10-3 平面曲线的弧长与曲率
弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用
弧线的长度和曲率的关系及其在物理学中的应用弧线是曲线的一种特殊形式，它具有一定的长度和曲率。
本文将探讨弧线的长度和曲率之间的关系，并介绍在物理学中这种关系的应用。
一、弧线的长度和曲率的概念弧线是指在平面上不同点之间的连续曲线。
弧线的长度是指这条曲线所覆盖的实际距离。
曲率是指在曲线上某一点处的切线与该点附近曲线的弯曲程度，曲率的大小与曲线的弯曲程度成正比，可以用弧长来表示。
二、弧线的长度和曲率之间的关系在微积分中，弧长可以通过积分来计算。
设曲线方程为y=f(x)，x从a到b，弧线的长度可以表示为：L = ∫[a,b] √(1+(dy/dx)^2) dx其中，dy/dx为曲线斜率的导数。
而曲率可以通过求导数来计算，即：k = |dy/dx| / (1+(dy/dx)^2)^3/2可以观察到，曲率与弧线的长度之间并没有直接的数学关系。
曲率的计算只与称为“二阶导数”的概念相关，而弧线的长度则需要通过积分来求解。
三、弧线长度和曲率的物理学应用弧线长度和曲率的关系在物理学中有广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学系统中的透镜设计在光学系统中，透镜的曲率决定了光线的聚焦效果，而弧长则影响光线的传输距离。
通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以设计出更加精确的透镜，提高光学系统的成像效果。
2. 电子学中的电路板设计在电子学中，电路板的设计通常需要考虑电子元件之间的布局和连接。
弧线的长度和曲率可以影响电路板的布线长度和连接的可靠性。
通过优化弧线的长度和曲率，可以减少电路板的空间占用，提高电子设备的性能和可靠性。
3. 车辆运动的轨迹规划在机器人或自动驾驶系统中，车辆需要根据预定的路径进行运动。
弧线的长度和曲率可以影响车辆的转弯半径和行驶距离。
通过研究弧线的长度和曲率之间的关系，可以优化车辆的轨迹规划，提高运动效率和安全性。
4. 引力场中的物体运动在物理学中，弧线的长度和曲率对于描述物体在引力场中的运动轨迹非常重要。
曲线的弧长与曲率的计算与性质
曲线的弧长与曲率的计算与性质曲线是我们经常在数学、物理等领域中遇到的概念。
当我们研究曲线的性质时，曲线的弧长和曲率是两个重要的参数。
本文将介绍曲线的弧长和曲率的计算方法，并探讨它们的性质。
一、曲线的弧长计算方法在几何学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的距离。
对于一条平面曲线来说，我们可以通过积分来计算其弧长。
具体计算方法如下：假设有一条曲线C，其方程为y = f(x)，其中a ≤ x ≤ b。
我们可以将曲线分割成无穷多个小线段，然后对每个小线段求长度，并将这些长度累加起来，即可得到曲线C的弧长L。
设曲线上某一点P(x, y)，其切线与x轴的夹角为θ，则小线段的长度可以通过勾股定理计算得到：ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²)dx将dx用x表示，即可得到弧长的积分表达式：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx (a ≤ x ≤ b)通过求解上述积分，我们可以计算曲线的弧长。
二、曲线的曲率计算方法曲率是描述曲线弯曲程度的一个参数，它与曲线上某一点处的切线有关。
曲线的曲率可以通过以下公式计算：K = |dθ/ds| = |(d²y/dx²)/(1 + (dy/dx)²)^(3/2)|其中，dθ表示角度的变化量，ds表示弧长的微元。
我们可以根据上述公式，对曲线进行求导，然后带入相应的数值，即可得到曲线上某点的曲率K。
三、曲线弧长与曲率的性质1. 弧长与曲线的形状有关：对于相同起点和终点的两条曲线，其弧长不同，取决于曲线的形状。
比如，一条圆形的曲线与一条直线的曲线相比，弧长要更长。
2. 曲率描述曲线的弯曲程度：曲率大的地方，曲线的弯曲程度越大；曲率小的地方，曲线的弯曲程度越小。
通过计算曲率，我们可以描述曲线的局部形态。
3. 曲率与切线垂直：曲线上任意一点处的切线与曲线的法线（垂直于切线的直线）平行。
高数 平面曲线的曲率 知识点与例题精讲课件
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
练习题
一、 填空题：
1、 曲率处处为零的曲线为________；曲率处处相等的
曲线为__________.
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 , s R
K lim 1 s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
y
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2
sin
2
t
b2
cos 2
t
3
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x a sin t ;
y b cos t ; 故曲率为
x a cos t y b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
K
(
x y xy x 2 y 2 )32
平面曲线的曲率
( b , b2 4ac)
曲率表征曲线局部性质〔弯曲程度〕的量 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
2a 4a
K 2a
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内外表.问用直径多大的砂轮 才比较适宜？
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
例2、设工件外表的截线为抛物线 y 0.
y 2a 思考：直线任意点处的曲率是多少?
K 注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
现砂在轮要 的用曲砂率轮应磨不削小其于内抛外物表线顶. 点的曲率0.2
3 2
1y 1(2axb) 思考：直线任意点处的曲率是多少?
3 22
y
d
( 1
y2
)dx
0
故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
C:yf(x)
M
x
K d .
ds
例1 抛物线 yax2bxc在哪个点曲率最大？
1、引例：弯曲程度与哪些因素有关？
解: y2axb 砂轮的曲率应不小于抛物线顶点的曲率0.
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
y 2a
25单位长 即直径不得超过2.
C
弧段 M M 平均曲率
K s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M
s
M0 M
0
x
例如：求半径为R 的圆上任意点处的曲率。
M s
R M
思考：直线任意点处的曲率是多少?
注: 直线上任意点处的曲率为 0 !
二、曲率的计算公式
设曲线弧 y f (x)
平面曲线的弧长与曲率
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
π 2
6a.
0
20
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
n
故 lim T 0 i1
x2(i ) y2(i )Δti
数学分析 第十章 定积分的应用
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x2(t) y2(t) dt.
§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
由第一章§1习题 6 可知
*平面曲线的曲率
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又y(t)在[ , ]上连续，从而在[ , ]上一致连续，
b2
ab sin2 t
b2
32.
当 a b 0 时, 在 t 0, π 处曲率最大, 在 t π ,
3π 2
处曲率最小,
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
2
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
数学分析 第十章 定积分的应用
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§3 平面曲线的弧长曲率
平面曲线的弧长
*平面曲线的曲率
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
点击图片任意处 播放开始或暂停
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
曲线的弧长与曲率
曲线的弧长与曲率在微积分学中，曲线的弧长和曲率是研究曲线性质的重要概念。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离，在物理、几何和工程等领域都有广泛的应用。
而曲率则描述了曲线弯曲的程度，是曲线几何形状的重要属性。
本文将从弧长和曲率的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面进行探讨。
1. 弧长的定义和计算方法在平面直角坐标系中，设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中a≤t≤b。
我们希望计算曲线C上从点P到点Q的弧长。
假设P的参数值为t1，Q的参数值为t2。
首先，我们将弧长近似分为许多小线段，然后对这些小线段进行求和，即可得到总的弧长。
若将两个相邻点之间的距离表示为Δs，将其与曲线上相应的曲线段长度Δl进行比较，可以得到如下近似关系：Δs ≈ Δl。
通过不断缩小曲线上相邻点的数量和距离，我们可以得到越来越精确的弧长。
当曲线弧长的计算求和极限存在时，我们说曲线是可求长的。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以先求出曲线上相邻两点P(t)和Q(t+Δt)的坐标，然后利用勾股定理求出Δl≈√(Δx)²+(Δy)²的近似值，再将这些近似值相加就可以得到曲线C的弧长L。
当Δt无限接近于0时，上述近似值趋于精确的弧长。
2. 曲率的定义和计算方法曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度。
在平面直角坐标系中，曲线C的曲率表示为k。
对曲线上任意一点P(x,y)，选择与该点相切的一条线段，该线段称为切线。
切线与曲线在P点处的夹角被称为曲线在该点的切角α。
切线的斜率由直线的斜率表示，可以通过求导得到。
曲线的曲率k定义为切线斜率对弧长s的导数，即k=dy/dx。
求解曲率的计算方法有多种，其中一种常用的方法是使用参数方程。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，对其分别关于参数t求导，即可得到曲线的导函数dx/dt和dy/dt。
然后，利用链式法则可以求得dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
10-3平面弯曲
w =0
A
w =0
B
固定端处的挠度ν 固定端处的挠度νＡ和转角 都应等于零。 θA都应等于零。
(b)
B
w =0
A
θA=0
图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁 的悬臂梁, 例题 图示一抗弯刚度为 的悬臂梁 试求梁的挠曲线方程和转角方程, 试求梁的挠曲线方程和转角方程 并确定 其最大挠度 wmax 和最大转角 θmax 。
M2
A
D
B
a
b
l
(0 ≤ x ≤ a )
F
A
F
B
b M 1 = FA x = P x l
b = P x P(x a) l
(a ≤ x ≤ l )
(2) 梁的挠曲线方程
M2
b M1 = P x (0 ≤ x ≤ a ) l b = P x P(x a) (a ≤ x ≤ l ) l
AD ( 0 x a) 挠曲线方程 转角方程
y
P
A B x
l
解：（1）弯矩方程 ）
y
M(x) = P(l x)
（2）挠曲线的近似微分方程 ）
x
A
(l x )
P
B x
EIw' ' = M(x) = Pl + Px
对挠曲线近似微分方程进行积分, 对挠曲线近似微分方程进行积分 得
l
Px2 EIθ = Plx + + C1 2 Plx2 Px3 EIw = + + C1x + C2 2 6
τmax
σ t max
等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上 各点处， 各点处，这些点的正应力
空间曲线的弧长与曲率
空间曲线的弧长与曲率空间曲线弧长的计算是一个重要的数学问题，与曲率密切相关。
曲线的弧长和曲率在工程、物理学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。
本文将探讨空间曲线的弧长计算方法和曲率的概念。
一、弧长的计算方法空间曲线的弧长是曲线上各点之间的距离积分。
设曲线的参数方程为 r(t) = (x(t), y(t), z(t))，曲线上两个点的坐标分别为 P(t₁) 和 P(t₂)，则P(t) 到 P(s) 的弧长可以表示为：L = ∫[t₁, t₂] √[x'(t)² + y'(t)² + z'(t)²] dt其中，x'(t)、y'(t)和z'(t)分别表示曲线在 t 时刻的切线方向的导数。
二、曲率的概念曲率是描述曲线弯曲程度的量度。
对于平面曲线，曲率可以通过曲线切线的变化率来计算，但对于空间曲线，则需要引入副法线来描述曲率的变化情况。
空间曲线的曲率可通过以下公式计算：K = |dT/ds|其中，T 是曲线的切向量，ds 是弧长的微元。
三、空间曲线的弧长与曲率的关系弧长与曲率之间存在着紧密的关系。
一般来说，曲线的弧长越长，曲率变化越大。
具体而言，对于光滑曲线而言，如果曲线的曲率值始终为常数，那么弧长为直线长度。
而如果曲线的曲率变化较大，那么曲线的弧长将较长。
四、实际应用空间曲线的弧长和曲率在物理学、计算机图形学等领域具有广泛应用。
在物理学中，通过计算空间曲线的弧长和曲率，可以研究天体轨道的特性。
例如，科学家可以通过计算行星和卫星轨道的弧长和曲率来推断天体的质量和作用力。
在计算机图形学中，通过计算空间曲线的弧长和曲率，可以实现真实感图形的绘制。
例如，在绘制三维曲面时，可以使用弧长计算方法和曲率信息来确定光线的路径，从而产生逼真的阴影效果。
五、总结本文介绍了空间曲线的弧长与曲率的概念及其计算方法。
空间曲线的弧长是曲线上各点之间的距离积分，而曲率则是描述曲线弯曲程度的量度。
第03章06节平面曲线的曲率
第6节 曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。
()s x 是单调增加的函数。
下面求弧长微分ds 。
()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。
图6.1y +离 散数 学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。
设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。
经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。
容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。
用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集 合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。
导数的应用曲线的弧长与曲率计算
导数的应用曲线的弧长与曲率计算导数的应用——曲线的弧长与曲率计算曲线是几何学中的重要概念，我们在日常生活中经常会遇到各种各样的曲线形状。
在数学中，对于曲线的研究和计算也有很多有趣的应用。
其中，导数的应用可以帮助我们计算曲线的弧长和曲率，进一步深化我们对曲线性质的理解。
本文将介绍导数在曲线的弧长和曲率计算中的具体应用。
一、曲线的弧长计算在数学中，曲线的弧长是指曲线上两点之间的实际距离。
我们可以通过导数来计算曲线的弧长。
假设有一条平面曲线y=f(x)，我们希望计算曲线上从点A(x=a,y=f(a))到点B(x=b, y=f(b))的弧长。
首先，将曲线分割成无穷小的线段，假设一个无穷小线段的长度为ds。
根据勾股定理，该线段的长度可以表示为：ds = √(dx² + dy²)由导数的定义可知，dy/dx为曲线在某一点的斜率。
由此得到dy=dy/dx*dx。
将dy代入上式中，得到：ds = √(1+(dy/dx)²)*dx对上述表达式进行积分运算，就可以得到整个曲线上从A点到B点的弧长L的计算公式：L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)²)dx通过上述公式，我们可以使用导数来计算曲线上任意两点之间的弧长。
二、曲线的曲率计算曲率是指曲线在某一点上的弯曲程度，可以反映曲线的灵活性和形状。
我们可以通过导数来计算曲线的曲率。
假设有一条平面曲线y=f(x)，我们希望计算曲线在点P(x, y)处的曲率。
曲率的计算公式为：κ = |dy/dx|/√(1+(dy/dx)²)³其中，|dy/dx|表示曲线在该点的斜率的绝对值。
曲率计算的实际应用场景非常广泛。
例如，在道路设计中需要考虑道路的弯曲程度，通过曲线的曲率计算可以帮助工程师设计出更符合交通规范和行车安全的道路。
通过导数的应用，我们可以结合曲线的弧长和曲率计算，更深入地研究和理解曲线的各种性质。
总结：在数学中，导数的应用可以帮助我们计算曲线的弧长和曲率，进一步深化对曲线性质的理解。
第13章曲线的切线、弧长和曲率
第13章曲线的切线、弧长和曲率第13章曲线的切向量、弧长和曲率曲线的概念：曲线是点按照某⼀规律在空间中运动的轨迹. ⼀、平⾯曲线的⼏种表⽰⽅法1° 显表达式：函数)(x f y =的图象)(f G 说成是⼀段曲线，)(x f y =是该曲线的表达式.如果某曲线是函数)(x f y =的图象，则)(x f y =称为该曲线的显表达式. 2°隐表达式：如果曲线上的点是由⽅程0),(=y x F 的解),(y x 所构成，则⽅程0),(=y x F 称为该曲线的隐表达式.例如：0),(222=-+=a y x y x F 表⽰⼀个圆的曲线， 0),(=++=c by ax y x F ，)0(22>+b a 表⽰⼀个直线. 3°曲线的参数表⽰：如果曲线上的点可由??==)()(t y y t x x ,],[βα∈t 的点),(y x 来描绘,称它为该曲线的参数表⽰.例如:圆有参数表达式sin ,cos x a t y a t =??=?,[0,2]t π∈,或 2221,121t x a t t y a t ?-=??+?=+),(+∞-∞∈t .4°曲线的极坐标表⽰：βθαθ≤≤=),(r r . ⼆、空间曲线的表⽰⽅法1°参数表⽰法：由 ??===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t所形成的点)),(),(),((t z t y t x 描绘出空间中的⼀条曲线，称它为该曲线的参数表⽰. 2° 曲线的向量表⽰法向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量称为向量.向量的表⽰：),,(z y x r = .向量),,(z y x r =的长度，记为222z y x r ++=，把参数曲线??===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t ，改写成向量形式 ))(),(),(()(t z t y t x t r r ==，],[βα∈t ,两者表⽰的是同样⼀条曲线.))(),(),(()(t z t y t x t r r ==([,])t αβ∈称为该曲线的向量⽅程.定义如果)(),(),(t z z t y y t x x ===都是区间],[βα上的连续函数，那么曲线))(),(),(()(t z t y t x t r r ==([,])t αβ∈称为连续曲线.三、曲线切向量和切线⽅程以下假设))(),(),(()(t z t y t x t r =中的三个分量有我们所需要的各阶导数. 1°曲线切向量的定义及求法（1）定义t t r t t r t r t t ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0为曲线的切向量，⽤)(t r ' 来表⽰.（2）切向量的求法()),(,)(),(),()(βα∈'''='t t z t y t x t r特别对平⾯曲线，①曲线Γ：))(),(()(t y t x t r = ，切向量(),)(),()(t y t x t r ''='k t x t y dx dy =''=)()(为切线斜率。
第13章曲线的切线、弧长和曲率
第13章 曲线的切向量、弧长和曲率曲线的概念：曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹. 一、 平面曲线的几种表示方法1° 显表达式：函数)(x f y =的图象)(f G 说成是一段曲线，)(x f y =是该曲线的表达式.如果某曲线是函数)(x f y =的图象，则)(x f y =称为该曲线的显表达式. 2°隐表达式：如果曲线上的点是由方程0),(=y x F 的解),(y x 所构成，则方程0),(=y x F 称为该曲线的隐表达式.例如：0),(222=-+=a y x y x F 表示一个圆的曲线， 0),(=++=c by ax y x F ，)0(22>+b a 表示一个直线. 3°曲线的参数表示： 如果曲线上的点可由⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ,],[βα∈t 的点),(y x 来描绘,称它为该曲线的参数表示.例如:圆有参数表达式sin ,cos x a t y a t =⎧⎨=⎩,[0,2]t π∈,或 2221,121t x a t t y a t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩),(+∞-∞∈t .4°曲线的极坐标表示：βθαθ≤≤=),(r r . 二、空间曲线的表示方法1°参数表示法：由 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t所形成的点)),(),(),((t z t y t x 描绘出空间中的一条曲线，称它为该曲线的参数表示. 2° 曲线的向量表示法向量：既有大小又有方向的量称为向量.向量的表示：),,(z y x r = .向量),,(z y x r =的长度，记为222z y x r ++=，对任意向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==成立三角形不等式||||||||||||a b a b +≤+， ||||a b a b -≤- .把参数曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ， ],[βα∈t ，改写成向量形式 ))(),(),(()(t z t y t x t r r ==，],[βα∈t ,两者表示的是同样一条曲线.))(),(),(()(t z t y t x t r r ==([,])t αβ∈称为该曲线的向量方程.定义 如果)(),(),(t z z t y y t x x ===都是区间],[βα上的连续函数，那么曲线))(),(),(()(t z t y t x t r r ==([,])t αβ∈称为连续曲线.三、曲线切向量和切线方程以下假设))(),(),(()(t z t y t x t r =中的三个分量有我们所需要的各阶导数. 1°曲线切向量的定义及求法（1） 定义t t r t t r t r t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0为曲线的切向量，用)(t r ' 来表示.（2）切向量的求法()),(,)(),(),()(βα∈'''='t t z t y t x t r特别对平面曲线，①曲线Γ：))(),(()(t y t x t r = ，切向量(),)(),()(t y t x t r ''='k t x t y dx dy =''=)()(为切线斜率。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率)
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念，设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…，P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割，记为T ，然后用线段连接T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=，即任给ε>0,恒存在δ>0，使得对于C 的任何分割T ，只要||T||<δ，就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的，并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…，P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T'：α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠，则存在ε0>0，对于任何δ>0，都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q''，使得|Q''Q'|<δ，而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理，存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β]，使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==，显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
平面曲线的曲率
平面曲线的曲率一、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述:设曲线C 是光滑的, 在曲线C 上选定一点M 0作为度量弧s 的基点. 设曲线上点M 对应于弧s , 在点M 处切线的倾角为α , 曲线上另外一点N 对应于弧s +∆s , 在点N 处切线的倾角为α+∆α .我们用比值||||s ∆∆α, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段⋂MN 的平均弯曲程度.记s K ∆∆=α, 称K 为弧段MN 的平均曲率. 记sK s ∆∆=→∆α0lim , 称K 为曲线C 在点M 处的曲率. 在0lim →∆s s ∆∆α=ds d α存在的条件下, dsd K α=. 曲率的计算公式:设曲线的直角坐标方程是y =f (x ), 且f (x )具有二阶导数（这时f '(x )连续, 从而曲线是光滑的）. 因为tan α=y ' , 所以sec 2α d α=y ''dx , dx y y dx y dx y d 2221tan 1sec '+''=+''=''=ααα.又知ds =21y '+dx , 从而得曲率的计算公式 232)1(||y y ds d K '+''==α.例1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率.例2. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率.讨论:1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率.提示: 设直线方程为y =ax +b , 则y '=a , y ''= 0. 于是K =0.2. 若曲线的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t )给, 那么曲率如何计算？ 提示: 2/322)]()([|)()()()(|t t t t t t K ψϕψϕψϕ'+''''-'''=.3. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率.提示: 圆的参数方程为x =R cos t , y =R sin t .例1. 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率.解: 由x y 1=, 得 21x y -=', 32x y =''. 因此 y '|x =1=-1, y ''|x =1=2.曲线xy =1在点(1, 1)处的曲率为 232)1(||y y K '+''=232))1(1(2-+=2221==. 例4 抛物线y =a x 2+b x +c 上哪一点处的曲率最大？解: 由y =a x 2+b x +c , 得y '=2a x +b , y ''=2a ,代入曲率公式, 得 232])2(1[|2|b ax a K ++=.显然, 当2ax +b =0时曲率最大.曲率最大时, x =-ab 2, 对应的点为抛物线的顶点. 因此, 抛物线在顶点处的曲率最大, 最大曲率为K =|2a | .二、曲率圆与曲率半径设曲线在点M (x , y )处的曲率为K (K ≠0) . 在点M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D , 使|DM | =K -1=ρ. 以D 为圆心, ρ为半径作圆, 这个圆叫做曲线在点M 处的曲率圆, 曲率圆的圆心D 叫做曲线在点M 处的曲率中心, 曲率圆的半径 ρ 叫做曲线在点M 处的曲率半径. 设曲线在点M 处的曲率为K (K ≠0), 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M 且半径为ρ=K -1的圆, 则这个圆叫做曲线在点M 处的曲率圆, 其圆心叫做曲率中心, 其半径ρ 叫做曲率半径.曲线在点M 处的曲率K (K ≠0)与曲线在点M 处的曲率半径 ρ 有如下关系:ρ =K 1, K =ρ1. 例3 设工件表面的截线为抛物线y =0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径.y '=0.8x , y ''=0.8,y '|x =0=0, y ''|x =0=0.8.把它们代入曲率公式, 得232)1(||y y K '+''==0.8.抛物线顶点处的曲率半径为K -1= 1.25.所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长, 即直径不得超过2.50单位长.。
曲线的弧长和曲率
lim s 0 s
பைடு நூலகம்
3.曲率
T( s0 )
存在, 则称该极限为曲线L在点M 0处的(绝对)曲率, 记为 (s). 称 (s) 1/ (s)为L在点M0的曲率半径.
s 0
s T( s s) T( s) s ) T( r (s) . lim s 0 s
s0
lim
2arcsin T( s s) T( s) 2
Remark: r (t )反映了向量值函数r (t )在长度和方向 上的变化.由于T( s)是一个单位向量,长度不变,所以 s)只反映T在方向上的变化.因此, T( s) 越大,T的 T( s) 能反映曲线 角度相对于s的变化就越大.因此 T( 的弯曲程度.
因 T 1,T T,即T r,上式两边取模,得 2 2 r r r T , T r r r .
于是
r T r s) T( . 3 r (t ) r
例: 直线上任意一点的曲率为零. 例:求圆周上任意一点的曲率. 解:设圆周方程为r (a cos t , a sin t ), 则 r (t ) (a sin t , a cos t ) r (t ) (a cos t , a sin t )
T(t ) (0,cos t sin t, cos t sin t ) 3, T(t ) 2
3
3
N(t ) T(t ) T(t ) (0,cos t sin t, cos t sin t )
2.15平面曲线的曲率
平面曲线的曲率曲率是描述曲线弯曲程度的量。
曲线的弯曲程度一般与曲线的切线转角和曲线的长度这两个量有关1M 3M )2α∆2M 2S ∆1S ∆M M '1S ∆2S ∆N N 'α∆)转角越大弧段弯曲程度越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1α∆)y xo 0',,;,.M M s M s s ααα+∆+∆设曲线C是光滑的,点为C的起点设曲线上点处切线的倾角为对应弧长为另一点处切线的倾角为对应弧长为' .K MM s α∆=∆称为曲线弧的平均曲率'lim .M M K M sα→∆=∆并且称为曲线在点处的曲率'(,),(,),M x y M x x y y +∆+∆设则'0lim lim x M M x K s sxαα∆→→∆∆∆==∆∆∆0lim x d x dx αα∆→∆=∆tan ,y x α'=而对求导得2sec d y dxαα''=22sec 1()d y y dx y αα''''∴=='+''''0002220lim lim lim ()() lim 1()x x x x MM s MM MM x x x MM x y y x ∆→∆→∆→∆→∆==⋅∆∆∆∆+∆'==±+∆弧弧322[1()]y K y ''∴='+(),,(),x t y t φψ=⎧⎨=⎩设二阶可导曲线方程为参数形式的曲线曲率：(),()dy t dx t ψφ'=' 223()()()().()d y t t t t dx t φψφψφ''''''-='3222()()()().[()()]t t t t k t t φψφψφψ''''''-∴=''+曲率的计算例1、求曲率。
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xi2(i ) yi2(i )
xi2(i ) yi2(i )
ti
从而
n
s
lim
T 0 i 1
Pi Pi1
x2 (t) y2 (t) dt.
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注1 若曲线 C 由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b] 表示,则 C 亦可看作 x x, y f ( x), x [a, b]. 因此当 f 在 [a, b] 上连续可微时,
在 P 处的曲率圆.曲率圆 的半径称为曲率半径, 曲 率圆的圆心称为曲率中心. O
C Pg
1
K g P0
g
x
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例2 如图所示, 火车轨道从直道进入半径为 R 的
圆形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨
道(用虚线表示),
使得曲率由零连续地变到
1 R
,
以保证火车行驶安全
y
(使火车的向心加速度 a v2 不发生跳跃式的 Q
则
s r 2( ) r2( )d .
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例1 求星形线 x a cos3 t, y a sin3 t, t [0,2π]
的周长.
y
解 x(t) 3a cos2 t sin t,
y(t) 3a sin2 t cos t.
O
ax
π
因此 s 4 2 x2(t ) y2(t )dt 0
T 0 i 1
Pi 1Pi
s 存在, 则称曲线 C 是可求长的,
并定义该极限值 s 为曲线 C 的弧长.
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n
注 可以证明,极限
lim
T 0 i1
Pi 1 Pi
与参数方程的表
示方式无关.
定理10.1 (光滑曲线弧长公式) 设曲线 C 由参数方
程 x x(t), y y(t), t [ , ] 表示. 若C为一光滑
g
(t)
x
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设 (t )表示曲线在点 P( x(t), y(t)) 处切线的倾角,
Δ (t Δt) (t) 表示动点由 P 沿曲线移至
Q( x(t Δt), y(t Δt)) 时切线倾角的增量.若 »PQ
之长为 Δs ,则称
K Δ
Δs 为弧段 »PQ 的平均曲率.如果存在有限极限
i1
i 1
x2 (i
)
y2 (i )Δti
.
由于 x2(t) y2(t) 在 [ , ] 上连续,从而可积，
因此
n
lim
T 0 i 1
x2 (i ) y2 (i )Δti
x2 (t ) y2 (t ) dt.
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由第一章§1习题 6 可知
x2(i ) y2(i ) x2(i ) y2(i ) y(i ) y(i ) . 又 y(t) 在 [ , ] 上连续,从而在 [ , ] 上一致连续,
3π 处曲率最小,
2
Kmax
a b2
, Kmin
b a2
.
由例1可得,若
a
b
R,
则各点处曲率相等,
为
1 R
.
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显然, 直线上各点处的曲率为 0.
设曲线上一点P处曲率 K 0.若过 P 作一个半径为
1 的圆, 使它在点 P 处与曲线有相同的切线,
K 并在 P 近旁与曲线位于切线的同侧(见图). 我们把这个圆称为曲线 y
π
4 2
3a cos2 t sin t
2
3a sin2 t cos t
2
dt
0
12a
π 2
sin
t
cos
tdt
12a
sin2
t
0
2
π 2
0
6a.
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例 2 求悬链线 y ex ex 在 [0, a] 上的一段弧长.
2
解 y ex ex , 1 y2 (ex ex )2 .
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定义2 设平面曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t [, ]
表示.对 [ , ]的一个分割
T : t0 t1 L tn ,
T
max(Δt i
i
)，
相应地对 C 有一个分割,即 C 上有分点
A P0 , P1,L , Pn B.
n
若
lim
Δyi y(ti ) y(ti1 ) y(i )Δti , i [ xi1 , xi ].
于是
n
n
Pi Pi1
xi2 yi2
i 1
i 1
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n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
n
x2(i ) y2(i )ti
i 1
n
n
x2 (i ) y2 (i )Δti
曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为
s
x2(t ) y2(t ) dt.
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证 设[ , ]的任一分割
T : t0 t1 tn1 tn .
在 [ti1, ti ] 上由微分中值定理,
Δxi x(ti ) x(ti1 ) x(i )Δti , i [ xi1 , xi ],
Δ
Δ d
K lim lim ,
t0 Δs s0 Δs ds
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则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 的曲率.
由于曲线光滑,故总有
(t) arctan y(t) 或 (t) arccot x(t) .
x(t )
y(t )
若 x(t), y(t) 二阶可导,则由
可得
s(t) x2(t) y2(t)1 2
2
4
因此 s a 1 y2dx a ex e x dx ea ea .
0
02
2
例3 求阿基米德螺线 r a , [0,2π](a 0) 的一
段弧长.
解 s 2π r 2( ) r2( ) d a 2π 1 2d
0
0
a 2
2π
1 4π2 ln(2π
1 4π2 ) .
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*二、平面曲线的曲率
曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示, 在光滑曲线 C 上, 弧段 »PQ 与 Q»R 的长度相差不 多而弯曲程度却很不一样. y
这反映动点沿曲线从P 移
到Q 时, 切线转过的角度 Δ
比动点从Q 移到 R 时切线.
转过的角度Δ 要大得多 O
C Pg
Rg
Q
因此对任意 0, 存在 0, 当 T 时,
y(i )
y(i )
,
i 1, 2,L , n.
n
于是,
i 1
x2 (i ) y2 (i ) x2 (i ) y2 (i ) Δti
n
y(i ) y(i )Δ ti ,
i 1
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即
n
lim
T 0
i 1
0,
s b 1 f 2( x) dx. a
注2 若曲线 C 由极坐标方程 r r( ), [ , ] 表
示,则 C 又可看作
x r( )cos , y r( )sin , [, ].
由于
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x( ) r( )cos r( )sin , y( ) r( )sin r( )cos , x2( ) y2( ) r2( ) r2( ), 若 r( )在 [ , ] 上连续,且 r( ) 与 r( ) 不同时为零,
4R2l 2 x4 3 2
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当 x 从 0 变为 x0 时,曲率 K 从 0 连续地变为
K0
8R2l 2 x0 1
8l 2 x0
.
4R2l 2 x04 3 2
R
4l
2
x04 R2
3
2
当
x0
l,且
x0 R
很小时,K0
1 R
. 因此曲线段
O»A
的曲率从 0 渐渐增加到接近于 1 , 从而起到缓冲 R
式的突变).
B R
l gA( x0 , y0 )
O
g
C( x0 , 0)
x
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图中 x 轴 ( x 0)表示直线轨道,»AB是半径为R的 圆弧轨道,O»A为缓冲轨道. 缓冲曲线常采用三次 曲线
y x3 , 6Rl
其中 l 是 O»A 的弧长.对此曲线用曲率公式求得: K 8R2l2x .
d
ds
(t )
s(t )
x(t) y(t) x(t) y(t) x2 (t ) y2 (t )3 2 .
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即
xy xy
K ( x2 y2 )3 2 .
若曲线由 y f ( x) 表示,则 y
K (1 y2 )3 2 . 例1 求椭圆 x a cos t, y bsin t, 0 t 2π 上曲率
§3 平面曲线的弧长与曲率
本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式.
一、平面曲线的弧长
定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:
x x(t), y y(t), t [, ].
如果 x(t)与 y(t)在[ , ]上连续可微, 且 x(t)与 y(t)
不同时为零，则称 C 为一光滑曲线.
作用.
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最大和最小的点.
解 由于 x a sin t, x(t) a cos t, y bcos t, y bsin t,
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因此椭圆在各点的曲率为
K
(a2 sin2 t