运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)

第4章运输问题

一、判断题

1．运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而其求解结果也可能出现四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。（）[北京交通大学2010研]【答案】×

【解析】运输问题是一种特殊的线性规划模型，它总存在可行解，或存在惟一最优解，或有无穷最优解。

2．运输问题按照最小元素法给出的初始基可行解，从每一空格出发可以找出且仅能找出惟一的闭合回路。（）[南京航空航天大学2011研]

【答案】√

【解析】从每一空格出发一定存在和可以找到惟一的闭回路。因（m+n-1）个数字格（基变量）对应的系数向量是一个基。任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线性组合。而这些向量构成了闭回路。

二、选择题

1．在产销平衡运输问题中，设产地有m个，销地有n个。如果用最小元素法求最优解，那么基变量的个数为（）。[暨南大学2011研]

A．不能大于（m+n-1）

B．不能小于（m+n-1）

C．等于（m+n-1）

D．不确定

【答案】A

【解析】在运输问题中，其自变量的个数是m×n，约束方程有m+n个，但是对于产销平衡问题，有以下关系式存在：。故，模型最多只有m+n-1个独立方程，由此得运输问题最多有m+n-1个基变量。当出现退化解时，基变量小于m+n-1个。

2．运输问题中，m+n-1个变量构成基本可解的充要条件是它不含（）。[深圳大学2006研]

A．松弛变量

B．多余变量

C．闭回路

D．圈

【答案】C

【解析】位于闭回路上的一组变量，它们对应的运输问题约束条件的系数列向量线性相关，因而在运输问题基可行解的迭代过程中，不允许出现全部顶点由填有数字的格构成的闭回路。也就是说，在确定运输问题的基可行解时，除要求基变量的个数为（m+n-1）外，还要求运输表中填有数字的格不构成闭回路。

三、填空题

1．运输问题任一基可行解非零分量的个数的条件是:______。

111111

()()

n m n n m m

j ij ij i

j i j j i i

b x x a

======

===

∑∑∑∑∑∑

【答案】小于等于行数+列数-1

【解析】任意运输问题的基可行解可变量个数为：行数+列数-1。然而基变量也可能等于0，所以运输问题任一基可行解非零分量的个数小于等于行数+列数-1。

2．如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案是否会发生变化：______。[武汉大学2006研]

【答案】不发生变化

【解析】如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，最优调运方案中各变量的检验数均不发生变化，所以最优调运方案不发生变化。

四、简答题

1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解？当出现退化解时如何处理？

答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。

当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的一行或一列中的某个格中填入数字0，表示这个格中的变量是取值为0的基变量，使迭代过程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。

2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案是否发生变化，试说明理由（用表或直接用公式）；[武汉大学2007研]

答：最优方案不会发生变化。因为在计算任意空格的检验数时，若其通过变化行的一个

基格，则其必经过两个基格，则，∴最优方案不发生变化。

五、计算题

1．甲、乙、丙三个铁矿石开采基地向A、B、C、D四个工厂供应原料，各供应地的供应量（万吨），各需求地需求量（万吨）和相互之间的运价（百万元/万吨）如表4-1所示。由于外在的原因，工厂D的原料只能由铁矿石开采基地丙来供应。请求解满足这一要求的最优调运方案，要求采用最小元素法建立初始调运方案，采用位势法进行方案检验。[北京交通大学2011研]

表4-1

解：该问题属于运输平衡问题。因为工厂D的原料只能由铁矿石开采基地丙来供应，所以这里规定甲、乙和D之间的运价为M，M

表示足够大的正数。

采用最小元素法得初始调运方案如表4-2所示：（因为基格个数=7-1=6个，故在一空格中填入0）

表4-2

σσαασ

'=−∆+∆=

丙

用位势法检验得各空格的检验数（括号内）如表4-3所示：

表4-3

在初始方案中，存在两个非基变量的检验数小于0，所以该方案不是此问题的最优方案，需进行进一步调整。

利用闭回路法进行解的改进。

在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表4-4所示：

表4-4

用位势法再对上述改进解进行检验，计算出各空格的检验数如表4-5所示：

表4-5

从上述计算可得，所有非基变量的检验数均大于0，所以该改进方案就是最优方案。

2．某运输问题的一个运输方案如表4-6所示。格子右上角的黑体数字为相应供需方之间的运价，右下角的斜体数字为相应的运输量。

表4-6