第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级

第十五届小学“希望杯”全国数学邀请赛
六年级 第2试试题
1．计算：43299.750.142857975%747
⨯+⨯+⨯=__________． 【答案】394
【解析】分百小综合
43299.750.142857975%747
⨯+⨯+⨯ 433213999744774
=⨯+⨯+⨯ 342194777⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭ 3914
=⨯ 394
=．
2．若质数a ，b 满足52027a b +=，则a b +=__________．
【答案】2019
【解析】数论．由题可知，b 为质数，当b 为偶数，即为2时，推出405a =，不符合题意，故b 为奇数， 因2027为奇数，故5a 必须是偶数，所以2a =，从而推出2027522017b =-⨯=，因此220172019a b +=+=．
3．如图，一只玩具蚂蚁从O 点出发爬行，设定第n 次时，它先向右爬行n 个单位，再向上爬行n 个 单位，到达点n A ，然后从点n A 出发继续爬行，若点O 记为(0,0)，点1A 记为(1,1)，点2A 记为(3,3)，点3A 记为(6,6)，，则点100A 记为__________．
【答案】(5050,5050)
【解析】等差数列．
由题可知(123,123)n A n n =+++
+++++； 故100(123100,123100)(5050,5050)A =+++
+++++=．
4．按顺时针方向不断取如图中的12个数字，可组成不超过1000的循环小数x ，如23.067823，678.30678 等，若将x 的所有数字从左至右依次相加，在加完某个循环节的所有数字之后，得到2017，则x = __________． 3
2
1
O 123A 2
A 3
A 1
【答案】78.230678
【解析】周期问题．
按顺时针方向观察可发现，不管起始数字是几，循环小数的循环节均由6，7，8，2，3，0这 六个数字组成，因2017(678230)77÷+++++=（组）15，1578=+，因此78.230678x =．
5．若25:1:436A B =，12:2:353
C A =，则::A B C 用最简整数比表示是__________． 【答案】10:29:6
【解析】化连比
通过化简比可得，:10:29A B =，:5:310:6A C ==，故::10:29:6A B C =．
6．若将算式987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯中的一些“⨯”改成“÷”使得最后的计算结果还是自然数，记
为N ，则N 最小是__________．
【答案】70
【解析】最值问题．要使最后的结果还是自然数，可把9、8、6分解质因数，再根据分解质因数的情
况来确定把多少个乘号换成除号．因：987654321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
(33)(222)7(32)5(22)321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
(33222)75(32223)21=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
所以可变化为98765432170⨯⨯÷⨯÷÷⨯⨯=．
7．有三杯重量相等的溶液，它们的浓度依次是10%，20%，45%，如果依次将三个杯子中的溶液重 量的
12，14，15
倒入第四个空杯子中，则第四个杯子中溶液的浓度是__________%． 【答案】20 【解析】浓度问题．将三个杯子中的溶液均看成1份，则第四个杯子中溶液浓度为：
11110%120%145%1245100%100%20%111245
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯=++溶质溶液．
8．如图，设定E ，F 分别是ABC △的边AB ，AC 上的点，
线段CE ，BF 交于点D ，若CDF △，BCD △， BDE △的面积分别为3，7，7，则四边形AEDF 的面积是__________．
3
2
87660
873
20
【答案】18
【解析】几何．连接AD ，
因3CDF =△，7BCD =△，
故:3:7FD DB =，
则可将AFD △和ABD △分别可看成3份、7份，
因7BDE =△，
故ADE △为7份7-，
又因为7BCD =△，7BDE =△，故CD DE =，
故ACD ADE =△△，为7份7-，
又因为3CDF =△，因此AFD △为7份73--，即3份，
故一份 2.5=，而四边形AEDF 共有10份7-，即25718-=．
9．如图，六边形ABCDEF 的周长是16厘米，六个角都是120︒，若3AB BC CD ===，则EF =__________ 厘米．
【答案】5
【解析】几何．如图，延长并反向延长AF ，BC ，DE ，
因六边形ABCDEF 的每个内角都是120︒，
所以60G H N ∠=∠=∠=︒，
所以GHN △，GBA △，HCD △、NEF △都是等边三角形，
因为3AB BC CD ===，所以3GB BC CH ===厘米，
故三角形GHN 的边长3339=++=厘米，
因此9AB AF EF ++=厘米，即163391DE =---=厘米，
又因为9CD DE EF ++=厘米，
因此9315EF =--=厘米．
F E
C
B
A D D A B
C
E
F
10．如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图5和图6的变化
知，圆柱形铁块的体积是__________立方分米．
【答案】9.42
【解析】立体图形．等地等高的圆柱体和圆锥体，圆柱体是圆锥体体积的3倍，因此圆锥的体积为：
15.7(113) 3.14÷++=立方分米，则圆柱体体积为：3.1439.42⨯=立方分米．
11．若一个十位数20162017ab 是99的倍数，则a b +=__________．
【答案】8
【解析】整除特征．根据能被99整除的特征，可将这个十位数从低位到高位进行两位一截断，即
2016201799ab ++++=，则26ab =，因此8a b +=．
12．如图是甲乙丙三人单独完成某项工程所需天数的统计图．根据图中信息计算，若甲先做2天，接
着乙丙两人合作了4天，最后余下的工程由丙1人完成，则完成这项工程共用__________天．
【答案】9
【解析】工程问题．设工作总量为单位“1”， 则从图可知甲的工作效率110=，乙的工作效率112=，丙的工作效率115
=， 由题可知，最后丙的工作时间为1111124310
121515⎡⎤⎛⎫-⨯-+⨯÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（天）， N
F E
C
B
A H
G
D 图
5
图
6
因此共用：2439++=（天）．
13．用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成三个三位数（每个数字只能用1次），使最大的
数能被3整除；次大的数被3除余2，且尽可能的大；最小的数被3除余1，且尽可能的小，求这个三位数．
【答案】963（或936），875，124
【解析】数论．最大的数最高位为：9，次大的数最高位为：8，最小的数最高位为：1，因次大的数
被3除余2，且要尽可能的大，所以为875，最小的数被3除余1，且要尽可能的小，所以为124，因此，最大的数为963．
14．某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图8所示的长方体容器，此容器装满雨
水需要1小时．
请问：雨水要下满图9所示的三个不同的容器，各需要多长时间？
【答案】①3小时；②1.5小时；③2小时
【解析】由题可知，这个长方体容器的体积为1010303000⨯⨯=立方厘米，接水口面积为1030300⨯=平
方厘米，因为3000300110÷÷=立方厘米，故容器接水口每1平方厘米每1小时可接10立方厘米的雨水，因此：①101030(101010)3⨯⨯÷⨯⨯=小时；②由图可知，容器体积为3000立方厘米，故3000(102010) 1.5÷⨯⨯=小时，③由图可知，底面圆的半径为1厘米，故
3.141120(3.141110)2⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=小时．
15．对大于0的自然数n 规定一种运算“G ”：
①当n 是奇数时，()31G n n =+．
②当n 是偶数时，()G n 等于n 连续被2除，直到商是奇数．
将k 此“G ”运算记作k G ，如1(5)35116G =⨯+=，21(5)(16)1622221G G ==÷÷÷÷=，3(5)3114G =⨯+=，4(1)4221G =÷÷=．
计算：
（1）1(2016)G 的值．
（2）5(19)G 的值．
（3）2017(19)G 的值．
图810cm
10cm
30cm
图9①②
③
10cm 10cm 10cm 10cm
20cm
20cm
30cm
10cm
【答案】①63；②34；③4
【解析】定义新运算．①1(2016)20162222263G =÷÷÷÷÷=；
②1(19)319158G =⨯+=；2(19)58229G =÷=；3(19)329188G =⨯+=；4(19)8822211G =÷÷÷=； 5(19)311134G =⨯+=．
③6(19)17G =；7(19)52G =；8(19)13G =；9(19)40G =；10(19)5G =；11(19)16G =；12(19)1G =；13(19)4G =；14(19)1G =；15(19)4G =
因(201711)21003-÷=，故2017(19)4G =．
16．根据如图的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各多少枝？
【答案】玫瑰：10枝；康乃馨：15枝；百合：3枝
【解析】比．玫瑰：康乃馨2:310:15=，玫瑰：百合10:3=，因此玫瑰：康乃馨：百合10:15:3=，
解：设玫瑰，康乃馨，百合分别为10x ，15x ，3x 枝，则由图可得：
3201561015300x x x ⨯+⨯+⨯=，
解得1x =，
因此玫瑰10枝，康乃馨15枝，百合3枝． 玫瑰与百合的枝数比是10:3
玫瑰与康乃馨的枝数比是2:3
共300元。