分数拆分经典解法

课 题： 分数的拆分

知识概述：

把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。

教学目标：

1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。

2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。

3、让学生感受归纳的一般方法。

教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。

教具与学具：

本周通知事项：

教学过程：

一、引入：

12

7化成小数等于多少？ 分析：4

131127+==0.3 。+0.25=0.583 。 这里的31和4

1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。

定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。

二、新课教授：

例1：在等式y

x 1161+= 中，求出所有整数解。 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法：

911812)(1×62)(1×161+=++= 10

11513)(2×63)(2×161+=++=

812413)(1×63)(1×161+=++= 8

12416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 9

11816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？

注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。

总结:y

x n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数）

2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组）

3.将n

1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分）

5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：z

y x 11161++= 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？

请同学们说出结果。

例2：已知两个不同的单位分数之和是

12

1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）的最小值是多少？

1.12的所有约数：1，2，3，4，6，12。

2.分组：

第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12）

1813612)(1×122)(1×1121+=++= 131156112)(1×1212)(1×1121+=++= 第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6）

1614813)(1×123)(1×1121+=++= 20

13012)(1×122)(1×1121+=++= 第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）

1516014)(1×124)(1×1121+=++= 21

12812)(3×124)(3×1121+=++= 第四组：（1，6）、（2，12）

14

18416)(1×126)(1×1121+=++= 第七组差值最小。

分析：

b a 11121+= （假设a >b ，即b 1<1a ），⇒b

a 11211-= 12

1211211)1121(111-=+-=--=-b b b b b a b ，b 越大，结果越小。b 是怎么得来的？假设约数为（x ，y ）且x

x 比值最大时，b 最大，即第七组（3，4） 例3：如果c

b a 1111++=

，其中a 、b 、c 为自然数且互不相同，求a+b+c 的和？ 分析：假设a=b=c ，那么3131311++=，三个分数中一定至少有一个比31要大（若全比3

1小的话，则和要比1小，不可能为1），a ，b ，c 为自然数，比31大的单位分数只有2

1。即可转化为c b 11211++=，那么c b 11211+=-即可转化为我们熟悉的问题。 练习：一群酒鬼喝酒，第一瓶时倒了几个，第二瓶时又倒了几个，第三瓶时全部倒下，最后倒下的说他喝了一瓶，如果他说的是真的，那么一共有多少人？

c

b a 1111++=，假设喝第一瓶的有a 个人，那么每个人喝了a 1，以此类推第二瓶，有b 个人，那么每个人喝了b 1，第三瓶，有

c 个人，那么每个人喝了c

1。最后说话的人三瓶酒都喝过了，他第一瓶喝了a 1，第二瓶喝了b 1，第三瓶喝了c

1，最后他说了一句话：他只喝了一瓶。那么c

b a 1111++=。 补充： 公式：111)(n ×11+++=n n n 或者1

111)(n ×1+-=+n n n 推导：

y x 1161+=的过程：

x y 1611-==x x 66-，那么6

6-=x x y ，66-=y y x 令t=x-6，那么x=t+6

t

t t t t y 366366)6(6+=+=+=，将y 代入66-=y y x 中有t x +=6 即t

y 366+= t x +=6 根据t

36为整数，知道t 为36的约数，那么可以列出t 求解。 板书设计： 分数的拆分 例题1、 结论： 例题2、 推导： 例题3、

课后反思：