椭圆内接四边形面积的计算

椭圆内接四边形面积的计算及应用

昭通市巧家县第一中学 侯成顺

云南师范大学数学学院 朱维宗(教授）

摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形. 关键词： 椭圆；焦点； 面积

1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）

1.1定义：在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>中,AB,CD 为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形

ACBD 为椭圆内接焦点四边形. 1.2

性质：(1)四边形

ACB D

的面积24

1

2

2sin ACBD S a b λθ

λ=（其中22112(1)(1)k k λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++ ）.

证明：如右图所示,有2(,0)F c ,并且设AB,

CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有：AB: 1()y k x c =- CD ：2()y k x c =- 联立方程：

1()y k x c =-及

22

221(0)x y a b a b

+=>>2211222

2

12a k c

x x a k b

⇒+=+ 2211222212(1)

2()()

ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有：22222222(1)()ab k CD a k b +=+

故242212222222122(1)(1)1

sin sin 2()()

ACBD

a b k k S AB CD a k b a k b θθ++∴==++ （θ为AB 与CD 的夹角）, 令22222222112212(1)(1),()()k k a k b a k b λλ=++=++ 就有：24

1

2

2sin ACBD S a b λθ

λ= . （2）推论A: 当12.1k k =-时,.24

244222

22212

128()12ACBD a b a b S c a b a b k k =

≥++

++

B:当120k k +=时,2422

2222

2(1)()ACBD

a b k S a k b +=

+,并且有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=. 推论证明A ：当12.1k k =-时,说明AB, CD 相互垂直,有sin sin

12

π

θ==,212

21

k k =

,代入面F 2

D

C

A

B

θ

积公式就有

24

422212

1212ACBD a b S c a b k k =

-

++

,再利用均值不等式有

24

422212

1212ACBD a b S c a b k k =

-

++

24

222

8()a b a b ≥-.

B : 当120k k +=时, 有22

1

2k k =,代入就有2422

2222

2(1)()

ACBD

a b k S a k b +=-成立.以下证明0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.

证明：不妨把椭圆的方程化为22

1x y αβ+=(α与β不同是为零),已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,设A 、B 、C 、D 四个点的坐标为11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .直线AB 、DC 、AC 、BD 的斜率分别为AB k ,DC k ,AC k ,BD k .又点A 、C 在曲线C 上,22111x y αβ∴+=（1）及22331x y αβ+=（2）,用（2）带入（1）有1313()

()

AC x x k

y y αβ+=-

+,同理可得

2424()

()

BD x x k

y y αβ+=-

+.

已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,AC BD k k ∴=-,0AC BD k k +=

132413240y y y y x x x x --∴

+=--（3）及1324

1324

0y y y y x x x x +++=++（4）由这两个式子得：

1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++-+++= （5） 1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++= （6）

由（5）及（6）得到：

12213443x y x y x y x y +++=0 （7） 14233241x y x y x y x y +++=0（8）

同理有：1212()

()

AB x x k

y y αβ+=-

+ 3434()

()

DC x x k

y y αβ+=-

+

43211324314214233241214321431

[()()]()()

AB DC y y y y k k x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x x x x --∴+=

+=+++-+++----