基本初等函数几个题型解答
高中数学必修1基本初等函数常考题型几类不同增长的函数模型
几类不同增长的函数模型【知识梳理】指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝x a(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝n x(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝x a(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝n x(n>0)的增长x(a>1)的增长速度则会越来越慢．速度，而y＝loga因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有logx<n x<x a (a>1，n>0)．a【常考题型】题型一、函数模型的增长差异【例1】四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.[答案] y2【类题通法】常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝x a(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝nx (n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 【对点训练】今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01( ) A ．v ＝2log t B ．v ＝12log tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.题型二、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】 函数f(x)＝2x和g(x)＝x 3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g(x)＝x 3，C 2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10，∴x 1<6<x 2,2 011>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x<x 2时，f(x)<g(x)， ∴f(6)<g(6)．当x>x 2时，f(x)>g(x)，∴f(2 011)>g(2 011)．又g(2 011)>g(6)，∴f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)． 【类题通法】[由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．【对点训练】函数f(x)＝lg x ，g(x)＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g(x)＝0.3x －1，C 2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x 1时，g(x)>f(x)；当x 1<x<x 2时，f(x)>g(x)；当x>x 2时，g(x)>f(x)；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f(x)＝g(x).题型三、函数模型的选取【例3】 某汽车制造商在2013年初公告：公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012 产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？[解] 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)， 将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g(x)＝1253·65x⎛⎫ ⎪⎝⎭－42，故g(4)＝1253·465⎛⎫⎪⎝⎭－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． 【类题通法】不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．【对点训练】某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝5log x ，y ＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝5log x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝5log x的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝5log x 进行奖励才符合学校的要求．【练习反馈】1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x 解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C. 2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：则关于xA．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.3．若a>1，n>0，那么当x足够大时，x a，n x，log a x的大小关系是________．解析：∵a>1，n>0，∴函数y1＝x a，y2＝n x，y3＝log a x都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x足够大时，x a>n x>log a x.答案：x a>n x>log a x4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比x ln x增长的要快．答案：y＝x25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司最慷慨？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：。
第二章___基本初等函数
第二章 基本初等函数（I ）一、选择题1、 函数1log (54)x x y +=-的定义域是（ ）。
A 、 (1,0)-B 、 4(0,log 5)C 、 4(1,log 5)-D 、 4(1,0)(0,log 5)- 2、 函数log (2)1a y x =++的图象过定点（ ）。
A 、（1，2） B 、（2，1）C 、（-2，1）D 、（-1，1）3、 设2(log )2(0)x f x x =>，则(3)f 的值为（ ）。
A 、 128 B 、 256C 、 512D 、 84、25log ()5a -化简的结果是（ ）。
A 、-a B 、 2aC 、 |a |D 、 a5、 函数0.21x y -=+的反函数是（ ）。
A 、 5log 1y x =+B 、 5log (1)y x =-C 、 log 51x y =+D 、 5log 1y x =-6、 若231log a y x -=在（0，+∞）内为减函数，且x y a -=为增函数，则a 的取值范围是（ ）。
A 、 3(,1)3B 、 1(0,)3C 、 3(0,)3D 、 36(,)337、 设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（ ）。
A 、b ＜a ＜1B 、 a ＜b ＜1C 、 1＜b ＜aD 、 1＜a ＜b8、 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A 、 12xy =B 、 112xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C 、 1()12x y =-D 、 12x y =-9、 设偶函数()f x 在[0，π]上递减，下列三个数a =12(lg ),(),()10023f b f c f ππ==-的关系为（ )。
A 、 a ＞b ＞cB 、 b ＞a ＞cC 、 b ＞c ＞aD 、 c ＞a ＞b10、 已知0＜a ＜1，b ＞1，且ab ＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
基本初等函数练习题与答案
5.
1
3x 3x 3x 3x 3, x 1 1 3x
6.
x
|
x
1
,y
|
y
0,
且y
1
2x
1
0,
x
1
；
y
1
8 2 x 1
0, 且y
1
2
2
7. 奇函数 f (x) x2 lg(x x2 1) x2 lg(x x2 1) f (x)
84 411
212 222
212 (1 210 )
3. 2 原式 log2 5 2 log2 51 log2 5 2 log2 5 2
4. 0 (x 2)2 ( y 1)2 0, x 2且y 1， logx ( yx ) log2 (12 ) 0
4．若函数
f
(x)
1
m ax 1
是奇函数，则 m
为__________。
5．求值：
2
27 3
2log2 3
log2
1 8
2 lg(
3
5
3
5 ) __________。
三、解答题
1．解方程：（1） log4 (3 x) log0.25 (3 x) log4 (1 x) log0.25 (2x 1)
log a
(1
1 a
)
②
log a
(1
a)
log a
(1
1 a
)
③ a1a
三种基本初等函数
三种基本初等函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．无理指数幂指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.有理指数幂的运算性质（1）r a ·sr r aa += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rssr a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．（二）指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义；指数函数的图象和性质定义域值域单调性过定点 随堂练习 一．选择题：1．函数y=－e x 的图象（ ） A.与y =e x 的图象关于y 轴对称 B.与y =e x 的图象关于坐标原点对称C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称D.与y =e －x 的图象关于坐标原点对称 2．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）。
函数概念与基本初等函数题型归纳与习题含详解
(2)因为 f x ax2 bx c(a 0) 的图像上任意一点都不在直线 y＝x 的下方，取相同 x， 二次函数值总大于一次函数值，所以 f x x ，即 ax2 bx c x ，得 ax2 (b 1)x c 0 ，
对任意 x∈R 成立.
解析 f x 1 ＝ x 1 2 2 ,又 x 1 2 或 x 1 ―2,故 f x x2 2
x x
x
x
(x>2 或 x<―2) 评注 求函数解析式要注意定义域
变式 1
已知
f x 1 x
x2 1 x2
1 x
求
f x 的解析式
三、方程组法
例 2.7 已知函数 f x 满足： f x 2 f 1 3x x 0 ,求函数 f x 的解析式.
(2) y x 2 的定义域为{ x x 0 }; y x2 的定义域为 R，故该组的两个函数不是同一函
数；
(3)两个函数的定义域均为｛ x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数
故为同一函数的一组是（3）
评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什
(1) p : x 1, 2, x2 a 0 ；
(2) A N , B Z , f : x y (1)x ；
（3）A＝{x|是平面内的三角形}，B＝｛y|y 是平面内的圆｝，f:x→y 是 x 的外接圆； （4）设集合 A＝｛x|是平面内的圆｝，B＝｛y|y 是平面内的矩形｝，f:x→y 是 x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______ 变式 2 已知函数 y＝f(x),定义域为 A＝｛1,2,3,4｝值域为 C＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共 有多少个？
基本初等函数(含有详解答案)
基本初等函数一、单项选择1. 已知幂函数)(x f y =的图象经过点(2,2)，则=)4(f ( ) A.2 B.21 C.22 D.22 2. 下列式子正确的是( )A.2log 20=B.lg101=C.2510222⨯=122-=3. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于下列哪种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．原点中心对称4. 函数x e y -=的图象A.与x e y =的图象关于y 轴对称B.与x e y =的图象关于坐标原点对称C.与x e y -=的图象关于 y 轴对称D.与x e y -=的图象关于坐标原点对称5. 下列不等式中错误的是 （ ）A 、B 、C 、D 、2log 3log 22>>>6. 若函数f(x)＝log a (x ＋b)的大致图象如图所示，其中a ，b(a>0且a ≠1)为常数，则函数g(x)＝a x ＋b 的大致图象是( )7. 若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1、x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(1,3)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23)8. 设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2f x x x =-，则满足()1f x <的x 的集合为 （ ）A.(0,B. （0，+∞）C. ),16()2,0(+∞⋃D.),161(+∞ 9. 已知函数f(x)＝)x (log 12+，若f(α)＝1，则α＝( )A ．0B ．1C ．2D ．310. 设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2－2}，B ＝{x |y ＝log 2(3－x )}，则A )∩B 等于( )A ．[－2,3)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，3)D ．(－∞，－2)11. 函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为( ) A.(1,2)(2,3) B.(,1)(3,)-∞+∞C.(1,3)D.[1,3]12. 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min 的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为（ ）A ．220万B ．200万C ．180万D ．160万二、填空题13. 将一张厚度为0.04mm 的白纸对折至少 次(假设可能的话),其高度就可以超过珠穆朗玛峰的高度(8848m).14. 设530753801615625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________. 15. 已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。
基本初等函数测试题及答案
基本初等函数测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列各式： ①na n ＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③44333x y x y +=+; ④6－22＝3－2.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )3．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝－2x C ．y ＝ D ．y ＝x 12>4．三个数log 215，,2－1的大小关系是( )A ．log 215<<2－1B ．log 215<2－1<C ．<2－1<log 215 D ．<log 215<2－1 5．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x <0}，B ＝{y |y ＝log 2x }，则A ∩B ＝( ) A ．{y |y >0} B ．{y |y >1} C ．{y |0<y <1} D ．∅6．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P 且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q＝{x |1<x <3}，那么P －Q 等于( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3}7．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( ) A ．x >y >z B ．x >y >x C ．y >x >z D ．z >x >y 8．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )￥9．已知四个函数①y ＝f 1(x )；②y ＝f 2(x )；③y ＝f 3(x )；④y ＝f 4(x )的图象如下图：则下列不等式中可能成立的是( )A ．f 1(x 1＋x 2)＝f 1(x 1)＋f 1(x 2)B ．f 2(x 1＋x 2)＝f 2(x 1)＋f 2(x 2)C ．f 3(x 1＋x 2)＝f 3(x 1)＋f 3(x 2)D ．f 4(x 1＋x 2)＝f 4(x 1)＋f 4(x 2)10．设函数121()f x x =，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))等于( ) A ．2010 B ．2010211．函数f (x )＝3x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )\12．(2010·石家庄期末测试)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x <2，log 3x 2－1， x ≥2. 则f [f (2)]的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．给出下列四个命题：(1)奇函数的图象一定经过原点；(2)偶函数的图象一定经过原点； (3)函数y ＝lne x 是奇函数；(4)函数13y x =的图象关于原点成中心对称.其中正确命题序号为________．(将你认为正确的都填上) 14. 函数12log (4)y x =-的定义域是 .15．已知函数y ＝log a (x ＋b )的图象如下图所示，则a ＝________，b ＝________.￥16．(2008·上海高考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 2(ax ＋b )，若f (2)＝1，f (3)＝2，求f (5)．.18．(本小题满分12分)已知函数12()2f x x =-.(1)求f (x )的定义域；(2)证明f (x )在定义域内是减函数． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 20．(本小题满分12分)已知函数()223(1)mm f x m m x +-=--是幂函数, 且x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )，(a >1>b >0)． (1)求f (x )的定义域；…(2)若f (x )在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a ，b 满足的关系式． 22．(本小题满分12分)已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x . (1)求函数的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.*参考答案答案速查：1-5 BCDBC 6-10 BCACC 11-12 CC 1.解析：仅有②正确．答案：B2.解析：y ＝a |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥0，a －x ，x <0，且a >1，应选C.答案：C3.答案：D4.答案：B5.解析：A ＝{y |y ＝2x ，x <0}＝{y |0<y <1}，B ＝{y |y ＝log 2x }＝{y |y ∈R }，∴A ∩B ＝{y |0<y <1}．(答案：C6.解析：P ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，Q ＝{x |1<x <3}，∴P －Q ＝{x |0<x ≤1}，故选B.答案：B7.解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝12log a 6， z ＝log a 21－log a 3＝log a 7＝12log a 7. ∵0<a <1，∴12log a 5>12log a 6>12log a 7. 即y >x >z . 答案：C8.解析：作出函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象知，它们有3个交点，所以y ＝2x －x 2的图象与x 轴有3个交点，排除B 、C ，又当x <－1时，y <0，图象在x 轴下方，排除D.故选A.答案：A|9.解析：结合图象知，A 、B 、D 不成立，C 成立．答案：C 10.解析：依题意可得f 3(2010)＝20102，f 2(f 3(2010)) ＝f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2，∴f 1(f 2(f 3(2010)))＝f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010. 答案：C11.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >03x ＋1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1x >－13⇒－13<x <1. 答案： C12.解析：f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1，∴f [f (2)]＝f (1)＝2e 0＝2. 答案：C13.解析：(1)、(2)不正确，可举出反例，如y ＝1x ，y ＝x －2，它们的图象都不过原点．(3)中函数y ＝lne x ＝x ，显然是奇函数．对于(4)，y ＝x 13是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，所以(4)正确．答案：(3)(4)14.答案：(4,5]【15.解析：由图象过点(－2,0)，(0,2)知，log a (－2＋b )＝0，log a b ＝2，∴－2＋b ＝1，∴b＝3，a 2＝3，由a >0知a ＝ 3.∴a ＝3，b ＝3.答案：3 316.解析：根据题意画出f (x )的草图，由图象可知，f (x )>0的x 的取值范围是－1<x <0或x >1.答案：(－1,0)∪(1，＋∞)17.解：由f (2)＝1，f (3)＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ log 22a ＋b ＝1log 23a ＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝23a ＋b ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.∴f (x )＝log 2(2x －2)，∴f (5)＝log 28＝3. 18.·∵x 2>x 1≥0，∴x 2－x 1>0，x 2＋x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 2)<f (x 1)． 于是f (x )在定义域内是减函数． 19.解：(1)函数定义域为R .f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数．(2)证明：不妨设－∞<x 1<x 2<＋∞， ∴2x 2>2x 1.又因为f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－12x 2＋1－2x 1－12x 1＋1＝22x 2－2x 12x 1＋12x 2＋1>0，∴f (x 2)>f (x 1)．%所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 20.解：∵f (x )是幂函数， ∴m 2－m －1＝1， ∴m ＝－1或m ＝2， ∴f (x )＝x－3或f (x )＝x 3，而易知f (x )＝x －3在(0，＋∞)上为减函数，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )＝x 3.21.解：(1)由a x －b x >0，得⎝⎛⎭⎫a b x >1.∵a >1>b >0，∴ab >1，…∴x >0.即f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)∵f (x )在(1，＋∞)上递增且恒为正值， ∴f (x )>f (1)，只要f (1)≥0， 即lg(a －b )≥0，∴a －b ≥1.∴a ≥b ＋1为所求22.解：(1)由2x －1≠0得x ≠0，∴函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }．(2)在定义域内任取x ，则－x 一定在定义域内． f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12(－x )＝⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12(－x )＝－1＋2x 21－2x ·x ＝2x ＋122x －1·x .而f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12x ＝2x ＋122x －1·x ，∴f (－x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．(3)证明：当x >0时，2x >1，∴⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x >0. 又f (x )为偶函数， ∴当x <0时，f (x )>0. 故当x ∈R 且x ≠0时，f (x )>0.。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
高考数学中的基本初等函数题型总结
高考数学中的基本初等函数题型总结作为全国高中生的普及性质考试，高考中必定会考到数学这个科目，而其中初等函数部分则是数学中的基础知识。
初等函数常常出现在多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等高中知识点当中。
因此，对于考生来说，掌握初等函数的知识点，对高考数学考试及日后的数学学习都非常重要。
本文就高考数学中的基本初等函数题型进行总结。
1. 最值问题求函数的最值是很常见的一种初等函数题型。
以一些典型的例子为参考，可更好地掌握这类题型。
例1：已知$f(x)=x^2-2x+2$，求$f(x)$的最小值。
解：首先，把$f(x)$变形为完全平方的形式。
即$$f(x)=(x-1)^2+1$$显然，当$x=1$时，$(x-1)^2$取最小值$0$。
故$f(x)$在$x=1$时取得最小值$1$。
例2：已知$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+5$，求$f(x)$的最大值。
解：同样把$f(x)$变形为完全平方的形式。
即$$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}$$显然，当$x=3$时，$(x-3)^2$取最小值$0$。
故$f(x)$在$x=3$时取得最大值$\dfrac{1}{2}$。
2. 解方程解初等函数的方程是另一种常见的题型。
以下为几个典型的例子，例3：已知$y=2^x-x$，求$y=0$时的$x$的值。
解：根据方程可得$$2^x-x=0$$$$x=2^x$$把函数$y=2^x-x$作图，可以看出在$x=1$时交于$y=0$。
因此，方程的解为$x=1$。
例4：已知$y=\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2$，求$y=1$时$x$的值。
解：根据方程可得$$\dfrac{1}{2}\log_2(x-1)+2=1$$$$\log_2(x-1)=2$$$$x-1=2^2=4$$因此，方程的解为$x=5$。
3. 函数图像解题函数图像是初等函数题目中重要的一部分。
基本初等函数的题型归纳
基本初等函数的题型归纳题型一：指对数的运算1.若210,5100==b a ，则b a +2=…………………………………………2．指数函数y=a x 的图像经过点（2，16）则a 的值是3．若329log =x ，则x 等于 4.5log 2139-的值是 5. 若y x y x lg lg )2lg(2+=-，则x 、y 的关系是题型二： 指对数的图像1.图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是2.已知3.0log a 2=，3.02b =，2.03.0c =，则c b a ,,三者的大小关系是 题型三：求值1.已知（1）,32121=+-a a求221,--++a a a a 的值 7 ，47 2.(2)若32121=+-xx ，求23222323-+-+--x x x x 的值. 18题型四 求范围 1．指数函数(2)x y a =-在定义域内是减函数，则a 的取值范围是2．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .3．函数)x 2x (log y 221-=的单调递减区间是_________________．4．在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 。
题型五 反函数1.设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为 （ ）2、函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是（ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2－1，x ∈RC ．y =(x －1)2＋1，x ≤1D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f －1(4)等于（ ）A ．2B ．1－2C ．－2D ．2－函数与方程 零点题型一：零点的个数确定1、方程062=-+x x的实数解的个数有_______个. 2.已知定义在R 上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下部分对应值表： x1 2 3 4 5 6 f(x) 136.135 15.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.064可以看出函数至少有 个零点.题型二：零 点存在性定理的应用1. 函数2ln f x x x的零点所在的大致区间是 （ ）A.1,2B.2,3C. 3,4D.,e 2.关于x 的方程27+=x x 的解所在的区间是（ ）A.0（，1）B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)题型三：求参数的范围1.若一元二次方程2350x x a -+=的一根大于2-且小于0，另一根大于1而小于3，则实数a 取值范围 （ ）A ．()12,0-B ．15,14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．15,14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2.若关于x 的方程35+=a x 有根，则实数a 的取值范围是 ．3. 若关于x 的方程210x ax -+=在1(,3)2x ∈上有实数根，则实数a 的取值范围是 4.已知函数2()(1)43f x a x ax =++-.当0a >时，若方程()0f x =有一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是。
基本初等函数专题
第二章 基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用★知识网络★知识梳理 分数指数幂 根式如果),1(*∈>=N n n a x n ，那么x 称为a 的n 次实数方根； 式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数方根的性质：当n 为奇数时，n n a =a.当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a a a a2．分数指数幂（1）分数指数幂的意义:a nm=nm a ，anm -=nm a1=nm a 1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. （2）有理数指数幂的性质：),,0,0()(;)(;Q s R r b a b a ab a a a a a rr r rs s r s r s r ∈∈>>===⋅+二、指数函数的图像及性质的应用①指数函数的定义：一般地，函数y=ax （a ＞0且a≠1）叫做指数函数. ②指数函数的图像Oxy1a> ）1(0＜③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称. ④指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1. 当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.画指数函数y=ax （a ＞0且a≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x 轴 是其渐近线 ★重、难点突破重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质 难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题重难点：1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种： （1）利用单调性的定义（可以作差，也可以作商） （2）利用复合函数的单调性判断形如)(x f ay =的函数的单调性：若1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调增（减）区间；若10<<a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调减（增）区间；2. 指数函数的图像与性质(Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 （1）y=ax ，（2）y=bx ，（3）y=cx ，（4）y=dx 则b a d c <<<<<10在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.(Ⅱ) 指数函数的图像x a y =与)1,0(≠>=-a a a y x的图象关于y 轴对称 3.指数型的方程和不等式的解法 (Ⅰ)形如b a b a b ax f x f x f <>=)()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；(Ⅱ)形如02=++C Ba a xx 或)0(02≤≥++C Ba ax x的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。
基本初等函数题型总结
基本初等函数题型总结题型1 指数幂、指数、对数的相关计算【例1】 计算： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. （3）353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝⎛⎭⎫1252log .变式：1.计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27. (3)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.题型2指数与对数函数的概念【例1】（1）若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________．（2）指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．（3）函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．题型3 指数与对数函数的图象【例1】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d与1的大小关系是( ）A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c【例2】函数y ＝2x＋1的图象是( )【例3】函数y ＝|2x －2|的图象是( )【例4】直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．【例5】方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________．变式：1.如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的a 值依次为( )A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，352.函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(－2,1)D ．(－1,1)3.如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1 D ．b ＞a ＞14.函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35.函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )题型4指数与对数型函数的定义域、值域、单调性、奇偶性例 1函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为____________．2判断f (x )＝x -x ）（2231的单调性，并求其值域．3设0≤x ≤2，y ＝421-x －3·2x ＋5，试求该函数的最值．4求y ＝(log 21x )2－12log 21x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．变式：(1)函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(2)若f (x )＝1log 21(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 3.求下列函数的定义域与单调性．(1)y ＝log 2(x 2－4x －5)； (2)y ＝log 0.5(4x －3)4.讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性．5.函数f (x )＝|log 21x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞)6.已知x ∈[2.8]，求函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫log 2x 4·⎝⎛⎭⎫log 2x 2的最大值和最小值．7.已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值以及y 取最大值时x 的值．题型5 指数与对数基本性质的应用【例1】求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x .【例2】比较下列各组中两个值的大小：(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)；(3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3.变式：(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b3.设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则()A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c4.已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( ) A ．x ＞y ＞z B ．z ＞y ＞x C ．y ＞x ＞z D ．z ＞x ＞y5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞1，(4－a 2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)题型6 指数与对数函数的综合应用【例1】已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．2已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a ＞0，a ≠1，m ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)探究函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性．题型7方程的根与函数的零点【例1】已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]．(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？【例2】在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0. (1)f (x )有零点吗？(2)设g (x )＝f (x )＋k ，为了使方程g (x )＝0有且只有一个根，k 应该怎样限制？(3)当k ＝－1时，g (x )有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由．变式（1）若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________．（2）函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．(3)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )题型8 探究与创新【例1】(1)求2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1的值；(2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．【例2】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2)*(x －1)，x ∈R ，若方程f (x )＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是________．【巩固训练】1.化简(log 23)2－4log 23＋4＋log 213，得( ) A ．2 B ．2－2log 23 C ．－2 D ．2log 23－22.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C. f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数3.若函数f (x )＝ 2a -ax x 22+－1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．4.lg 5＋lg 20的值是________．5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________.。
基本初等函数综合复习
基本初等函数综合复习题型一 幂函数的定义及应用例1.已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．探究提升 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x ＋－，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．2.【江西省2014届高三新课程适合性考试文科数学】由幂函数n y x =的图像过点(8,2),则这个幂函数的定义域是（ ）A ．[0,)+∞B ．(,0)(0,)-∞+∞C ．(0,)+∞D ．R题型二 指数式与根式,对数式的化简,求值问题例2. 【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（文）】已知函数)241(log )(22x x x f -+=，则4(tan )(tan )55f f ππ+=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2变式训练：1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】求值：()70log 23log lg 25lg 472013++++-= .2. 【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数，则 . 题型三 基本初等函数的单调性问题例3.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】已知函数3,0()2,0x x a x f x a x --<⎧=⎨-≥⎩，（0a >且1a ≠）是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2(0,]3 B ．1(0,]3C ．(0,1)D ．(0,2]变式训练 1.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数),1,0(,,ln )(21ex x x x f ∈=且21x x <则下列结论准确的是( ) A ．0)]()()[(2121<--x f x f x x B ．2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 2log ,0,()2,0x x x f x x >⎧=⎨<⎩1()(2)4f f +-=C ．)()(1221x f x x f x >D ．)()(1122x f x x f x >2.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（ ）A ．B ．C ．D ． 3. 【江西省2014届高三新课程适合性考试文科数学】函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ） A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4 C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4 题型四 基本初等函数的奇偶性与周期性问题例4【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数)2cos()(ϕ+=x x f 满足)1()(f x f ≤对R x ∈恒成立，则( )A. 函数)1(+x f 一定是偶函数B.函数)1(-x f 一定是偶函数C. 函数)1(+x f 一定是奇函数D.函数)1(-x f 一定是奇函数变式训练1.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数①②③④，其中是奇函数的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④2.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为 （ ）A.1-B. 2-C. 2D.13.【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试文】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：∀x ∈R 恒有f (x +2)=f (x )－f (1)．且当x ∈［2，3］时，f (x )=－2(x －3)2．若函数y =f (x )－log a (x +1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，22）B ．（0，33）C ．（1，2）D ．（1，3）题型五 函数的零点问题例5.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（文）】函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） 0,+∞（）1y x -=2log y x =||y x =2y x =-cos y x x=2sin y x =2y x x =-x xy e e -=-A .0 B.1 C.2 D.3变式训练1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】定义在R 上的偶函数()f x ，满足(3)()f x f x +=，(2)0f =，则函数()y f x =在区间()0,6内零点的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．至少4个2.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】在下列区间中函数()24x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A.1(0,)2 B.1(,1)2 C.(1,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 3.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 题型六 函数的图象问题例6【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试文】象是 （ ）变式训练1.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】函数()f x 的图像如图所示，若函数()y f x c =-与x 轴有两个不同交点，则c 的取值范围是（ ）A ．(2,0.5)--B ．[2,0.5)--C ．(1.1,1.8)D ．[2,0.5)(1.1,1.8)--2.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则(2013)f ＋(2014)f ＝（ ）A 、3B 、2C 、1D 、03.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（文）】已知在函数（）的图象上有一点，该函数的图象与 x 轴、直线x ＝－1及 x ＝t 围成图形（如图阴影部分）的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为（ ）题型七 基本初等函数的函数值大小比较问题例7.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】下列大小关系正确的是( )A. 3log 34.044.03<< B. 4.03434.03log << C. 4.04333log 4.0<< D. 34.044.033log <<变式训练1.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】 设0.33log 3,2,log sin 6a b c ππ===，则（ ）A 、a b c >>B 、c a b >>C 、b a c >>D 、b c a >>2.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】设||y x =[1,1]x ∈-(,||)P tt0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2a b c d ====，则这四个数的大小关系是 （ ）A.a b c d <<<B.d c a b <<<C.b a c d <<<D.b a d c <<<题型八 基本初等函数的定义域,值域,取值范围问题例8 【吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试文】设函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ）变式训练1.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数32,0()2,04x a x f x x x x ⎧≤<=⎨-+≤≤⎩的值域是[8,1]-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[2,0)- C ．[2,1]-- D ．{2}-2.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数x a x f 2log )(-=的图象经过点A (1,1)，则不等式1)(>x f 的解集为______.3.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.4.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（文）】函数的定义域为 。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
题型专题八基本初等函数函数与方程
3．(2016·郑州质检)已知定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)的图象关 于直线 x＝1 对称，当 0<x≤1 时，f(x)＝log1x，则方程 f(x)－1＝0
2 在(0，6)内的所有根之和为( )
A．8 B．10 C．12 D．16
解析：选 C ∵奇函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即 f(x)＝ －f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)是周期函数，其周期 T ＝4.当 0<x≤1 时，f(x)＝log1x，故 f(x)在(0，6)
200－200＝1 000，当且仅当 x＝10x000，即 x＝100 时，L(x)取得最大值 1
000 万元．由于 950<1 000，∴当产量为 100 千件时，该工厂在这一产品
的生产中所获年利润最大，最大年利润为 1 000 万元．故选 B.
高考变的是题目，不变的是知识，交汇创新题只不过是载体的改变而已
能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是
() A．1 150 万元
B．1 000 万元
C．950 万元
D．900 万元
解析：选 B ∵每件产品的售价为 0.05 万元，∴x 千件产品的销售
额为 0.05×1 000x＝50x 万元．①当 0<x<80 时，年利润 L(x)＝50x－31x2
A．b<a<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
解析：选 D 1＝log33<a＝log37<log39＝2，b＝21.1>21＝2， c＝0.83.1<0.80＝1，所以 c<a<b.
6基本初等函数(含答案)
《函数》一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1.已知集合A ＝{x |x ＜3}，B ＝{x |2x －1＞1}，则A ∩B ＝ ( )A.{x |x ＞1}B.{x |x ＜3}C.{x |1＜x ＜3}D.∅2、已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，在同一坐标系下，函数y ＝f(x)的图像与直线x ＝1的交点个数为( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个或1个均有可能3设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．184.下列函数①y ＝|x|，x ∈(－3，2)，②y ＝x 2－，③y ＝，④y ＝中，偶函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,xy y x==B. 11,y x y+C.,y x y = D. 2||,y x y == 6.函数f (x )＝ln x －1x 的零点所在的区间是 ( )A.(0,1)B.(1，e)C.(e,3)D.(3，＋∞) 7.已知f＋1)＝x ＋1，则f(x)的解析式为（ ）A ．x 2B ．x 2＋1(x ≥1)C ．x 2－2x ＋2(x ≥1)D ．x 2－2x(x ≥1) 8.一等腰三角形的周长是20，底边y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）A .y =20-2x (x ≤10)B .y =20-2x (x ＜10)C .y =20-2x (5≤x ≤10)D .y =20-2x (5＜x ＜10)9.函数的递减区间是（ ）A ．(－3，－1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－3)D ．(－1，－∞) 10.若函数f(x)＝是奇函数，则m 的值是（ ）A ．0B ．C ．1D ．211.已知f (x )＝314<1log 1.aa x a x x x -+⎧⎨⎩（），，≥是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ( )A.(0,1)B.(0，13)C.[17，13)D.[17，1)12.定义在R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14x )＜0的x 的集合为( )A.(－∞，12)∪(2，＋∞)B.(12，1)∪(1,2)C.(12，1)∪(2，＋∞)D.(0，12)∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.若1122(1)(32)a a --+<-，则a 的取值范围是________．14、若30.530.5,3,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是15、函数()22231mm y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 .16.已知函数f (x )＝22log >0,1(0)xx x x -⎧⎪⎨-⎪⎩（）≤则不等式f (x )＞0的解集为 三、解答题(共5个大题，17,18各10分，19,20,21各12分，共56分)17、求下列表达式的值 （1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（a>0,b>0） （2）21lg 4932-34lg 8+lg 245.18、 求下列函数的值域：(1)y=x-x 21- (2) y=521+-xx19．已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.20.某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.21、已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，求a 的取值范《函数》1-5CBABC 6-10 BCDAD 11-12 CD13、23(,)3214、 b a c >> 15、 2 16、（-1，1）17、（1）原式=.1006531216121316561311131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a ba ba b a b a（2）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.18.解：（1）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t --21（t+1）2+1≤21（t≥0）∴y∈（-∞，21］（2） (分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-2119、解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数， ∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6}, 20、解 设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元， 进货总额为8（100-10x ）元， 显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y =（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x )=(2+x )(100-10x )=-10(x -4)2+360 (0≤x ＜10). 当x =4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元. 21、解：设()f x 的最小值为()g a（1）当22a-<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2) 当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4 故－7≤a ＜－4 综上，得－7≤a ≤2。
高频考点之基本初等函数及性质题型归纳
基本初等函数及性质题型归纳一、零点存在性问题解题思想：①.<0；②f(x)在（a,b ）上连续不断。
则f(x)在（a,b ）上有零点。
例1．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（）A．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B．12,23⎛⎫⎪⎝⎭C．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭练习：1.(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为()A.2 B.3 C.4 D.52.在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋3x －4的零点所在的区间为()A.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.312⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、初等函数例2．（2021·四川省绵阳第一中学一模（文））函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；练习：（2021·广东·湛江二十一中高三阶段练习）若函数()25log 212a f x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有最大值，则a的取值范围为（）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C．21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭D．()1,2三、函数性质例3．（2022·北京密云·高三期末）下列函数中，既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（）A．cos y x =B．211y x =+C．22x x y -=-D．ln y x=练习：2.（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x a x a f x =+++，则()2f -=（）A．﹣2B．2C．﹣6D．62．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知函数()2f x +是R 上的偶函数，且()f x 在[)2,+∞上恒有()()()1212120f x f x x x x x -<≠-，则不等式()()ln 1f x f >的解集为（）A．()()3,e e ,∞∞-⋃+B．1,e 2C．()3e,eD．()e,∞+3．（2022·海南·模拟预测）若函数22,,()4,x x m f x x x x m-⎧=⎨+>⎩ 是定义在R 上的增函数，则实数m 的取值范围是（）A．(,2]-∞-B．[1,)-+∞C．(]{},21∞--⋃-D．{}[)21,∞-⋃-+四、函数零点问题解题思路：①分参法；②换元法；③分类讨论法；④初等函数图像交点法例4．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））已知函数()()()24,532,3x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()log a g x f x x =-有9个零点，则实数a 的取值范围为（）A．()5,7B．(]5,7C．(]9,11D．()9,11练习：1．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（文））已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（）.A．1B．2C．3D．42.（2022·安徽淮北·一模（文））已知函数()2ln ,12,1x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A．3242ln2,e 1⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．3242ln2,e 1⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C．323,e 1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．323,e 1⎡⎫-⎪⎢⎣⎭五、函数图像问题解题思路：①看定义域；②奇偶性；③赋值法例5．（2022·山东菏泽·高三期末）已知函数()2e e 2x xf x x x --=+-的图象可能为（）A．B．C．D．六、抽象函数的性质例6．（2022·安徽淮北·一模（理））已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为奇函数，()21f x +为偶函数，则（）A．()20f -=B．()10f -=C．()10f =D．()30f =练习：（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（）A．181-B．127-C．19-D．13-七、比较大小解题思想：①指数、对数、幂函数的基本性质；②构造函数；③作出函数图像例8．（2022·辽宁丹东·高三期末）设345log 5,log 9,log 7a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b<<练习：1．（2021·安徽·泾县中学高三阶段练习（文））已知11231111,,log 23ea b c π-⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a<<2.（2022·广东茂名·一模）已知,,x y z 均为大于0的实数，且523log x yz ==，则,,x y z 大小关系正确的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>3．（2022·江西赣州·高三期末（理））实数a ，b ，c 满足22,ln e,33+=+=+=a c a b b c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<4.（2022·江西上饶·一模（理））设150a =，ln 7100b =，512ln 50c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<八、函数综合问题解题思想：数形结合思想；分类讨论思想；函数思想等。
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返回 已知函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17， (1)求函数的定义域及值域；
(2)确定函数的单调区间．
[提示] 求值域时，要先求x 2－6x ＋17的值域，再利用指数函数的图像进行求解．确定单调区间可先分解成y ＝(12)u ，u ＝x 2－6x ＋17，分别研究这两个函数的单调性，再按照复合函数的单调性写出函数的单调区间．
返回[解] (1)设μ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝(12
)μ及μ＝x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17的定义域为R.
因为μ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以(12)μ≤(12
)8，又(12)μ>0，故函数的值域为(0，1256]． 返回(2)函数μ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意x 1、x 2∈[3，＋∞)且x 1<x 2，有μ1<μ2，从而(12)μ1>(12
)μ2，即y 1>y 2，所以函数y ＝(12
)x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数，同理可知y ＝(12)x 2－6x ＋17在(－∞，3)上是增函数．
返回
在本例中，把“12
”改为“a ”，a >0且a ≠1，讨论f (x )＝a x 2－6x ＋17的单调性． 解：设u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8，则当x ≥3时，u 是增函数，当x <3时，u 是减函数．
又因为当a >1时，y ＝a u 是增函数，
当0<a <1时，y ＝a u 是减函数，
所以当a >1时，原函数f (x )＝a x 2－6x ＋17在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．
当0<a <1时，原函数f (x )＝a x 2－6x ＋17在(－∞，3)上是增
函数，在(3，＋∞)上是减函数．
例题：设a ＞0，且a ≠1，如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值为14，求a 的值．
[错解]∵y ＝(ax ＋1)2－2.又∵y 在[－1,1]上单调递增．∴x ＝1时，y 取得最大值．∴a 2＋2a －1＝14，即a 2＋2a －15＝0，∴a ＝3或a ＝－5(舍去)．∴a ＝3. [错因] 错解的原因是将a x 当成了x ，从而错误地判断了y 在[－1,1]的增减性．
[正解] 设t ＝a x ，若a ＞1，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a ，a ， 若0＜a ＜1，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a ，1a ， ∵y ＝(t ＋1)2－2，它关于t 在(－1，＋∞)上单调递增． ∴当a ＞1时，y 在t ＝a 处取得最大值，
∴a 2＋2a －1＝14，∴a ＝3.
当0＜a ＜1时，y 在t ＝1a 处取得最大值，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a 2＋2a －1＝14，∴a ＝13. ∴a ＝3或a ＝13.
1.已知函数f （x ）=|2x -1|的图象与直线y=a 有两个公共点，求a 的取值范围 解：f （x ）=|2x -1|的图象如下图所示：由图可知：当0＜a ＜1时，函数f （x ）=|2x -1|的图象与直线y=a 有两个公共点，故答案为：（0，1）
2.直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(2
1)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，求这四点从上到下的排列次序
解：根据在第一象限内，底数越大指数函数的图象越靠近y 轴，在一个坐标系中画出函数y=(1
／3)x ，y=(1／2)x ，y=2x ，y=10x 的图象如下图：由图象得，这四个点从上到下的排列次序是：
D 、C 、B 、A ．
3.若直线y=3a 与函数y=|a x -1|(a ＞0,且a ≠1)的图像有两个公共点，求a 的取值范围
○
1如果a>1，则x<0时的图像在直线y=1的下方， 以y=1为渐近线向左伸展. 直线y=2a 在直线y=1的上方，与x<0时的图像无交点， 与x>0时的图像只有1个交点，与题意不符。
○
2如果0<a<1，则x>0时的图像在直线y=0和y=1之间， 以y=1为渐近线向右伸展. 当且仅当0<a<1/3时，直线y=3a 在直线y=0和y=1之间， 与x>0时的图像有1个交点； 与x<0时的图像也有1个交点。
与图像共有2个交点，与题意相符。
所以a 的取值范围为0<a<1/3
4.已知函数y=4x -3•2x +3，当其值域为[1，7]时，求x 的取值范围
解：令t=2x ，可得y=4x -3•2x +3=t 2-3t+3，（t ＞0）∵函数的值域为[1，7]，∴解不等式1≤t 2-3t+3≤7，可得t 2-3t+2≥0，t 2-3t-4≤0，解此不等式组，得0＜t ≤1或2≤t ≤4，∴0＜2x ≤1或2≤2x ≤4，即0＜2x ≤20或21≤2x ≤22，因此，x 的取值范围是（-∞，0]∪[1，2]，故答案为：（-∞，0]∪[1，2]
5.已知函数2431()()3
ax x f x -+=.(1)若1a =-，求f （x ）的单调区间；(2)若f （x ）有最大值3，求a 的值．(3)若f （x ）的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围
○
1a=-1；f(x)=(1/3)^(-x²-4x+3)；∵函数y=-x²-4x+3对称轴为x=-2，开口向下；∴函数y=-x²-4x+3在(-∞，-2)单调递增，在[-2，+∞)上单调递减；又∵函数y=(1/3)^x 在R 上单调递减；∴据复合函数单调性，得f(x)在(-∞，-2)单调递减，在[-2，+∞)上单调递增；
○
2∵f(x)有最大值3；∴根据上面的复合函数单调性有：函数y=ax²-4x+3有最小值 - 1；∴顶点纵坐标为(12a - 16)/(4a) = -1；∴a=1；
6.甲、乙两车同时沿某公路从A 地驶往300km 外的B 地，甲车先以75km/h 的速度行驶，在到达AB 中点C 处停留2h 后，再以100km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以速度vkm/h 行驶.（1）请将甲车离A 地路程x （km ）表示为离开A 地时间t(h)的函数；（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括AB 两地），试确定乙车行驶速度vkm/h 的取值范围
解：（1）由题意可知，甲车离A 地路程x(km)关于离开A 地时间t(h)的函数为：
｛75t ， （0≤t<2）
x= ｛150， （2≤t≤4）
｛75t-150，（4<t≤6）
（2）由题意可知v<75 km/h ，若两车在途中恰好相遇两次，那么：
第一次相遇应该在甲车到达中点C 处停留的两个小时内的第a 小时的时候发生，
此时有va=150即v=150/a ，且2<a≤4 则1/4≤1/a<1/2所以75/2≤v<75
而第二次相遇则是甲车到达中点C 处停留两小时后重新上路赶上乙车，
设这次相遇发生在第b 小时，有：
vb=75b-150，即v=75-150/b 且4<b<6，则1/6<1/b<1/4即－1/4<－1/b<－1/6
也就是-75/2<-150/b<-25， 所以75/2<75-150/b<50
综上所述乙车行驶速度vkm/h 的取值范围为：75/2<v<50 (单位：km/h)。