高二理科数学下学期第一次月考(附答案)

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四川省高二下学期第一次月考理科数学试题(解析版)

高二数学（理科）时间:120分钟满分:150分一单项选择题（每题5分，共12道小题，共计60分）1.已知集合，，则（）{}|105A x x =-<<{}|68B x x =-<<A B = A. B. {}|65x x -<<{}|108x x -<<C. D.{}|106x x -<<-{}|58x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据交集直接计算求解.【详解】，{}|105A x x =-<< {}|68B x x =-<<．{}65A B x x ∴⋂=-<<故选：A 2. 复数的虚部是（）113i-A.B. C.D.310i 110-110310【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出后即可得出. 【详解】， ()()1131313131313101010i i i i i i ++===+--+虚部是. ∴310故选：D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的为nA. B. 12C. D.34【答案】C 【解析】【详解】，满足的为奇数，不满足1()()n n f x x nx -'==∴()()f x f x =-n 01()1n f x x =⇒== 有解，故选C.()0f x =4. 已知命题“”是假命题，则实数a 的取值范围为（） 200014(2)04R,x x a x ∃+∈+-≤A. B. (),0∞-[]0,4C. D.[)4,+∞()0,4【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，命题“”是假命题 200014(2)04R,x x a x ∃+∈+-≤则该命题的否定“”是真命题， 214(2)0R,4x x a x +-+∈∀>所以，解得； 2(2)40a ∆=--<04a <<故选：D.5. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A.B.C.D.16141312【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D ．12【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．6. 已知，则（） 3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.B.C. D. 354535-45-【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为， 23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题 7. 设等比数列的前项和为，则（） {}n a n 271,8,4n S a a =-=6S =A. B.C.D.212-152212632【答案】C 【解析】【分析】设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n 项和公式{}n a q 572a a q =q 1a 求.6S 【详解】设等比数列公比为，则，又， {}n a q 572a a q =2718,4a a =-=∴，故， 12q =-116a =又，即. 1(1)1-=-n n a q S q 666311616[1()]216421321()22S ⨯⨯--===--8. 如图正方体中，点分别是的中点，为正方形的中心，则1111ABCD A B C D -,E F 11AB,A D O 1111D C B A （）A. 直线是异面直线B. 直线是相交直线 ,EF AO 1,EF BBC. 直线与所成角为D. 直线 EF 1BC 30 1,EF BB 【答案】C 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断直线与，是否异面，用向量法求异面直线所成角.即EF AO 1BB 可得到答案.【详解】在正方体中，点分别是的中点，1111ABCD A B C D -,E F 11AB,A D 为正方形的中心，O 1111D C B A 易知四边形为平行四边形，所以相交，故A 不正确.AEOF ,EF AO 若直线是相交直线，则直线相交或平行，这与题意不符合，故B 不正确. 1,EF BB 1,B F BE 以分别为轴建立空间坐标系，设正方体的棱长为2，如图1,,DA DC DD ,,x y z则,1(2,1,0),(2,2,0),(1,0,2),(0,2,2)E B F C 1(2,2,2)B则,, (1,1,2)EF =--1(0,0,2)BB = 1(2,0,2)=- BC 则. 111cos ,||EF BC EF BC EF BC ⋅=⋅所以直线与所成角为，故C 正确.EF 1BC 30 ,故D 不正确.111cos ,||EF BB EF BB EF BB ⋅=⋅故选：C【点睛】本题考查空间直线的位置关系，异面直线所成角，属于中档题.9. 如图在中，，为中点，，，，则ABC A 90ABC ∠=︒F AB 3CE =8CB =12AB =EA EB ⋅=（）A. B. C.D.15-13-1315【答案】C 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，， (12,0)A (0,0)B (0,8)C (6,0)F 又，，， 3CE =8CB =12AB =则，10CF =即，即， 310CE FC =710FE FC =则，()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭则，， ,552851EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 则；25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C ．10. 已知，，且，则的最小值是（） 0a >0b >124a b+=46a b +A. B. C. D. 4+4+8+4+【答案】B 【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 46a b +1124a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭46a b +【详解】已知，，且，则，0a >0b >124a b+=11214a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以， ()()1121121434646238422a b a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1842⎛≥+==+ ⎝当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是. a =46a b +4+故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11. 过双曲线的左顶点A 作斜率为1的直线，若与双曲线的两条渐近线分别交于B,C ，且2221y x b-=l l ，则此双曲线的离心率是2AB BC =A.B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】 ,直线的方程为，与渐近线方程联立，，解得：，()1,0A l 1y x =-1{y x y bx=-=-11x b =+，；，解得：，，根1b y b =-+1,11b B b b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭1{y x y bx =-=11x b -=-1b y b -=-1,11b C b b --⎛⎫⎪--⎝⎭据 , ，，可得，解得，双2AB BC = ,11b b AB b b --⎛⎫=⎪++⎝⎭ 2222,11b b BC b b --⎛⎫= ⎪--⎝⎭22211b bb b --=+-2b =曲线的离心率，故选C. e ac===12. 已知，且，，，则（） 1,,,ea b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭ln 55ln a a =-ln 33ln b b =-ln 22ln c c=-A. B. b<c<a c b a <<C. D.a cb <<a bc <<【答案】A 【解析】【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小.()ln f x x x =,,a b c 【详解】设函数，，当，此时单调递增，当()ln f x x x =()1ln f x x '=+1,,()0ex f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭()f x ，此时单调递减，由题，，，得10,,()0e x f x ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭()f x ln 55ln a a =-ln 33ln b b =-ln 22ln c c =-，因为，所以11111111ln ln ,ln ln ,ln ln ln 55332244a a b b c c ====1111543e<<<，则，且，所以. 111111ln ln ln 554433>>ln ln ln a a c c b b >>1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭a cb >>故选：A.【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.二填空题（每题5分，共4道小题，共计20分）13. 已知某校随机抽取了名学生，将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校100有名学生，则在本次体育测试中，成绩不低于分的学生人数约为__________．300070【答案】 2100【解析】【详解】依题意，所求人数为，故答案为. ()30000.0300.0250.015102100⨯++⨯=210014. 在二项式的展开式中，的系数为__________．5(x 2x 【答案】. 52【解析】【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可.r 2x 【详解】结合二项式定理的通项公式有：，355215512rrr r r r T C x C x--+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝令可得：，则的系数为：.3522r -=2r =2x 22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即、n r n r 均为非负整数，且，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再n r ≥求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为 1 的正三角形，为球S ABC -O ABC A SC O 的直径，且，则点到平面的距离为_______________.2SC =S ABC【解析】【分析】根据球与几何体的组合体的几何性质，利用垂直关系，即可求解. 【详解】设球心为 , 过三点的小圆的圆心为, 则平面, O ABC 1O 1OO ⊥ABC 延长交球于点, 则平面.1CO D SD ⊥ABC高1123CO OO ==∴==∴ 12SD OO ==16. 已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是________． (0,2)x ∈x 21e 2x k x x x <+-k 【答案】 [0,e 1)-【解析】【分析】首先由，，求的取值范围，再利用参变分离变形为220+->k x x ()0,2x ∈k 恒成立，转化为构造函数，利用导数求函数的最小值，即可求得2e 2<+-x k x x x 2e ()2=+-xf x x x x实数的取值范围.k 【详解】解：依题意，知，即对任意恒成立，从而，因此由220+->k x x 22>-k x x (0,2)x ∈0k ≥原不等式，得恒成立．令，则．令2e 2<+-x k x x x 2e ()2=+-xf x x x x 2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x ，得．当时，．函数在上单调递增；当时，()0f x '=1x =(1,2)x ∈()0f x '>()f x (1,2)(0,1)x ∈，函数在上单调递减，所以，故实数的取值范围是()0f x '<()f x (0,1)min ()(1)e 1<==-k f x f k ．[0,e 1)-故答案为：[)0,1e -三解答题（共6道小题，共计70分，22题，23题选做一题，多做按照第一题计分，写清楚必要的文字说明和演算步骤）17. 已知数列的前项和，数列满足.{}n a n 122n n S +=-{}n b ()1n n n b a a n *+=+∈N （1）求数列的通项公式； {}n b （2）若，求数列的前项和.()2log n n c a n *=∈N {}nn bc ⋅n n T 【答案】（1）32nn b =⨯（2）()13126n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）由，可得，后可得的通项公式； 111N 2n n n S n a n S S n *-=⎧=∈⎨-≥⎩，，，n a {}n b （2）由（1）可得，后可由错位相减法求数列的前项和. 2log n n c a n =={}n n b c ⋅n n T 【小问1详解】当时，， 1n =112a S ==当时，， 2n ≥12nn n n a S S -=-=又满足上式，∴，12a =()2nn a n *=∈N ∴. 132nn n n b a a +=+=⨯【小问2详解】由（1）得，，，∴，2n n a =32nn b =⨯2log n n c a n ==∴，32nn n b c n ⋅=⨯∴，①()2331222322nn T n =⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①×2得，②()2341231222322n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①②得，-()()211322223122nn n n T n n ++⎡⎤-=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=⨯-⨯-⎣⎦∴.()13126n n T n +=-⨯+18. 在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为平行四边形，M 为AA 1的中点，BC ＝BD ＝1，1AB AA ==（1）求证：MD ⊥平面BDC 1；（2）求二面角M -BC 1-D 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）证明BD MD 和MD BC 1即可证明MD ⊥平面BDC 1；⊥⊥（2）以DA 为x 轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）因为BC =BD =，CD =AB ，可得BC 2+BD 2=CD 2，1BD BC ，∴⊥又 AD BC ，BD AD . //∴⊥又ABCD -A 1B 1C 1D 1 是直四棱柱，DD 1平面ABCD ，DD 1BD .∴⊥∴⊥，BD 平面ADD 1A 1，BD MD ，1= DD AD D ∴⊥∴⊥取BB 1中点N ，连接NC ，MN ，且，为平行四边形，，// MN DC MNCD ∴//∴MD NC，，，BC 1CN ， 1NB BC BC CC =1~NBC BCC ∴A A 190C BC BCN ∠∠∴+=∴⊥又 MD NC ，MD BC 1， //∴⊥又BC 1=B ，MD 平面BDC 1；BD ⋂∴⊥（2）以DA 为x轴，DB 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，， (0,1,0)B 1(C -M ⎛ ⎝1,BM ⎛=- ⎝1(BC =-由（1）可知为平面BDC 1的一个法向量，， DM DM ⎛= ⎝ 设平面C 1BM 的一个法向量为，(,,)n x y z =，则，可取，∴100BC n BM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩x x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩n ⎫=⎪⎪⎭ 设二面角M -BC 1- D 为，θ所以，cos DM n DM nθ⋅==即二面角M -BC 1- D . 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求面面角，属于中档题.19. 第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时） [)0,1 [)1,2 [)2,3[)3,4[)4,5[)5,6收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表： 22⨯ 男女合计体育达人 40 非体育达人 30 合计并判断能否有90％的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率. 附表及公式：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.87910.828. ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）填表见解析；有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关；（2）. 815【解析】【分析】(1)依题意完善列联表，计算卡方，再跟参考值相比较，即可判断；（2）记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，则，计算可得；A ()114226C C P A C ⋅=【详解】解:（1）由题意得下表：男女合计体育达人 40 20 60 非体育达人 30 30 60 合计 7050120的观测值为. 2k ()21201200600242.706705060607⋅-=>⨯⨯⨯所以有90％的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件，. A ()114226815C C P A C ⋅==答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为. 815【点睛】本题考查独立性检验以及古典概型的概率计算，属于基础题.20. 已知椭圆为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>A B 点为椭圆的左焦点，且的面积是F FAB A 1（1）求椭圆的方程；C （2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为与不重合)，则直1x my =+C P Q 、P x (11P P Q 线与轴交于点，求面积的取值范围. 1PQ x H PQH A 【答案】（1）2214x y +=（2）.⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据离心率和以及可求得的值，从而得到椭圆方程；FAB S ∆222a b c =+,,a b c （2）直线与椭圆相交问题，设交点为，则有，把直线方程与椭圆方程联1122(,),(,)P x y Q x y 111,()P x y -立方程组，消元后可得，写出直线方程，求出点坐标为，又直线过定点1212,y y y y +1PQ H (4,0)PQ ，因此，可用表示出来，可设(1,0)1232=-A HPQ S y y m t =【小问1详解】由题意可得，()()(),0,0,,,0F c B b A a -所以， c a =()112b a c +=+222a b c =+解得，2,1a b ==椭圆的方程为:. ∴C 2214x y +=【小问2详解】设 ,()()()1122111,,,P x y Q x y P x y -、、由 , 得 22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()224230,0m y my m ++-=≠显然 , 由韦达定理有:Δ0>，， 12224m y y m +=-+12234y y m =-+直线的方程为:，1PQ ()211121y y y y x x x x ++=--令 , 则，0y =212112112112x x x y x yx y x y y y y -+=+=++又，11221,1x my x my =+=+则，()()()2112121212121124my y my y my y y y x y y y y +++++===++所以直线与轴交点， 1PQ x ()4,0H 直线过定点，1x my =+()1,0，()12134122PQHS y y∴=⨯-⨯-==Am≠令，t=t>因为，当时，单调递增，(1=+>y t ttt>221-'=>tyt1y tt=+所以在上单调递减，26611PQHtSt tt==++A)+∞.PQHS∴<<A所以面积的取值范围为.PQHA⎛⎝【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数.()()ln1f x ax x=-+（1）讨论的单调性；()f x（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.()11xf x ex-≥-+()0,x∈+∞a【答案】（1），在上单调递减；，在上单调递减，在上单0a≤()1,-+∞0a>11,1a⎛⎫--⎪⎝⎭11,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭调递增；（2）.[)1,+∞【解析】【分析】（1），对参数a分类讨论，根据导数来判断函数的单调区间；()1111ax af x ax x+-=-='++（2）方法一：将不等式右侧项移到左侧，构成新的函数，因函数较为复杂，需要多次求导求得函数单调性，并对参数分类讨论，求出其中满足条件的参数取值范围即可；方法二：移项后，先对参数分类讨论，缩小参数a的取值范围，然后利用放缩法，记，，，()()1ln11xh x ax e xx-=+-+-+()0,x∈+∞()1ln(1)1xh x x e xx-≥+-+-+记，求导，通过证明的单调性，得出()()1ln11xx x e xxϕ-=+-+-+()()1xg x e x=-+，从而证得恒成立，所以在上单调递增，所以()()00g x g >=()0x ϕ'>()x ϕ()0,∞+，所以，符合题意，从而求得参数范围.()()00ϕϕ>=x ()0h x >【详解】（1），其中， ()1111ax a f x a x x +-=-='++1x >-若，，此时在上单调递减； 0a ≤()0f x '≤()f x ()1,-+∞若，由得， 0a >()0f x ¢>11x a>-此时在上单调递减，在上单调递增； ()f x 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭综上所述，，在上单调递减；0a ≤()f x ()1,-+∞，在上单调递减，在上单调递增.0a >()f x 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）【解法一】由题意在恒成立， ()1ln 101xax ex x -+-+-≥+()0,x ∈+∞记，，其中；()()1ln 11xg x ax e x x -=+-+-+()0,x ∈+∞()00g =，其中； ()()21111x g x a e x x --+'=-++()01g a '=-，()()()()()()32331112111xxx x e x g x e x x e x --++''=+-=+++记，()()()311x h x x e x =-++因为，，()()2e 310x h x x x =++>'()0,x ∈+∞所以在上单调递增， ()h x ()0,∞+所以，所以， ()()00h x h >=()0g x ''>所以在上单调递增； ()g x '()0,∞+若，，不合题意； 0a ≤()111ln 202g a e -=+--<若，因为， 01a <<()()21111x xg x a e a e x x --=--+<-++'所以，()ln ln 0ag a a e-'-<=又因为，在上单调递增， ()010g a '=-<()g x '()0,∞+所以当时，，()0,ln x a ∈-()0g x '<所以在上单调递减，()g x ()0,ln a -所以当时，，不合题意； ()0,ln x a ∈-()()00g x g <=若，因为在上单调递增， 1a ≥()g x '()0,∞+所以， ()()010g x g a ''>=-≥所以在上单调递增， ()g x ()0,∞+所以，符合题意； ()()00g x g >=综上实数的取值范围是.a [)1,+∞【解法二】因为， ()()1111x xx e x e x e x --+-=++记，，，()()1xg x e x =-+()0,x ∈+∞()10xg x e '=->所以在上单调递增，所以， ()g x ()0,∞+()()00g x g >=所以恒成立； 101x e x -->+若，，不合题意；0a ≤()1ln 20f a =-<若，由（1）知，在上单调递减，01a <<()f x 10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，不合题意； ()1100f f a ⎛⎫-<=⎪⎝⎭若，记，， 1a ≥()()1ln 11xh x ax e x x -=+-+-+()0,x ∈+∞， ()1ln(1)1x h x x e x x -≥+-+-+记，()()1ln 11xx x e x x ϕ-=+-+-+ ()()()221111111111111x x x e x x x x ϕ=-+->-+-+++'++，()()()()22221211011x x x x x +-++==>++所以在上单调递增，所以， ()x ϕ()0,∞+()()00ϕϕ>=x 所以，符合题意； ()0h x >综上实数的取值范围是.a [)1,+∞【点睛】方法点睛：用导数研究带参函数单调性时，需要对参数分类讨论，导数比较复杂，难以判断正负时，需要通过多次求导的方法求得原函数的单调性；在求参数的具体范围前，如果有一些条件可以缩小参数范围，可以直接省略部分的讨论步骤，在后面证明过程中，适当利用放缩法可以简化参数讨论难度，求得参数范围.22. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点为极xOy 1,1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩θ点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l . cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于P ，Q 两点，求的值. OP OQ ⋅【答案】（1）；；（2）2. ()()22112x y -+-=10x y --=【解析】【分析】（1）直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得曲线的直角坐标方程；把直线的极坐标方C C 程展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；l （2）化曲线的直角坐标方程为极坐标方程，联立曲线的极坐标方程与直线的极坐标方程，消去，C C θ可得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．ρ【详解】（1）由为参数），消去参数得．1(1x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩22(1)(1)2x y -+-=曲线的普通方程为．∴C 22(1)(1)2x y -+-=，得，cos()14πθ+=cos sin 1ρθρθ-=而，．cos x ρθ=sin y ρθ=直线的直角坐标方程为；∴l 10x y --=（2）化曲线的方程为极坐标方程：． C 2cos 2sin r q q =+联立直线的极坐标方程． l cos sin 1ρθρθ-=消去得：．θ42840ρρ-+=设，两点所对应的极径分别为，， P Q 1ρ2ρ则． 212()4ρρ=．12||||||2OP OQ ρρ∴==A 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题． 23. 已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x ＋3|. （1）解不等式f (x )≤8；（2）设x ∈R 时，f (x )的最小值为M ，若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋2c ＝M ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．【答案】（1）[2,2]-（2）6 【解析】【分析】（1）利用绝对值的代数意义去掉绝对值符号，转化为分段函数，再通过不等式组解集的并集进行求解；（2）先利用三角不等式求出值，再通过柯西不等式进行求解. M 【小问1详解】解：f (x )≤8等价于或或， 3223238x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-+--≤⎩332223238x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+++≤⎩3223238,x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩即或或， 322x -≤≤-3322x -<<322x ≤≤所以不等式f (x )≤8的解集为． [2,2]-【小问2详解】解：因为f (x )≥|(2x －3)－(2x ＋3)|＝6，所以M ＝6.因为(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋22)≥(a ＋b ＋2c )2＝36，当且仅当2a ＝2b ＝c 时“＝”成立，所以a 2＋b 2＋c 2≥6，即a2＋b2＋c2的最小值为6.。

2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）.1．下面是关于复数的四个命题：，，的共轭复数为，的虚部为．其中真命题为（）A． B． C． D．2．已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（）A． B．C． D．3．设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点4．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……，将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（）A．12 B．13 C．14 D．155．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．函数在闭区间[3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，-1 B．1，-17 C．9，-19 D．3，-177．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．8．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（）A．B．1 C．D．29．已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则＝（）A．2或2 B．9或3 C．1或1 D．3或110.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图象为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．曲线在点处的切线倾斜角为_________________.12．函数的导数为_________________.13．观察下列不等式，……照此规律，第五．个不等式为 . 14．若，则常数的值为____________________.15．若函数在上是增函数，则的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分）．16. （本小题满分12分）求由直线，，及曲线所围成的图形的面积．17. （本小题满分12分）（1）依次计算，，31112(1)(1)(1)4916a =---， 411112(1)(1)(1)(1)491625a =---- （2）猜想211112(1)(1)(1)(1)4916(1)n a n =----+的结果，并用数学归纳法证明论．18.（本小题满分12分）设13()ln 122f x a x x x =+++，其中，曲线在点处的切线垂直于轴．（1）求的值；（2）求函数的极值．19．（本小题满分12）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20. （本小题满分13分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．（1）求的最小值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是区间[1，1]上的减函数.（1）求的最大值；（2）讨论关于的方程的根的个数．理科数学答案 xx3月一、选择题C BD C C D B A A B二、填空题2222211111111234566+++++< 3三、解答题16．解由，得到或，……………………………………………………………2分则………………………………………………………6分……………………………………………………10分…………………………………………………………………………………………………………12分17．解：（1），，，，………………………………………4分（2）猜想：，………………………………………………………………………5分证明：①当时，，显然成立 …………………………………………………6分 ②假设当命题成立，即2111122(1)(1)(1)(1)4916(1)1k k a k k +=----=++，……………7分则当时， 122111112(1)(1)(1)(1)(1)4916(1)(2)k a k k +=-----++ ………………………………………………………………………11分所以当时，命题成立，由①，②可知，命题对成立．………………………………………………………………12分18. 解：（1）由13()ln 122f x a x x x =+++，得，……………………………2分又曲线在点处的切线垂直于轴，故，解得；…………………………………………………………6分（2），由，得或（舍去），……………………………………………………8分当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，所以函数在处取得极小值，无极大值．…………………………………12分19．解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，……………………………2分要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．…………………6分（2）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤…………8分332280080'()(0120)640640x x h x x x x -=-=<≤令得当时，是减函数；当时，是增函数．所以当时，取到极小值也是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最小为11.25升．………12分20. 解 23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，当时，取最小值，即．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：在内有最大值．…………………………………………………………8分在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．………………………………………………………………………13分21．解：（1）∵在上单调递减，∴在上恒成立，即在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为…………………………4分（2）由.2ln )(ln 2m ex x x x x f x +-== 令,2)(,ln )(221m ex x x f xx x f +-==当上为增函数；当时，为减函数；当,1)()]([,1max 1e e f x f e x ===时……………………………………………………………8分而,)()(222e m e x x f -+-=当时，………………………………………………………………10分,1,122时即当ee m e e m +>>-∴方程无解；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. ……………………………………………14分28942 710E 焎23138 5A62 婢28049 6D91 涑033769 83E9 菩B25201 6271 扱34216 85A8 薨38596 96C4 雄40467 9E13 鸓 l22522 57FA 基~r。

2021年高二下学期第一次月考数学理试题含答案

年高二下学期第一次月考数学理试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、下列图形中不一定是平面图形的是（）A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形 2. 在空间直角坐标系中, 点B 是点关于xOy 面的对称点，则= ( )A. 10B.C.D. 38 3.下列命题正确的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一直线的两条直线平行C.与某一平面成等角的两条直线平行D.垂直于同一平面的两条直线平行4．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取（ )A ．7B ．8C ．9D ．105．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B.13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 6．和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（）。

A. 和都垂直于平面B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且D. 是两条异面直线且7．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M是对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为（）（A）（B）（C）（D）29.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是（D ）第8题图A. B. C. D.10．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分)11．n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．12．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。

河南高二下学期第一次月考理科数学试题有答案.doc

A. C.A.Y'=6cos(2x~7) OB.y r = 3cos(2x --) 6周口中英文学校下期高二第一次月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.己知直线与曲^y=x3+ax+b相切于点(1, 3),则万的值为()A. 3B. -3C. 5D. -52.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间，之间的函数关系为s=3,则1=2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A. 2B. 1C. jD. |3.如下图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x - y+2=0,则/⑴寸⑴等于()B. 2D. 44已知曲^f(x)=xlnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()A. 1B. In2C. 2D. e的导数为(C.Y'=-3cos(2%-7) OD.Y'=-6cos(2x~7) O 16.如果曲线x在点P处的切线垂直于直线y=—3》，那么点P的坐标为()A. (1, 0)B. (0, -1)C.(0, 1)D. (-1, 0)7.若向=｛弓+s籍；己黄，则r度)如=()A. 0B. 1C. 2D. 38.己知函数丁 = 2”+球2+36工一24在*=2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A. (2, 3) B, (3, +oo)C. (2, +oo)D. (—oo, 3) 9.对于函数/'(%)=x3—3x2,给出命题：%1广(刈是增函数，无极值；%1t(x)是减函数，无极值；%1r(x)的递增区间为(一3, 0), (2, +8),递减区间为(0, 2)；%1尸(0) =0是极大值，广(2) = 一4是极小值.其中正确的命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.定积分| .：-l-dx的值为() 0 1A. 1B. In2八、3 1 n 1 i c 1C・-y D・yin 2- y16.下列等式成立的是(C. J21|%|tb£=2j o1|x|dxD. £(x+l)±t=J^ xdx12,设函^f(x)=ax2+bx+c (a, b, cWR),若x=-l为函数/3)e，的一个极值点, 则下列图象不可能为,=4工)的图象是()y%1.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分2 0分.13.曲线］=工2—3x在点P处的切线平行于*轴，则点P的坐标为.14.Ci萨奴= -------15.^f(x)=ax2—bsinx,且「(0)=1，f ;= '，贝!|a=, b=.16.已知函数r(x)=*3—3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则a的取值范围是•%1.解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分).已知抛物^y=x2+bx+c在点(1, 2)处的切线与直线]= x—2平行，求方，c的值.18.(本小题满分12分)..⑴已知函数/3) = 13—8x+ fix2, M/(xo)=4,求x()的值. (2)己知函数/3)=/+2寸(0),求f(0)的值.19.(本小题满分12分)已知函^f(x)=ax3+bx2+cx^点*()处取得极小值5,其导函数的图象经过(1, 0), (2, 0),如图所示，求：(1)xo的值；(2)a, b, c的值;(3)/(x)的极大值.20.(本小题满分12分)已知函数/3)=xln x.⑴求/⑴的最小值；(2)讨论关于*的方程/(x)—7”=0 (»i《R)的解的个数.21.(本小题满分12分)..已知/3)=axTnx, xG(0, e],其中e是自然常数，aER.⑴当。

高二下第一次月考--数学(理)含答案

绝密★启用前第二学期第一次月考高二数学试卷（理科基础卷）考试范围：选修2-2第1.2.3章；考试时间：120分钟；命题人：注意事项：1．答题前填写好自己的姓名.班级.考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题共60分）一.单选题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.函数()3ln f x x =在1x =处的切线的斜率为（） A. 0 B. 2 C. 3 D. 3e2.曲线3123y x =-在点71,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角为（）A. 30︒B. 45︒C. 135︒D. 60︒ 3.若函数()cos f x x x =+，则()f x 的导数()f x '=（） A. 1cosx - B. 1cosx + C. 1sinx - D 1sinx +. 4.函数x x y +=3的递增区间是（） A.B.C.D.5.函数f(x)的图象如图所示，则()f x '的图像可能是（）A. B. C. D.6.若函数()3239f x x ax x =++-在x=-3时取得极值，则a =（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 57.函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是（） A. 在点0x 处的斜率B. 在点))(,(00x f x 处的切线与轴所夹的锐角的正切值C. 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率D. 点))(,(00x f x 与点(0,0)连线的斜率8.用反证法证明命题“设b a ,为实数,则方程03=++b ax x 至少有一个实根”时,要做的假设是（）A. 方程03=++b ax x 没有实根B. 方程03=++b ax x 至多有一实根C. 方程03=++b ax x 至多有两实根D. 方程03=++b ax x 恰好有两实根 9.用数学归纳法证明“122...221322-=++++++n n ”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为（）A. 1B. 1+2C. 2221++D. 322221+++ 10.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为（）A. 21B. 34C. 52D. 5511.有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 12.若函数()()211x f x e a x =--+在()0,1上递减，则a 的取值范围是（）A. ()221,e ++∞B. )221,e ⎡++∞⎣C. ()21,e ++∞D. )21,e ⎡++∞⎣第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省莆田市第二十五中学2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题理

莆田其次十五中学2024-2025学年下学期月考一试卷高二理科数学考试时间：120分钟；留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．已知命题，. 则为（）A．， B．， C．， D．，2．椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．若函数，则（）A． B． C．1 D．04．一质点沿直线运动，假如由始点起经过秒后的位移与时间的关系是，那么速度为零的时刻是A．0秒 B．1秒末 C．4秒末 D．1秒末和4秒末5．椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A． B．C． D．6．已知函数，则（）A．0 B．-1 C．1 D．-27．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（）A． B．C． D．8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．以下有关命题的说法错误的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．命题“在△ABC 中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题；D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥10．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A ．2B ．C ．D ．11．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．12．已知点，，则，两点的距离的最小值为A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)二、填空题13．命题“若，则”的逆否命题是______．14．焦点为()0,2的抛物线标准方程是__________．15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--332912=___________。

高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性；（Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0，即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ）设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0，当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。

2021年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)含解析

2021年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆4．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．38．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．xx学年山东省淄博市淄川一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故答案为：B．2．若p∧q是假命题，则（）A．p是真命题，q是假命题B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个是假命题D．p、q至少有一个是真命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断．【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．故选C．3．已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆【考点】轨迹方程．【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M 点的轨迹．【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：①若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|＞|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；②M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；∴只有M在线段F1F2上符合条件；∴M点的轨迹是线段．故选：C．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案．【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=．故选C．5．中心在原点的双曲线，一个焦点为，一个焦点到最近顶点的距离是，则双曲线的方程是（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，双曲线的焦点在y轴，c=，a=1，从而可得其标准方程．【解答】解：∵中心在原点的双曲线，一个焦点为F（0，），∴其焦点在y轴，且半焦距c=；又F到最近顶点的距离是﹣1，∴a=1，∴b2=c2﹣a2=3﹣1=2．∴该双曲线的标准方程是y2﹣=1．故选A．6．已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中c=＞0∵BC⊥AB，且BC=AB=2c∴AC==2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c∴椭圆的离心率e====故选A7．椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值为（）A．1 B． C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】确定a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，4﹣a2=a+2，即可求出a的值．【解答】解：因为椭圆与双曲线﹣=1有相同的焦点，所以a＞0，且椭圆的焦点应该在x轴上，所以4﹣a2=a+2，所以a=﹣2，或a=1．因为a＞0，所以a=1．故选：A．8．已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（）A．0 B． C．πD．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由cos＜＞==﹣1，能求出向量与的夹角为π．【解答】解：∵A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，∴向量=（﹣1，﹣2，6），=（1，2，﹣6），∴cos＜＞==﹣1，∴向量与的夹角为π．故选：C．9．与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（）A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（，﹣3，﹣2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线定理即可判断出．【解答】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣，因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是．故选：C．10．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（）A．60°B．90°C．45°D．以上都不正确【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】根据本题的条件，E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，容易证明∠AEA1=90°，再由长方体的性质容易证明AD⊥平面ABB1A1，从而证明AE⊥平面A1ED1，是一个特殊的线面角．【解答】解：∵E是BB1的中点且AA1=2，AB=BC=1，∴∠AEA1=90°，又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE，∴AE⊥平面A1ED1，故选B二、填空题11．已知向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，则（x+y）的值是﹣2．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，知，由此能求出x+y．【解答】解：∵向量=（1，2，﹣3）与=（2，x，y）平行，∴，解得x=4，y=﹣6，∴x+y=4﹣6=﹣2．故答案为：﹣2．12．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成角的余弦值是．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．【分析】根据题图中的坐标系得到向量，，，的坐标，利用向量的坐标运算解答．【解答】解：由已知题图中坐标系得到D（0，0，0），B（1，1，0），E1（1，，1），F1（0，，1），=（0，﹣，1），=（0，，1），所以cos＜，＞===，所以BE1与DF1所成的角的余弦值为．故答案为：．13．已知椭圆x2+ky2=3k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质．【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2﹣b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离心率．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为．∵焦点（3，0）在x轴上，∴a2=3k，b2=3，又∵c2=a2﹣b2=9，∴a2=12，解得：k=4．=故答案为：．14．已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．15．已知命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．【考点】复合命题的真假．【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法可得命题P与Q的m 的取值范围，再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得P与Q必然一个为真一个为假．即可得出．【解答】解：命题P：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根．∴，解得m＞2．命题Q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得：1＜m＜3．若“P或Q”为真，“P且Q”为假，∴P与Q必然一个为真一个为假．∴或，解得1＜m≤2，或m≥3．则实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（1，2]∪[3，+∞）．三、解答题16．在三棱锥P﹣ABC中，PB2=PC2+BC2，PA⊥平面ABC．（1）求证：AC⊥BC；（2）如果AB=4，AC=3，当PA取何值时，使得异面直线PB与AC所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得PC⊥BC，PA⊥BC，由此能证明AC⊥BC．（2）推导出PA⊥AC，设PA=x，由向量运算法则能求出当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．【解答】（本题12分）证明：（1）∵PB2=PC2+BC2，∴PC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴，∴AC⊥BC；…解：（2）∵PA⊥平面ABC，PA⊥AC，，设PA=x，又异面直线PB与AC所成的角为600，则．而∴=，=．∴，．当PA=时，异面直线PB与AC所成的角为600．…17．求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设双曲线方程为，将点A坐标代入算出，从而得到双曲线方程．再将双曲线方程化成标准形式，即可算出a、b、c的值，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为，∴设所求双曲线方程为∵点在双曲线上，∴，解之得∴所求双曲线方程为∵，∴可得，得c=因此，双曲线的离心率为：18．设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．【考点】其他不等式的解法；命题的真假判断与应用．【分析】若“p或q”为真命题即为p真或q真，只要分别求出p真、q真时a的范围，再求并集即可．【解答】解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．19．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【考点】抛物线的标准方程．【分析】先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±220．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ 法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，则即，因此可取=（0，﹣1，﹣2）；设是平面PBQ的法向量，则，可取=（1，1，1），所以cos＜，＞=﹣，故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）由得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得．设A（x1，y1），B（x2，y2）则，，，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即k PE•k AB=﹣1，所以•k=﹣1解得k=±1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0．xx年10月18日f22103 5657 噗22380 576C 坬27823 6CAF 沯36307 8DD3 跓40156 9CDC 鳜32650 7F8A 羊- 39709 9B1D 鬝37477 9265 鉥|T37923 9423 鐣。

2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案(VII)

2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案(VII)一．选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知函数f (x ) = a x2＋c,且=2 , 则a的值为A.1B.C.－1D. 02.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”该结论显然是错误的，其原因是A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误3. 若函数是R上的增函数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.4．已知()y f x =满足'()()xf x f x >-在R 上恒成立，且 a b >，则 A. ()()af b bf a > B. ()()af a bf b >C. ()()af a bf b <D. ()()af b bf a <5．若函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值 , 则 A.01b << B.1b < C.0b > D.12b < 6．设函数()x f x xe =,则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点7．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为AB C 100cm D 20cm 8．若,3>a 则方程0123=+-ax x 在（0,2）上的实根个数是A. 0B.1C. 2D.3 7．设、b 、c 是空间三条直线，α、β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不．成立的是 A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥β ( )C ．当b ⊂α，且c 是在α内的射影时，若b ⊥c ，则⊥bD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c8．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是 ( )A ．S 球>S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球<S 正方体D ．不能确定 9.现有一块边长为2的正方形铁皮，其中E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED，EC向上折起，使A、B重合于点P，做成一个垃圾铲，则它的体积为（）10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( ）A. B. C. D.11．已知球O的内接正四面体ABCD的棱长为，则B、C两点的球面距离是 A． B． C． D．（）12．已知一个三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM ＝，PN ＝2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N－AMC 的体积V与的变化关系((0,3])的是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知一个直四棱柱的底面是一个边长分别为1和2的矩形，它的一条对角线的长为3，则这个直四棱柱的全面积为 .14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这P点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 .15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC 上的一个动点，当点M满足时，平面MBD平面PCD．16．正方体的全面积是24，则它的外接球的体积是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19．(本小题满分12分）已知函数ln()xx kf xe+=(k为常数, 2.71828e=⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线与x轴平行. （1）求k的值;（2）求()f x的单调区间.20. (本小题满分12分）观察（1）223sin30cos60sin30cos604 ++=;（2）223sin10cos40sin10cos404 ++=;（3）223sin6cos36sin6cos364++=.请你根据上述规律，提出一个猜想，并证明.21.（本小题满分12分）已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于D(x，0)（Ⅰ）求x的取值范围．（Ⅱ）△ABD能否是正三角形?若能求出x的值，若不能，说明理由。

安徽省高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

淮北高二下第一次月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|1?1,|20?A x x B x x x =-<<=--<,则()RA B =A. (]1,0-B. [)1,2-C. [)1,2D. (]1,2【答案】C 【解析】【分析】求出与,B 中不等式的解集确定出,B ，求出A 的补集，找出补集与,B 的公共部分，能求出结果．【详解】{}{}{}2|11,|20|12,A x x B x x x x x =-<<=--<=-<<{}|1,1,RA x x x 或=≤-≥则(){}|12,RA B x x ⋂=≤<故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（） A. ,ln x R x x ∀∈≤ B. ,ln x R x x ∀∈< C. 000,ln x R x x ∃∈≤ D. 000,ln x R x x ∃∈>【答案】C 【解析】【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为“000,ln x R x x ∃∈≤”，故选C.3. 复数z 满足()12i z i +=+，则z 的虚部为（） A.32B.12C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】【详解】依题意()()()()12i 1i 12i 13i 1i 1i 1i 2z -----===++-，故虚部为32-. 4. 如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（）A. 2B. 1C. 2-D. 3-【答案】B 【解析】【详解】解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B5. 已知平面向量,a b 满足||3a =，23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】【详解】a b+与a垂直，()0,9,9a b a a a b a b a ∴+⋅=∴⋅=-⋅=⋅=-，3cos ,323a b a b a b ⋅-∴===⨯，a ∴与b的夹角为56π，故选D. 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【详解】执行程序框图，输入20,1s i == ，第一次循环20,2s i ==；第二次循环10,3s i ==；第三次循环10,43s i ==；第四次循环51,56s i =<=，退出循环，输出5i = ，故选A. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.3 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【详解】由双曲线方程221124x y -=，可得323,2,1244b a b c a ====+= ，所以渐近线方程为33y x = ，焦点坐标为()4,0 4332113=+ ，故选C.8. 若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b+的最小值是（） A. 16 B. 9C. 12D. 8【答案】B 【解析】【详解】直线220(0,0)ax by a b -+=>>平分圆222410x y x y ++-+=，所以直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆心(-1,2). 即2220a b --+=，即1a b +=.()14144414529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当4b a a b =，即12b 33a ==，时14a b+取得最小值9. 故选B.9. 函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.10. 若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A. 1(,]4-∞ B. 1(0,]4C. 1[0,]4D. 1[,)4+∞【答案】C 【解析】【分析】先考虑a是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑.【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a=-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4，故选C.【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.11. 椭圆22195x y +=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则12y y -的值为（） A. 6 B.32C.92D. 3【答案】D 【解析】【详解】2ABF ∆的内切圆面积为π1r ∴=，由题意得：3a =，b =2c =()2221114622ABF S AB BF AF a ∆=⨯++⨯=⨯=又2121262ABF S c y y ∆=⨯⨯-=123y y ∴-=故选D点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出2ABF ∆的面积，易知2ABF ∆的内切圆的半径长1r =，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题．12. 直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，则||AB 的最小值为( )B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】【详解】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，设()()12,,,A x m B x m .有：()()12221,?ln 1x m x x m +=++=，所以()221ln 111,22x x mx ++=-=- 所以()()2222122ln 1ln 12122x x x x AB x x x +++--=-=--=.令()()()1ln 12,1,1,11xf x x x x f x x x -=+-->-=-=++' 当()1,0x ∈-时，()0f x '>,()f x 单调递增；当()0,x ∞∈+时，()0f x '<,() f x 单调递减； ()()()02,12f x f x f AB ≤=-=≥.即AB 的最小值为1. 故选B.点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+，则n a =______．【答案】14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】【详解】试题分析：当n=1时，111314a S ==+=；当n>1时，()()111313123nn n n n n a S S ---=-=+-+=⋅．所以14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．考点：数列通项公式的求法．点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法．公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式1-1,=1=-,2n n n s n a s s n ⎧⎨≥⎩．此题的第一问求数列的通项公式就是用公式1-1,=1=-,2n n n s n a s s n ⎧⎨≥⎩，用此公式要注意讨论=12n n ≥和的情况．14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin A B =，c =且5cos 6C =，则a =__________．【答案】3 【解析】【详解】sin 3sin ,A B =所以根据正弦定理可得3,a b =222221055cos ,266a b c b C ab b +--∴===1,3b a ∴==，故答案为3. 15. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点为,,,A B C D ，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是__________．【答案】12【解析】【详解】由题意,不妨设点()(),0,0,A a B b ,则直线AB 的方程为：1x ya b+= 即0bx ay ab +-=.∵菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点 ∴原点到直线AB 的距离为22ab c a b=+∴()22222a b c a b =+∴()()2222222aac c a c -=-∴422430a a c c -+= ∴42310e e -+= ∴2352e ±= ∵0<e<1∴512e =51-. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 16. 设函数()ln ,m f x x m R x =+∈，若任意两个不等正数,a b ，都有()()1f b f a b a-<-恒成立，则m 的取值范围：__________．【答案】14m ≥ 【解析】【详解】任意两个不等正数,a b ，都有()()1f b f a b a -<-恒成立，即为()()0f b b f a a b a⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦<-恒成立，则()y f x x =-在()0,+∞上为减函数. 则有()21110my f x x x=-='--≤'在()0,+∞上恒成立，即2m x x ≥-在()0,+∞上恒成立，令()2211(x ),024g x x x x =-=--+>，()1124max g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以14m ≥. 故答案为14m ≥. 三、解答题（第17题10分，其余5题每题12分）17. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin a B =. （1）求A 的大小；（2）若3,4a b c =+=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）12ABC S ∆=【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理得到sin sin sin A B B =，即sin A =；（2）由余弦定理得到229b c bc +-=，又因为4b c +=，可解出未知量73bc =，进而求得面积．解析：（1）∵2sin a B =，∴sin a B b =，由正弦定理得sin sin sin A B B =，即sin A =∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3A π=.（2）∵2222cos ,3,3a b c bc A a A π=+-==，∴229b c bc +-= 又4b c +=，∴()239b c bc +-=，73bc =，∴117sin 223ABC S bc A ∆==⨯=. 18. 已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)见解析(2) 4n n + 【解析】【详解】试题分析：⑴由122n n n a a a +=+得到1212n n n a a a ++=，进而得到11112n n a a +-=； ⑵求出n a ，推出n b ，利用裂项法求解数列的和即可；解析：（1）∵122n n n a a a +=+，∴1212n n n a a a ++=，∴11112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）由（1）知()11113122n n n a a +=+-⨯=，所以23n a n =+，∴()()41143434n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭，1111114455634n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦114444n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭19. 已知函数()321613f x x ax x =++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)52a =-；(2)11732m -<<-. 【解析】【详解】试题分析：（1）由()f x 在2x =取极值，可得()'20f =，解方程可求出52a =-；（2）由（1）得()f x 的解析式，关于x 的方程()0f x m +=在[]1,2有两个不同的根，等价于函数()f x 的图象与直线y m =-有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数()f x 在区间[]1,2的范围，结合图象可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()321613f x x ax x =++-，则()226f x x ax =++' 因在2x =时，()f x 取到极值所以()204460f a =⇒++=' 解得，52a =- （2）由（1）得()32156132f x x x x =-+-且13x ≤≤ 则()()()25623f x x x x x =-+=--'由()0f x '=，解得2x =或3x =；()0f x '>，解得3x >或2x <；()0f x '<，解得23x <<∴()f x 的递增区间为：(),2-∞和()3,+∞；()f x 递减区间为：()2,3又()1123f =，()732f = 故答案为11732m -<<-20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .122F F =，椭圆离心率e =. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于,A B 两点，若1AF B △的面积为3，求直线l 的方程.【答案】(1) 2212x y += (2) 210x y --=或210x y +-= 【解析】【详解】试题分析：(1)由122F F =可得1c = ，由e =a =，利用222abc =+可得21b =，从而可得椭圆C 的方程；(2) 设直线l 的方程为1x my =+，代入2212x y +=化简得()222210m y my ++-=，根据韦达定理、弦长公式结合三角形面积公式可得223m =+，解得2m =±，从而可求出直线l 的方程.试题解析：(1)222222221,2,112c c a b c e a =⎧⎪⇒===⎨==⎪⎩， ∴椭圆方程为2212x y +=. (2)∵()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入2212x y +=化简得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，11212221222AF B S F F y y m m =-===++，=2m =±. 故直线l 的方程为210x y --=或210x y +-=.21. 如图所示，已知点(),3M a 是抛物线24y x =上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于,A B 两个不同的点.（1）求点M 到其准线的距离；（2）求证：直线AB 的斜率为定值.【答案】(1)134；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）由点(),3M a 在抛物线24y x =上得2934,4a a ==，可得准线方程为1x =-，由此能求出点M 到其准线的距离；（2）设直线MA 的方程为934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立29344y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得241290y y k k -+-=，由已知条件推导出443,3A B y y k k=-=--，根据斜率公式，化简可消去参数k ，从而证明直线AB 的斜率为定值.【详解】（1）解：∵(),3M a 是抛物线24y x =上一定点 ∴234a =，94a =∵抛物线24y x =的准线方程为1x =-∴点M 到其准线的距离为：134. （2）证明：由题知直线MA MB 、的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立29344y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩ 241290y y k k ⇒-+-=43A y k +=，∴43A y k=- ∵直线AM BM 、的斜率互为相反数∴直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，同理@可得：43B y k=-- ∴2244A B A B AB B A B A y y y y k y y x x --==-- 423A B y y ==-+ 22. 已知函数()ln(1)(1)1(R)f x x k x k =---+∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()2*ln 2ln 3ln 4ln 2,N 34514n n n n n n -+++⋯+<≥∈+. 【答案】（1）函数()f x 的递增区间为1(1,)k k +，函数()f x 的递减区间为1(1,)k ++∞；（2）1k ；（3）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导得1()1k kx f x x +-'=-，对k 进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，0k ≤时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，而(2)0f >，()0f x ≤不成立，故0k >，由（1）可得max 1()(1)f x f k=+，即可求出k 的取值范围；（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在(1)+∞，恒成立，即ln(1)2x x -<-，进而换元可得22ln 1n n <-，所以ln 112n n n -<+，即可得证. 试题解析：（1）定义域为()1,+∞，()1111k kx f x k x x +-=-='-- 若0k ≤，()101f x k x =-≥-'，()f x 在()1,+∞上单调递增若0k >，()11k k x k f x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-，所以，当()0f x '>时，111x k <<+，当()0f x '<时，11x k>+ 综上：若0k ≤，()f x 在()1,+∞上单调递增；若0k >，()f x 在11,1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减（2）由（1）知，0k ≤时，()210f k =->不可能成立；若0k >，()0f x ≤恒成立()max 110f x f k ⎛⎫⇔=+≤⎪⎝⎭，11ln 0f k k ⎛⎫+=-≤ ⎪⎝⎭，得1k ≥ 综上，1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，即()ln 12x x -<-令()2*1N ,1x n n n -=∈>，得22ln 1n n <-，即ln 112n n n -<+ ln2ln3ln4ln 3451n n +++++ ()1123122224n n n --<++++=，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。

高二下学期第一次月考答案理科

高二下学期第一次月考试题数学（理）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上。

13． 3 14 (1，＋∞) (0,1) 15.316．[－2，＋∞) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，求整数a 的值．解：∵曲线y ＝x 3－2ax 2＋2ax ，∴该曲线上任意点处切线的斜率k ＝y ′＝3x 2－4ax ＋2a . 又∵切线的倾斜角都是锐角，∴k >0恒成立，即3x 2－4ax ＋2a >0恒成立． ∴Δ＝(－4a )2－4×3×2a ＝16a 2－24a <0，∴0<a <32.又∵a ∈Z ，∴a ＝1.18．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2－2x ＋1. (2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛1(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.19．中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．解：设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由F 1(0，50)得a 2－b 2＝50.把直线方程y ＝3x －2代入椭圆方程整理得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0.设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b2，又AB 的中点的横坐标为12，∴x 1＋x 22＝6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2，与方程a 2－b 2＝50联立可解出a 2＝75，b 2＝25.故椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.20．(2008年高考海南、宁夏卷)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 02)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 02)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.21．（2009陕西卷文）(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，AC =(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的大小。

高二数学下学期第一次月考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校大学城第一中二零二零—二零二壹高二数学下学期第一次月考试题理〔含解析〕一、单项选择题〔本大题一一共12小题〕,那么复数的虚部是()A. B. C.1 D.-1【答案】C【解析】【分析】将代入的表达式中，并进展化简，由此求得的虚部.【详解】将代入的表达式中得，故虚部为，所以选C.【点睛】本小题主要考察复数的除法运算，考察运算求解才能，属于根底题.是可导函数，且，那么()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合导数的定义整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：,即：.此题选择C选项.点睛：此题主要考察函数在某一点处导数的定义及其应用，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先对函数求导，再将代入即可.详解：函数，将代入，得应选D.点睛：此题考察复合函数的导数，解题的关键是准确掌握导数计算的公式.在点处的切线方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，然后由直线方程的斜截式得答案．【详解】由，得，，，那么曲线在点处的切线方程是，即．应选：C．【点睛】此题考察利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，求曲线在点P处的切线，那么说明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.5.如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用定积分计算得阴影局部的面积，在利用几何概型概率计算公式求得所求的概率.【详解】依题意的阴影局部的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，应选A.【点睛】本小题主要考察定积分的计算，考察几何概型的识别以及其概率计算公式，属于根底题.的图象如下列图〔其中是函数的导函数〕，那么的图象可能是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先由的图像判断出的单调性，进而可判断出结果。

2021-2022年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案(VI)

2021-2022年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案(VI)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. , =6，则【】A. B. C. D.2.下列求导运算正确的是【】A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x3.由曲线,,,和轴围成的曲边梯形的面积= 【】 A . B .C .D .4.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有【】A. f(x) > 0B. f(x) < 0C. f(x) = 0D. 无法确定5.函数导数是【】A .B .C. D.6. 已知f(x)的导函数图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的【】7.曲线与坐标轴围成的面积是【】A.4B.C.2D.38.函数y＝12x2－ln x的单调减区间是【】A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)9. 已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为【】A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞610.由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为【】A．ln 2 B．ln 2－1C．1＋ln 2 D．2ln 211．函数y＝x ln x在(0,5)上是【】．A．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增 12．设，若函数，有大于零的极值点，则【】A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13．已知物体的运动方程是，则物体在时刻时的速度__________________.14. 计算定积分：＝ .15. 函数32()26(f x x x m m =-+为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为_________________.16.由与直线所围成图形的面积为_______________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .17．(本小题满分10分)已知.（Ⅰ）计算的图象在点（4,2）处的切线斜率；（Ⅱ）求此切线方程.18．(本小题满分12分)已知函数，求函数的单调区间和极值.19.(本小题满分12分)已知为二次函数，且，，.（Ⅰ）求的解析式.（Ⅱ）求在上的最大值与最小值.20. (本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明，该商场每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商品每日销售该商品所获得的利润最大．21. (本小题满分12分）若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－4 3 .(Ⅰ)求函数的解析式．(Ⅱ)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．22．(本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若，求的取值范围.（Ⅱ）证明：.QXYZxx下期第一次月考高二数学答案(理科)一．选择题：19.解：（Ⅰ）设2()(0),f x ax bx c a =++≠则由得，即又1123001()2(2)3f x dx ax a dx ax a x ⎡⎤⎡⎤=+-=+-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ，从而(Ⅱ)所以当时，；当时，21.解：解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎨⎧ f ′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎨⎧ a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4. 22.11(1)()ln 1ln ,()ln 1x f x x x xf x x x x x+''=+-=+=+ 2()1ln 1()ln ,()1xf x x ax x x a g x x x g x x'≤++-≤'=-=-题设等于令则 01()0;1()0,x g x x g x ''<<>≥≤当时，当时，1()()(1)= -1.x g x g x g =≤是的最大值点，[)a -1+.∞综上，的取值范围是，(2)1()(1)= -1,ln +10g x g x x ≤-≤由（）知，即 01()(1)ln 1ln (ln 1)0x f x x x x x x x x <<=+-+=+-+≤当时，1()ln ln 1111ln (ln 1)ln (ln 1)0x f x x x x x x x x x x x x x ≥=+-+=++-=--+≥当时，34438 8686 蚆W22829 592D 夭8F^34800 87F0 蟰3B• 36224 8D80 趀?32290 7E22 縢。

2021年高二下学期第一次月考数学理试题(详解) 含答案

2021年高二下学期第一次月考数学理试题（详解）含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．设则（）(A) (B)(C) (D)2极小值点（）A.个B.个C.个D.个3．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A．B． C． 2 D．44.曲线在点（1，2）处的切线方程为（）A． B.C. D.5．已知是等比数列，，则公比= （）A． B． C． 2 D．6．已知，，，则的取值范围是( )A. B. C. D.7.函数的单调递增区间是A. B.(0,3) C.(1,4) D.8．规定记号“”表示一种运算，即，若，则=（）A． B．1 C．或1 D．2二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在答题纸上.）9.10. =11.已知为实数，且（为虚数单位），则=12. 不等式|x-3|-|x+2|>0的解集为 13. 如图所示，由、、所围成的阴影区域的面积等于．14. 已知数列满足,,则该数列的通项公式三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）15．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是2，其图象经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值．16. （本小题满分12分）如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P —CD —B 的大小；17.(本题满分14分）DPACB18. （本小题满分14分）19.（本小题满分14分）设的导数满足，其中常数。

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ) 设，求函数的极值。

已知函数21()2xf x x e =, ⑴求函数)(x f 的单调区间； ⑵若当[2,2]x ∈-+时,不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 32()231214[3,4].f x x x x =+-+-求函数的在上的最大值与最小值20．（本小题满分14分）已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的距离为6. （1）求此抛物线的方程；（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值.38950 9826 頦31360 7A80 窀m34039 84F7 蓷23407 5B6F 孯22430 579E 垞33230 81CE 臎32784 8010 耐y v34123 854B 蕋 23045 5A05 娅。

高二下学期第一次月考数学【理】试题及答案

高二数学理科月考测试题一、选择题1．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．若p q Λ是假命题，则（） A.p 是真命题，q 是假命题 B.p 、q 均为假命题C.p 、q 至少有一个是假命题D.p 、q 至少有一个是真命题3．1F , 2F 是距离为6的两定点，动点M 满足∣1MF ∣+∣2MF ∣=6,则M 点的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.线段D.圆4．双曲线221169x y -=的渐近线方程为（）A. x y 916±= B. x y 169±= C. x y 43±= D. x y 34±=5．中心在原点的双曲线，一个焦点为(0F 1，则双曲线的方程是（）A ．2212x y -= B ．2212y x -= C ．21x -= D ．21y -= 6．已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆的焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )A 1BC 1+D ．27．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值为（） A ．1 B ．2C ．2D ．38．与双曲线1422=-x y 有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）（A ）112322=-x y （B ）112322=-y x （C ）18222=-x y （D ）18222=-y x9．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（） A ．0 B ．2πC ．πD ．32π10．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，23，－1） D ．（2，－3，－22） 11命题0p x x ∀∈≥R ：，的否定是（）A ．0p x x ⌝∀∈<R ：，B ．0p x x ⌝∃∈≤R ：，C ．0p x x ⌝∃∈<R ：，D ．0p x x ⌝∀∈≤R ：，12 如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB DC =，E 为BC 中点，则AE BC ⋅ 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．已知点(2,0),(3,0)A B -，动点(,)P x y 满足2AP BP x ⋅=，则动点P 的轨迹方程是．14．已知椭圆x y k k ky x 12)0(3222=>=+的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率是．15．已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为___________16、已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，且3021=∠F PF ， 6012=∠F PF ，则椭圆的离心率e 等于．三、解答题17．求渐近线方程为x y 43±=，且过点)3,32(-A 的双曲线的标准方程及离心率。

2021年高二下学期第一次月考数学(理)试题(加强班、平行班) 含答案

2021年高二下学期第一次月考数学（理）试题（加强班、平行班）含答案一、选择题（共12个小题,每题5分,共60分） 1.复数= ( ) A. B. C. D. 2．下列结论正确的是（） A ． B ． C ． D ． 3．已知函数的单调递减区间为（）A ．B ．C ．D ． 4．设f(x)为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )x＝－1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是 ( )A.1B.－2C.12D.－15. 如图，函数与相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )A.1B.C. D.26. 下列积分值等于1的是（）A ．B ．C ．D ．7．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n ∈N*)时,从“n＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为 ( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋18．已知曲线方程f(x)＝sin 2x ＋2ax(a ∈R),若对任意实数m,直线l ：x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f(x)的切线,则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,0) B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) C ．(－1,0)∪(0，＋∞) D ．a ∈R 且a≠0，a≠－1 9.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步,然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令表示第秒时机器人所在位置的坐标,且记,则下列结论中错误的是（） A ． B ． C ． D ．10.已知a ≥0,函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ,若f (x )在[－1,1]上是单调减函数,则a 的取值范围是 ( )A．0<a<34 B.12<a<34C．a≥34D．0<a<1211．已知函数f(x)的图像如图所示,下列数值的排序正确的是( ) A．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)B．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)12．已知函数，函数g（x）=k（x+1）,若函数图象恒在函数g（x）图像的上方（没有交点）,则实数是的取值范围是 ( )A．k>2 B．k≥2 C．0≤k≤2 D．0≤k<2二、填空题(4小题,每题5分,共20分)13．设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________．14.复数是纯虚数,则实数a的取值是________.15.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0),若＝f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为____．16.已知函数，且在点处的切线的斜率为．则________．三、解答题 (6个小题,共70分)17．（本小题满分10分）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0,求常数a，b的值．并求函数的单调减区间.18．（本小题满分12分）已知A（-1,2）为抛物线C：y=2x2上的点,直线l1过点A，且与抛物线C相切.直线l2：x=a(a>-1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D.设设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S1.（1）求直线l1的方程；（2）求S1的值．19.（本小题满分12分）设数列的前n项和为，且满足.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明20．（本小题满分12分）设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax(a>0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．22．（12分）已知函数在点处的切线的斜率为．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）证明：函数的图象恒在直线的下方（点除外）；（Ⅲ）设点,当时,直线的斜率恒大于.试求实数的取值范围．高二理科普通班数学试卷第一次月考答案一、选择题（共12个小题,每题5分,共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACADBDBBDCAD二、填空题(4小题,每题5分,共20分)13. (1，1) 14. -1 15.3316. 0 三、解答题 (6个小题,共70分)17、（本小题满分10分）解：∵f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.(5分)当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．∴a ＝2，b ＝9……………………7分当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；……………………………10分 18．（本小题满分12分）解:（1）由y =2x 2，得．当x = -1时，．∴l 1的方程为y -2= -4(x +1)，即4x +y +2=0………………………………..5分（2）由题意，当a >-1时，⎰--++=++=aax x x dx x x S 112322)2232()242( 323)1(3222322232+=+-+++=a a a a ……………..12分 19（本小题满分12分）第一问4分,第二问8分解析：（1）a=1, a=3, a=7, a=15,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分（2）猜想 =2-1……………………………………………..6分证明：① n=1时成立② 假设n=k 时成立，即=2-1 则n=k+1时，S=2,又S=2两式相减得：由假设及上式得：即：所以；n=k+1时也成立由①②知=2-1，nN 时成立……………………………………………12分 20（本小题满分12分）解：(1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．………….6分 (2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈(1，e)恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a －1≥e－1，f e＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e……………………………..12分21. （本小题满分12分）每问6分解：（Ⅰ）由题f （x ）=ax 3+bx+c ，可得f′（x ）=3ax2+b ，又函数在点x=2处取得极值c ﹣16 ∴，即，化简得解得a=1，b=﹣12 … ………6分（II ）由（I ）知f （x ）=x 3﹣12x+c ，f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2）令f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2）=0，解得x 1=﹣2，x 2=2 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f （x ）在x 1=﹣2处取得极大值f （﹣2）=16+c ， f （x ）在x 2=2处取得极小值f （2）=c ﹣16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f （﹣3）=9+c=21，f （3）=﹣9+c=3，f （2）=﹣16+c=﹣4因此f （x ）在[﹣3，3]上的最小值f （2）=﹣4 …………12分22. （本小题满分12分）（Ⅰ）因为，又因为函数在点处的切线斜率为，所以，所以； 3分（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为：，令，则，又因为，所以当时，；当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，所以当时，取得最大值，所以，所以，即函数的图象恒在其切线的下方（切点除外）(7分) （Ⅲ）因为，所以当时，，即，. 令，所以在单调递增，所以在恒成立，所以在恒成立，所以……………………………………12分c33162 818A 膊35756 8BAC 讬21553 5431 吱24678 6066 恦31907 7CA3 粣n~37712 9350 鍐36203 8D6B 赫u-35394 8A42 詂?30929 78D1 磑。

2021年高二下学期月考(一)数学(理)试题含答案

图12021年高二下学期月考（一）数学（理）试题含答案xx 年3月第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合,，,则（）A ．B ．C ．D ．2．若是真命题，是假命题，则（）A ．是真命题B ．是假命题C ．是真命题D ．是真命题3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（） A ． B ． C ． D ．4．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（） A ． B ． C ． D ．5．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为的扇形,则该几何体的体积为（） A ． B ． C ． D ．6．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（）A ．B ．C ．D ．7．函数是（）A ．最小正周期为的偶函数B ．最小正周期为的奇函数C ．最小正周期为的奇函数D ．最小正周期为的偶函数8．直线截圆所得劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．二、填空题：本大共6小题，每小题5分,满分30分．9.已知向量，，若，则实数的值等于．10．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为,则总体中的个体数为.11.已知函数，则曲线在点处的切线方程_________．12.计算：．13.设，则．14．如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为．第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分12分)在中,角、、的对边分别为、、,且,（1）求角的值；（2）设函数,求的值.16.(本小题满分12分) 华罗庚中学高二排球队和篮球队各有名同学,现测得排球队人的身高(单位:)分别是:、、、、、、、、、,篮球队人的身高(单位:)分别是:、、、、、、、、、.（1）请根据两队身高数据记录的茎叶图,指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2）现从两队所有身高超过的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少? 排球队篮球队17.(本小题满分14分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．18. (本小题满分14分)已知函数，曲线在点处的切线为，（1）求的值；（2）求的极值．19.(本小题满分14分)如图．已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率，F为椭圆的左焦点且（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP ＝PQ。

陕西省高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．函数在处的导数（）()f x 0x x =()()()0000lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆A ．与，△x 都有关 B ．仅与有关而与△x 无关 0x 0x C ．仅与△x 有关而与无关 D ．与，△x 均无关0x 0x 【答案】B【分析】根据导数定义直接判断即可.【详解】函数在处存在导数，则，()f x 0x x =()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆所以仅与有关而与△x 无关， 0x 故选：B2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，==…．按照以上规律，若“穿墙术”，则（） ===n =A ．25 B ．48C ．63D ．80【答案】C【分析】根据，…，归纳=====规律求解.【详解】因为， ====…， ==则按照以上规律： =得. 28163n =-=故选：C.3．已知，且，则实数a 的值为( )()3232f x ax x =++()14f '-=A ．B ．C ．D ．193163133103【答案】D【分析】求f (x )的导数，令x ＝－1即可求出a ．【详解】∵，()3232f x ax x =++∴，()236f x ax x '=+， ()14f '-= ， 364a ∴-=． 103a ∴=故选：D ．4．用数学归纳法证明等式，当时，()()()22222222211211213n n n n n +++-++-+++=L L 1n k =+等式左端应在的基础上加上（） n k =A ． B ．C ．D ．()2212k k ++()221k k ++()21k +()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦【答案】B【解析】写出和时的两式，然后比较可得．n k =1n k =+【详解】时等式为，n k =()()()22222222211211213k k k k k +++-++-+++=L L 时等式为，1n k =+22222222(1)[2(1)1]12(1)213k k k k k +++++++++++=L L 当时，等式左端应在的基础上加上， 1n k =+n k =22(1)k k ++故选：B ．【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用的假设结论证明的n k =1n k =+的结论，因此观察出与之间式子的关系至关重要．1n k =+n k =5．利用反证法证明“若，则”时，应假设为（）20x y +=0x y ==A ．且 B ．且x ，y 都不为0 0x ≠0y ≠x y ≠C ．且x ，y 不都为0 D ．或x y ≠0x ≠0y ≠【答案】D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设或.0x ≠0y ≠【详解】利用反证法证明, 应先假设结论不成立，本题应假设或 0x ≠0y ≠故选：D6．利用分析法证明是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的（）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．必要条件或充要条件【答案】B【分析】利用分析法证明的原理即可得到正确选项. 【详解】利用分析法证明是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到最后一个充分条件成立即可证明原式正确. 故选：B7．函数的单调减区间为 32()31f x x x =-+A ． B ． C ． D ．(2,)+∞(,2)-∞(,0)-∞(0,2)【答案】D【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】，所以函数的单调减区间为32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-< ，故本题选D.(0,2)【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键. 8．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，()y xf x '=()f x '()f x 的图象大致是（）()y f x =A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项. ()y xf x '=()f x 【详解】由题给函数的图象，可得()y xf x '=当时，，则，则单调递增； 1x <-()0xf x '<()0f x '>()f x 当时，，则，则单调递减； 10x -<<()0xf x '>()0f x '<()f x 当时，，则，则单调递减； 01x <<()0xf x '<()0f x '<()f x 当时，，则，则单调递增； 1x >()0xf x '>()0f x '>()f x 则单调递增区间为，；单调递减区间为 ()f x (),1-∞-()1,+∞()1,1-故仅选项C 符合要求. 故选：C9．函数在上的最大值为（） ln y x x =-(0,]x e ∈A ． B ．C ．D ．e 1e -1-【答案】D【分析】先求导函数，令导函数，得．讨论在与内的单调性，11y x'=-0y '=1x =()0,1x ∈(]1,e x ∈进而求得最大值．【详解】对函数求导，得 11y x'=-令，得 110y x'=-=1x =当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减 ()0,1x ∈0y >'A A A A (]1,e x ∈0'<y 所以在处取得极大值，也是最大值，为 1x =ln111y =-=-故选：D10．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（） A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x 【答案】B【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．【详解】y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x 故选：B11．若，则的切线的倾斜角满足（）()e ln xf x x =⋅()f x αA ．一定为锐角 B ．一定为钝角C ．可能为直角D ．可能为0°【答案】A【分析】求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．【详解】，e e (ln 1)()e ln x x xx x f x x x x+'=+=设，则，()ln 1g x x x =+()ln 1g x x '=+时，，递减，时，，递增，10e x <<()0g x '<()g x 1ex >()0g x '>()g x 而，所以时，，所以，1111(ln 110e e e e g =+=->0x >1()()0e g x g ≥>()0f x '>切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．故选：A ．12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则'()f x ()f x x R ∈(1)0f -=0x >'()()0xf x f x -<使得成立的的取值范围是 ()0f x >x A ． B ． (,1)(0,1)-∞- (1,0)(1,)-È+¥C ． D ．(,1)(1,0)-∞-- (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【详解】构造新函数,，当时. ()()f xg x x=()()()2'xf x f x g x x -='0x >()'0g x <所以在上单减，又，即. ()0,∞+()()f xg x x=()10f =()10g =所以可得,此时， ()()0f x g x x=>01x <<()0f x >又为奇函数，所以在上的解集为：. ()f x ()0f x >()(),00,-∞⋃+∞()(),10,1-∞-⋃故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造()()xf x f x '-.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就()()f x g x x=()()f x f x '+()()xg x e f x =()()f x f x -'构造，（3），就构造，（4）就构造()()x f x g x e =()()2f x f x +'()()2xg x e f x =()()2f x f x -'，等便于给出导数时联想构造函数.()()2x f x g x e =二、填空题13．设函数可导且在处的导数值为1，则__________．()f x ()f x 0x ()()0002lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆【答案】23【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答. 【详解】依题意，， 0()1f x '=所以.()()()()0000002022222limlim ()33233x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆故答案为：2314．已知曲线垂直的曲线的切线方程为_________． y =y x =--24【答案】2250x y -+=【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解【详解】设切点为， (),m n因为，y =y '=因为曲线的切线与直线垂直， y x =--24， ()21-=-解得，25m =又点在曲线， (),m n y =25n ==所以切点坐标为，()25,25所以曲线垂直的切线方程为： y =y x =--24， ()125252y x -=-即2250x y -+=故答案为：.2250x y -+=15．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则3y x =3(,)(0)a a a ≠x x a =16=a ________. 【答案】1±【分析】求出函数的导数，求出切线方程，利用三角形的面积列出方程，求解即可．【详解】解：，3y x = ，23y x '∴=，∴2|3x a y a ='=曲线在点处的切线方程为，∴3(,)a a 323()y a a x a -=-即，令，得， 23320a x y a --=0y =23a x =切线与轴，直线所围成的三角形的面积为，解得．∴x x a =3121236S a a a =⨯-⨯=1a =±故答案为：． 1±16．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是____ P 41x y e =+αP α【答案】3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【详解】由已知函数的导数为 41x y e =+'2441(1)2x x x x e y e ee=-=-+++，， 12x x e e +≥= 124x x e e ∴++≥[1,0)y ∴∈-'即，，，即答案为：． tan [1,0)∈-α0απ<< 34αππ∴≤<3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义．属于基础题三、解答题17．求下列函数的导数． (1)y =+(2) ()621e 1x y x -+=-【答案】(1)()241y x -'=-(2) ()()521e 182x y x x -+'=--【分析】（1）利用导数运算规则即可求得该式的导数；（2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数.【详解】（1）221x y x +===- ()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭-()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--18．根据题意求切线方程： (1)求曲线，在点处的切线方程； 21xy x =-()1,1(2)已知函数，求函数过点处的切线方程.()3f x x =()10B ,【答案】(1) 20x y +-=(2)或 0y =274270x y --=【分析】（1）求出导数得出切线的斜率即可点斜式求切线方程；（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程.()300,x x ()10B ,【详解】（1）()()22(21)212121x xy x x --'==--- ．11x y =∴=-'又知切点为，则切线方程为， ()1,1()111y x x -=--=-+即．20x y +-=（2）设切点为，则()300,x x ()2003f x x '=切线方程为，()232300000332y x x x x x x x =-+=-代入点可得，解得或 ()10B ,2300320x x -=00x =032x =又， ()00f '=233273224f ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'故切线方程为或 0y =()2714y x =-即切线方程为或． 0y =274270x y --=19>【答案】证明见解析【分析】用分析法证明即可得出结论成立.【详解】成立， >只需证成立；22>只需证 1515+>+>只需证成立， 5650>因为成立， 5650>所以原不等式成立.【点睛】本题主要考查不等式的证明，分析法是一种常用的方法，逐步推出结论的充分条件，直到得到显然成立的结论即可，是基础题.20．用数学归纳法证明：()()()()*1351211.nnn n n N -+-++--=-⋅∈ 【答案】证明见解析【分析】按照数学归纳法的步骤严格证明即可.【详解】（1）当时，左边=-1，右边=-1，等式成立；1n =（2）假设当时等式成立，()*n k n N =∈即， ()()()1351211k kk k -+-++--=- 则当时，1n k =+左边()()()()11351211211kk k k +⎡⎤=-+-++--+-+-⎣⎦()()()11121k k k k +=-+-+=右边.()()()()()11211111kkk k k k k +=---=--+（--)=所以，当时，等式成立；1n k =+由（1）（2）可知，对.()()()*,1351211n nn N n n ∀∈-+-++--=-⋅ 【点睛】本题主要考查利用数学归纳法证明等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知函数在和处取得极值. 32()23f x x ax bx =+++=1x -2x =（1）求f （x ）的表达式和极值．（2）若f （x ）在区间[m ，m +4]上是单调函数，试求m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=2x 3-3x 2-12x +3,当x =-1时，有极大值10；当x =2时，有极小值-17（2）m ≤-5或m ≥2【分析】（1）由题意得和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求，列表分析导函数符1-3{12a b =-=-号变化规律，确定极值；（2）由（1）可得函数单调区间，根据为单调区间一个子集可得不等式或[],4m m +41m +≤-或，解不等式即可. 1{42m m ≥-+≤2m ≥【详解】解：（1）的两根为和2，∴，得，()2620f x x ax b =++='1-123{126ab-=-+=-⨯3{12a b =-=-∴，∴，()3223123f x x x x =--+()()()26612612f x x x x x '=--=+-令，得或；令，得， ()0f x ¢>1x <-2x >()0f x '<12x -<<所以的极大值是，极小值是.()f x ()110f -=()217f =-（2）由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减， ()f x (],1-∞-[)2,+∞[]1,2-∴或或，∴或，则的取值范围是.41m +≤-1{42m m ≥-+≤2m ≥5m ≤-2m ≥m ][(),52,-∞-⋃+∞【点睛】方法点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略：(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的()f x '()0f x '=()f x '()0f x '=符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数()f x 00(,)x y 0()0f x '=值符号相反.22．某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，规划建设占地如图中30AM =20AN =AMPN 矩形的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，、分别在边ABCD C MN B D 、上，假设长度为米．若规划建设的仓库是高度与的长相同的长方体建筑，问AM AN AB x AB 长为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计）AB【答案】的长度为20米时仓库的库容最大．AB 【分析】由三角形相似可得，从而可得，，则可得仓库的库容DC ND AM AN=23x ND =2203x AD =-，化简后利用导数求其最值 2()203x V x x x ⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭【详解】解：因为，且，． DC ND AM AN=30AM =20AN =所以， 23AB x ND AN AM =⋅=得． 2203x AD AN ND =-=-仓库的库容 2()203x V x x x ⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 32220(030)3x x x =-+<<令，2()2402(20)0V x x x x x '=-+=--=得或（舍去）．20x =0x =当时，；(0,20)x ∈()0V x '>当时，．(20,30)x ∈()0V x '<所以当时，有极大值也是最大值．20x =(x)V 即的长度为20米时仓库的库容最大． AB。