探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
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2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
为旋转椭球体。那么这个椭球体的体积如何求呢？
分析：椭圆和圆属于圆锥曲线，它们是类似图形，那么 类似图形是否也有类似的推导方法呢？
下面我们尝试一下如何构建几何模型。
祖暅原理运用
取一个底面圆半径为a高为b的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱 上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭 球体放在同一平面α上， 那么这两个几何体也就夹在两个平行平面 之间了，现在用平行于平面α的任意平面β去截这两个几何体，则截 面分别是圆面和圆环面。
锥的体积
事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为 S，高为h，那么锥体的体积等于三分之一的底乘高， 即
V 1 Sh 3
球的体积
我们不妨研究半球（半径为R）的体积，用平行于底面且与底面
的距离为l 的平面截半球，所得的圆面半径为r， r R2 l 2.
球的体积
我们取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中间挖去 一个圆锥（圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心，底面为圆柱 的上底面）.
柱的体积
1. 这三个柱体等高，所以可夹在两个平行平面之间； 2. 三个柱体被平行于两平面的任意平面所截； 3. 三个截面的面积总相等．
柱的体积
定理 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积 V=Sh
锥的体积
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
如图，我们可以把三棱柱分割成三个等体积的三棱 锥。三棱锥如果以三角形ABC为底面。这说明三棱锥 的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。
球的体积
Leabharlann Baidu
圆面的面积 S1 r 2 R 2 l 2
圆环面面积 S2 R 2 l 2 ，
根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.
即
1 2 V球
R 2
R
1 R2 3
R
2 R3 3
故
V球
4 R3
3
练习
1. 判断： （1）底面积相等高相等的两个几何体体积相等.（ ） （2）体积相等的两个几何体大小形状一定相同.（ ） （3）大小形状相同的两个几何体体积一定相等.（ ）
思考：推斜以后体积变化了吗？ 高度有没有改变？ 每张纸的面积有没有改变？
祖暅原理
祖暅在长期实践的基础上，提出了下面的体积计算原理：
幂势既同， 则积不容异
祖暅原理
幂势既同，则积不容异
两个夹在平行平面间的几何体，被平行于两平面的任 意平面所截，若截面积总相等，则这两个几何体的体 积必相等．
祖暅原理
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
旋转抛物体的体积
已知抛物线 x 2 2 py（p＞0） 。以 y 轴为绕转轴将抛物线旋转一周， 得到一旋转抛物面，设 x 轴绕 y 轴旋转所得的平面为α，β为平行于α且 到α的距离为 h 的平面，求平面α与旋转抛物面所围成的几何体体积。
分析：在前面我们通过本质类化的方法，很容易地将问题解决了， 在构造模型时， 我们利用了两个基本的几何体——圆锥和圆柱。 而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体，是否也可利 用这两个基本图形来构造新的模型呢？
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
a2 b2
叶双曲面， 如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为α，平面β
是一个平行于α且距α的距离为 h 的平面，求α、β和旋转单叶双曲面
所围成的几何体的体积。
分析：如果我们还是仿照之前问题中的方法去构造圆柱体，再 挖出一个圆锥体，已不再凑效，那么我们可考虑一下双曲线有 什么特殊的性质？
祖暅原理运用
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
祖暅原理运用
模型的构造：以旋转抛物体的上底面为底面作一高为 h 的 圆柱体，然后将旋转抛物体取出，如图所示，置于平面是 α内。现用一平行于平面α且距α的距离为 h1的平面去截这 个几何体，则截面分别为一圆环和圆。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
旋转单叶双曲面的体积
将双曲线
x2 y2 1
绕虚轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转单
为什么能用祖暅原理
求球的体积
主讲：王斌梅 单位：海宁一中
知识背景
早在1000多年前，数 学家祖暅就能用巧妙 的方法计算出球体体 积.为了纪念祖暅的 贡献，我们把这种方 法成为“祖暅原理”.
提出问题
什么是祖暅原理呢？ 如何来用它求球的体积呢？
实验分析
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手 推一下以改变其形状．
祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
为旋转椭球体。那么这个椭球体的体积如何求呢？
分析：椭圆和圆属于圆锥曲线，它们是类似图形，那么 类似图形是否也有类似的推导方法呢？
下面我们尝试一下如何构建几何模型。
祖暅原理运用
取一个底面圆半径为a高为b的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱 上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭 球体放在同一平面α上， 那么这两个几何体也就夹在两个平行平面 之间了，现在用平行于平面α的任意平面β去截这两个几何体，则截 面分别是圆面和圆环面。
锥的体积
事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为 S，高为h，那么锥体的体积等于三分之一的底乘高， 即
V 1 Sh 3
球的体积
我们不妨研究半球（半径为R）的体积，用平行于底面且与底面
的距离为l 的平面截半球，所得的圆面半径为r， r R2 l 2.
球的体积
我们取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中间挖去 一个圆锥（圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心，底面为圆柱 的上底面）.
柱的体积
1. 这三个柱体等高，所以可夹在两个平行平面之间； 2. 三个柱体被平行于两平面的任意平面所截； 3. 三个截面的面积总相等．
柱的体积
定理 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积 V=Sh
锥的体积
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
如图，我们可以把三棱柱分割成三个等体积的三棱 锥。三棱锥如果以三角形ABC为底面。这说明三棱锥 的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。
球的体积
Leabharlann Baidu
圆面的面积 S1 r 2 R 2 l 2
圆环面面积 S2 R 2 l 2 ，
根据祖暅原理，这两个几何体体积相等.
即
1 2 V球
R 2
R
1 R2 3
R
2 R3 3
故
V球
4 R3
3
练习
1. 判断： （1）底面积相等高相等的两个几何体体积相等.（ ） （2）体积相等的两个几何体大小形状一定相同.（ ） （3）大小形状相同的两个几何体体积一定相等.（ ）
思考：推斜以后体积变化了吗？ 高度有没有改变？ 每张纸的面积有没有改变？
祖暅原理
祖暅在长期实践的基础上，提出了下面的体积计算原理：
幂势既同， 则积不容异
祖暅原理
幂势既同，则积不容异
两个夹在平行平面间的几何体，被平行于两平面的任 意平面所截，若截面积总相等，则这两个几何体的体 积必相等．
祖暅原理
祖暅原理运用
祖暅原理运用
小结：上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实 质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下， 直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接完 成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，从而 在实质认同的基础上实现本质类化。
祖暅原理运用
旋转抛物体的体积
已知抛物线 x 2 2 py（p＞0） 。以 y 轴为绕转轴将抛物线旋转一周， 得到一旋转抛物面，设 x 轴绕 y 轴旋转所得的平面为α，β为平行于α且 到α的距离为 h 的平面，求平面α与旋转抛物面所围成的几何体体积。
分析：在前面我们通过本质类化的方法，很容易地将问题解决了， 在构造模型时， 我们利用了两个基本的几何体——圆锥和圆柱。 而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体，是否也可利 用这两个基本图形来构造新的模型呢？
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
a2 b2
叶双曲面， 如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为α，平面β
是一个平行于α且距α的距离为 h 的平面，求α、β和旋转单叶双曲面
所围成的几何体的体积。
分析：如果我们还是仿照之前问题中的方法去构造圆柱体，再 挖出一个圆锥体，已不再凑效，那么我们可考虑一下双曲线有 什么特殊的性质？
祖暅原理运用
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
祖暅原理运用
模型的构造：以旋转抛物体的上底面为底面作一高为 h 的 圆柱体，然后将旋转抛物体取出，如图所示，置于平面是 α内。现用一平行于平面α且距α的距离为 h1的平面去截这 个几何体，则截面分别为一圆环和圆。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
旋转单叶双曲面的体积
将双曲线
x2 y2 1
绕虚轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转单
为什么能用祖暅原理
求球的体积
主讲：王斌梅 单位：海宁一中
知识背景
早在1000多年前，数 学家祖暅就能用巧妙 的方法计算出球体体 积.为了纪念祖暅的 贡献，我们把这种方 法成为“祖暅原理”.
提出问题
什么是祖暅原理呢？ 如何来用它求球的体积呢？
实验分析
取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上，然后用手 推一下以改变其形状．