14-第十四章-三角形-七年级(下)-知识点汇总-沪教版

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沪教版(上海)数学七年级下册-14.2 三角形的内角和教案

课时教学方案
问题1 观察：三个内角拼成了一个什么角？
问题2 此实验给我们一个什么启示？
学生进行探究，小组合作交流，班级展示各种说理验证的方法. 体会合作的重要性，提高表达能力和交流的能力；学生采用多种方法进行尝试说理，在说理过程中体会化归思想
6ˊ（五）性
质获取
1.三角形内角和性质定理：三角形的
内角和等于180°
2.介绍三角形内角和性质发现历史，
进行人文教育
3.加深认识：
（1）判断下列各组角度的角是否是同
一个三角形的内角？
⑴ 80°、95°、5°；⑵
60°、20°、90°；
（2）一个三角形最多有几个锐角？几
个直角？几个钝角？为什么？
学生利用三角形内
角和性质定理：三
角形的内角和等于
180°，进行计算
运用新知，进
行解答
20ˊ（六）性
质运用
例1 在⊿ABC中，已知∠B=35°，∠
C=55°，求∠A的度数，并判断
⊿ABC的类型.
练习在⊿ABC中，已知∠A：∠B：
∠C=1：2：3，求∠A的度数.
例2 在等腰⊿ABC中，已知∠
A=80°，AB=AC,角平分线BF、
CE相交于点O，求∠BOC的度数.
变式练习1：
在⊿ABC中，已知角平分线BF、CE相
学生运用各种方式
进行解答
通过例题引
导学生运用
三角形的内
角和性质进
行计算、判
断，体验用方
程思想解决
几何问题，在
解题过程中
尝试严谨的
演绎推理。

沪教版(上海)-初中数学七年级、八年级、九年级数学全册章节知识点结构思维导图集

第二十五章锐角三角比的章节知识点结构思维导图
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第二十六章二次函数的章节知识点结构思维导图第二十七章圆与正多边形的章节知识点结构思维导图
- 15 -
第二十八章统计初步的章节知识点结构思维导图
- 16 -
-7-
第十四章三角形的章节知识点结构思维导图第十五章平面直角坐标系的章节知识点结构思维导图
-8-
上海市（沪教版）八年级数学全册章节思维导图共八个章节
第十六章二次根式的章节知识点结构思维导图
-9-
第十七章一元二次方程的章节知识点结构思维导图
- 10 -
第十八章正比例函数和反比例函数的章节知识点结构思维导图第十九章几何证明的章节知识点结构思维导图
-3-
第七章线段与角的画法的章节知识点结构思维导图第八章长方体的再认识的章节知识点结构思维导图
-4-
上海市（沪教版）七年级数学全册章节思维导图共七章
第九章整式的章节知识点结构思维导图
-5-
第十章分式的章节知识点结构思维导图第十一章图形的运动的章节知识点结构思维导图
-6-
第十二章实数的章节知识点结构思维导图第十三章相交线平行线的章节知识点结构思维导图
- 11 -
第二十章一次函数的章节知识点结构思维导图第二十一章代数方程的章节知识点结构思维导图
- 12 -
第二十二章四边形的章节知识点结构思维导图第二十三章概率初步的章节知识点结构思维导图
- 13 -
上海市（沪教版）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年级数学全册章节思维导图共五章
第二十四章相似三角形的章节知识点结构思维导图
上海市（沪教版）初中数学全册思维导图集共二十八章

沪教版(上海)七年级第二学期第十四章三角形——吃透全等基础知识点+题型巩固35题(含答案)

全等三角形知识框架：知识精讲：全等图形：能够完全重合的两个图形。

形状完全相同，大小相等。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等。

全等三角形的周长相等，全等三角形的面积也相等。

注意事项：一、全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时关键是寻找对应角和对应边。

二、正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念。

一般地：对应边、对应角针对全等三角形，对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角。

例如：如图，△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C 和点F是对应顶点；AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角。

三、表示两个角全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；也就是题中出现两个三角形全等我们就可以利用对应的字母寻找对应角以及对应边。

“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对应角对应相等”的两个三角形不一定全等；四、时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”。

全等交换：全等变换是指只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.如图①，把△ABC沿直线BC移动线段BC的距离,可以变到△ECD的位置;如图②,以直线BC 为轴把△ABC翻折，可以变到△DBC的位置；如图③，以点A以点为中心把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置.像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的图形变换叫做全等变换.在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素.以上三种全等变换分别叫做平移变换、翻折变换和旋转变化.例题：如图，△ABC和△DEF全等，问经过怎样的图形变换，可使这两个三角形重合？分析：解法一:先将△DEF沿着CB方向平移，使点E与点B重合（此时点F与点C重合)，再将移动后的△DEF沿着直线BC翻折，此时△DEF与△ABC重合解法二：先把△DEF沿直线以EF翻折，再把翻折后的△DEF沿着CB方向平移，使点E与点B重合，则△DEF与△ABC重合.经典题型：判定两个三角形全等的条件：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）在△ABC和△A′B′C′中AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）例题：1、已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AC=DF,AB=DF,BE=CF.求证：AC∥DF.分析：∵BE=CF∴BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DEBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）∴∠ACB=∠F∴AC∥DF.2、已知，如图，A、C、F、D在同一直线上，AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证：△ABC≌△DEF.分析：∵AF=DC∴AF-CF=DC-CF,即AC=DF在△ABC和△DEF中AC=DFAB=DEBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）3、如图，AB＝CD,AE＝DF,CE＝FB,求证：∠BAE＝∠CDF.分析：∵CE=BF,∴CE+EF=BF+EF,即CF=BE.在△ABE和△DCF中AB=DCAE=DFBE=CF∴△ABE≌△DCF(SSS).∴∠BAE=∠CDF（全等三角形的对应角相等）.判定两个三角形全等的条件：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）运用“SAS”证明三角形全等时，一定要找准对应相等的边、角，要注意隐含的等角，如等角、公共角、对顶角、角平分线等；在书写“SAS”的格式时，要按照“SAS”的顺序书写，以表明三个元素的位置关系；“SSA”不能证明两个三角形全等.在△ABC和△A′B′C′中AB=A′B′∠A=∠A′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）例题：1、如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC,∠DAB=∠CBA,求证：AC=BD分析：在△ADB和△BAC中AD=BC∠DAB=∠CBAAB=BA∴△ADB≌△BCA(SAS)∴BD=AC2、如图，点A、B、C、D在同一直线上，CE∥DF,AC=DF,CE=BD,求证：∠A=∠F.分析：∵CE∥DF∴∠ACE=∠D在△ACE和△FDB中AC=FD∠ACE=∠DCE=DB∴△ACE≌△FDB（SAS）∴∠A=∠F.3、如图，AB=AD,AC平分∠BAD,求证：△ABC≌△ADC.分析：∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC.在△ABC和△ADC中AB=AD∠BAC=∠DACAC=AC∴△ABC≌△ADC(SAS).判定两个三角形全等的条件：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′BC=B′C′∠C=∠C′∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）例题：1、已知，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC,EF⊥AB于点D.求证AB=FE分析：∵EF⊥AB于点D,∴∠ADE=90°∴∠1+∠2=90°又∵∠C=90°∴∠1+∠B=90°∴∠B=∠2在△ABC和△FEA和∠B=∠2BC=AE∠C=∠FAE∴△ABC≌△FEA(ASA)∴AB=FE2、如图，已知EC =AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求证：BC=DC.分析：由已知条件求得∠BCA=∠DCE，再利用“ASA”判定△BCA≌△DCE，即可得证．证明∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE= ∠DCA+∠ACE，即∠BCA=∠DCE.又∵AC=EC，∠A=∠E，∴△BCA≌△DCE(ASA)．∴BC =DC.判定两个三角形全等的条件：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）“AAS”是由“ASA”推导得出的，将两者结合起来可知：两个三角形如果其备两个角和一条边对应相等，就可判定其全等．在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′∠C=∠C′AB=A′B′∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）例题：1、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D,求证：OC=OD.分析：在△ABC于△BAD中∠1=∠2∠C=∠DAB=BA∴△ABC≌△BAD（AAS）∴AD=BC∵∠1=∠2∴AO=BO∴AD-AO=BC-BO即OC=OD.2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E,BF∥AC交CE的延长线于点F.求证：AC=2BF.分析：∵BF∥AC∴∠F=∠FCA∵Rt△ACD中，CE⊥AD∴∠BCF+∠F=90°，∠BCF+∠ADC=90°∴∠F=∠ADC在△ACD和△CBF中∠ACD=∠CBF=90°∠F=∠ADCAC=BC∴△ACD ≌△CBF (AAS )∴CD =BF∵D 为BC 中点∴CD =BD∴BF =CD =BD =12BC =12AC则AC =2BF判定两个直角三角形全等的方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边与直角边”或“HL ”）在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中AB =A ′B ′BC =B ′C ′∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′（HL ）例题：1、如图，已知AB ⊥BD ,AB ∥ED ,AB =ED ,要说明△ABC ≌△EDC ,若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为？若添加条件AC =EC .则可以用-----公理（或定理）判定全等。

沪教版(五四制)七年级下册第十四章：三角形的相关概念与性质学案

三角形的相关概念与性质【知识要点】一、三角形的有关线段1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结组成的图形叫做三角形。

顶点是的三角形，记“ABC ∆”，读作“三角形”。

的三边有时也用来表示。

2.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3.在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

联结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

二、三角形的分类三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（1）按角分类如下：（2）按边分类如下三、三角形的内角和 1.三角形的内角和等于180°。

2.三角形一个内角的邻补角叫做三角形的外角。

3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

4.三角形的外角和等于360°。

【典型例题】例1 下列各组分别表示三条线段的长度，判断以这些线段为边是否能组成三角形。

⑴3，5，2 ⑵()3,4,50k k k k > ⑶，，⑷，，例2 （1）在ABC ∆中，已知：12=a cm ，18=b cm 则第三边c 的取值范围是。

（2）一个三角形的两边分别为13cm 和19cm ，则其最短边x 的取值范围是。

（3）等腰三角形一边为3cm ，另一边为7cm ，则其周长为。

（4）如果等腰三角形的一边长为8cm ，另一边长为6cm ，则第三边的长。

（5）在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C = 2∶3∶5，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．例3 （1）如图（1），F 、E 分别为BD 、BC 上的点，DAF BAF ∠=∠，D 为AC 边的中点。

AF 是哪个三角形的角平分线？（2）如图（2）线段AE 是哪个三角形的角平分线？ AC 边上的中线是哪条线段？① AD 是ABC ∆的角平分线，则∠ =∠ =21∠ ；② AE 是ABC ∆的中线，则 = =21；⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形 AB DF E 图（1）③若AF 是ABC ∆的高，则∠ =∠ = 90。

1沪教版初一下册.全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.【答案与解析】对应边：AN与AM，BN与CM对应角：∠BAN与∠CAM，∠ANB与∠AMC【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质【高清课堂：379108 全等三角形的概念和性质例13】3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB的对应边为DE，∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB—∠ACE=∠DCE—∠ACE，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是____________.【答案】70°；提示：＝∠＝90°－20°＝70°.。

2021-2022学年度沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形必考点解析练习题(无超纲)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A ．3，4，7B ．3，4，8C ．3，4，5D ．3，3，72、如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④3、已知三角形的两边长分别为2cm 和3cm ，则第三边长可能是（）A ．6cmB ．5cmC ．3cmD ．1cm4、下列命题是真命题的是（）A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在ABC 中，2A B C ∠=∠=∠，则ABC 为直角三角形5、如图，若ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，则1AB B ∠=（）．A ．40°B ．50°C ．70°D ．1006、下列叙述正确的是（）A ．三角形的外角大于它的内角B ．三角形的外角都比锐角大C ．三角形的内角没有小于60°的D ．三角形中可以有三个内角都是锐角7、如图，在ABC 中，5AB =，8BC =，60B ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．68、如图，等边ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（）A ．7B ．8C ．10D ．129、如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定10、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC 中，∠B ＝20°，D 是BC 延长线上一点，且∠ACD ＝60°，则∠A 的度数是____________ 度．2、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，E 为AB 上一点，∠DCE ＝∠DAE ＝60°，AD ＝2.4，BE ＝7，则DE ＝_____．3、如图，△ABC 中，AB 平分∠DAC ，AB ⊥BC ，垂足为B ，若∠ADC 与∠ACB 互补，BC ＝5，则CD 的长为_________．4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成 _____）．5、如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上，点E 在边BC 上，且∠CFE ＝13°，∠CFD ＝32°，则∠DEC 的度数为_______．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D 是ACB △内一点，连接CD ，过点C 作CE CD ⊥且CE CD =，连接AD ，BE ．求证：AD BE =．2、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角AOB ∠．求作：射线OC ，使AOC BOC ∠=∠．作法：如图，①在射线OA 上任取一点D ；②以点О为圆心，OD 长为半径作弧，交OB 于点E ；③分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧相交于点C ；④作射线OC ．则OC 为所求作的射线．完成下面的证明．证明：连接CD ，CE由作图步骤②可知OD =______．由作图步骤③可知CD =______．∵OC OC =，∴OCD OCE ≌△△． ∴AOC BOC ∠=∠（________）（填推理的依据）．3、如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，连接AD ，将ACD △沿AD 翻折得到AED ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）若20CAD ∠=︒，求CBF ∠的度数；（2）若a CAD ∠=，求CBF ∠的大小；（3）猜想CF ，BF ，AF 之间的数量关系，并证明．4、如图，将一副直角三角板的直角顶点C 叠放在一起．（1）如图（1），若∠DCE ＝33°，则∠BCD ＝，∠ACB ＝．（2）如图（1），猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）如图（2），若是两个同样的直角三角板60°锐角的顶点A 重合在一起，则∠DAB 与∠CAE 的数量关系为．5、已知，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，点D 在射线BC 上，连接AD ，∠CAD ＝α，点D 关于直线AC 的对称点为E ，点E 关于直线AB 的对称点为F ，直线EF 分别交直线AC ，AB 于点M ，N ，连接AF ，AE ，CE ．（1）如图1，点D 在线段BC 上．①根据题意补全图1；②∠AEF ＝（用含有α的代数式表示），∠AMF ＝ °；③用等式表示线段MA ，ME ，MF 之间的数量关系，并证明．（2）点D 在线段BC 的延长线上，且∠CAD ＜60°，直接用等式表示线段MA ，ME ，MF 之间的数量关系，不证明．6、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线．求证：AD DE =．7、如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥于点E ．求证：ACE B ECD ∠=∠+∠．8、如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ．9、如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．10、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D在BC上，已知∠B＝70°，求∠CDE的大小．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据组成三角形的三边关系依次判断即可．【详解】A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．2、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE ＝180°﹣∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝PA ，∴∠APO +∠OPE ＝60°，∵∠OPE +∠CPE ＝∠CPO ＝60°，∴∠APO ＝∠CPE ，∵OP ＝CP ，在△OPA 和△CPE 中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．3、C【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．解：设第三边长为x cm ，根据三角形的三边关系可得：3-2＜x ＜3+2，解得：1＜x ＜5，只有C 选项在范围内．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4、C【分析】分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．【详解】A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；C.有两个角是60°，则第三个角为180606060︒-︒-︒=︒，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；D.设C x ∠=，则2A B x ∠=∠=，故22180x x x ++=︒，解得36x =︒，所以72A B ∠=∠=︒，36C ∠=︒，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．5、C根据旋转的性质，可得140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ，从而得到11ABB AB B ∠=∠，即可求解．【详解】解：∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转40°后与11AB C △重合，∴140BAB ∠=︒ ，1AB AB = ， ∴()1111180702ABB AB B BAB ∠=∠=︒-∠=︒．故选：C【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．6、D【分析】结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.【详解】解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A 不符合题意；三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B 不符合题意；三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为：20,70,90, 故C 不符合题意；三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.7、A【分析】先根据旋转的性质可得AB AD =，再根据等边三角形的判定与性质可得5BD AB ==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：5AB AD ==，60B ∠=︒，ABD ∴是等边三角形，5BD AB ∴==，8BC =，853CD BC BD ∴=-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8、C【分析】作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小，最小值PE PQ PE EQ PQ +=+'='，据此求解即可．【详解】解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =，7AD DC AQ QD ∴==+=，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='，4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=，4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE ∴+的最小值为10．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9、A【分析】全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC和DEF全等，A D∠=∠，AC对应DE≅∴ABC DFE∴AB=DF=4故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．10、B【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．综上，正确的有①④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题1、40【分析】直接根据三角形外角的性质可得结果．【详解】解：∵∠B＝20°，∠ACD＝60°，∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠B+∠A，∴602040∠=∠-∠=︒-︒=︒，A ACD B故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键2、4.6【分析】在AB上截取BF=AD，连接CF，通过证明△ADC≌△BFC，可得∠ACD=∠BCF，CD=CF，由“SAS”可得△DCE≌△FCE，可得DE=EF，即可求得结果．【详解】解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，∵CA＝CB，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵∠DAE＝60°∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC∴△ADC≌△BFC（SAS）∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF∴△DCE≌△FCE（SAS）∴DE＝EF∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，故答案为4.6【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．3、10【分析】构造ABE≌，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，△，再证得ABE ABC则CE=2BC=10．【详解】解：延长AD .和CB 交于点E .∵AB 平分∠DAC∴∠EAB =∠CAB又∵AB BC ⊥∴∠ABE =∠ABC又∵AB =AB∴ABE ABC ≌∴BC =EB =5，∠E =∠ACB ，180ADC CDE ∠+∠=︒又∵180ADC ACB ∠+∠=︒∴∠ACB =∠CDE∴∠E =∠CDE∴.CD =CE又∵CE =2BC =10∴CD =10故答案为：10．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．4、角边角或【分析】根据全等三角形的判定定理得出即可．【详解】解答：解：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA ，故答案为：角边角或ASA ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5、64︒【分析】作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，可证得()FAH FCE ASA ≅△△，由对应边、对应角相等可得出()HDF EDF SAS ≅△△，进而可求出58DEF ∠=︒，则64DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒．【详解】作FH 垂直于FE ，交AC 于点H ，∵90AFC EFH ∠=∠=︒又∵AFC AFH CFH ∠=∠+∠，HFE CFE CFH ∠=∠+∠∴13AFH CFE ∠=∠=︒∵45A FCE ∠=∠=︒，FA =CF∴()FAH FCE ASA ≅△△∴FH =FE∵321345DFE DFC EFC ∠=∠+∠=︒+︒=︒∵904545DFH HFE DFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴DFE DFH ∠=∠又∵DF =DF∴()HDF EDF SAS ≅△△∴DHF DEF ∠=∠∵451358DHF A HFA ∠=∠+∠=︒+︒=︒∴58DEF ∠=︒∵180CFE CEF FCE ∠+∠+∠=︒∴1801801345122CEF CFE FCE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴1225864DEC CEF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：64︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF 垂直于FE 是解题的关键．三、解答题1、证明见解析．【分析】先根据角的和差可得ACD BCE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证出ACD BCE ≅△△，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：90ACB ∠=︒，90ACD BCD ∴∠+∠=︒，CE CD ⊥，90BCE BCD ∠∴∠+=︒，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD BCE SAS ∴≅，AD BE ∴=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．2、OE ； CE ；全等三角形的对应角相等【分析】根据圆的半径相等可得OD =OE ，CD =CE ，再利用SSS 可证明OCD OCE ≌△△，从而根据全等三角形的性质可得结论．【详解】证明：连接CD ，CE由作图步骤②可知OD =___OE ___．由作图步骤③可知CD =__CE ___．∵OC OC =，∴OCD OCE ≌△△． ∴AOC BOC ∠=∠（__全等三角形对应角相等__）故答案为：OE ； CE ；全等三角形的对应角相等【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．3、（1）20°；（2）CBF α∠=；（3）AF = CF +BF ，理由见解析【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得到AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，则∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ，()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠，∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，先证明△AEF ≌△ACF 得到∠AFE =∠AFC ，然后证明∠AFE =∠AFC =60°，得到∠BFC =120°，即可证明F 、C 、G 三点共线，得到△AFG 是等边三角形，则AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，∠EAD =∠CAD =20°，AC =AE ，∴∠BAE =∠BAC -∠EAD -∠CAD =20°，AB =AE ， ∴()1180=802ABE AEB BAE ==︒-︒∠∠∠， ∴∠CBF =∠ABE -∠ABC =20°；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ,∠BAC =∠ABC =60°，由折叠的性质可知，EAD CAD α∠=∠=，AC =AE ，∴602BAE BAC EAD CAD α∠=∠-∠-∠=︒- ，AB =AE ，∴()1180=602ABE AEB BAE α==︒-︒+∠∠∠， ∴CBF ABE ABC α∠=∠-∠=；（3）AF = CF +BF ，理由如下：如图所示，将△ABF 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACG ，∴AF =AG ，∠FAG =60°，∠ACG =∠ABF ，BF =CG在△AEF 和△ACF 中，=AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），∴∠AFE =∠AFC ，∵∠CBF +∠BCF +∠BFD +∠CFD =180°，∠CAF +∠CFA +∠ACD +∠CFD =180°，∴∠BFD =∠ACD =60°，∴∠AFE =∠AFC =60°，∴∠BFC =120°，∴∠BAC +∠BFC =180°，∴∠ABF +∠ACF =180°，∴∠ACG +∠ACF =180°，∴F 、C 、G 三点共线，∴△AFG 是等边三角形，∴AF =GF =CF +CG =CF +BF ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．4、（1）57°，147°；（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由见解析；（3）∠DAB+∠CAE＝120°【分析】（1）根据角的和差定义计算即可．（2）利用角的和差定义计算即可．（3）利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题．【详解】解：（1）由题意，903357∠=︒-︒=︒；BCDACB∠=︒+︒=︒；9057147故答案为：57°，147°．（2）∠ACB＝180°－∠DCE，理由如下：∵ ∠ACE＝90°－∠DCE，∠BCD＝90°－∠DCE，∴ ∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠BCD＝90°－∠DCE＋∠DCE＋90°－∠DCE＝180°－∠DCE．（3）结论：∠DAB+∠CAE=120°．理由如下：∵∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠BAC+∠CAE=∠DAC+∠EAB，又∵∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAB+∠CAE=60°+60°=120°．故答案为：∠DAB+∠CAE=120°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、（1）①见解析；②60α︒-，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MF MA ME=-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF ＝MA＋ME；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE=∠DAC=α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF=()180-2+302α︒⨯︒=60°-α；∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=α+60°-α=60°，故答案是：60°-α，60°；③MF＝MA＋ME．证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG．∵点D关于直线AC的对称点为E，∴△ADC ≌△AEC ．∴∠CAE ＝∠CAD ＝α．∵∠BAC ＝30°，∴∠EAN ＝30°＋α．又∵点E 关于直线AB 的对称点为F ，∴AB 垂直平分EF ．∴AF ＝AE ，∠FAN ＝∠EAN ＝30°＋α，∴∠F ＝∠AEF ＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG ≌△AEM ．∴AG ＝AM ．又∵∠AMG ＝60︒，∴△AGM 为等边三角形．∴MA ＝MG ．∴MF ＝MG ＋GF ＝MA ＋ME ．（2）MF MA ME =-，理由如下：如图1所示，∵点E 与点F 关于直线AB 对称，∴∠ANM =90°，NE =NF ，又∵∠NAM =30°，∴AM=2MN ，∴AM=2NE+2EM =MF+ME，∴MF=AM-ME；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；综上所述：MF=MA-ME．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．6、证明见解析.【分析】过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.【详解】证明：过D作DG∥AC交AB于G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，∴DG＝BD，∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴DG＝CD，∵EC是△ABC外角的平分线，∴∠ACE ＝12（180°−∠ACB ）＝60°，∴∠BCE ＝∠ACB ＋∠ACE ＝120°＝∠AGD ，∵AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，又∵∠BDG ＝60°，∠ADE ＝60°，∴∠ADG ＝∠EDC ＝30°，在△AGD 和△ECD 中，AGD ECD GD CDADG EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．∴AD ＝DE ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．7、证明见解析.【分析】延长CE 交AB 于F ，求出∠AEC ＝∠AEF ，∠FAE ＝∠CAE ，根据ASA 证△FAE ≌△CAE ，推出∠ACE ＝∠AFC ，根据三角形外角性质得出∠AFC ＝∠B ＋∠ECD ，代入即可．【详解】证明：延长CE 交AB 于F ，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，在△FAE和△CAE中，∵FAE CAEAE AEAEF AEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FAE≌△CAE（ASA），∴∠ACE＝∠AFC，∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE．8、见解析【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴BF=CF，DF=EF，∴BF-DF=CF-EF，∴BD=CE．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．9、见解析【分析】先由BF=CE说明BC= EF．然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE，∴BC= EF．在△ABC和△DEF中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．∴AC =DF ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．10、40︒【分析】先由旋转的性质证明,70,AB AD ADE B 再利用等边对等角证明70,ADB B 从而可得答案.【详解】解：把△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，∠B ＝70°，,70,AB AD ADE B 70,ADB B18040.CDE ADB ADE 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题的关键.。

七年级第二学期数学知识点整理(沪教版)

第十二章实数第一节实数的概念12.1 实数的概念A．无限不循环小数叫做无理数。

B．只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。

C．有理数和无理数统称为实数。

正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数(1).自然数(小学)：数出物体个数的这样的数，如1、2、3、4、5......叫做自然数。

(2).整数(小学)：0和自然数叫做整数。

(3)整数(中学)：正整数、负整数和0统称为整数。

(4)正数：大于0的数叫做正数。

(5)负数：小于0的数叫做负数。

(6)分数(小学)：形如1/2、5/3、7(3/5)这样的数叫做分数。

(7)分数(中学)：有限小数和无限循环小数统称为分数。

(8)有理数：整数和分数统称为有理数。

(9)无理数：无限不循环小数叫做无理数，具体表示方法为√2、√3这样的数。

(10)实数：有理数与无理数统称为实数。

第二节数的开方12.2 平方根和开平方A．如果一个的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。

（定义：如果√a=a，则√a叫做a的平方根，记作“√a a称为被开方数）。

B．正数a的两个平方根可以用“a±”表示，期中a表示a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a-表示a的负平方根，读作“负根号a”。

开平方和平方互为逆运算：当 a＞0时（ a ）2= a （－ a ）2= a(平方根等于本身的只有0 ) 当 a≥0时a2 = a (-a)2 = a当 a＜0时a2 = －a零的平方根记作0，0=0注：一个正数的平方根的平方等于这个数。

一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）。

性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“√a”。

12.3 立方根和开立方A．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“3a”表示，读作“三次根号a”，a叫做被开方数，“3”叫做根指数。

14-2三角形的内角和(第1课时)(教学课件)-七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)

2.已知△ABC中两个内角的度数，判断△ABC的类型：
(1)∠A=30°，∠B=40°；
(2)∠B=32°，∠C=58°；
(3)∠B=60°，∠C=50°.
解：(2)在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和等于180°）. ∵∠B=32°，∠C=58°（已知）， ∴∠A=180°－∠B－∠C =180°－32°－58° =90°(等式性质) ∴△ABC是直角三角形.
解：根据题意，设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x，3x，4x。 ∵∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角（已知）
∴∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和等于180°）
即 2x+3x+4x=180
解得 x=20
∴ ∠A =40°，∠B=60°，∠C=80°（等式性质）
随堂检测
1、判断下列各组角度的角是否是同一个三角形的内角？
∠A+∠B+∠C=180° （三角形的内角和等于180°）. ∵∠B=35°，∠C=55°（已知）， ∴∠A=180°∠B∠C =180°35°55° =90°（等式性质）.
∴△ABC是直角三角形.
可设一份为x.
例题2 在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1︰2︰3，求∠A、∠B、∠C的度数.
解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、2x、3x.
∴ ∠1=30°(等式性质).
B
D
C 在△ADC中，
∠1+∠C+∠ADC=180°
求∠DAC的度数，可在
（三角形的内角和等于180°）. ∵∠C=45°（已知），
△ADC中加以解决.
∴∠ADC=180°－30°－45°=105° （等式性质）.

沪教版(上海)数学七年级第二学期-14.1 (1)三角形的有关概念教案

执教日期：1 / 13B.由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形叫做三角形.C.由不在同一条直线上的三条线段联结所组成的图形叫做三角形.D.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形.三角形的图形语言：三角形的边：线段AB、BC、AC或a、b、c三角形的顶点：点A、B、C三角形的内角（角）：∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角三角形的符号语言：△ABC 读作“三角形ABC”二、操作1：1.操作并填表可以从长分别为4厘米（红）、6厘米（绿）、10厘米（蓝）、12厘米（黄）的四根细棒中，任选三根，能否围成三角形？1.读题2.观察操作结果3.及时引导（4）巩固概念1.动手操作2.展示答案3.合作学习通过操作、观察、探究“怎样的三根细棒能围成三角形”.体会从特殊到一般再到特殊的思想.10’长度为3cm的木棒呢？思考题：已知△ABC 的两边 a=5cm, b=7cm,那么第三边 c 的长度在什么范围内？为什么？三、概念形成2：画出三角形的高、角平分线、中线.（1）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是△ABC边BC上的高，D为垂足∴ AD⊥BC（2）三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD(2)三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段叫做三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD四、操作2：用同样的方法分别画出△ABC的另外两条高、角平分线和中线.练习 1.图中有几个不同的三角形？用符号表示这些三角形.2. 用下列长度的三根铁条首尾能顺次联结做成三角形框架的是（）A、23cm，10cm，8cmB、15cm，23cm，8cnC、18cm，10cm，23cmD、18cm，10cm，8cm1．指导2．纠错.板演.口答.巩固三角形的相关概念.做到不重复、不遗漏.对“三角形任意两边的和大于第三边”的巩固练习.理解三角形的中线、内角平分线、高的概念，学会简单10′AEDBC10 / 13两边只差＜第三边＜两边之和4.三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它所对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的高,垂足为D.∴ AD⊥BC三角形的角平分线: 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC的角平分线.∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC;∠BAC =2∠BAD =2∠BAD三角形的中线：在三角形中，联结一个顶点及其对边的中点的线段11 / 13叫三角形的中线.符号语言：∵线段AD是三角形ABC边BC上的中线.∴ BD=CD=12BC; BC=2BD=2CD课后反思：本节课是概念课，概念知识点比较多，学生难以理解。

14-4全等三角形的判定(ASA、AAS)(第2课时)(课件)-七年级数学下册同步精品课堂(沪教版)

随堂检测
1.如图，已知： ∠E= ∠C，EO=CO． (1)试说明 △BEO≌ △DCO 的理由。 (2)联结EC,试说明 △BEC≌ △DCE 的理由。
B E
D
解：在△BEO 和△DCO中 ∠E= ∠C（已知）
O
EO=CO （已知）
C ∠BOE= ∠DOC（对顶角相等）
∴ △BEO ≌ △ DCO（ ASA ）
解：在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D（已知）， ∠A=∠A （公共角）， AE=AC （已知），
∴ △DEA≌ △BCA （ A.A.S ）
课本练习
练习14.4(2)
1.判定下列各对三角形是否全等,如果全等,请说出理由
2.如图,小明不慎把三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以,应该带哪块去? 为什么?
2.已知： ∠1＝ ∠2， ∠E= ∠C,AC=AE 试说明AB=AD ，∠B＝ ∠D的理由。
A 12 B
E
解： ∵ ∠1＝ ∠2
∴ ∠1＋ ∠EAC= ∠2+ ∠EAC
∴ ∠BAC= ∠DAE D 在△BAC和 △DAE中
∠BAC= ∠DAE AC=AE（已知） ∠C= ∠E（已知）
∴△ BAC ≌△ DAE （ASA） C ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等）
∠B＝∠D (全等三角形的对应边相等)
3.已知： ∠1＝ ∠2，∠E= ∠C,AC=AE，D、A、B在一条直线上；试说明点A的位置，并说明理由。
D
A
12 3
C
E
解：∵ ∠1＝ ∠2
B ∴ ∠1＋ ∠3= ∠2+ ∠3
∴ ∠ DAE = ∠ BAC 在△DAE和△BAC中

难点详解沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形必考点解析试题(无超纲)

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则下列长度的线段中能作为第三边的是（）A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．10cm2、如图，点D 、E 分别在∠ABC 的边BA 、BC 上，DE ⊥AB ，过BA 上的点F （位于点D 上方）作FG ∥BC ，若∠AFG =42°，则∠DEB 的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°3、如图，在ABC ∆中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线平行于BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，当A ∠大小变化时，线段EF 和BE CF +的大小关系是( )A ．EF BE CF >+B ．EF BE CF <+C ．EF BE CF =+D ．不能确定4、如图，在ABC 中，AD 是角平分线，且AD AC =，若60BAC ∠=︒，则B 的度数是（）A ．45°B ．50°C ．52°D ．58°5、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性D ．三角形的任意两边之和大于第三边6、若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7、如图，在ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，∠B =35°，则∠BAD =（）A ．110°B ．70°C ．55°D ．35°8、如图，ABC ≌DEF ，点B 、E 、C 、F 在同一直线上，若BC ＝7，EC ＝4，则CF 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．79、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．3cm ，4cm ，5cmB ．3cm ，3cm ，6cmC ．5cm ，10cm ，4cmD ．1cm ，2cm ，3cm10、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、ABC 中，A ∠比B 大10°，50C ∠=︒，则A ∠=______．2、在等腰△ABC 中，∠A ＝40°，则∠B ＝_____°．3、如图，ABC 中，90A ∠=︒，点D 在AC 边上，∥DE BC ，若1145∠=︒，则B 的度数为_______．4、已知：如图，AB = DB ．只需添加一个条件即可证明ABC DBC ≌△△．这个条件可以是______．（写出一个即可）．5、若一个立体图形从正面看和从左面看都是等腰三角形，从上面看是带有圆心的圆，则这个立体图形是_____．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB CD =，AE CF ∥，E F ∠=∠．求证：BE DF =．2、如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．（1）求证：∠EAC ＝∠BAD ；（2）若∠EAC ＝42°，求∠DEB 的度数．3、直线l 经过点A ，ABC 在直线l 上方，AB AC =．（1）如图1，90BAC ∠=︒，过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ．求证：ABD CAE ≌（2）如图2，D ，A ，E 三点在直线l 上，若BAC BDA AEC α∠=∠=∠=（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE 、BD 、CE 有何数量关系？并给出证明．（3）如图3，90BAC ∠=︒过点B 作直线l 上的垂线，垂足为F ，点D 是BF 延长线上的一个动点，连结AD ，作90DAE ∠=︒，使得AE AD =，连结DE ，CE ．直线l 与CE 交于点G ．求证：G 是CE 的中点．4、如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''，．（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；（2）当∠BPC ＝120°时，①直接写出P BP '∠ 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．5、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB的端点都在格点上．要求以AB为边画一个等腰ABC，且使得点C为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰ABC．6、如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB＝DC．7、如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）求证：AE＝AF．8、如图，在ABC 中，8AB cm =，6BC cm =，5AC cm =，BD 是ABC 的角平分线，点E 在AB 边上，2AE cm =．求AED 的周长．9、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．10、已知：如图，点D 为BC 的中点，BAD CAD ∠=∠，求证：ABC 是等腰三角形．-参考答案-一、单选题1、C【分析】设三角形第三边的长为x cm ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可．【详解】解：设三角形的第三边是xcm ．则7-3＜x ＜7+3．即4＜x ＜10，四个选项中，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．2、B【分析】根据两直线平行，同位角相等可得42B AFG ∠=∠=︒，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．【详解】解：∵FG BC ∥，∴42B AFG ∠=∠=︒，∵DE AB ⊥，∴90BDE ∠=︒，∴18048DEB BDE B ∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．3、C【分析】=，则由平行线的性质和角平分线的定义可得EBD EDB∠=∠，则ED BE=，同理可得DF FC =+，可得答案．EF BE CF【详解】EF BC，解：//∴∠=∠，EDB DBCBD平分ABC∠，∴∠=∠，EBD DBCEDB EBD∴∠=∠，∴=，ED BE=，同理DF FCED DF BE FC∴+=+，=+．即EF BE CF故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．4、A【分析】根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．【详解】解：∵AD是角平分线，60BAC∠=︒，∴∠DCA=12BAC∠=30°，∵AD=AC，∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，故选：A．【点睛】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．5、C【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，故选C．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．6、A【分析】根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．【详解】解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x＝360°，解得，x＝30°，∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，∴此三角形为直角三角形，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．7、C【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．【详解】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠B＝35°，∴∠BAD＝90°−35°＝55°．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8、B【分析】根据全等三角形的性质可得BC EF =，根据CF EF EC =-即可求得答案．【详解】解：ABC ≌DEF ，∴BC EF =点B 、E 、C 、F 在同一直线上，BC ＝7，EC ＝4，∴CF EF EC =-743BC EC -=-=故选B【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．9、A【分析】三角形的任意两条之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理再分别计算每组线段当中较短的两条线段之和，再与最长的线段进行比较，若和大于最长的线段的长度，则三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形，从而可得答案.【详解】解：345, 所以以3cm ，4cm ，5cm 为边能构成三角形，故A 符合题意； 3+3=6, 所以以3cm ，3cm ，6cm 为边不能构成三角形，故B 不符合题意；4+510, 所以以5cm ，10cm ，4cm 为边不能构成三角形，故C 不符合题意； 1+2=3, 所以以1cm ，2cm ，3cm 为边不能构成三角形，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握“利用三角形三边之间的关系判定三条线段能否组成三角形”是解本题的关键.10、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．二、填空题1、70°【分析】根据三角形内角和定理可得130A B ∠+∠=︒，由题意A ∠比B ∠大10︒，可得10A B ∠-∠=︒，组成方程组求解即可．【详解】解：∵50C ∠=︒，∴130A B ∠+∠=︒，∵A ∠比B ∠大10︒，∴10A B ∠-∠=︒，∴13010A B A B ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，解得：7060A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩，故答案为：70︒．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及二元一次方程组的应用，理解题意，列出代数式组成方程组是解题关键．2、40°或70°或100°【分析】本题要分两种情况讨论：当∠A =40°为顶角；当∠A =40°为底角时，则∠B 为底角时或顶角．然后求出∠B ．【详解】分两种情况讨论：当∠A =40°为顶角时，18040702B ︒-︒∠==︒；当∠A =40°为底角时，∠B 为底角时∠B =∠A =40°；∠B 为顶角时∠B =180°−∠A −∠C =180°−40°−40°=100°．故答案为：40°或70°或100°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论问题.3、55︒【分析】先求出∠EDC =35°，然后根据平行线的性质得到∠C =∠EDC =35°，再由直角三角形两锐角互余即可求解．【详解】解：∵∠1=145°，∴∠EDC =35°，∵DE ∥BC ，∴∠C =∠EDC =35°，又∵∠A =90°，∴∠B =90°-∠C =55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，求出∠C 的度数是解题的关键．4、AC =DC【分析】由题意可得，BC 为公共边，AB =DB ，即添加一组边对应相等，可证△ABC 与△DBC 全等．【详解】解：∵AB =DB ，BC =BC ，添加AC =DC ，∴在△ABC 与△DBC 中，AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DBC （SSS ），故答案为：AC =DC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．5、圆锥【分析】根据立体图形视图、等腰三角形的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这个立体图形是圆锥故答案为：圆锥．【点睛】本题考查了等腰三角形、圆锥、立体图形视图的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形视图的性质，从而完成求解．三、解答题1、见解析【分析】根据平行线的性质得出A FCD ∠=∠，运用“角角边”证明△AEB ≌△CFD 即可．【详解】证明：∵AE CF ∥，∴A FCD ∠=∠，在△AEB 和△CFD 中，E F A FCD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB≌△CFD，∴BE DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．2、（1）见解析；（2）42°【分析】（1）利用边边边证得△ABC≌△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，即可求证；（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC＝∠C＝69°，再由△ABC≌△ADE，可得∠AED＝∠C＝69°，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE．∴∠BAC＝∠DAE．∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE．即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°．∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．3、（1）见解析；（2）猜想：DE BD CE =+，见解析；（3）见解析【分析】（1）先证明BDA AEC ∠=∠和ABD CAE ∠=∠，再根据AAS 证明ABD CAE ≌即可；（2）根据AAS 证明ABD CAE ≌得BD AE =，DA EC =，进一步可得出结论；（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，得出CM =EN ，证明CMG ENG ≌得CG EG =，从而可得结论．【详解】解：（1）证明：∵BD l ⊥，CE l ⊥，∴90BDA AEC ∠=∠=︒，∴90ABD DAB ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒，∴90CAE DAB ∠+∠=︒∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD CAE AAS ≌（2）猜想：DE BD CE =+，∵BDA BAC α∠=∠=∴180180ABD DAB BDA α∠+∠=︒-∠=︒-，180180CAE DAB BAC α∠+∠=︒-∠=︒-∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 与CAE 中BDA AEC ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABD CAE AAS ≌，∴BD AE =，DA EC =，∴DE AE DA BD CE =+=+（3）分别过点C 、E 作CM l ⊥，EN l ⊥，同（1）可证ABF CAM ≌，ADF EAN ≌，∴AF CM =，AF EN =∴CM EN =，∵CM l ⊥，EN l ⊥，∴90CMG ENG ∠=∠=︒在CMG 与ENG 中CMG ENG CGM EGN CM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMG ENG AAS ≌，∴CG EG =，∴G 为CE 的中点．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD ≌△CAE 是解决问题的关键．4、（1）BP CP '=，理由见解析；（2）①60°；②PM ＝12AP ，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，再由由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解；（2）①由∠BPC ＝120°，可得∠PBC ＋∠PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC ＋∠ACB ＝120°，进而得到∠ABP ＋∠ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．进而得到BN BP '= ．根据①可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．【详解】解：（1）BP CP '= ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠即BAP CAP '∠=∠在ABP '△和△ACP 中AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩∴ABP ACP SAS '≌（）．∴BP CP '= ．（2）①∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC ＝60°，∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∵ABP ACP '≌ ．∴ABP ACP '∠=∠ ，∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝；②PM ＝12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM ＝CM ．在△PCM 和△NBM 中PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCM ≌△NBM （SAS ）．∴CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．∴BN BP '= ．∵∠BPC ＝120°，∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．∴∠PBC ＋∠NBM ＝60°．即∠NBP ＝60°．∵∠ABC ＋∠ACB ＝120°，∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．即60P BP '∠︒＝．∴P BP NBP '∠∠＝．在△PNB 和P B P ' 中BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PNB PP B '≌ （SAS ）．∴PN PP '= ．∵60AP AP PAP ''=∠=︒，，∴PAP ' 为等边三角形，∴P P AP '= ．∴PN AP = ，∴PM ＝12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．5、答案见解析【分析】 AB 为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可【详解】解：如图，……[答案不唯一]【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．6、（1）OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）；（2）见解析【分析】（1）根据SAS 添加OB =OC 即可；（2）由（1）得△AOB ≌△DOC ，由全等三角形的性质可得结论．【详解】解：（1）添加的条件是：OB =OC （或A D ∠=∠，或B C ∠=∠）证明：在AOB ∆和DOC ∆中AO BO AOB COD BO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以，△AOB ≌△DOC（2）由（1）知，△AOB ≌△DOC所以，AB ＝DC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键7、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE ⊥AB ，BF ⊥AC 就可以得出∠BED =∠CFD =90°，就可以由AAS 得出结论；（2）由（1）得DE =DF ，就可以得出BF =CE ，由AAS 就可以得出△AFB ≌△AEC 就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）；（2）∵△BED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，∴BD +DF ＝CD +DE ，∴BF ＝CE ，在△ABF 和△ACE 中，B C A A BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8、7cm【分析】由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出CBD EBD ≅，进而依据AED 的周长AE AD DE AE AD DC =++=++进行求解即可.【详解】解：∵8AB cm =，6BC cm =，2AE cm =，∴826,BE AB AE cm BE BC =-=-==,∵BD 是ABC 的角平分线，∴CBD EBD ∠=∠,在CBD 和EBD △中，BE BC CBD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴CBD EBD ≅，∴CD DE =，∵5AC AD DC cm =+=，∴AED 的周长257AE AD DE AE AD DC cm =++=++=+=.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.9、见解析【分析】先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．【详解】证明：∵BF= CE ，∴BC= EF ．在△ABC 和△DEF 中，,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．10、证明见解析【分析】过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N ，根据角平分线性质，得DM DN =；根据全等三角形的性质，通过证明ADM ADN △≌△，通过证明ADM ADN △≌△，得BM CN =，结合等腰三角形的性质，即可完成证明．【详解】如下图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 于点M ，过点D 做DN AC ⊥，交AC 于点N∵BAD CAD ∠=∠∴DM DN =直角ADM △和直角ADN △中DM DN AD AD =⎧⎨=⎩∴ADM ADN △≌△∴AM AN =∵点D 为BC 的中点，直角BDM 和直角CDN △中DM DN BD CD =⎧⎨=⎩∴BDM CDN ≌∴BM CN =∵AB AM BM =+，AC AN CN =+∴AB AC =，即ABC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了角平分线、三角形中线、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形中线，全等三角形的性质，从而完成求解．。

14.1-14.2 三角形的有关概念三角形的内角和七年级数学第二学期(沪教版)(原卷版)

14.1-14.2三角形的有关概念三角形的内角和知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；①三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；①三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“①”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“①ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的①没有意义；①ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；①已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；①求一个三角形中各角之间的关系．三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ①钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形要点：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等的三角形. 四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边之差小于第三边. 要点：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：1．AD是①ABC的高．1．AD是①ABC的中线．典型例题例题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（） A ．3 cm ，4 cm ，8 cm B ．8 cm ，7 cm ，15 cm C ．13 cm ，12 cm ，20 cmD ．5 cm ，5 cm ，11 cm例题2．已知一个三角形三个内角度数之比为4:2:1，则这个三角形为（） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形例题3．具备下列条件的ABC ∆中，不是直角三角形的是（） A ．A B C ∠+∠=∠ B ．A B C ∠-∠=∠ C ．::1:2:3A B C ∠∠∠=D ．3A B C ∠=∠=∠例题4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形（） A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．属于哪一类不能确定．例题5．下列说法错误的是( )A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点例题6．一幅三角板，如图所示叠放在一起，则图中①α的度数是（）A ．75°B ．60°C ．65°D ．55°例题7．将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中1∠的度数为（）A．15︒B．65︒C．75︒D．60︒例题8．如图，直线EF//直线GH，Rt①ABC中，①C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分①DBE，若①CAD＝26°，则①BAD的度数为（）A．26°B．32°C．34°D．45°例题9．如图，①A+①B+①C+①D+①E+①F=（）A．180°B．360°C．540°D．以上答案都不是一、单选题1．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，5cmC．5cm，6cm，12cm D．4cm，6cm，8cm2．工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用（）．A．两点之间线段最短B．三角形的稳定性C．垂线段最短D．两直线平行，内错角相等3．在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线4．三角形的角平分线、中线和高都是( )A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对5．下列说法中错误的是（）A．在①ABC中，若①A：①B：①C＝2：2：4，则①ABC为直角三角形B．在①ABC中，若①A＝①B﹣①C，则①ABC为直角三角形C．在①ABC中，若①A＝12①B＝13①C，则①ABC为直角三角形D．在①ABC中，①A＝①B＝2①C，则①ABC为直角三角形6．如果三角形的三个内角的度数比是1：2：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形7．如图，若①A＝60°，①B＝48°，①C＝32°，则①BDC＝（）A．102°B．160°C．150°D．140°8．如图，AB①CD，BD①CF，垂足为B，①BDC=50°，则①ABF的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．25°9．如图，直线a①b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D．若①1=20°，①2=65°，则①3度数等于（）A．30°B．45°C．60°D．85°10．如图，在①ABC中，①A=50°，OB平分①ABC，OC平分①ACB，则①BOC的度数为（）A ．65°B ．70°C ．115°D ．125°11．小明把一副含45︒，30角的直角三角板按如图所示的方式摆放，其中90C F ∠=∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒，则αβ∠+∠等于（）A ．180︒B ．210︒C ．270︒D ．360︒12．如图，在ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，CD 是外角ACM ∠的平分线，BD 与CD 相交于点D ，若70A ∠=︒，则BDC ∠是（）A ．15︒B ．30C ．35︒D ．70︒二、填空题13．若一个三角形三边的长分别为5，11，2k ，则k 的取值范围是___．14．小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_____，_____，_____（单位：cm ）．15．如图，D 、E 分别是ABC 的AC ，AB 边上的点，BD ，CE 相交于点O ，若1,2,3OCD OBE OBC S S S ===△△△，那么S 四边形ADOE ＝_____．16．若a b c ，，是①ABC 的三边长，则化简a b c b c a +-+--的结果是________．17．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 上的中点，点E 是AD 上的中点，连结BE ，若BDE S ∆=3，则ABC ∆的面积为____．18．如图，BD 是ABC 的中线，5cm AB =，3cm BC =，那么ABD △的周长比CBD 的周长多______cm ．19．如图，在ABC 中，68ACB ∠=︒，12∠=∠．若P 为ABC 的角平分线BP ，CP 的交点，则BPC ∠=________；若P 为ABC 内一点，则BPC ∠=________．20．如图，在①ABC中，BD平分①ABC，连接CD，若①A＝①D＝40°，①ACD＝30°，则①DCE的度数为_____．21．如图，在①ABC中，AD①BC，AE平分①BAC，若①1＝30°，①2＝20°，则①B＝_____．⊥，交BD于点G，22．如图，ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH BC交BC于点H；下列结论：∠=∠；①DBH F∠=∠+∠；①2BEF BAF C∠=∠；①BGH C∠=∠-∠；①F BAC C其中正确的结论有__________．三、解答题23．已知，ABC的三边长为4，9，x．（1）求ABC的周长的取值范围；（2）当ABC的周长为偶数时，求x．24．如图，在①ABC中，①BAC是钝角，完成下列画图．（不必尺规作图）（1）①BAC的平分线AD；（2）AC边上的中线BE；（3）AC边上的高BF．25．如图，在①ABC中，AD①BC，AE平分①BAC，①B＝72°，①C＝30°，①求①BAE的度数；①求①DAE的度数．26．如图，在①ABC 中，BD 是①ABC 的角平分线． DE //BC ，交AB 于点E ，①A =60°，88BDC ∠=︒，求①BDE 各内角的度数27．如图，点B 在AC 上，AF 与BD ､CE 分别交于H ､G ，已知150∠=︒，2130∠=︒，ABD A ∠=∠．（1）证明：C A ∠=∠；（2）求C ∠的度数．28．如图，在ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，50BAC ∠=︒，60C ∠=°，求DAC ∠和EOF ∠的度数．29．如图，在ABC 中，CD AB ⊥于点D ，//DE BC 交AC 于点E ，EF CD ⊥于点G ，交 BC 于点F ．（1）求证：ADE EFC ∠=∠；（2）若72ACB ∠=︒，60A ∠=︒，求 DCB ∠的度数．30．①ABC 中，AD 是①BAC 的角平分线，AE 是①ABC 的高．（1）如图1，若①B ＝40°，①C ＝60°，请说明①DAE 的度数；（2）如图2（①B ＜①C ），试说明①DAE 、①B 、①C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F ，①CAE 和①BCF 的角平分线交于点G ，请直接写出①G 的度数．。

沪教版(上海)数学七年级下册-14.1 三角形的三边关系教案

三角形的三边关系知识与技能：1.掌握和理解围成三角形的三条线段应满足的数量关系；2.掌握和理解三角形的三边关系；过程与方法：1.探索能够围成三角形的三条线段应满足的数量关系；2.探索三角形三边之间的数量关系；3.结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系.情感态度与价值观：积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，享受数学学习的快乐。

教学重点：掌握“三角形任意两边之和大于第三边”的关系。

教学难点：探究三角形的三边关系。

教法：引导法学法：探究法课时：一课时学具准备：刻度尺长短不同的小棒教学过程：一、情境导入1、生活中到处都能见到三角形（幻灯片显示）2、什么是三角形？3、质疑：任意的三条线段都能围成三角形吗？二、探究：探究1：三条线段满足什么数量关系才能围成三角形？小组活动：和同学一起利用手中的小棒试一试1、当较小两条线段和小于最长线段时，三条线段能否围成三角形？2、当较小两条线段和等于最长线段时，三条线段能否围成三角形？3、当较小两条线段和大于最长线段时，三条线段能否围成三角形？发现：当较小两条线段和大于最长线段时，三条线段能围成三角形；当较小两条线段和不大于最长线段时，三条线段不能围成三角形。

结论：一般地，在三条线段中，如果两条较短的线段的和大于第三条最长的线段，那么以这三条线段为边就能够围成一个三角形。

否则，它们不能够围成三角形。

例1 下列长度的各组线段能否组成一个三角形?（1）15cm、9cm、7cm;（2）3cm、6cm、10cm（3）3cm、8cm、5cm;（4）2cm、5cm、6cm巩固练习：1、判断下列长度的各组线段能否组成三角形？（1）15cm、10cm、7cm ( )（2）4cm、5cm、10cm ( )（3）3cm、8cm、5cm ( )（4）4cm、5cm、6cm ( )（5） a cm、 b cm 、 c cm （且a+b>c） ( )2、已知；两条线段a、b，其长度分别为2.5cm与3.5cm，另有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？探究2：三角形三边关系活动：分别画三个三角形。

【高效培优】沪教版七年级数学下册第十四章三角形(章末整理与复习课件)

典例精析
例1 如图：图中的两个三角形全等，
D
B
A和B，C和D是对应顶点.
（1）用符号表示这两个三角形全等；
O
（2）写出它们的对应角，对应边；
A
C
（3）用等号表示各对应角，各对应边之间的关系.
解：（1）AOC BOD
（2）A和B，C和D，AOC和BOD， AO和BO，CO和DO，AC和BD
（3）A=B，C=D，AOC=BOD，
考点突破
解：因为∠AEF＝∠AFE，∠AFE＝∠GFC，所以∠AEF＝∠GFC. 因为∠AEF＝∠B＋∠G，所以∠GFC＝∠B＋∠G. 又因为∠ACB＝∠GFC＋∠G，所以∠ACB＝∠B＋2∠G.
1
所以∠G＝ 2 (∠ACB－∠B)．
考点突破
考点
三种线段
线段1 三角形的角平分线
4.现如图所示，D是△ABC的角平分线BD和
名师点拨
三角形全等判定
对应两边一角
两角一边三三边
相等两边的元及其
素夹角
两边及两角两角及角一边的及其一角的对角夹边对边
三角一定不一定一定一定不一定
形是 (SAS)
(ASA) (AAS) 一 (SSS)
否全
定
等
典例精析
例1 如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB 是否全等？试说明理由.
要点梳理
全等三角形
1.能够完全重合的两个平面图形叫做全等形.
其中，互相重合的顶点叫做＿对应顶＿点；互相重合的边叫做＿对＿应＿边＿；互相重合的角叫做＿对＿应角＿.
2.能够完全重合的叫两做个全三等角三形角形.
3.“全等”用符号“ ”来表≌示，读作“

沪教版(五四制)七年级数学下册第十四章三角形的边和角讲义(无答案)

第1讲三角形的边和角一、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形叫做三角形二、三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：三、三角形的性质⑴ 边与边的关系：三角形任意两边之和大于第三边（三角形任意两边之差小于第三边）⑵ 角与角的关系：三角形的内角和等于180；180A B C ︒∠+∠+∠=三角形的外角和等于360，360DAE EBF FCA ︒∠+∠+∠=三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和, =ACD A B ∠∠+∠（推论：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角）, ACD A ∠>∠,ACD B ∠>∠⑶ 边与角的关系：同一个三角形中，大边对大角（小边对小角），大角对大边（小角对小边） ,;b a c B A C >>∠>∠>∠若则反之亦然【例题1】（1）已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（）A．3B．5C．7 D．9（2）如果线段a，b，c能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是（）A．1: 1: 2B．－2: 5: 2C．2008: 2009: 2010D．4: 8: 4（3）一个三角形三边长分别为8，10，x，则x的取值范围是．（4）一个三角形三边长分别为6，7，x，则三角形的周长l的范围是．（5）若三角形的三边长为3，4，x，则偶数x的值有．（6）有三条线段，其中两条线段的长为3和5，第三条线段的长为x，若这三条线段不能构成三角形，则x的取值范围是．【例题2】（1）现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为．（2）已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是．【例题3】（1）三角形的三边分别为3、1－2a、8，求a的取值范围。

（2）若一个三角形中两条边的长分别为a、b，且a>b，求这个三角形周长l的取值范围。

(完整版)沪教版七年级数学知识点总结

第九章整式第一节整式的概念9.1.2.3、字母表示数代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。

单独的数或字母也是代数式。

代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。

2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。

3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。

4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。

5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。

代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。

注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。

2、若带入的值是负数时，应添上括号。

3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。

9.4整式1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数6、整式：单项式和多项式统称为整式。

9.5合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

第二节9.6整式的加减：a-p= (a≠0,p是正整数) 任何一个不等零的数的-p(p是正整数)指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。

9.10整式的乘法：⑴单项式与单项式相乘：　单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。