椭圆内接四边形面积的计算
椭圆形面积的计算公式
椭圆形面积的计算公式s=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或s=π(圆周率)×a×b/4(其中a,b分别是椭圆的长轴，短轴的长).定理内容如果一条紧固直线被甲乙两个半封闭图形所沙尔霍罗德区的线段比都为k，那么甲面积就是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πabc1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推论因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。
拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。
现在应用元素法，在图形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s，显然，s=y*dx 现在求s的定积分，即大图形的面积s，s=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分步骤：(第一象限全取正，后面不做说明) s=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设x^2/a^2=sin^2t 则∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)pi=圆周率∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则s=a*b*(pi/4) 椭圆面积s_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率。
椭圆内接四边形有许多优美的性质
椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。
作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。
一、定理的提出指鹿为马者看清楚了：（别说莫须有，古代有，小时候见过，请截图为证据）图20中,D、A、B、C的调和分割，是完美四边形的命题，是四边形命题大狗熊yy定理是D、Q、B、R的四个极点调和分割，是切线命题。
大狗熊yy定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。
大狗熊yy定理，，对于其他圆锥曲线----抛物线和双曲线也适合，，，幻灯播放新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。
新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC ＝CB。
二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。
采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。
这个能图形成立吗？1）需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；2）需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；3）需证明GD、CH、FB三线共点于E点；4）需证明A、B、C、D四点是调和点列。
定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。
封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题
图４
维普资讯
ｉ一五 ｉ３
数学鼓学
２０ 年第 １期 ０７ １
线性规划方法的应用
２ ０２ 江苏省扬州市田 ２０ ５ 家炳实验中学 袁 桐 ２ ２ 江苏省江都双沟中学 石玉明 ２６ ５７
二元线性规划内容， 已经在中学教材 中出现 了近十年， 我们把解决 问题的方法称之为“ 线性 规划方 ’ 它的基本思路是 ① 画出满足约束条 ． 件的点的范围， 也称为 “ ’ ② 研 究目标 函数的 域’ ； 图形， 选择使“ 目标” 取最值的位置； 求 出最值 ③ 点、最值．此类 问题 的演变， 一种是研究“ ’ 域 的 变化， 一种是运用变量代换， 目标 函数明朗化， 使 易于操作． 本文举几例说明如下．
操作起来并不方便．
如果设 ＋Ｙ＝乱 ｘ ， ， ｙ＝ 那么
Ｚ ） ＝（ 一１（ ） （ ＋Ｙ ＋ｘ ＋１ 一１ ＝－ ｘ ） ｙ ＝
乱 ＋ ＋ １ ．
～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～
消去 后整理得（ ＋ａｋ） ＋２ ｘ ６ ２ ａｍｋ ＋
Ｄ ＝ｃ ，ＤＡ ＝ ｄ Ａ ＝ Ｏ， Ｃ ＝ ． ， ｌ
ｓ边 Ａ Ｄ ．ＯＢ Ｉ ２× 四形Ｂ ＝￣ ＩＤ ≤言 Ｇ Ｉ Ｘａ Ｉ Ａ
２ ＝２ｂ 当且仅当ＢＤ与Ｘ ｂ ａ， 轴重合时等号成立． 此时四边形 Ａ ＢＣＤ为菱形．
Ａ
‘
Ｂ
ｃ
Ａ
＼ Ｄ ／ ＼ ＼ ／
ｎ（ ｍ２一ｂ） ０ ２＝ ．
于是有 ｎ ＝ｂ ＋ａｋ． ２。
得平行于 ＢＤ的椭 圆两切线方程分别为Ｙ ＝ ＋ｘｂ ＋ａ ｋ 和 Ｙ＝ｋ ／２ ２ ２ ｘ—Ｊ ２ ２ ２ ｂ ＋ａｋ ． 设平行于 ＢＤ的椭圆两切线 的距离为 ｄ 则 ， ｂ ＋ ２ ２ ２ ａｋ 由平行线间距离公式有ｄ： —／ ２ ￣ 分别 ＿亍 ７＝
面积的单位换算、公式及计算
面积的单位换算、公式及计算计算长方形：{长方形面积=长×宽}[1]正方形：{正方形面积=边长×边长}平行四边形：{平行四边形面积=底×高}三角形：{三角形面积=底×高÷2}梯形：{梯形面积=（上底+下底）×高÷2}圆形（正圆）：{圆形（正圆）面积=圆周率×半径×半径}圆环：{圆形（外环）面积={圆周率×（外环半径^2-内环半径^2）}扇形：{圆形（扇形）面积=圆周率×半径×半径×扇形角度/360}长方体表面积：{长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2}正方体表面积：{正方体表面积=棱长×棱长×6}球体（正球）表面积：{球体（正球）表面积=圆周率×半径×半径×4}椭圆(其中π(圆周率，a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长).半圆：(半圆形的面积公式=圆周率×半径的平方÷2）面积单位换算常用的面积单位有公顷、亩、平方公里、平方米、平方厘米等。
这里所说的换算，常指面积之间单位的互换计算。
如：1亩=0.0666666公顷=666.6666平方米等。
目录1常用公式2台湾公式3国外公式1常用公式常用土地面积换算公式 1亩=60平方丈=6000平方尺，1亩=666．6平方米其实在民间还有一个更实用的口决来计算：平方米换为亩，计算口诀为“加半左移三”。
1平方米=0.0015亩，如128平方米等于多少亩？计算方法是先用128加128的一半：128+64=192，再把小数点左移3位，即得出亩数为0.192。
亩换平方米，计算口诀为“除以三加倍右移三”。
如要计算24.6亩等于多少平方米，24.6÷3=8.2，8.2加倍后为16.4，然后再将小数点右移3位，即得出平方米数为16400。
圆内接四边形面积问题
1．圆内接四边形面积公式我们知道，已知三角形的三条边长为a 、b 、c （2p ＝a ＋b ＋c ），就可以由海伦公式得到三角形的面积：))()((c p b p a p p S ---=△因为任何一个三角形都有其外接圆，所以我们也可以说：已知圆内接三角形的三边长，其面积公式为海伦公式。
事实上，对于圆内接四边形，已知其四边的长（不妨设其为a 、b 、c 、d ，2p ＝a ＋b ＋c ＋d ），也可以求其面积，而且公式的形式与海伦公式相类似：))()()((d p c p b p a p S ----=圆内接四边形证明：设圆内接四边形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，设∠BAD=θ，则∠BCD=180°－θ，设其对角线BD ＝x ，由余弦定理有：abx b a 2cos 222-+=θ cdx d c BCD 2cos cos 222-+=-=∠θ 联立两式解得：cdab bc ad bd ac x +++=))((2 ∴)(22))((cos cos 222222cd ab d c b a ab cd ab bc ad bd ac b a BAD +--+=+++-+==∠θ ))()()(()2)(2)(2)(2())()()((41)(28222222)(21)(4)(1)(21cos 1)(21sin )(21)180sin(21sin 2122222222222244442222222d p c p b p a p d d c b a c d c b a b d c b a a d c b a d c b a c d b a b d c a a d c b cd ab abcd c b d a d b c a d c b a d c b a cd ab cd ab d c b a cd ab cd ab cd ab cd ab S ABCD ----=-+++-+++-+++-+++=-++-++-++-++=++++++++----⋅+=+--+-+=-+=+=-+=θθθθ 证毕．数学中的形式统一就在于此！2.关于圆内接四边形一类问题已知：四边形ABCD 内接于⊙O ，设AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d ，若2222c b d a +=+， 求证：∠A ＝∠C ＝90°．证法1（反证法）假设∠A≠90°，因为∠A ＋∠C ＝180°，所以∠A 、∠C 其中一个为锐角，另一个为钝角，不妨设∠A 为锐角，连接BD ，如图2．在△ABD 中，∵∠A ＜90°，∴AB 2＋AD 2＞BD 2；在△BCD 中，∵∠C ＞90°，∴BC 2＋CD 2＜BD 2．∴AB 2＋AD 2＞BC 2＋CD 2，即2222c b d a ++＞．这与已知矛盾，∠A≠90°不成立， 因此，∠A ＝90°．证法2（利用相似三角形性质及勾股定理逆定理）①若b ＝d ，则a ＝c ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝∠C ，又∠A ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝90°．②若b≠d ，则a≠c ，不妨设a ＞c ．延长AD 、BC 交于点E （如图1），设DE ＝x ，CE ＝y ．E图1 图2∵△ABE ∽△CDE ，∴CD AB CE AE DE BE ==，即c a y x d x y b =+=+，解得c cy ax b -=，ccx ay d -=， ∴c y x c a d b ))((+-=+，c y x c a d b ))((-+=-，∴2222222))((cy x c a d b --=-； 又02222≠-=-c a d b ，∴222c y x =-，即222y c x +=，∴△CDE 是直角三角形，且∠DCE ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ＝90°．证法3（利用余弦定理）连接BD ，如图2，设∠BAD ＝θ，则∠BCD ＝180°－θ．在△ABD 中，θcos 2cos 222222ad d a BAD AD AB AD AB BD -+=∠⋅⋅⋅-+=，在△BCD 中，θθcos 2)180cos(2cos 22222222bc c b bc c b BCD CD BC CD BC BD ++=-︒-+=∠⋅⋅⋅-+=， ∴θθcos 2cos 22222bc c b ad d a ++=-+，即0cos )(=+θad bc ，∴︒==900cos θθ，． 因此∠BAD=90°．练习：1.圆内接四边形的四边长依次为25、39、52、60，求这个圆的直径．2.圆内接四边形的四边长依次为2、7、6、9，求这个四边形的面积．。
与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法
与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法作者：俞新来源：《广东教育·高中》2009年第10期在多年的高考中出现了与椭圆有关的四边形的面积问题.这类问题具有一定的难度,许多同学都感到无从下手,从而影响了水平的发挥和总体成绩,甚感可惜!其实,与椭圆有关的四边形的面积的计算还是有规律可找的.本文通过最近两年高考中的与椭圆有关的四边形面积问题的解法分析来指导同学们掌握该类问题的三种方法,仅供参考.解法一、对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半例1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2 . 过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:+解析 (Ⅰ)椭圆的半焦距c==1,由AC⊥BD可知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x20+y20=1,所以+≤+=(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2)则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=|x1-x2|==.因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|==.四边形ABCD的面积S=|BD||AC|=≥=,当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上所述,四边形ABCD的面积的最小值为.评注本题中因为四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,所以四边形的面积就是AC 与BD乘积的一半.而AC与BD的长可以通过相交弦长公式求得.解法二、平行四边形的面积等于两条邻边与其夹角正弦值的乘积例2 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.解析 (Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4,y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为(,).由四边形ABCD为菱形可知,点(,)在直线y=x+1上,所以=+1,解得n=-2, 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|, 所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1+y2)2=,所以S=(-3n2+16)(-评注因为菱形是特殊的平行四边形,所以可以用平行四边形的面积计算方法求解,当然注意到菱形的对角线互相垂直,所以也可以用解法1的方法求解,但本题中对角线|BD|的长并不是直线y=x+1与椭圆的相交弦长,所以要注意避免下面的错误解法:把y=x+1代入椭圆方程x2+3y2=4并整理得4x2+6x-1=0,所以|BD|=•=,因此菱形ABCD的面积S=••,所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.解法三、四边形的面积等于两个三角形的面积之和例3 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若=6,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0). 如图1,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1(Ⅱ)法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1==,h2==.又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=••==2=2=2≤2,所以当=4k,即当k=(∵k>0)时,上式取等号,所以S的最大值为2.法二:由题设,|BO|=1,|AO|=2.设y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0,故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2==≤=2,所以当x2=2y2时,上式取等号,所以S的最大值为2.评注本题中法一是将四边形AEBF的面积看成是三角形ABE与三角形ABF的面积之和,而法二是将四边形AEBF的面积看成是三角形BEF与三角形AEF的面积之和.我们知道,椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的问题通常应该类比学习,即双曲线和抛物线的四边形面积的计算也可仿与椭圆中有关的四边形面积的计算方法进行,限于篇幅本文不再一一展开,在文末仅举抛物线中一例供同学们练习.例4 设F是抛物线y2=4x的焦点,A、B为抛物线上异于原点O的两点,且满足•=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D(如图2).求四边形ABCD面积的最小值.解析设A(x1,y1)、C(x2,y2),由题设知,直线AC的斜率存在,设为k.因直线AC过焦点F(1,0),所以直线AC的方程为y=k(x-1).联立方程组y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,由根与系数的关系知:x1+x2=,x1x2=1,于是|AC|====,又因为AC⊥BD,所以直线BD的斜率为-,从而直线BD的方程为y=-(x-1),同理可得|BD|=4(1+k2),故S ABCD=|AC|•|BD|==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.另解:设B(x3,y3)、D(x4,y4),联立方程组y=(x-1),y2=4x,得x2-(2+4k2)x+1=0,所以x3+x4=4k2+2,x3x4=1,又|FA|=x1+1,|FC|=x2+1,|FB|=x3+1,|FD|=x4+1,所以四边形ABCD的面积为SABCD=|AC|•|BD|=(x1+x2+2)(x3+x4+2)=(+2).(4k2+2+2)==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.责任编校徐国坚。
椭圆过两个焦点的平行四边形面积的最大值
椭圆过两个焦点的平行四边形面积的最大值椭圆是一条闭合曲线，在数学中有着重要的作用。
椭圆有两个焦点，每个焦点和椭圆上的任意一点的距离的和相等。
这个性质在图形学、物理学和数学中都有着应用。
本篇文章将讨论椭圆中一个经典的问题：平行四边形过椭圆的两个焦点时，其面积的最大值是多少。
首先，我们需要定义一个平行四边形在椭圆中的位置。
这个平行四边形的两个顶点，分别位于椭圆的两个焦点上，两个对边分别平行于椭圆的一条弦。
我们可以将这个平行四边形分成两个三角形。
其次，我们需要了解以下两个关于椭圆的重要性质。
第一个是椭圆的周长公式：2πa(1-e^2/4+3e^4/64-e^6/256+......)，其中a为椭圆的长半轴，e为椭圆的离心率。
第二个是椭圆的面积公式：πab，其中a、b分别为椭圆的长、短半轴。
接下来，我们设这个平行四边形的两个对边的长度为2x和2y，两个对边的角度为θ。
由于我们已经定义了这个平行四边形的位置，所以这个椭圆的长半轴可以表示为a=x+y，由此决定了椭圆的离心率为e=√((x+y)^2-4xy)/(x+y)。
根据三角函数的定义，我们可以得到这个平行四边形的面积为S=2xy*sin θ。
为了求解S的最大值，我们需要对S进行求导并令其为0。
这样可以得到一个非常复杂的代数式，但不必在此赘述。
最终，我们得出了S的解析式：S=2(x+y)√(x+y)^2-4xy)，其中，S的最大值是当x=y时，即长半轴与此平行四边形对边的长度相等时最大。
那么，此时S的值等于2(x+y)(x+y-2x)=2xy。
根据面积的公式，此时椭圆的短半轴也是x，长半轴为2x，面积为πx^2，有一个重要结论：经过椭圆两个焦点的平行四边形最大面积为椭圆面积的π/4。
这个结论对于数学教育和工程学都有着重要的应用。
总之，在解决这个问题时，需要掌握椭圆的基本性质和一些代数、几何运算的知识。
希望这篇文章对你有所启发，了解椭圆这一重要的数学工具和它的应用价值。
椭圆内接四边形性质的探究与应用
专题研究 ZHUANTI YANJIU150 数学学习与研究 2020.12◎林杰明 吴统胜 禤铭东 (广东省佛山市第一中学,广东 佛山 528000) 【摘要】本文笔者对椭圆内接四边形面积最大值及相关推论进行了较深入而详细的探究,总结归纳出了几个一般性的新的探究结论,并结合例题详细说明了所得的探究结论在解题中的应用.【关键词】椭圆内接四边形;性质;探究一、椭圆内接四边形性质的探究探究(一) 求椭圆内接四边形面积的最大值已知四边形ABCD 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a ≠b 且a >0,b >0)的内接四边形,求四边形ABCD 面积的最大值.[1]此处笔者给出两种解法,其解答如下:解法一 AC _→=(x C -x A ,y C -y A ),BD _→=(x D -x B ,y D -y B ),结合柯西不等式易求得:S 四边形ABCD =12|(x C -x A )(y D -y B )-(y C -y A )(x D -x B )|2ab , 当且仅当x C a =y D b ·θ;-y B b =x C a ·θ;-y D b =x A a ·θ;x Aa=y Bb ·θ;-y C b =x D a ·θ;x D a =y A b ·θ;x B a =y C b ·θ;-y A b =x B a ·θ时,等号成立.(θ为常数)联立上述方程消元并结合椭圆对称性可知,S 四边形ABCD ≤2ab 的取等号条件可成立.故S 四边形ABCD 最大为2ab ,此时其顶点坐标分别为(a ·cos λ,b ·sin λ),(-a ·sin λ,b ·cos λ),(-a ·cos λ,-b ·sin λ),(a ·sin λ,-b ·cos λ),λ为任意常数.解法二 对坐标进行伸缩变换:x′=ba·x ,y′=y ,则椭圆变为圆x′2+y′2=b 2,四边形ABCD 变为四边形A 1B 1C 1D 1.∴S 四边形A1B 1C 1D 1=|A 1C 1__→×B 1D 1__→|2≤|A 1C 1__→·B 1D 1__→|2≤2b ·2b2=2b 2,等号当且仅当A 1C 1与B 1D 1为圆的两条相互垂直的直径时成立,此时设A 1(b ·cos γ,b ·sin γ),γ为任意常数,则B 1(-b ·sin γ,b ·cos γ),C 1(-b ·cos γ,-b ·sin γ),D 1(b ·sin γ,-b ·cos γ).∵S 四边形A 1B 1C 1D 1=12·(x′C 1-x′A 1)(y′D 1-y′B 1)-(y′C 1-y′A 1)(x′D 1-x′B 1)=12·(x C -x A )(y D -y B )-(y C -y A )·(x D -x B )·b a =S 四边形ABCD ·ba,即S 四边形A1B 1C 1D1最大时,S 四边形ABCD 也最大.所以S 四边形ABCD 最大为2ab ,此时其顶点坐标分别为(a ·cos γ,b ·sin γ),(-a ·sin γ,b ·cos γ),(-a ·cos γ,-b ·sin γ),(a ·sin γ,-b ·cos γ),γ为任意常数.探究(二) 对探究(一)中当S 四边形ABCD =2ab 时四边形ABCD 性质的探究结论1 四边形ABCD 各边分别对应唯一一个椭圆满足以下4个条件:①以四边形ABCD 一边的中点为中心;②经过原点及该边的两端点;③长、短轴分别与椭圆x 2a2+y 2b 2=1的长、短轴平行;④与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相似,相似比为1∶2.结论2 四边形ABCD 边长的取值范围为[2a ,2b ](b >a >0)或[2b ,2a ](a >b >0).该结论还可拓展到椭圆内接n 边形的情形:椭圆内接n 边形A 1A 2…A n 面积最大时,该n 边形边长的取值范围为2a sin πn ,2b sin πn(b >a >0)或2b sin πn ,2a sinπn(a >b >0).结论3 四边形ABCD 的相邻两边夹角的余弦值范围和相邻两顶点分别与原点的连线所得夹角的余弦值范围均是-|a 2-b 2|a 2+b2,|a 2-b 2|a 2+b 2 .证明 (a ·cos γ,b ·sin γ),(a ·sin γ,-b ·cos γ)与n. All Rights Reserved. ZHUANTI YANJIU 专题研究151 数学学习与研究 2020.12(a ·cos γ,b ·sin γ),(-a ·sin γ,b ·cos γ)分别为四边形ABCD 相邻两边各自的端点.∴结合对称性,易知:讨论四边形ABCD 的相邻两边夹角的余弦值范围,只需讨论(a ·cos γ,b ·sin γ),(a ·sin γ,-b ·cos γ)与(a ·cos γ,b ·sin γ),(-a ·sin γ,b ·cos γ)分别对应的边的夹角余弦值范围.设所求角为α,则cos α=(a ·cos γ-a ·sin γ,b ·sin γ+b ·cos γ)·(a ·cos γ+a ·sin γ,b ·sin γ-b ·cos γ)(a ·cos γ-a ·sin γ)2+(b ·sin γ+b ·cos γ)2·(a ·cos γ+a ·sin γ)2+(b ·sin γ-b ·cos γ)2=a 2(cos 2γ-sin 2γ)-b 2(cos 2γ-sin 2γ)a 2(1-sin 2γ)+b 2(1+sin 2γ)·a 2(1+sin 2γ)+b 2(1-sin 2γ)=(a 2-b 2)(cos 2γ-sin 2γ)(a 4+b 4)(1-sin 22γ)+a 2b 2[(1+sin 2γ)2+(1-sin 2γ)2]=(a 2-b 2)·cos 2γ(a 4+b 4)·cos 22γ+2a 2b 2(2-cos 22γ)=(a 2-b 2)·cos 2γ(a 2-b 2)2·cos 22γ+4a 2b2. 经分类讨论,知:cos α范围为-|a 2-b 2|a 2+b2,|a 2-b 2|a 2+b 2 .同理:四边形ABCD 相邻两顶点分别与原点的连线所得夹角的余弦值范围是-|a 2-b 2|a 2+b 2,|a 2-b 2|a 2+b 2 .综上可知,待证命题成立.结论4 四边形ABCD 外切于椭圆2x 2a 2+2y 2b 2=1,切点为该四边形各边中点,且在该椭圆的所有外切四边形中,四边形ABCD 面积最小.证明 四边形ABCD 的顶点(a ·cos γ,b ·sin γ),(a ·sin γ,-b ·cos γ)相邻.不妨设前者为A 点,后者为B 点,则直线AB 方程为sin γ+cos γa ·x +sin γ-cos γb ·y -1=0.点A ,B 的中点为a sin γ+cos γ 2,b sin γ-cos γ 2.易证该点在椭圆上,则椭圆在该点处的切线方程为sin γ+cos γa ·x +sin γ-cos γb ·y -1=0,∴AB 与椭圆相切.同理:BC ,CD ,DA 均与椭圆相切.∴四边形ABCD 为椭圆外切四边形.而将A ,B ,C ,D 坐标代入,知:S 四边形ABCD =12·|(x C -x A )(y D -y B )-(y C -y A )(x D -x B )|=2ab.易知椭圆2x 2a 2+2y 2b 2=1的外切四边形ABCD 最小面积为2ab ,且此时A ,B ,C ,D 坐标分别为(a ·cos α,b ·sin α),(-a·sin α,b ·cos α),(-a ·cos α,-b ·sin α),(a ·sin α,-b ·cos α),α为任意常数.∴在椭圆的所有外切四边形中,四边形ABCD 面积最小.∴待证命题成立.该结论还可拓展到椭圆内接n 边形的情形:椭圆内接n 边形A 1A 2…A n 面积最大时,该n 边形外切于椭圆x 2a 2cos 2πn +y 2b 2cos 2πn=1,切点为该n 边形各边中点,且在该椭圆的所有外切n 边形中,n 边形A 1A 2…A n 面积最小.二、本文探究结论在高考解题中的应用有些题目若用常规方法去解,计算会很复杂,但若用本文中的结论,则可大大降低运算量,提高解题的速度.以下举两道例题详细说明其应用.例1 椭圆x 24+y 2=1上有A - ,B -3,-12与动点C ,D ,且过D 点的切线平行于AC ,则以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形最大面积为.解析 猜想:四边形面积最大的情况属于探究(一)结论中的情况.将A ,B 坐标分别代入(-a ·sin γ,b ·cos γ),(-a ·cos γ,-b ·sin γ),得:γ=π6+2k π(k ∈Z ).当四边形面积最大时,由对称性知:D 3,12.过D 点的切线方程为x D ·x4+y D ·y =1,把D 坐标代入知:此切线斜率为-32.∵k AC =k AO =32-0-1-0=-32,∴过D 切线平行于AC.∴猜想成立.∴所求最大面积为2ab =2×2×1=4.例2 已知A ,B 为椭圆x 24+y 23=1上的两点,且S △OAB =3,求原点O 到直线AB 距离的范围.解析 不难发现S △OAB =3=ab 2,即:延长AO ,BO 分别交椭圆于C ,D 点,则S ▱ABCD =4S △OAB =2ab ,∴▱ABCD 属于探究(一)结论中的四边形.由探究(二)的结论2知:6≤|AB |≤22,∵S △OAB =3,∴所求距离的范围为,2.【参考文献】[1]洪方权.椭圆内接四边形最大面积的简证[J ].中学教研,1988(10).[2]苏化明.椭圆的最大内接和最小外切多边形的几个性质[J ].数学教学研究,1987(6).n. All Rights Reserved.。
数学椭圆二级结论
数学椭圆二级结论椭圆是一个非常重要的几何形状，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆有许多重要的性质和结论，其中一些结论是在二级数学中的重要考试中经常出现的。
本文将介绍一些重要的椭圆二级结论。
椭圆的定义：椭圆是平面上所有点到两个定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个定点称为焦点，定长称为椭圆的长轴的长度。
1.椭圆的方程椭圆的标准方程是：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中a是椭圆长轴的长度的一半，b是椭圆短轴的长度的一半。
如果椭圆的中心位于原点，我们可以简化这个方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这个方程可以用来确定椭圆的形状、中心位置和大小。
2.椭圆的焦距椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，它等于长轴长度的一半。
f = sqrt(a^2 - b^2)知道焦距可以帮助我们计算椭圆的其他属性，例如半通径和离心率。
3.椭圆的离心率椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度的比率。
它的值总是小于1。
e = f/a如果我们知道椭圆的离心率和长轴长度，我们就可以计算椭圆的短轴长度：b = a * sqrt(1 - e^2)4.椭圆的周长和面积椭圆的周长和面积分别为：C = 4a * E(e)A = pi * a * b其中E(e)是数学椭圆第二类完全椭圆积分，它必须通过数值方法或表格查找来计算。
C是一个累加的近似值，可以通过数值方法获得更精确的结果。
5.椭圆的焦点方程椭圆的焦点方程是：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ± c/a其中c是焦距，也可以写成c^2 = a^2 - b^2。
这些方程提供了焦点的位置信息，可以用来计算椭圆上的特定点与焦点之间的距离。
6.椭圆的凯西定理椭圆的凯西定理是：PA * PB = PC * PD其中P是在椭圆上任意选择的一个点，A和B是椭圆上任意两个点，C和D是椭圆上焦点。
该定理证明了椭圆上的所有四边形都满足这个关系，无论这个四边形的顶点在哪个位置。
椭圆内接四边形有许多优美的性质
椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。
作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。
一、定理的提出指鹿为马者看清楚了：（别说莫须有，古代有，小时候见过，请截图为证据）图20中,D、A、B、C的调和分割，是完美四边形的命题，是四边形命题大狗熊yy定理是D、Q、B、R的四个极点调和分割，是切线命题。
大狗熊yy定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。
大狗熊yy定理，，对于其他圆锥曲线----抛物线和双曲线也适合，，，幻灯播放新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。
新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC ＝CB。
二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。
采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。
这个能图形成立吗？1）需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；2）需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；3）需证明GD、CH、FB三线共点于E点；4）需证明A、B、C、D四点是调和点列。
定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。
高二椭圆数学知识点总结
高二椭圆数学知识点总结椭圆是解析几何中非常重要的一个曲线。
在高二数学课程中，我们学习了椭圆的一系列性质和定理。
本文将总结高二椭圆数学知识点，帮助大家系统地理解和掌握椭圆的相关内容。
1. 椭圆的定义和基本性质椭圆可以通过两个焦点和所有到这两个焦点距离之和等于常数的点的集合来定义。
其中，两个焦点分别为F1和F2，到焦点的距离之和为2a，a为椭圆的长半轴，中点O为短半轴b。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
若椭圆的长轴与x轴平行，则方程化简为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率e描述了椭圆形状的圆心偏移程度。
离心率的计算公式为e = c/a，其中c为焦点到圆心的距离。
离心率决定了椭圆的扁平程度，当e<1时，椭圆更加扁平，当e=1时，椭圆退化为圆。
4. 椭圆的几何性质（1）焦点引法：椭圆上的点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
这一性质可以用来解决直线和椭圆的切点问题。
（2）弦长定理：椭圆内任意两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)的连线段P1P2的长度为2a * sqrt(1 - e^2 * cos^2θ)，其中θ为P1P2与椭圆长轴的夹角。
（3）切线定理：椭圆上任一点P处的切线斜率等于y轴上点P 到两焦点连线的斜率的相反数。
（4）四边形面积定理：以椭圆的两焦点F1、F2及椭圆上两点A、B为对角线的四边形面积为2ab，其中A、B为椭圆上的点。
5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x = h + a * cosθ，y = k + b * sinθ，其中θ为参数，范围为0到2π。
6. 椭圆的焦点和直线的关系对于给定的椭圆和直线，若直线不经过椭圆的焦点，则直线与椭圆相交于两个点；若直线与椭圆相切，则有且仅有一个交点；若直线经过椭圆的焦点，则直线与椭圆没有交点。
椭圆的面积公式椭圆的面积公式怎么算
椭圆的面积公式椭圆的面积公式怎么算椭圆面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式.定理内容如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)的面积为π__a^2__b/a=πab椭圆的面积公式怎么算点与椭圆点M(x0，y0)椭圆x?/a?+y?/b?=1;点在圆内：x0?/a?+y0?/b?1;点在圆上：x0?/a?+y0?/b?=1;点在圆外：x0?/a?+y0?/b?1;跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。
直线与椭圆y=kx+m①x?/a+y?/b?=1②由①②可推出x?/a?+(kx+m)?/b?=1相切△=0相离△0无交点相交△0可利用弦长公式：设A(x1,y1)B(x2,y2)求中点坐标根据韦达定理x1+x2=-b/a,x1__x2=c/a带入直线方程可求出y+y/2=可求出中点坐标。
|AB|=d=√(1+k?)[(x1+x2)?-4x1__x2]=√(1+1/k?)[(y1+y2)?-4x1__x2] 椭圆面积公式例题例题1：一个椭圆长轴13，短轴9，求其面积应用公式π×R×r3.14×13×9=367.38(平方单位)例题2：一个椭圆面积为420(平方单位)，已知短轴为11，求长轴的长度为何?420/(11π)=12.16椭圆面积用定积分怎么算椭圆面积用定积分算为S=abπ。
解题思路：设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1取第一象限内面积有 y^2=b^2-b^2/a^2__x^2即 y=√(b^2-b^2/a^2__x^2)=b/a__√(a^2-x^2)由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式__a/b，根据(af(x))=a__f(x),且x=a时圆面积为a^2π/4可得当x=a时，1/4S=b/a__1/4__a^2__π=abπ/4即S=abπ。
椭圆内接四边形面积最值的求解策略
，
∵
0
<
1 m2 +
2
1 2
，故当
m
=
0
时，Smin
=
2
.
点评：该题的入手点比较低，但运算量
比较大，直线方程 x = my + b 虽没有写入教
材 ，至 今 也 没 有 被 命 名 ，但 它 在 解 题 中 却
有着十分广泛的应用，能挖掘到 (mx1 + 2y1·) (mx2 + 2y2) < 0 是 去 掉 | mx1 + 2y1| + | mx2 + 2y2 |
再借助不等式求出了面积的最大值，直线参
数方程的引入拓宽了解决直线与圆锥曲线
问题的解题路径.
5 引入参数 k
例5
已知
F1
，F2
是椭圆
C:
x2 4
+ y2
=1
的左右焦点，过 F1 ，F2 的直线 l1 和 l2 分别交 椭圆于点 A ，B 和 C ，D ，若 l1⊥ l2 ，求四边 形 ACBD 面积 S 的最小值.
α（t
是参数），将其代入到椭圆
的方程并整理得 (4 + 5 sin2α)t2 - 8 5 t cos α -
16 = 0 ，设 方 程 的 两 个 根 为 t1,t2 ，则 有
t1
+
t2
=
8 5 cos α 4 + 5 sin2 + 5 sin2α
，易 知
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点的坐标为 (x0,y0) ，进而四边形 ANBM 的
面 积 S 可 用 x0 和 y0 来 表 示 ，其 中 能 将
圆内接四边形面积最大公式
圆内接四边形面积最大公式圆内接四边形面积最大公式，这可是个有点烧脑但又超级有趣的话题！咱们先来说说啥是圆内接四边形。
简单来讲，就是四个顶点都在一个圆上的四边形。
那这和面积最大公式有啥关系呢？想象一下，有个圆，就像一个大大的甜甜圈，然后在它上面分布着四个点，这四个点连接起来就构成了一个四边形。
那怎么才能让这个四边形的面积最大呢？这就引出了咱们今天的重点——圆内接四边形面积最大公式。
公式是：S = √[(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)] ，其中 p 是半周长，a、b、c、d 分别是四边形的四条边。
可别被这个公式吓到，咱们来仔细瞅瞅。
比如说，有一次我在给学生讲这个知识点的时候，就有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢分析。
”咱们假设这个圆的半径是r，四边形的四个角分别是A、B、C、D。
然后通过三角函数和一些几何知识的推导，就能得出这个公式啦。
就像咱们盖房子，得先有稳固的地基，然后一层一层往上盖。
这个公式也是一样，每一步的推导都是为了让咱们更清楚地理解为什么会有这样的结果。
再给大家举个例子，假如有个圆内接四边形，四条边分别是 3、4、5、6 。
那咱们先算出半周长 p = （3 + 4 + 5 + 6）÷ 2 = 9 。
然后把数值代入公式，S = √[(9 - 3)(9 - 4)(9 - 5)(9 - 6)] ，经过计算就能得出面积啦。
其实在生活中，这个知识也能用到呢。
比如说，设计师在设计一个圆形的花坛，然后要在里面布置四边形的步道，为了让步道的面积最大，就可以用到这个公式来计算。
学习这个公式，不仅能让咱们解决数学问题，还能锻炼咱们的思维能力。
就像解谜一样，一步步找到答案，那种成就感可太棒啦！所以啊，别害怕数学里的这些公式，只要咱们用心去理解，去探索，就能发现其中的乐趣和奥秘。
希望大家通过这次的介绍，对圆内接四边形面积最大公式有更清楚的认识，以后在遇到相关问题的时候，能够轻松应对，加油！。
圆内接四边形面积公式
圆内接四边形面积公式
圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点均在圆的周围，而且四
边形的边同时也是圆的切线。
这样的四边形在数学中具有重要意义，
因为它不仅有很多有趣的几何性质，而且其面积公式也非常简单易用。
首先，我们来看一下这个四边形的性质。
由于四边形的边同时也
是圆的切线，所以每个顶点的角落为直角。
因此，这个四边形被称为“正广义四边形”，其中两个相对的角为锐角，另外两个相对的角为
直角。
在这个正广义四边形中，我们可以通过连接对角线和半径来构造
一个与四边形完全相似的三角形。
通过计算这个三角形的面积，可以
得到圆内接四边形的面积公式。
具体来说，设半径为r，对角线长度为d，那么我们可以通过勾股
定理计算出三角形的高h。
因为这个三角形是与四边形完全相似的，所以它的底边长度是四边形一个顶点到其对角线的距离（即r），再通过类比即可得到圆内接四边形的面积公式：
S = rh
这个公式非常简洁明了，而且易于计算。
由于圆内接四边形具有
很多有趣的性质，比如它们的对角线长度相等，可以利用这个公式来
计算它们的面积，从而更好地了解它们的性质和用途。
总之，圆内接四边形是数学中一个非常有趣而且重要的对象，其面积公式简单易用，而且可以用于计算它们的面积和研究其性质。
学生们可以通过练习来熟练掌握这个公式，从而更好地理解圆内接四边形的几何性质和应用。
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椭圆内接四边形面积的计算及应用昭通市巧家县第一中学 侯成顺云南师范大学数学学院 朱维宗(教授）摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形. 关键词： 椭圆；焦点； 面积1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD 为椭圆内接焦点四边形. 1.2性质：(1)四边形ACB D的面积24122sin ACBD S a b λθλ=（其中22112(1)(1)k k λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++ ）.证明：如右图所示,有2(,0)F c ,并且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有：AB: 1()y k x c =- CD ：2()y k x c =- 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b+=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有：22222222(1)()ab k CD a k b +=+故242212222222122(1)(1)1sin sin 2()()ACBDa b k k S AB CD a k b a k b θθ++∴==++ （θ为AB 与CD 的夹角）, 令22222222112212(1)(1),()()k k a k b a k b λλ=++=++ 就有：24122sin ACBD S a b λθλ= . （2）推论A: 当12.1k k =-时,.2424422222212128()12ACBD a b a b S c a b a b k k =≥++++B:当120k k +=时,242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=+,并且有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=. 推论证明A ：当12.1k k =-时,说明AB, CD 相互垂直,有sin sin12πθ==,21221k k =,代入面F 2DCABθ积公式就有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++,再利用均值不等式有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++242228()a b a b ≥-.B : 当120k k +=时, 有2212k k =,代入就有242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=-成立.以下证明0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.证明：不妨把椭圆的方程化为221x y αβ+=(α与β不同是为零),已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,设A 、B 、C 、D 四个点的坐标为11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .直线AB 、DC 、AC 、BD 的斜率分别为AB k ,DC k ,AC k ,BD k .又点A 、C 在曲线C 上,22111x y αβ∴+=（1）及22331x y αβ+=（2）,用（2）带入（1）有1313()()AC x x ky y αβ+=-+,同理可得2424()()BD x x ky y αβ+=-+.已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,AC BD k k ∴=-,0AC BD k k +=132413240y y y y x x x x --∴+=--（3）及132413240y y y y x x x x +++=++（4）由这两个式子得：1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++-+++= （5） 1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++= （6）由（5）及（6）得到：12213443x y x y x y x y +++=0 （7） 14233241x y x y x y x y +++=0（8）同理有：1212()()AB x x ky y αβ+=-+ 3434()()DC x x ky y αβ+=-+43211324314214233241214321431[()()]()()AB DC y y y y k k x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x x x x --∴+=+=+++-+++----将（8）代入有：132431422143()()()AB DC x y x y x y x y k k x x y y ++++=-- （9）又34121234()AB DC x x x x k k y y y y αβ+++=-+++ 再将（8）代入得到： 132431421234()()()AB DC x y x y x y x y k k y y y y αβ++++=-++ （10）用（9）-（10）得到：132431422143123411()[]0()()()()x y x y x y x y x x x x y y y y αβ++++=--++若2143123411()()()()x x x x y y y y αβ+--++=0 故有： 14230y y y y += 结合平行截割线定理有：AB 与DC 平行,并且都平行于x 轴,它与AB,AC,DC,DB 的斜率不为零矛盾,132431420x y x y x y x y ∴+++= 0AB DC k k ∴+=说明直线AB,DC 与x 轴的夹角相等.同理可证明AD,BC 与x 轴的夹角也相等, 有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.1.3实例应用已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过右焦点F 的直线L 与曲线相交于A 、B两点.当L 的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为延长CF 交椭圆于点B,求ACBD 的面积.解：由于e=23c a = 并且1AB k = 、F(c,0)故AB 的方程为：y x c =- 又C(0,b) 所以C 到AB 的距离为=4,2,2,3b c c b a +=∴=== 故椭圆的标准方程为：22194x y += 又1AB k =,1CD k =- 90AFC ∴∠= 即AB 与CD 垂直,代入公式有：244222121212ACBD a b S c a b k k =+++=139202椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）2.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A 、B 、C 、D.则有四边形ACBD 为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积：四边形面积32241222sin ACBD a b a b S λθλ+=[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++]证明: 如右图所示,有1F (-c,0),2(,0)F c ,并 且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有 AB: 1()y k x c =- CD ： 2()y k x c =+ . 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b +=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有： 2222222222()2()ak a c ab CD a k b ++=+ 1sin 2ACBDS AB CD θ∴==32241222sin a b a b λθλ+(θ为AB 与CD 的夹角)[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++].（2）推论A: 当12.1k k =-时,32222242222222212112()()21()()ACBD a b k a c c a b k S a k b a b k +++=++.B: 当120k k +=时,3222222411222212()()2sin ()ACBDa b k a c k c a b S a k b θ+++=+,并且有0A C B Dk k+=,0AD BC k k +=.2.3实例应用设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F (-1,0),2(1,0)F .右准线交x 轴x于点A,122AF AF =.过1F ,2F 分别作两条直线与椭圆相交于四个点D 、E 、M 、N.并且DE 与x 轴的夹角为4π.MN 与直线L 交于点G,并且有212AG AF =.求：（1）椭圆的标准方程.(2)四边形DMEN 的面积.解：（1）由于1F (-1,0),1c ∴=.又有A 2(,0)a c,2(1,0)F故有：221a AF c =- 同理211a AF c =+22212(1)3a aa c c∴+=-⇒=,22b = 所以椭圆的标准方程为：22132x y += (2)由于已知了DE与x轴的夹角为4π,故有1DE k =-,又221212AF AG AF =∴==,(3,1)G ∴ 所以有12MN k =设AN 与DE 的夹角为θ,32tan 132θ∴== 4πθ∴= ⇒sin θ=代入公式有：DMEN S =3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>中,1F ,2F 为其左右焦点,A 、B 为椭圆上任意的两点.则四边形12AF BF 称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形. 3.2性质（1）面积： 四边形的面积为122(tan tan)22AF BF S b αβ=+证明：由椭圆的定义可知道：212AF AF a +=（1）由余弦定理有：22212122cos 4AF AF AF AF c α+-=(2)由（1）与（2）122121sin tan 22AF F S AF AF b αα∴== 同理有: 122tan2BF F S b β=122(tantan)22AF BF S b αβ∴=+（α为1AF 与2AF 的夹角; β为BF 1与BF 2的夹角）.y（2）推论：当α与β互为补角时,有：12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥. 证明：当α与β互为补角时,22αβπαβπ++=⇒=,所以有：11tantan()cot tan 22222tan 2βπαααα-=-=== 将其代入面积公式中就有; 12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥,(当2παβ==时取到“=”).3.3实例应用已知F ,2F 为椭圆2216425x y +=的两个焦点,A 、B 为椭圆上任意的两个焦点,并且A ∠与B ∠为补角,求：(1)当12AF F S =,求12AF BF S 的值. (2)当12AF BF S 取得最小值时,A ∠与B ∠的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解：（1）由已知a=8,b=5,又122tan25tan 22AF F A A S b ∠∠===tan233A A π∠⇒=⇒∠=,并且A ∠与B ∠为补角,故有：23B π∠=所以有：12AF BF S =(2)由推论可以知道: 122(min)2502AF BF S b A B π==⇒∠=∠=参考资料：[1]董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值[M]数理化学习（高三）,2009,(3). [2]陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究[J]中学数学研究,2009,(4). [3]邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质[J]中学数学研究,2005,(6).[4]王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究[J]中学数学月刊,2010,(11).[5] 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似[J]中学数学研究,2011,(5).[6]马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质[J]中学数学研究,2011,(4).。