2013年北京大学保送生考试数学试题详解

2013年北京大学保送生考试数学试题
【第1题】
ABC ∆内点M 满足100CMB ∠=︒，线段BM 的中垂线交边AB 于P ，线段CM 的中垂线交边AC 于Q ，已知：P 、M 、Q 三点共线，求CAB ∠.
【第2题】
正数 ,,a b c 满足a b c <+，求证：111a b c
a b c
<+
+++.
【第3题】
是否存在两两不同的实数,,a b c ，使直角坐标系中的三条直线,,y ax b y bx c y cx a =+=+=+共点.
【第4题】 对{}1,2,
9的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.
【第5题】
在一个20132013⨯的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.
2013年北京大学保送生考试数学试题详解
【第1题】
ABC
∆内点M满足100
CMB
∠=︒，线段BM的中垂线交边AB于P，线段CM的中垂线交边AC于Q，已知：P、M、Q三点共线，求CAB
∠.
解：如图.
18080
PBM QCM PMB QMC BMC
∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒
18080
MBC MCB BMC
∠+∠=︒-∠=︒
于是())()160,20
ABC ACB PBM QCM MBC MCB BAC
∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒∠=︒
【第2题】
正数,,
a b c满足a b c
<+，求证：
111
a b c
a b c
<+
+++
.
解：
11
11
111111
11
a b c b c b c
a b c b c b c b c
a b c
+
=<==+<+
+++++++++
++
+
因此原不等式得证.
【第3题】
是否存在两两不同的实数,,
a b c，使直角坐标系中的三条直线,,
y ax b y bx c y cx a
=+=+=+共点.
解：原问题即方程组ax b bx c cx a
+=+=+有解(,,,)
a b c x，其中,,
a b c两两不同.
c b a c
ax b bx c cx a x
a b b c
--
+=+=+⇔==
--
整理
c b a c
a b b c
--
=
--
，得222
a b c ab bc ca
++=++，与,,
a b c两两不同矛盾.
于是不存在符合题意的实数对(,,)
a b c.
【第4题】 对{}1,2,
9的某非空子集，若其中所有元素的和为奇数，则称为奇子集，问奇子集的个数.
解：设{}{}1,3,5,7,9,2,4,6,8M N ==，则奇子集由M 中的1个、3个或5个元素以及N 中的任意个元
素组成.因此奇子集共有1354
555()2256C C C ++⋅=个.
【第5题】
在一个20132013⨯的正数数表中，每行都成等差数列，每列平方后都成等差，求证：左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.
解：下面证明对n n ⨯的数表，*
3,,n n n ≥∈N 是奇数，命题均成立.
于是=
()()2
2
2222a b c d a c b d ⇔+++=++++
()()()2
2222ab cd a c b d ⇔+=++
22222abcd b c a d ⇔=+
ad bc ⇔=
因此命题成立.。