探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_0
球体的体积公式
思考1：如何得到球的体积公式？ (先求半球的体积公式)
思考2：利用祖暅原理求解半球体积的思路是什么呢？
利用祖暅定理求解半球的体积，就先要找出满足 这样条件的一个简单几何体：把该几何体与半球夹在 两个平行平面之间，用平行于这两个平面的任意平面 去截该几何体和半球，使得截得的两个截面的面积总 相等，那么半球的体积就可以转化为该简单几何体的 体积，从而也可以求出球的体积。
夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平 行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果 截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等。
思考：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
3
V球
4 R3
3
课堂小结
知识：祖暅原理，柱体、球体体积公式推导 思想方法：转化与化归
祖暅原理，在西方直到17世纪，才由意大利数 学家卡瓦列里发现提出，比祖暅足足晚了一千多年!
课后练习
类比柱体、球体的体积公式推导，试试推导锥体的 体积公式。
小结：我们可以发现，祖暅原理含有三个条件， ①两个几何体夹在两个平行平面之间， ②用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个 平面， ③两个截面的面积总相等 这三个条件缺一不可，否则结论不成立。
柱体的体积公式
如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱， 圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式 吗？
用平行于半球底面的平面去截半球所得的截面面积， 都会和一个环形的面积相等。
而这些环形堆叠起来所形成的几何体，恰好就是一个 圆柱体挖掉一个底面相同且等高的圆锥体之后所得的简 单几何体。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹（Awe M. C. J. Gase）在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况，包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是，根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理，可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体，它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说，柱体的体积公式为：V=πr²h，其中r为底面半径，h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积，再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为：
V=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为锥体的高度。
最后，球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径，再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说，球体的体积公式为：V=(4/3)πr³，其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积，需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性，确保结果的准确性。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
探究祖暅原理为使学生受到优秀数学传统文化的熏陶首先介绍了一下提出祖暅原理的历史人物；接下来对祖暅原理做了细致的分析，让学生理解其具体含义并注意应用时需要注意的方面；最后利用祖暅原理结合三维动画层层引导、分析、推导出柱体、锥体、球体的体积公式。
教学目标1. 理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的过程；2. 在推导柱体、锥体体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体、锥体、球体的体积公式；3. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.重点：理解祖暅原理和柱体、椎体、球体体积公式的推导过程。
难点：球体的体积公式推导及准确把握相关几何体体积之间的关系。
教学过程1. 介绍提出祖暅原理的历史人物祖冲之父子。
2. 细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节。
3. 应用祖暅原理推导柱体、椎体的体积公式4. 观看视频：应用祖暅原理推到球体的体积公式5. 祖暅原理未能得到西方认可的原因教学过程一、引入取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？这堆书的几何形状发生了改变，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。
其实这里蕴含了一个很重要的数学原理—祖暅原理。
今天我们就来学习什么是祖暅原理以及它的应用。
首先我们要认识我国历史上两位很重要的数学家。
二、祖冲之父子介绍祖冲之（429-500），字文远。
出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。
他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》教案_8
教学设计
观察并动手操作，发现规
律并总结。
重点要理解“任意平面所截,而且截面的面积都相等”这个关键条件。
小实验引入祖暅原理并介绍这位数学家和其他著名的数学家。
利用祖暅原理推导柱体的体积通过化归，自主探究，协助学生深入理解知识，提高认知水平。
利用祖暅原理推导锥体的体积。
关键要想到割补法（教师提示。
学生证明三个锥体体积相等）。
通过类比，自主探究，化归到柱体，从而推导出锥体的体积公式。
利用祖暅原理推导半球的
体积。
关键要想到挖去一个倒立的圆锥（教师提示）。
学生证明圆环的面积与半球的截面面积相等。
通过类比，自主探究，转化到圆柱和圆锥的组合体，从而推导出球体的体积公式。
1.介绍三个特殊的三棱锥
2.典型例子讲解独立思考完成简单的练习
但高考题可通过合作探究
解答，培养空间思维。
1掌握通过三棱锥体
积相等求点到平面的
距离是常用的方法。
2重视几何体外接球
是高考重要考点。
七、板书设计。
高中数学人教A版2003课标版必修2探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共24张PPT)
祖暅原理
祖冲之父子是 我们中华民族的
骄傲和自豪
祖暅原理的提出要比其他国家的 数学家早一千多年。在欧洲直到17世 纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出 上述结论。
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
设有底面积都等于S，高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长 方体，使它们的下底面在同一平面内。 你能得到什么结论？
择决定命运，环境造就人生！
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课公开课教案教师资格证面
试试讲教案
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是物理学中的一个基本原理，用于描述柱体、锥体和球体的体积关系。
根据祖暅原理，柱体和圆锥的底面积相等时，它们的体积与高度的比相等。
类似地，球体与柱体的底面积相等时，它们的体积与高度的比也相等。
首先，让我们研究一下柱体和锥体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体，底面积为A。
根据祖暅原理，柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个相似的高度为h的圆锥，底面积为A。
根据祖暅原理，圆锥的体积可以用公式V2=(1/3)*A*h表示。
通过比较V1和V2，可以发现V2=(1/3)*V1、也就是说，圆锥的体积是柱体体积的三分之一、这个结论可以很容易地通过几何推导得出。
因此，我们可以得出结论：柱体和圆锥的体积比为3:1现在让我们来探究柱体和球体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体，底面积为A。
根据祖暅原理，柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个半径为r的球体，底面积为A。
根据祖暅原理，球体的体积可以用公式V3=(4/3)*π*r^3表示。
通过比较V1和V3，可以发现V3=(4/3)*π*(r^3)=(π/3)*A*h。
也就是说，球体的体积是柱体体积的π/3倍。
这个结论可以通过解析几何方法或积分计算得出。
因此，我们可以得出结论：柱体和球体的体积比为π/3:1最后-柱体和圆锥的体积比为3:1；-柱体和球体的体积比为π/3:1在实际应用中，这些体积关系可以帮助我们计算各种形状的物体的体积。
例如，如果我们知道柱体的底面积和高度，我们可以用公式V=A*h计算其体积。
同样地，如果我们知道球体的半径，我们可以用公式V=(4/3)*π*r^3计算其体积。
这些公式都是根据祖暅原理得出的。
探究和发现祖暅原理与柱体、锥体和球体的体积关系是一个有趣的数学和几何问题。
通过对这些几何形状的体积进行研究，我们可以更好地理解它们之间的关系，并应用于实际问题中。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_2
《祖暅原理与球的体积》教学设计一、教材分析本节课的内容选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2第一章第三节《球的体积和表面积》第一课时.球体作为一类特殊的旋转体，球的体积的推导过程充满了辩证法，处处体现立体图形与平面图形之间的对照、转换．本节课是学习球的体积的起始课，是在学习了柱体、锥体和台体的体积之后的又一重要内容，根据祖暅原理推出球的体积，也进一步巩固了等体积法在求空间几何体体积中的应用.从知识的应用价值来看，球的体积在生活和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系；在球的体积的推导中所蕴涵的数学思想方法如化曲为直、类比推理等在各种空间几何体的研究问题中都有着广泛的应用.从内容的人文价值来看，球的体积的推导需要学生分析、猜想、实验、计算，有助于培养学生的空间想象能力、逻辑思维和探究精神，是培养学生理性分析和数学能力的良好载体.二、学情分析高一学生在学习本节课内容之前，已经系统地学习了柱体和锥体的体积，并基本掌握祖暅原理在求几何体的体积上的应用，对等体积法有了初步的认识．通过空间几何体的结构特征的学习，学生已经对球体的性质有了一定的了解，具备一定的分析观察与逻辑推理能力,并有强烈的求知欲.三、教学目标1.知识与技能：1）观看几何画板的演示，理解球的体积与球的半径有关；2）类比柱体和锥体的体积公式的推导过程，探究球的体积公式；3）掌握两类基本的关于球的组合体计算问题，能根据已知条件分析组合体的结构特征，从而求出球的体积；2.过程与方法：1）实验探究球体的结构特征，提高观察及概括的能力；2）推导球体的体积公式，进一步渗透祖暅原理，提高观察、类比、分析、计算能力；3）对比两类组合体切、接问题，培养化曲为直、数形结合的思想.3.情感、态度与价值观：1）经历合作探究球的体积的过程，感受旋转体的和谐之美，激发学习兴趣，培养协作、交流能力；2）通过类比锥体、柱体得出球的体积，形成“用联系的观点看数学”的良好习惯；3）通过研究球的性质，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度.四、教学重难点重点：球的体积公式的推导；难点：关于球的组合体的计算.五、教学策略选择与设计《球的体积》一课教学模式和策略设计旨在对素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.本课采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略.具体方法如下：1.讲授法：采用讲述、讲解和讲演结合的方式，引导学生发现并探索球的体积公式，对体积公式的推导进行细致分析与讲解.2.演示法：教师通过多媒体课件和几何画板展示，让学生从图形中直观感知球体的几何特征.3.练习法：通过及时提供相应例题，让学生学以致用，并在运用中加深理解，形成技能与技巧，培养了分析问题、解决问题的能力.六、教学资源与工具设计多媒体教室、几何画板演示课件、flash动画展示、PowerPoint幻灯片课件.【创设情境】观看图片，提出以下问题:【引导】生活中有很多球形的物体，怎样计算球的体积？教师展示生活中常见的球形的物体，启发学生思考如何计算球的体积，进而引出本节课要学习的内容“球的体积公式的推导”回顾祖暅【实验】取几个高与底面半径均为R 的旋转体体积对比，发现3331R V V V R ππ=<<=圆柱半球圆锥【猜想】圆锥圆柱半球V V R V -==332π通过几何画板展示动态图，引导学生分析几何体特征，进而抽象出平面图形，进一步证明猜想【问题】根据祖暅原理，我们如何构造模型？ 【步骤】1.给出如下几何模型：2.拿出圆锥和圆柱3.将圆锥倒立放入圆柱4.取出半球和新的几何体作它们的截面，截面图形分别为圆面和圆环.5.计算并比较两个截面的面积 【学生板演】 教师一步步引导学生思考如何构建模型如果截面和平面的距离为h ，那么圆面的半径22h R r -=，圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为h ，因此 ()222h R r S -==ππ圆22h R S ππ-=圆环即圆环圆S S =根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 R R R R V ⋅-⋅=223121ππ球【实验操作】 将圆锥和半球形容器装满蓝色液体，依次倒入圆柱形容器中【结论】圆锥圆柱半球V V V -=【公式】半径为R 的球的体积为 334R V π=将学生分为小组，每个小组自讨在课堂巡视各小组进度【例1】 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求球的体积与圆柱体积之比. 【学生解答】 分析：球内切于圆柱 解：设球的半径为R教师引导学生从分析组合体的特点，将立体图形化。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
锥的体积事实上对于一个任意的锥体设它的底面积为s高为h那么锥体的体积等于三分之一的底乘高球的体积我们不妨研究半球半径为r的体积用平行于底面且与底面的距离为l的平面截半球所得的圆面半径为r球的体积我们取一个底面半径和高都为r的圆柱从圆柱中间挖去一个圆锥圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心底面为圆柱的上底面
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
探究与发现：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积 一、教学目标1、知识与技能：理解祖暅原理的含义，了解用祖暅原理推导柱体、锥体、球体等几何体体积的方法；2、过程与方法：通过对祖暅原理的探究学习，体会由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法思想；利用模型演示，推导柱体、锥体、球体等几何体体积计算公式；3、情感态度与价值观：通过对祖暅以及祖暅原理的介绍，激发学生的民族自豪感，同时渗透数学文化，提高学生对数学的学习兴趣。
二、学情分析1、认知基础：学生前面已经认识了柱体、锥体、球体等简单几何体，并初步学习了体积公式；大部分学生对于公式仅停留在记忆的层面上，对公式的推导产生疑问和兴趣。
2、认知障碍：高一的学生刚刚接触立体几何，空间想象能力还较弱，不太善于利用空间图形的几何性质推导公式，尤其是球体的体积公式推导。
祖暅介绍三、教学重难点1、重点：祖暅原理以及柱体、球体体积公式的推导2、难点：球体体积公式的推导四、教学过程（一）复习回顾体积公式33431r V Sh V ShV π===球锥柱 提问：这些公式是怎么来的？【设计意图】回顾旧知，通过提问引起学生主动思考，带着疑问进入探究学习。
（二）探究新知活动1：学生自行阅读教材30-32页，初步了解祖暅原理以及公式的推导。
活动2：祖暅原理“幂势既同，则积不容异”①祖暅：祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家，在数学和天文学上都有杰出的贡献，提出祖暅原理，巧妙地解决了柱体、锥体、球体的体积计算。
②原理的含义：“幂”是面积，“势”即是高。
如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
师：祖暅原理告诉我们什么呢？有没有同学用自己的话来说说看？（教师提问，学生代表说说自己对祖暅原理的理解）师：这几位同学都说得很好，没错，祖暅原理告诉我们，夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
研究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教课内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步研究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；经过模型演示，利用祖暅原理，推行到柱、锥、球体的体积计算 . 经过学习，使学生感觉几何体体积的求解过程，初步认识解决空间几何体问题的思想方法 , 逐渐提升解决空间几何体问题的能力。
［教课编排依照］主假如从学生获取知识按照“从特别到一般，由浅入深，由易到难，顺序渐进”的原则出发，切合学生的认知水平易接受能力 . 教课目的确实定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，领会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；领会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特别到一般，从一般到特别的概括演绎的数学思想方法是学习数学观点的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）经过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成就，激发学生的民族骄傲感，提升学生学习数学的兴趣 . 拓展爱国主义感情教育，3、教课的要点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的研究（2）学生研究能力的培育二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，研究实质事例。
教法：1、为了培育学生自主学习的能力以及使得不一样层次的学生都能获取相应的知足 . 所以本节课采纳研究性教课 .2、依据本节课的特色也为了给学生的数学研究与数学思想供给支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提升学生的综合能力，确立了研究性学习法：经过剖析、研究得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教课过程1、教课思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其构造图以下：体积观点祖暅原理长方体的体积转化根据柱的体积三棱柱锥为分解为化为柱代表锥锥之差球的体积锥的体积2、事例设计Ⅰ导入课题回首已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并提问：这些公式怎么来的?（设计企图：让学生产生疑问，带着疑问主动的研究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ研究新知1、祖暅原理的引入经过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式供给理论基础课件名称：祖暅原理．课件运转环境：几何画板 4.0 以上版本．课件主要功能：配合教科书“研究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教课，说明几何体等体积变换的依照．课件制作过程：（ 1）新建画板窗口．如图1，按住 Shift 键，用【画直线】画 4 条直线 AB， CD ，EF ，GH（分别是直线j， k， l ， m）．图 1（2）在直线 j 上画两点 I， J．（3）在直线上画一点 K，在直线 l 上画两点 L ， M，在直线 m 上画两点 N，O．（4）画线段 KL， LN， NO，OM ， MK ．（ 5）在直线 k，l 之间画一条直线PQ（直线 r）．在直线 l ，m 之间画直线RS（直线 s）．（ 6）作出线段 KL 与直线 r 的交点 T．相同作出线段 KM 与直线 r 的交点 U，线段 LN 与直线s 的交点 V，线段 OM 与直线 s 的交点 W．（7）在直线 k， r ，l ， s， m 上分别画一点 X，Y， Z，A1， B1．（8）标志向量TU．依向量TU平移点Y获取Y．相同，标志向量LM，依向量LM平移点 Z 获取 Z ；标志向量VW，依向量VW平移点A1获取 A1；标志向量NO ，依向量VW 平移点 B1获取B1．（ 9）挨次选择点K，L，N，O，M，按Ctrl+P ，填补五边形KLNOM ，实时单击【 Measure】（胸怀）菜单中的【Area】，胸怀出它的面积，如“面积p1 3.93cm2”．（ 10）近似于上一步，用【选择】工具按序选择点X，Y，Z，A1，B1，B1， A1， Z，Y，按 Ctrl+L ，获取一个凹九边形．（11）用【选择】工具按序选择点 X，Y， Z，A1，B1，B1，A1，Z，Y，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【 Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填补，实时单击【 Measure】菜单中的【 Area 】，胸怀出凹九边形的面积，如“面积p2 3.93cm2”．（ 12）如图 2，用【画点】工具在直线j 上画一点C1（位于点J 的左侧）．过点C1作出直线 j 的垂线（直线a）．用【选择】工具作出直线 a 与直线 k 的交点D1．图 2（ 13）双击点I，把点I 标志为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与极点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1： 3，单击【Dilate 】，获取一个小的五边形KLNOM．选择它的内部，并单击【Measure】菜单中的【Area】，胸怀出它的面积，“面积p10.44cm2”．（14）用【选择】工具双击点 J，把点 J 标志为缩放中心．选中凹九边形（边与极点）及其内部，并单击【 Transform 】菜单中的【 Dilate 】．相同，以 1：3 缩放获取一个小的凹九边形，胸怀出它的面积“面积 p20.44 cm2”．（ 15）画直线K X，获取直线b，作出直线 b 与直线 a 的交点E1．（16）用【画线段】工具把点E1和D1用线段连接起来．（17）在线段E1D1上画点F1，用【画线段】工具作出线段F1C1（线段 c），C1E1（线段 d）．（18）先后选择线段 c，d，并单击【 Transform 】菜单中的【 Mark Segment Ratio 】（标志线段比）标志为 c/d．（ 19）用【选择】工具双击点I ，把点 I 标志为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与极点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，获取一个小的五边形K LNOM．选择它的内部，并单击【Measure】菜单中的【Area 】，胸怀出它的面积，“面积p1 1.70cm2”．图 3（ 20）近似地，也把凹九边形及其内部按相同的缩放比对于中心点J 缩放，胸怀缩放后的对象的面积“面积p2 1.70cm2”．（ 21）画线段KK , LL , NN , OO , MM，作出一个五棱台．（ 22）画线段XX , YY ,...，作出右侧的凹九棱台．2．研究柱体的体积公式III. 拓展爱国主义感情教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一同圆满解决了球面积的计算问题，获取正确的体积公式。
高中数学人教A版《 祖暅原理与柱体椎体、球体的体积》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》省级名师优质课教案比赛获奖教
案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
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我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
锥的体积
事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为 S，高为h，那么锥体的体积等于三分之一的底乘高， 即
V 1 Sh 3
球的体积
我们不妨研究半球（半径为R）的体积，用平行于底面且与底面
的距离为l 的平面截半球，所得的圆面半径为r， r R2 l 2.
球的体积
我们取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中间挖去 一个圆锥（圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心，底面为圆柱 的上底面）.
球的体积
圆面的面积 S1 r 2 R 2 l 2
圆环面面积 S2 R 2 l 2 ，
根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.
即
1 2 V球
R 2
R
1 R2 3
R
2 R3 3
故
V球
4 R3
3
练习
1. 判断： （1）底面积相等高相等的两个几何体体积相等.（ ） （2）体积相等的两个几何体大小形状一定相同.（ ） （3）大小形状相同的两个几何体体积一定相等.（ ）
旋转抛物体的体积
已知抛物线 x 2 2 py（p＞0） 。以 y 轴为绕转轴将抛物线旋转一周， 得到一旋转抛物面，设 x 轴绕 y 轴旋转所得的平面为α，β为平行于α且 到α的距离为 h 的平面，求平面α与旋转抛物面所围成的几何体体积。
分析：在前面我们通过本质类化的方法，很容易地将问题解决了， 在构造模型时， 我们利用了两个基本的几何体——圆锥和圆柱。 而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体，是否也可利 用这两个基本图形来构造新的模型呢？
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
柱的体积
1. 这三个柱体等高，所以可夹在两个平行平面之间； 2. 三个柱体被平行于两平面的任意平面所截； 3. 三个截面的面积总相等．
柱的体积
定理 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积 V=Sh
锥的体积
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
如图，我们可以把三棱柱分割成三个等体积的三棱 锥。三棱锥如果以三角形ABC为底面。这说明三棱锥 的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
为什么能用祖暅原理
求球的体积
主讲：王斌梅 单位：海宁一中
知识背景
早在1000多年前，数 学家祖暅就能用巧妙 的方法计算出球体体 积.为了纪念祖暅的 贡献，我们把这种方 法成为“祖暅原理”.
提出问题
什么是祖暅原理呢？ 如何来用它求球的体积呢？
实验分析
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手 推一下以改变其形状．
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
祖暅原理运用
模型的构造：以旋转抛物体的上底面为底面作一高为 h 的 圆柱体，然后将旋转抛物体取出，如图所示，置于平面是 α内。现用一平行于平面α且距α的距离为 h1的平面去截这 个几何体，则截面分别为一圆环和圆。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
旋转单叶双曲面的体积
将双曲线
x2 y2 1
绕虚轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转单
思考：推斜以后体积变化了吗？ 高度有没有改变？ 每张纸的面积有没有改变？
祖暅原理
祖暅在长期实践的基础上，提出了下面的体积计算原理：
幂势既同， 则积不容异
祖暅原理
幂势既同，则积不容异
两个夹在平行平面间的几何体，被平行于两平面的任 意平面所截，若截面积总相等，则这两个几何体的体 积必相等．
祖暅原理
a2 b2
叶双曲面， 如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为α，平面β
是一个平行于α且距α的距离为 h 的平面，求α、β和旋转单叶双曲面
所围成的几何体的体积。
分析：如果我们还是仿照之前问题中的方法去构造圆柱体，再 挖出一个圆锥体，已不再凑效，那么我们可考虑一下双曲线有 什么特殊的性质？
祖暅原理运用
为旋转椭球体。那么这个椭球体的体积如何求呢？
分析：椭圆和圆属于圆锥曲线，它们是类似图形，那么 类似图形是否也有类似的推导方法呢？
下面我们尝试一下如何构建几何模型。
祖暅原理运用
取一个底面圆半径为a高为b的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱 上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭 球体放在同一平面α上， 那么这两个几何体也就夹在两个平行平面 之间了，现在用平行于平面α的任意平面β去截这两个几何体，则截 面分别是圆面和圆环面。