源：《数学金刊·初中版》2008年第05期一、选择题（每小题6分，共48分）1. 已知函数y=x2+，点P（x，y）在该函数的图象上. 那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是（）A. m+n=10B. m+n=5C. m=n=10D. m=2，n=33．我省规定：每年11月的最后一个星期日举行初中数学竞赛，明年举行初中数学竞赛的日期是（）A. 11月26日B. 11月27日C. 11月29日D. 11月30日4. 在平面直角坐标系中有两点A（-2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C有（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 6个5．如图1，在正三角形ABC的边BC，CA上分别有点E、F，且满足BE＝CF＝a，EC＝FA＝b（a＞b）. 当BF平分AE时，则的值为（）A.B.C.D.6．某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元．那么可能的不同订餐方案有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7．已知a＞0，b＞0且（＋4）＝3（＋2）. 则的值为（）A. 1B. 2C.D.8．如图2，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点，若CM=6.5，BC+CD+DA=17，则梯形ABCD的面积为（）A. 20B. 30C. 40D. 50二、填空题（每小题8分，共32分）9．如图3，在菱形ABCD中，∠A=100°，M，N分别是AB和BC的中点，MP⊥CD于P，则∠NPC的度数为_________．10．若实数a满足a3+a2-3a+2=-+，则a+=_______．11．如图4，在△ABC中∠BAC=45°，AD⊥BC于D，若BD=3，CD=2，则S△ABC=__________.12．一次函数y=-x+1与x轴，y轴分别交于点A，B．以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD（如图5）．在第二象限内有一点Pa，，满足S△ABP =S正方形ABCD，则a=______．三、解答题（每小题20分，共60分）13. 如图6，点A1，B1，C1分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且= = = kk．若△ABC的周长为p，△A1B1C1的周长为p1，求证：p114．某校一间宿舍里住有若干位同学，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位同学互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．15．若a1，a2，…，an均为正整数，且a1。
2008年全国 初中数学联赛(含答案)
12008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11.【答案】B【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）EFDCBA2A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=o ，132ACB ∠=o ，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）3A ．BM CN >B ．BM CN =C ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】 ∵12ABC ∠=o ，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=o o o．又180********BCM ACB ∠=-∠=-=o o o o ，∴180844848BMC ∠=--=o o o o ，∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=o o o o，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠o o o 168(13224)=-+o o o12ABC ==∠o ，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为4()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 6．已知实数x ，y 满足(22200820082008x x y y --=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】 ∵(22200820082008x x y y --=，∴222200820082008x x y y y y -=---222200820082008y y x x x x -=---由以上两式可得x y =．所以(2220082008x x -=，解得22008x =，所以522222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -，则5432322a a a a a a a +---+=- ． 【答案】 2-【解析】 ∵2251351a a --==-⎝⎭，∴21a a +=， ∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM 135MAN ∠=o ，则四边形AMCN 的面积为 ．【答案】 52【解析】 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB = ()222223252MO AM AO ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭O MND CBA6∴2MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=o ，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠o o 45MAB AMB =-∠=∠o ，所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而212AD DN BA MB =⋅=． 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积1122522222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△． 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】 根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m nb +=≤≤． 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．7所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 ．【答案】 1【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试 （A ）一．（本题满分20分）8已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】 整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=． 又因为0a ≥，所以62a -或62a +，9于是方程组③的解为6262a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为 62a -，62b +和62a +=，62b -=．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值．【解析】 ⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠．因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠o o ，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知CE OABD10BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=． 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即2S r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 2S三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ②故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．11不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==．第二试 （B ）12一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】 由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥ ②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=，13又因为0a ≥，所以62a -或62a +． 于是方程组③的解为6262ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为62a -=，62b +和62a +，62b -= 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①②14求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c+-+-⎛⎫=⎪⎝⎭， 设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③ 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．15⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-．代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。
浙江省2008年初中数学联赛(初二组)初赛试卷及答案
2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛模拟试题（本卷满分120分，考试时间120分钟，允许使用科学计算器。
）一、选择题（共8小题，每小题5分，计40分。
每小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个正确，请将它前面的代号填入题后的括号内，多选、少选、不选皆不得分。
）1．关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax 2－bx －c=0的根为（ ） A . －2，－3 B. －6，1 C.2，－3 D. －1，6 2．已知动点P 在边长为2的正方形ABCD 的边上沿着A －B －C －D 匀速运动，x 表示点P 由A 点出发所经过的路程，y 表示△APD 的面积，则y 和x 之间函数关系的图像大致为 （ ）A B C D3．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若所得的和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。
那么，所有的三位数中，“奇和数”有多少个？ （ ） A.200 B.120 C.160 D.100 4．设a 、b 、c 均为正数，若ac bc b a b a c +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是 （ ）A.c<a<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a5．三角形的三内角A 、B 、C 的对边长分别是a 、 b 、 c(a 、 b 、 c 都是素数)，且满足a ＋b ＋c ＝16，又设∠A 是最小内角。
则cosA 的值是（ ） A .71 B .72 C.4947D.条件不足，无法计算 6．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.60m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为 （ ） Ａ．2.5cm Ｂ．5.1cm Ｃ．7.5cm Ｄ．8.2cm 7．如图2，一个边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是（ ）。
2008年北京市中学生数学竞赛初二年级试题解答
2008年北京市中学生数学竞赛初二年级试题一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分）1．自然数a b c d ，，，满足222211111a b c d +++=，则34561111a b c d +++等于（ ）A ．18B ．316C ．732D ．1564【解析】 由题意，满足条件的自然数只可能有一种情况2a b c d ====，∴34561111111115816326464a b c d +++=+++=，选D ．2．如右图所示，ABCD 是一张长方形纸片，将AD BC 、折起，使A B 、两点重合于CD 边上的点P ，然后压平得折痕EF 与GH ．若8cm PE =，6cm PG =，10cm EG =，则长方形纸片ABCD 的面积为（ ） A ．2105.6(cm) B ．2110.4(cm) C ．2115.2(cm)D ．2124.8(cm)【解析】 由题意可知：24AB AE EG GB PE EG PG =++=++=，且PEG △是Rt △，∴245PE PG BC EG ⋅==，∴()22457624115.2cm 55ABCD S AB BC =⋅=⨯==，选C ．3的结果是（ ）．A ．1BC ．2D ．4【解析】 原式2===，选C ．4．ABC △所在平面上的点P ，使得ABP △、BCP △和ACP △的面积相等，这样的点P 的个数是 （ ） A ．8 B ．4 C ．3 D ．1 【解析】 在ABC △内，重心是满足条件的点；在ABC △外，与A B C 、、三点构成平行四边形的点P 也满足条件，这样的点有3个．那么，这样的P 点共有4个，选B ．5．在直角坐标系中，设点(12)A --，，(41)(0)()B C m D n n -，，，，，为四边形的四个顶点，当四边形ABCD 的周长最短时，mn 的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．12- D ．1【解析】 作点A 关于直线y x =的对称点A'，作点B 关于x 轴的对称点B'，连接A'B'分别与直线y x =和x 轴交于点D C 、，此时四边形ABCD 的周长最短．A'点的坐标为()21--，，B'点的坐标为()41，， 则直线A'B'的解析式为1133y x =-，D C PH GF ED CBA与直线y x =的交点D 的坐标为1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，与x 轴的交点C 的坐标为()10，， ∴122m n ==--，选A ．二、填空题（满分35分，每小题7分，将答案写在下面相应的空格中）1．如右图所示，过原点的直线与反比例函数7y x=-的图像交于点A 和C ，自点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足分别为B 和D ，则四边形ABCD 的面积等于____________.【解析】 由正比例函数及反比例函数的对称性可知：A C 、两点关于原点对称，则ABCD 是一个平行四边形，∴4ABCD COD S S =△，而72COD S =△，∴14ABCD S =．2．方程组3322181x y z x y z +=-⎧⎨+=-⎩的正整数解（x y z ，，）为________________． 【解析】 ∵x y z 、、都是正整数，∴23x y +≥，则4z ≥．解法一：÷②①得22421x xy y z -+=+③，①变形为21z x y =++代入③得2242220x xy y x y -+---=④， 将④整理为关于y 的方程得()22214220y x y x x -++--=，()()22214422x x x ∆=+---≥0，化简整理得24430x x --≤，解得1322x -≤≤，又x 是正整数，∴1x =，此时3y =，代入①得6z =．∴方程组的正整数解为()136，，． 解法二：÷②①得22421x xy y z -+=+③， 2①得2224421x xy y z z ++=-+④，④-③得263xy z z =-，即2123xy z z =-，则2x y 、可以作为关于t 的方程()221103t z t z z --+-=的两个正整数根，()2211403z z z ⎛⎫∆=--- ⎪⎝⎭≥，即212103z z -++≥，整理得2630z z --≤，解得33z -+≤ ∵4z ≥，∴456z =，，． 又方程有两个正整数根，则∆是完全平方数，∴6z =， 从而223x y ==，，即136x y z ===，，， ∴方程组的正整数解为()136，，．3．在ABC △中，70CAB ∠=︒，CAB ∠的平分线与ACB ∠的平分线相交于I ，若AC A I B C +=，则AC B∠等于_______________度．【解析】 如图，在BC 上截取CD AC =，连接ID IB 、，容易证明()SAS CDI CAI △≌△，同时1352CDI CAI CAB ∠=∠=∠=︒，∵AC AI BC +=，∴BD ID =， ∵I 是内心，BI 平分ABC ∠， ∴ID AB ∥，∴35ABC IDC ∠=∠=︒， ∴180703575ACB ∠=︒-︒-︒=︒．4．已知222222222212233410031004100410051223341003100410041005A +++++=+++++⨯⨯⨯⨯⨯，则A 的整数部分是_______． 【解析】 由22a b b aab a b+=+，可将A 化为2132435410051004++++++1223344510041005A =++++ (10041004)=21004+=200810051005⨯， ∴A 的整数部分是2008．5．凸五边形ABCDE 中，270BAE AED ∠+∠=︒，90BCD ∠=︒， 312AB BC ==，，54CD DE ==，，8AE =． 则五边形ABCDE 的面积等于_____________．【解析】 如图所示，连接BD ，延长BA DE 、相交于F ．由题意可知90F ∠=︒，13BD =， 设AF x EF y ==，，∴()()22226434169x y x y ⎧+=⎪⎨+++=⎪⎩，解得245325x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴11243212432512342255255ABCDE BCD BDF AEF S S S S ⎛⎫⎛⎫=+-=⨯⨯+⨯+⨯+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△3040.5615.3655.2=+-=．三、（满分10分）已知x y z u y z u z u x u x y x y z ===++++++++，求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值．【解析】 由x y z ux y z z u x u x y x y z===++++++++，则x y z u x y z u x y z u x y z uy z u z u x u x y x y z++++++++++++===++++++++．①如果分子0x y z u +++≠，则由分母推得x y z u ===． 此时11114x y y z z u u xz u u x x y y z +++++++=+++=++++． ②如果分子0x y z u +++=， 则()()x y z u y z u x +=-++=-+，，IDCBA843125F ED C B A此时(1)(1)(1)(1)4x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++=-+-+-+-=-++++． 四、（满分15分）如图，在六边形ABCDEF 中，AB DE DC EF CD FA AB DE BC EF +=+，，，，∥∥∥ 1111A D B E =，1111A B D E 、、、分别是AB BC DE EF 、、、的中点．求证：CDE AFE ∠=∠．E 1D 1B 1A 1PM N O FED CB A【解析】 作ABPF ，连接DP ，取PD 的中点M ，BCDP 是梯形，连接11B M E M 、，由梯形中位线定理，知1B M CD BP AF ∥∥∥，1ME DE FP AB ∥∥∥，且122BP CD AF CD B M ++==，122PF DE AB DE E M ++==，122PF DE AF DEE M ++==． 同理，作BCDO ，连接OF 的中点N ，连接11A N D N ，，则由梯形中位线定理，知1A N AF BO CD ∥∥∥，1ND EF OD BC ∥∥∥，且122AF BO AF CD A N ++==，1222EF OD EF BC AB DED N +++===． 在11B ME △与11A ND △中，1111B M A N E M D M ==，， 又因为1111A D B E =，所以1111B ME A ND △≌△ 因此1111B ME A ND ∠=∠，所以CDE AFE ∠=∠．五、（满分15分）求证：⑴ 一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2．⑵ 对任意的正整数n，不被7整除．其中[]x 表示不超过x 的最大整数． 【解析】 ⑴ 设自然数7m q r =+（0123456r =，，，，，，），则2222(7)4914m q r q qr r =+=++．由于2r 只能取0，1，4，2，2，4，1．因此，一个自然数的平方被7除的余数只能是0，1，4，2． ⑵ 由于22(2)(4)(6)(6)(68)n n n n n n n n +++=+++，(123)n =，，，令26k n n =+，则22(2)(4)(6)(6)(68)(8)n n n n n n n n k k +++=+++=+，其中7k ≥． 由于222698816k k k k k k ++<+<++，所以222(3)8(4)k k k k +<+<+．即3k =+．也就是22363(3)6k n n n =+=++=+-．如果被7整除，必须只需2(3)n +被7除余6，然而一个自然数的平方被7除的余数只能为0，1，4和2中的一个， 因此对任意的正整数2(3)6n n +-，不能被7整除，也就是不能被7整除．。
2008年全能竞赛八年级数学
二、选择题：（每小题3分，共30分）11的平方根为（）A、4B、±4C、2D、±212、已知自变量x的取值范围为12<x≤1,则下列函数中适合的是（）A、y=By=、C、y=D、y13、某服装商贩同时卖出两套服装，两套均卖168元，其中一套盈利200，另一套亏本200，则这该商贩在这次经营中（）A、亏本14元B、盈得14元C、盈利20元D、不亏不盈14有理数xy=1,设M=11+x+11+y,N=x1+x+y1+y则M与N的大小关系为（）A、M>NB、M=NC、M<ND、无法确定15、已知反比例函数y=kx与一次函数y=kx−k在同一平面直角坐标系中的图像大致是（)A D16、若1a+1b=1a+b,，则ba+ab的值为（）A、 2B、−1C、1D、017、直线y=x+2k+1与x+2y=4的交点在第一象限，则K的取值范围为（）A、−12<k<12B、−52<12C、k>12D、k>−12x xxx18、已知x+2y=4k2x+y=2k+1且0<y−x<1，则K的取值范围为（）A、12<k<1B、−1<k<−12C、0<k<1D、−1<k<119、方程1x+4x=1在实数范围内解的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、无解20、已知：AD是△ABC的边BC上的中线，若AB=5，AC=3则AD的长L的取值范围为（）A、1<L<4B、3<L<5C、2<L<3D、0<L<5、三、解答题（7个小题，共60分）21、若x=1y=1是方程组ax+2y=b4x-by=2a-1的解，（本小题8分）求代数式：a2+b2-a-b2+2b a-b÷4b的值22、计算：2a-b-c(a-b)(a-c)+2b-c-a(b-c)(b-a)+2c-b-a(c-b)(c-a)（本小题8分）23、如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=-8x的图像交于A、B两点，且A点的横坐标与点B的纵坐标都是−2求：○1一闪函数的解析式○2求的面积（本小题8分）24、已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，AB+BD=AC求证：∠B=2∠C （本小题8分） 25、已知a b a +b =13,b c b +c =14,a c a +c =15求a b ca b +bc +a c的值 （本小题8分）26、一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司四、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：现租用该公司3辆四种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，则这批货物共有多少数吨？（本小题8分） 27、已知ΔABC ，∠BAC=90，AB=AC=4，BD 是AC 边上的中线，分别以AC ，AB 所在直线为X 轴、Y 轴建立直角坐标系。
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试1、【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2、【答】D .解 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知,,,B C E F 四点共圆，于是△AEF ∽△ABC ，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 故选D . 3．【答】C .解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C . 4．【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒， ∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤. 要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅， 2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r的最小值为44498()()91010()988()()1010i n ii n iaa+---⋅⋅=⋅⋅. 故选B.6．【答】D.解∵(2008 x y-=，∴x y==y x==+由以上两式可得x y=.所以2(2008x=，解得22008x=，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x-+--=-+--=-=. 故选D.1．解∵2213()122a a===-，∴21a a+=，∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a aa a a a a+---++--++=-⋅-33332221211(1)(11)2(1)1a a a aa aa a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则A O B D⊥，AO OB==2MO===,∴MB MO OB=-又135ABM NDA∠=∠=︒，13590NAD MAN DAB MAB MAB∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB∠=∠，所以△ADN∽△MBA，故AD DNMB BA=，从而12ADDN BAMB=⋅==.根据对称性可知，四边形AMCN的面积115222(22222MANS S MN AO==⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=△.3．解 根据题意，,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =. ∵1m n +≤，∴1m n m n +≤+≤，1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-，故14b ≥-，等号当且仅当12m n =-=时取得； 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得. 所以14p =，14q =-，于是12p q +=. 4．解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位； 24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1. 第二试 （A ）一．（本题满分20分）解 整理不等式（1）并将221a b +=代入，得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）在不等式（2）中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥.易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=. 又因为0a ≥，所以4a =或4a =， 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为44a b ==和a b == 二．（本题满分25分）解 （1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△O B C ，从而O B A O B C ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC，所以BD BO AB AC =，即2r a l y=，故2al r y =.所以22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 的最小值为2 三．（本题满分25分）解 （1）式即2634511()509509a b a b ++=，设634511,509509a b a b m n ++==，则 509650943511m a n a b --== （2） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= （3）由（1）式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去. 综合可知251a =.此时方程（3）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（2）式，得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 （B ）一．（本题满分20分解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在（1）式中，令0,1x y ==，得0a ≥；令1,0x y ==，得0b ≥.将1y x =-代入（1）式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ （2）易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知，不等式（2）对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ （3） 消去b ，得42161610a a -+=，所以224a =或224a +=，又因为0a ≥，所以4a =或a =. 于是方程组（3）的解为4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足条件的,a b 的值有两组，分别为44a b ==44a b == 第二试 （C ）三．（本题满分25分）解 （1）式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=， 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==，则 5096509423511m a n a b c ---== （3） 故351160n m a -+=，又2n m =，所以 2351160m m a -+= （4）由（1）式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-.由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去.综合可知251a =，此时方程（4）的解为3m =或5023m =（舍去）. 把251a =，3m =代入（3）式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-. 代入（2）式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
2008年全国初中数学联合竞赛试题(天津赛区)参考答案及评分标准
2008年全国初中数学联合竞赛试题（天津赛区）参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 故选B . 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，115AE EC -=，则线段BE 的长为 （ ） )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D .解 根据勾股定理，有 AB 2＝AE 2+BE 2①，BC 2＝BE 2＋EC 2②，用①－②，得到AB 2－BC 2＝AE 2－EC 2＝(AE －EC )·(AE ＋CE )，所以AE ＋CE ＝(62－52)÷115＝5，从而解得AE ＝185，CE ＝75，这样BE 245==. 故选D .3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个.所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 故选C .4．在△ABC 中，12ABC ∠=︒，132ACB ∠=︒，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点,M N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒， ∴BM BC =.又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==.故选B .5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98.【答】 B .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅，其中k 为自然数，且0k n ≤≤.要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：98()()1010i n i a -⋅⋅，1198()()1010i n i a +--⋅⋅，2298()()1010i n i a +--⋅⋅，3398()()1010i n i a +--⋅⋅，4498()()1010i n i a +--⋅⋅，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n i a a +---⋅⋅=⋅⋅. 故选B .6． 已知实数,x y满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为 （ ）)(A 2008-. )(B 2008. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解∵(2008x y =，∴x y -==y x -==由以上两式可得x y =. 所以2(2008x =，解得22008x =，所以22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=. 故选D .二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设12a -=，则5432322a a a a a a a+---+=-2-.解 ∵2213()122a a ===-，∴21a a +=， ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a +---++--++=-⋅-33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----.2．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且AM =135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，AO OB ==,2MO ===, ∴MB MO OB =-=又135ABM NDA ∠=∠=︒，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠，所以△ADN ∽△MBA ，故AD DNMB BA =，从而12AD DN BA MB =⋅==. 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积115222(22222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△.3．已知一次函数(1)y a x a =-+（a 为整数且a ≠1）的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且△OAB 的面积是正整数，则a ＝ 2 .解 不难求得A 、B 两点的坐标分别为（－1aa -，0），（0，a ），故12OABS ∆=·1a a --·a ＝12211(1)121a a a a =++-- 注意到OAB S ∆、a 均为整数，故11a -为整数，于是a －1＝1或－1，即a ＝2或0.将此两值分别代入可知a ＝0时，OAB S ∆＝0应舍去；a ＝2时，OAB S ∆＝2满足题设.故a ＝2.4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 .解 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位； 232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位.所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1.第二试 （A ）一．（本题满分20分） 已知实数a 、b 、c 、d 使得方程()()24()()x a x b x c x d -+-=++对一切实数x 均成立，那么当代数式2222448810a b c d ab cd a b c d +++++--+++取到最小值时， a ＋b ＋c ＋d 的值为多少？解 化简原方程，得到：22()24()x b a x ab x c d x cd +---=+++因为此方程对一切实数x 均成立，故得到： b －a ＝c ＋d①－ab －24＝cd ② ……………… 5分而①2－②×2，则有：a 2＋b 2＋48＝c 2＋d 2③ ……………… 10分将①、②、③式代入所求代数式中，有： 原式＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2＋48－24－4a －4b ＋8(b －a )＋10 ＝2a 2＋2b 2－12a ＋4b ＋34＝2(a －3) 2＋2(b ＋1) 2＋14……………… 15分故在a －3＝0,b ＋1＝0,即a ＝3,b ＝－1时，该式取到最小值14，此时c ＋d ＝－1－3＝－4，于是a ＋b ＋c ＋d ＝3＋(－1)＋(－4)＝－2 ……………… 20分二．（本题满分25分） △ABC 中，∠B ＝90°，M 为AB 上一点，使得AM ＝BC ，N 为BC 上一点，使得CN ＝BM ，连AN 、CM 交于P 点。
城郊中学2008年八年级数学竞赛初赛试题(含答案)-
(图5）CBAB1A1B2C1城郊初中八年级上数学竞赛试题一、填空题：每小题4分，共80分。
1、使等式x x x =-成立的的值是 。
2，P （3、—2）关于y=1对称点的Q （ ， ）。
3、如果点A （3，a ）是点B （3，4）关于y 轴的对称点，那么a 的值是 。
4、如图1，正方形ABCD 的边长为1cm ，以对角线AC 为边长再作一个正方形，则正方形ACEF 的面积是 2cm . 5、已知四个命题：①1是1的平方根，②负数没有立方根，③无限小数不一定是无理数，④3a -一定没有意义；其中正确的命题有 个。
6、已知7个数：2231180.2362 3.141632232π⎡⎤--+-⎢⎥+⎣⎦，，，（1-），，，（），其中无理数有 个。
7、若24A=9)A a +（，则的算术平方根是 。
8、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，G 是三角形的底角平分线交点，那么图中例行全等的三角形的对数是 对。
9、足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分；一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了场。
10、若方程组4101,43x y k x y k x y +=+⎧<+<⎨+=⎩的解满足则的取值范围是 。
11、如图3，在一个正方体的两个面上画两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于 。
12、某班级共48人，春游时到杭州西湖划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金元。
13、正三角形△ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这样的P 点有 个。
14、若61m m -表示一个数，则整数可取值的个数是 个。
15、已知x 和y 满足2x+3y=5，则当x=4时，代数式22312x xy y ++的值是 。
16、方程550x x -+-=的解的个数为 个。