一次函数综合类问题四大类

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一次函数综合—线段和差、存在性问题解析

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；（2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =，即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：116144y x =-+，当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解：（1）对于直线122y x =+，令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =，则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-，此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩，解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+，当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)．【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

中考数学一次函数综合类问题四大类

大类一、一次函数与几何综合班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】1.一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，uj7BM即为水平宽度，则=AMkBM，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．2.设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1∥l2；②若k1·k2=-1，则直线l1⊥l2．3.一次函数与几何综合解题思路从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．【精讲精练】1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．MA B第1题图第2题图第3题图2. 如图，直线l 1交x 轴、y 轴于A ，B 两点，OA =m ，OB =n ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△COD ．CD 所在直线l 2与直线l 1交于点E ，则l 1____l 2；若直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2=_________．3. 如图，直线483y x =-+交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D ，则点C 的坐标为4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y =x 的图象l 是第一、三象限的角平分线．探索：若点A 的坐标为(3，1)，则它关于直线l 的对称点A'的坐标为____________；猜想：若坐标平面内任一点P 的坐标为(m ，n )，则它关于直线l 的对称点P ′的坐标为____________；应用：已知两点B (-2，-5)，C (-1，-3)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到B ，C 两点的距离之和最小，则此时点Q 的坐标为____________． 5. 如图，已知直线l ：y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线l 折叠，点O 落在点C 处，则直线CA 的表达式为__________________．第5题图第6题图第7题图6. 如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，E 是AB 上的一点，且BE :EA =5:3，EC=BCE 沿折痕EC 向上翻折，点B 恰好落在AD 边上的点F 处．若以点A 为原点，以直线AD 为x 轴，以直线BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则直线FC 的表达式为__________________．7. 如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB =2，AD =1，过定点Q (0，2)和动点P (a ，0)的直线与矩形ABCD 的边有公共点．（1）a 的取值范围是________________；（2）若设直线PQ 为y =kx +2（k ≠0），则此时k 的取值范围是____________8. 如图，已知正方形ABCD 的顶点A (1，1)，B (3，1)，直线y =2x +b 交边AB 于点E ，交边CD 于点F ，则直线y =2x +b 在y 轴上的截距b 的变化范围是____________．第9题图9. 如图，已知直线l 1：2833y x =+与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，-4)，P 为y 轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．大类二、一次函数之存在性问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 2. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；3. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．【精讲精练】 1.如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________．2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且43OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值．（2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？（3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=点C的坐标为(-9，0)．（1）求点B的坐标．（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.点C 是直线y =kx +3上与A ，B 不重合的动点．过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于点D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线122y x=+上的一个动点（点P不与点A重合）．（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之间的函数关系式．？求出此时（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为278点P的坐标．（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若Array存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．大类三、一次函数之动点问题班级：__________ 姓名：__________【知识点睛】动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．【精讲精练】1. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）求OA ，OB 的长．（2）过点P 与直线AB 垂直的直线与y 轴交于点E ，在点P 的运动过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．（1）求直线BC的解析式．（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的14？（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t4.如图，直线y =+与x 轴交于点A，与直线y =交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）求△OP A 的面积．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OA 方向向终点A 运动，过点E 作EF ⊥x 轴交线段OP 或线段P A 于点F ，FB ⊥y 轴于点B ．设运动时间为t 秒，矩形OEFB 与△OP A 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．（1）求A，B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．大类四、一次函数之面积问题班级：_________ 姓名：__________【知识点睛】1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路： ①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）； ③转化法（例：同底等高）． 2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 ① 割补求面积（铅垂法）：12△APB S ah = 12△APB S ah= ②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上．二、精讲精练1. 如右图，在平面直角坐标系中，已知A (-1，3)，B (3，-2)，则△AOB 的面积为___________．2. 如图，直线y =-x +4与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，点P 的坐标为(-2，2)，则S △PAB =___________．第2题图第3题图3. 如图，直线AB ：y =x +1与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，直线CD ：y =kx -2与x 轴、y 轴分别交于点C ，点D ，直线AB 与直线CD 交于点P ．若S △APD =4.5，则k =__________．4. 如图，直线112y x =+经过点A (1，m )，B (4，n )，点C 的坐标为(2，5)，求△ABC 的面积．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A (2，4)，B (6，6)，C (8，2)，求四边形OABC 的面积．6. 如图，直线112y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C (1，2)，坐标轴上是否存在点P ，使S △ABP =S △ABC ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7. 如图，已知直线m 的解析式为112y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，且∠BAC =90°，点P 为直线x =1上的动点，且△ABP的面积与△ABC的面积相等．（1）求△ABC的面积；（2）求点P的坐标．8.如图，直线P A：y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：y=-2x+8与x轴交于点B．（1）求四边形PQOB的面积．（2）直线P A上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分类一参考答案】二、精讲精练1．232．⊥，-1 3．7(0)3-， 4．(1，3)；(n ，m )；1313()55--， 5．y =+ 6．4163y x =-+ 7．（1）-2≤a ≤2；（2）k ≥1或k ≤-1 8．-3≤b ≤-1 9．8:9 10．（1）y =x -4；（2）M (m +4，-m -8)；（3）Q (-4，0)【分类二参考答案】二、精讲精练1．333(4444或(或，或(，) 2．（1）B (3，0)，43k =（2）A (6，4) （3）123413(120)03P P P P 或(-)或，或(，)3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3（3）123433(30)(22P P P P +，或或或(，) 4．1261224()(46)5555--，或(，)或，5．（1）33(4)433(4)4x x S x x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩（2）1217919()2424P P --，或(，) （3）12412124()5555P P ，或(-，) 【分类三参考答案】1．（1）OA =4，OB =3；（2）t =1或t =7 2．（1）y =+（2）22(04)(48)t S t <=⎨⎪+<<⎪⎩≤（3）123(08)(08)(0M M M -或或，4(0M 或3．（1）354y x =+（2）32t =（3）4(08)248(819)248(1924)t t S t t t t <⎧⎪=-+<⎨⎪-+<<⎩≤≤4．（1）(3P （2）（3）22(03)(34)t S t <=⎨⎪+-<<⎪⎩≤第21页/共21页 5．（1）(40)(04)A B ，,，（2）2112S t =.（3）2221(02)2388(24)2t tS t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩≤ 【分类四参考答案】二、精讲精练1．72 2．8 3．52 4．925．24 6．123451(0)(50)(0)(10)22P P P P --，或，或，或，7．（1）52；（2）12(13)(12)P P -，或，8．（1）10；（2）12162242()()3333M M -，或，。

一次函数的应用题分类总结整理

实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法一、确定解析式的几种方法：1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法）2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法）3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法）二、重点题型1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想；2.运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题（一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题，1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式；（2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。

（1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的解析式。

（2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。

3、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。

（1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；（分段函数）（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。

4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。

综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习

第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。

☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角；（2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角；（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方；（4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线。

2，直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。

直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。

练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？（2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为：；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1）求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（）。

生活中的一次函数

分析(1)可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车。即要注意到以下要求： ①要保证240名师生有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师。
根据①可知，汽车总数不能小于______ 6 ；根据②可知，汽车总数不能大于_____ 6 。
6 综合起来可知汽车总数为______ 。
(2)租车费用与所租车的种类有关，可以看出，汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用。设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x 的函数，即：y = 400x + 280 ( a-x ) 将（1）中确定的a值代入上式，化简这个函数，
总计 14 14 28
A
B 总计
解设从A库往甲地调水X吨，总调运量为y. 则从A库往乙地调水（14-X）吨，从B库往甲地调水（15-X)吨，从B库往乙地调水[13-(14-X)]吨。
问题3 怎样调水
从A、B两水库向甲、乙两地调水,其中甲地需水15 万吨,乙地需水13万吨,A、B两水库各可调出水14万吨.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲地60千米,到乙地45千米.设计一个调运方案使水的调运量最小.
用白炽灯的总费用为：y2 =_____________ 0.5×0.06x + 3
②
①
例1、一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦），
售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦（即0.06
千瓦），售价为3元。两种灯的照明效果一样，使用寿命也相同（3000小时以上）。如果电费价格为 0.5元/（千瓦时）消费者选用哪种灯可以节省费用？解：设照明时间为x小时，则用节能灯的总费用为：y1 =_____________ 0.5×0.01x+60 用白炽灯的总费用为：y2 =_____________ 0.5×0.06x + 3 根据两个函数，考虑下列问题：

类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册

第07讲类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)目录【类型一一次函数与三角形的面积问题】 (1)【类型二一次函数与三角形全等问题】 (3)【类型三一次函数与三角形存在问题】 (5)【类型四一次函数中折叠问题】 (9)【类型一一次函数与三角形的面积问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数()0y kx b k=+≠的图象经过点()0,5B．A-，()2,1(1)求这个一次函数的解析式；的面积．(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求AOC【变式训练】4．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数3y x =的图象平移后经过点()1,4．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线24y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若在x 轴上有一点P ，使2OP OA =，求PAB 的面积．6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标xOy 中，直线1l 与23y x =-平行，且经过点()05，，将直线1l 向上平移3个单位，得到直线2l (1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线2l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求AOB 的面积．7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线2y kx =-与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，其中1OB =．(1)求k 的值；(1)求A，B两点的坐标；(2)求AOF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量(3)当AOF的面积12 S S =形，若存在，请求出点P【类型二一次函数与三角形全等问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线AB：y x b=+分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(3-，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且:3:1OB OC=．(1)求点B的坐标及直线BC的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD ，并求出点D 的坐标．【变式训练】2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线绕点A 顺时针旋转90°得射线全等，试确定点Q 的横坐标．3．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线(1)求直线l2的解析式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=-3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【类型三一次函数与三角形存在问题】(1)求直线2l的解析式；△的面积；(2)求ADC△的面积等于3，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．(3)在直线1l上是否存在点P使得PAC【变式训练】(1)求点B和点C的坐标．(2)求OAC的面积．(3)是否存在点M，使OMC的面积是OAC 由．(1)写出点D的坐标，并求出直线△的面积；(2)连接BC，求BCD(3)直线2l上是否存在一点P，使得(1)求直线2l 的函数解析式；(2)求ADC △的面积；(3)在直线2l 是否存在点P ，使得CDP △面积是ADC △面积的2倍？如果存在，请求出P 坐标；如果不存在，请说明理由．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y kx b =＋与x 轴交于点()60A ，，与y 轴交于点()06B ，，与直线CD 交于点E ．已知点D 的坐标为()02，，点C 在A 的左侧且12AC =．(1)分别求出直线AB 和直线CD 的表达式；(2)在直线CD 上，是否存在一点P ，使得8BEP S = ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q ，使得BEQ 是以BE 为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四一次函数中折叠问题】例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线AB ：2y x b =+与直线AC ：3y kx =+相交于点(,4)A m ．与x 轴交于点(4,0)B -，直线AC 与x 轴交于点C ．(1)填空：b =______，m =______，k =______；(2)如图2．点D 为线段BC 上一动点，将ACD 沿直线AD 翻折得到AED △，线段AE 交x 轴于点F ．①求线段AE 的长度；②当点E 落在y 轴上时，求点E 的坐标；③若DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点D 的坐标．【变式训练】3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，直线4y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A ，B 的坐标；(2)在直线AB 上是否存在点P ，使OAP △是以OA 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将Rt AOB △折叠，使OB 边落在AB 上，点O 与点D 重合，折痕为BC ，求折痕BC 所在直线的表达式．4．（2023春·八年级课时练习）如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在线段AO 上，将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，若4OA =，2OD =．(1)求直线AB 的解析式．(1)点B的坐标是______；点A的坐标是(2)求直线BC的解析式；(3)在直线BC上是否存在一点P，使得存在，请说明理由．。

（完整版）一次函数知识点总结和常见题型归类

（完整版）一次函数知识点总结和常见题型归类一次函数知识点总结与常见题型基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。

在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1x (4)y =21－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个P116 1 P87 23、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（）A ．yB ．yC ．yD ．y函数y =x 的取值范围是___________.已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是（）A .2325≤<-y B .2523<<="" bdsfid="97" c="" d="" p="">523≤<y< bdsfid="99" p=""></y<>5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．例题:P117 56、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

函数之一次函数问题

备考2020中考数学高频考点剖析专题1 函数之一次函数问题考点扫描☆聚焦中考一次函数，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括函数图像和一次函数的图形、性质及其应用等几个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。

也有少量的解析题。

解析题主要以综合应用为主，往往和方程及反比例函数综合体现。

结合2018年全国各地中考的实例，我们从四方面进行一次函数问题的探讨：（1）函数图像问题；（2）一次函数图形与性质问题；（3）一次函数的应用．例3（2018年四川省南充市）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（）A．y=2（x+2）B．y=2（x﹣2）C．y=2x﹣2 D．y=2x+2【考点】F9：一次函数图象与几何变换．【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．【解答】解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2x﹣2．故选：C．本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx（k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+m．例4（2018•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：由题意可知，铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选：D．例6 （2018年江苏省南京市）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第t min时的速度为vm/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．（1）小明出发第2min时离家的距离为m；（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数表达式；（3）画出s与t之间的函数图象．【分析】（1）根据路程=速度×时间求出小明出发第2min时离家的距离即可；（2）当2＜t≤5时，离家的距离s=前面2min走的路程加上后面（t﹣2）min走过的路程列式即可；（3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25和6.25＜t≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．【解答】解：（1）100×2=200（m）．故小明出发第2min时离家的距离为200m；（2）当2＜t≤5时，s=100×2+160（t﹣2）=160t﹣120．故s与t之间的函数表达式为160t﹣120；（3）s与t之间的函数关系式为，如图所示：故答案为：200．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键．考点过关☆专项突破类型一函数图像1. （2018•湖北黄冈•3分）函数y=11-+x x 中自变量x 的取值范围是（） A ．x ≥-1且x ≠1 B.x ≥-1 C. x ≠1 D. -1≤x ＜12. （2018·四川自贡·4分）已知圆锥的侧面积是8πcm 2，若圆锥底面半径为R （cm ），母线长为l （cm ），则R 关于l 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3. （2018•通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s （单位：m ）与时间r （单位：min ）之间函数关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4. （2018年四川省内江市）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y （单位：N ）与铁块被提起的高度x （单位：cm ）之间的函数关系的大致图是（）A ．B ．C ．D ．5. （2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（）A ．B ．C．D．6. （2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（）A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱类型二一次函数图像与性质1. （2018·台湾·分）已知坐标平面上，一次函数y=3x+a的图形通过点（0，﹣4），其中a为一数，求a的值为何？（）A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．122．（2018·广东深圳·3分）把函数y=x向上平移3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )A. B. C. D.4. （2018·湖南省常德·3分）若一次函数y=（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜05. （2018·四川宜宾·3分）已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为．6. （2018·湖北江汉·3分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P1（3，3），P2，P3，…均在直线y=﹣x+4上．设△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018=．7. （2018•甘肃白银，定西，武威•3分）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为__________．8 （2018•江苏扬州•3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为．类型三一次函数的综合应用1．（2018·江苏镇江·3分）甲、乙两地相距80km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（）A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：502．（2018·辽宁省阜新市）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是km/h．3．（2018·重庆市B卷）（4.00分）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离y（米）与小玲从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为米．4. （2018·重庆(A)·4分）,A B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发。

一次函数各类题型详解加练习

∴A的坐标为（0,2），B的坐标为（0，-3）
令 +2=-2 -3，解得 =
（提示：求两个函数之间的交点，令两个解析式相等即可得到交点横坐标）
将 = 带入y₁= +2
得：y₁= +2=
∴点C的坐标为（，）
（2）AB=2－（－3）=5（提示：AB与y轴重合，上y减下y求长度。）
（分析：以AB为底，点C到AB的距离为高，就可以求出△ABC的面积。）
求线段AB、CD的长度。
解：∵AB∥x轴
∴AB=6－(－3)= 9
（右x减左x，即可求得长度）
同理∵CD∥x轴
∴CD=5－2=3
③既不平行于x轴，也不平行于y轴：如：点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂），则使用求线段的通用公式AB=
例：点A的坐标为（3,3），点B的坐标为（-3，-5），
求线段AB的长度。
S△COP=
OC·OP= ×8×(2t-8)=8t－32（t≥4）
(上一问中刚求出)
－8t+32=2×16（0≤t＜4）
S△COP=2S△AOB，即或解，得：t=0或者t=8
8t－32=2×16（t≥4）
（4）思路：在△COP和△AOB中:∠COP=∠AOB=90°，OC =OA=8
还差一组条件就能证明两三角形全等了，因为整个题目并未有角度的信息，
解：AB中点的坐标为：（，）整理，得（，3）
∵直线AB的k₁=2，且k₁·k₂=－1
∴垂直于AB的直线的k₂=
设垂直平分线解析式为：y= +b，将（，3）代入解析式，
可得AB中垂线的解析式为y= +
把y=0代入解析式可得
点P的坐标为：（，0）
综上：符合要求的点P共有4个：

例谈求一次函数解析式的常见题型

例谈求一次函数解析式的常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。

求一次函数的解析式，是学习一次函数最基本也是最重要的内容之一。

中考单独命题考查者不多，但许多综合性题目中都要用到它。

本文略举几例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。

希望对同学们的学习有所帮助。

一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。

解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。

如本例中应保证二. 点斜型例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。

解：一次函数的图像过点（2，－1），即故这个一次函数的解析式为变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。

三. 两点型例3、一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）求的面积。

解：（1）据题意，得说明：求一次函数解析式必须知道两个独立的条件。

待定系数法是最基本的方法，其他方法也是由此演化而来。

四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2）有故这个一次函数的解析式为说明：已知图象求解析式要注意图形中的细节部分，例如空心点或实心点，这也决定一次函数的定义域，往往同学们不注意。

五. 斜截型例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线：；：。

当，时，直线与直线平行，。

又直线在y轴上的截距为2，故直线的解析式为说明：与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c;与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=- x+c.六. 平移型例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。

【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)

冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。

一次函数知识点总结及练习题

一次函数知识点总结6.1.1 变量和函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。

例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。

对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义6.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。

用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。

4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

2023学年北师大版八年级数学上学期压轴题专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型含解析

专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点（2，0）与y 轴交于点B （0，1）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ．（1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ．（1）线段AB 的长是，△BAO ＝ °，点C 的坐标是；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积．（3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）．（1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP ；（3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为；（2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x=-向上平移后经过点()4,3A，分别交x轴y轴于点B、C．（1）求直线BC的函数表达式；（2）点P为直线BC上一动点，连接OP．问：线段OP的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP的最小值，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，四边形OABC是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，5OC=，点E在边BC上．（1）若点N的坐标为(3,0)，过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，将纸片沿直线OE折叠，顶点C恰好落在MN上，并与MN上的点G重合．①求点G、点E的坐标；②若直线:l y mx n=+平行于直线OE，且与长方形ABMN有公共点，请直接写出n的取值范围．（2）若点E为BC上的一动点，点C关于直线OE的对称点为G，连接BG，请求出线段BG的最小值．专题09 一次函数与几何图形综合问题的五种类型类型一、面积问题例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点（2，0）与y 轴交于点B （0，1）．（1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小. （3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【答案】（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-．【解析】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+△A （2，0）B （0,1），△201k b b +=⎧⎨=⎩，解得：k =12-，b =12△直线AB 的解析式为112y x =-+ （2）△y ＝﹣12x +1中k ＝﹣12＜0，△y 值随x 值的增大而减小， △﹣1＜3，△y 1＞y 2；（3）△x 轴上有一点C ，设点C （x ，0），△AC ＝|2﹣x |， △S △ABC ＝2，△12×|2﹣x |×1＝2，△x ＝﹣2或x ＝6， △C （﹣2，0）或C （6，0）．故答案为：（1）112y x =-+；（2）y 1＞y 2；（3）()6,0C 或()2,0-．【变式训练1】已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(2,0)B -，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点，如果ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【答案】（1）1k =，3m =；（2）点C 的坐标为(2,0)或(6,0)- 【解析】（1）一次函数1=2y kx +的图象与x 轴交于点2,0B -（），220k ∴-+=1k ∴=12y x ∴=+一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1,)A a ，12a ∴=+，a m =，3m ∴=；（2）设点C 的坐标为(,0)n ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1|(2)|362n ∴--⨯=，2n ∴=或6n =-∴点C 的坐标为(2,0)或(6,0)-，或过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ．ABC 的面积是6，162BC AD ∴⋅=，1362BC ∴⨯=，4BC ∴=，点B 的坐标为(2,0)-，∴点C 的坐标为(2)0，或(60)-，．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 为线段DC 上的一个动点．设DP x =，由点,,,A B C P 首尾顺次相接形成图形的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数表达式及x 的取值范围；（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M N 、，且P 为第一象限内位于直线MN 右侧的一个动点，若MNP △正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P 点坐标；（3）在（2）的条件下，若l 为经过(1,0)-且垂直于x 轴的直线，Q 为l 上的一个动点，使得MNQNMPS S=，请直接写出符合条件的点Q 的坐标．【答案】（1）y =-2x +16，0＜x ＜4；（2）（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）【解析】（1）由线段的和差，得PC =（4-x ），由梯形的面积公式，得y =-2x +16， △四边形ABCD 是正方形，△AB =CD =4，△x 的取值范围是0＜x ＜4；（2）设P 点坐标是（a ，b ），M （0，16），N （4，8），以MN 为边，在MN 右侧做正方形，MNAB ，正方形中心为H ，则易知A ，B ，H 即为所求P 的坐标；示意图如下求得A （12，12），B （8，20），O （6，14），故P 点可能的坐标为（12，12）或（8，20）或（6，14）；（3）由S △MNQ =S △NMP ，设Q （-1，m ），QN 所在直线方程为y =kx +b ，把Q 和N 代入方程，求得b =845m +，则可求S △NMP =12|16-b |×[4-（-1）]=|36-2m |当P 为（12，12）时，S △MNQ =40，△|36-2m |=40；解得m =-2或38，当P （8，20），同理解得m =-2或38，当P （8，20），有S △MNQ =20，解得m =8或28，综上，符合条件的Q 的坐标为（-1，-2）或（-1，8）或（-1，38）或（-1，28）．【变式训练3】如图，已知直线1:3l y x =+与过点A （3，0）的直线2l 交于点C （1，m ），且与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ．（1）求直线2l 的解析式；（2）若点D 关于x 轴的对称点为P ，求△PBC 的面积．【答案】（1）-26y x =+；（2）12．【解析】（1）把(1,)C m 代入y ＝x ＋3，得1＋3＝m ，△m ＝4，△(1,4)C设2l 的解析式为：y ＝kx ＋b （k ≠0），将点A ,C 的坐标代入，则430k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得26k b =-⎧⎨=⎩，△2l 的解析式为：-26y x =+（2）当y ＝0时，30x += ，△3x =-，△(3,0)B -，当x =0时，y =3，△(0,3)D ，△点P 、D 关于x 轴对称，△(0,3)P - ,如图，连接BP ,PC ,设PC 与x 轴的交点为Q ，设直线PC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将点(1,4),(0,3)C P -代入：43k b b +=⎧⎨=-⎩，解得73k b =⎧⎨=-⎩，△直线PC 的解析式为：73y x =-，令y =0，解得37x =， △BPCBQP BQCSSS=+1122c BQ OP BQ y =+1124()712227c BQ OP y =+=⨯⨯=．类型二、一次函数与平行四边形例1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x ，y 轴分别交于点(4,0)A ，(0,3)B ，点C 是直线554y x =-+上的一个动点，连接BC ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若//BC x 轴，求点C 到直线AB 的距离；（3）如图2，点(1,0)E ，点D 是直线AB 上的动点，试探索点C ，D 在运动过程中，是否存在以B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C ，D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）334y x =-+；（2）2425；（3）17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8- 【解析】（1）设直线AB 的表达式为y kx b =+，则304b k b =⎧⎨=+⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故AB 的表达式为334y x =-+；（2）//BC x 轴，故点C 的纵坐标为3，当3y =时，即5534y x =-+=，解得85x =，即点C 的坐标为8(5，3)，则85BC =；由点A 、B的坐标得，5AB ==，过点C 作CH AB ⊥于点H ，在△ABC 中，S △ABC =1122BC OB AB CH ⨯⨯=⨯⨯，即18135252CH ⨯⨯=⨯⨯，解得：2425CH =，即点C 到直线AB 的距离为2425；（3）设点C 、D 的坐标分别为5(,5)4m m -+、3(,3)4n n -+，当EB 是对角线时，由中点坐标公式得：01m n +=+且53305344m n +=-+-+，解得172152m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8；当EC 是对角线时，同理可得：1m n +=且5353344m n -+=-++，解得，1212m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故点C 、D 的坐标分别为1(2-，45)8、1(2，21)8；当ED 是对角线时，同理可得：1n m +=且35035344n m -+=-++，解得152172m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2，21)8-．综上，点C 、D 的坐标分别为17(2，45)8-、15(2-，69)8或1(2-，45)8、1(2，21)8或17(2，45)8-、15(2，21)8-．【变式训练1】一次函数y = kx+1（k ≠ 0）的图象过点P （-3，2），与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求k 的值及点A 、B 的坐标；（2）已知点C （-1，0），若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标．【答案】（1）13k =-，与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）D （4，1）或D （2，-1）或D （-4，1）．【解析】（1）将P （-3，2）代入()10y kx k =+≠，得：13k =-函数表达式：113y x =-+，令y =0，x =3，令x =0，y =1，△与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，1）；（2）分三种情况：①BC 为对角线时，点D 的坐标为（-4，1）；②AB 为对角线时，点D 的坐标为（4，1），③AC 为对角线时，点D 的坐标为（2，-1）．综上所述，点D 的坐标是（4，1）或（-4，1）或（2，-1）．【变式训练2】平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ．（1）求m ，b 的值；（2）直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点，当MN ＝3时，若以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）13m b ==-,；（2）点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6 【解析】（1）△直线1l ：2y x b =+与直线2l ：12y x =交于点()2,P m ，△4122m b m =+⎧⎪⎨=⨯⎪⎩，△1 3.m b ==-，（2）依题意可得直线1l ：23y x =-，△直线1l 与y 轴的交点为（0，-3） △直线()0x n n =≠与直线1l ，2l 分别交于M ，N 两点， MN ＝3， △M ，N 不是y 轴上的点，设M （x ，2x -3），则N （x ，12x ）由MN ＝3，得（2x -3）-12x =3，解得x =4，△M （4，5），则N （4，2） △以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，①当MN 为四边形MPNQ 的对角线时，MN 的中点坐标为（4，3.5）故()2,1P 、Q 关于（4，3.5）对称，△点Q 的坐标为()6,6，②当MN 为四边形MNQP 的一边时，MN =PQ =3，且PQ 与y 轴平行，故点Q 的坐标为()2,4或()2,2- 综上，点Q 的坐标为()2,4，()2,2-或()6,6．类型三、一次函数与等腰三角形例1．一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC ．（1）线段AB 的长是，△BAO ＝ °，点C 的坐标是；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积．（3）在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）2，30，C2）；（22a-；（3）（0，-1）或（0，3）【解析】（1）(3A ，0)，(0,1)B ，在Rt AOB ∆中，2AB =，2OB =AB ，可30BAO ∴∠=︒，以AB 为边在第一象限内做等边ABC ∆，60ACB ∠=︒∴，AB AC =，90OAC ∴∠=︒，C ∴2)，故答案为2，30，C 2)；（2）四边形ABPO 的面积BAO =∆的面积OBP +∆的面积1111()222a a =+⨯⨯-=；（3）2AB =，30BAO ∠=︒，60OBA ∴∠=︒，①当AB BM =时，2BM =，(0,1)M -或(0,3)M ；②当AB AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-； ③当BM AM =时，ABM ∆是等边三角形，M ∴与B 关于x 轴对称，(0,1)M ∴-；综上所述：MAB ∆为等腰三角形时，M 点坐标为(0,1)-或(0,3)．【变式训练1】如图一，已知直线l ：6y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线m 与v 轴交于点(0,2)C -，与直线l 交于点(,1)D t ．（1）求直线m 的解析式；（2）如图二，点P 在直线l 上且在y 轴左侧，过点P 作//PQ y 轴交直线m 于点Q ，交x 轴于点G ，当2PCG QCG S S ∆∆=，求出P ，Q 两点的坐标；（3）将直线l ：6y x =-+向左平移12个单位得到直线n 交x 轴于E 点，点F 是点C 关于原点对称点．过点F 作直线//k x 轴．点M 在直线k 上，写出以点C ，E ，M ，为顶点且CE 为腰的等腰三角形，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．【答案】（1）直线m 的解析式为325y x =-；（2）P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．过程见解析．【解析】（1）△D （t ，1）在直线l ：y =-x +6上，△1=-t +6，△t =5，△D （5，1），设直线m 的解析式为y =kx +b ，将点C ，D 代入得，512k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，352k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以，直线m 的解析式为325y x =-；（2）设P （a ，6-a ），△点P 在x 轴的左侧，△0a < △PQ △轴，G （a ，0），Q （a ，325a -），如图，点P 、Q 在x 轴两侧，△S △PCG =12PG •（-a ），S △QCG =12GQ •(-a )且S △PCG =2S △QCG ， △PG =2QG ，△6-a =2（2-35a ），解得：a =-10， △66(10)16a -=--=，332(10)2855a -=⨯--=-△P 点的坐标为（-10，16），Q 点坐标为（-10，-8）；（3）对于直线l ：y =-x +6，当x =0时，y =6；当y =0时，x =6．△A （6，0），B （0，6），△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n 交x 轴于点E ，点F 是点C 关于原点的对称点．点C （0，-2）， △E （-6，0），F （0，2），如图，△将直线l ：y =-x +6向左平移12个单位得直线n ，△直线n ：y =-x -6，又△F （0，2）△k 的解析式为：y =2，设M （a ，2），则MCME，CE ，当△MCE 为等腰三角形，且CE 为腰，有：①CE =MCa =a =-M （2）．M （-2）， ②ME =CE解得，a =0或a =-12（此时三点共线，不构成三角形，舍去），即M （0，2），综上，当CE 为腰时，点M 的坐标为：M （2）或M （-2）或M （0，2）．【变式训练2】在如图的平面直角坐标系中，直线n 过点A （0，﹣2），且与直线l 交于点B （3，2），直线l 与y 轴交于点C ．（1）求直线n 的函数表达式；（2）若△ABC 的面积为9，求点C 的坐标；（3）若△ABC 是等腰三角形，求直线l 的函数表达式．【答案】（1）y ＝43x ﹣2；（2）C （0，4）或（0，﹣8）；（3）直线l 的解析式为：y ＝﹣13x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝﹣43x +6或y ＝724x +98 【解析】（1）设直线n 的解析式为：y ＝kx +b ，△直线n ：y ＝kx +b 过点A （0，﹣2）、点B （3，2），△232b k b =-⎧⎨+=⎩ ，解得：432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，△直线n 的函数表达式为：y ＝43x ﹣2；（2）△△ABC 的面积为9，△9＝12•AC •3，△AC ＝6， △OA ＝2，△OC ＝6﹣2＝4或OC ＝6+2＝8，△C （0，4）或（0，﹣8）；（3）分四种情况：①如图1，当AB ＝AC 时，△A （0，﹣2），B （3，2），△AB 22(22)＝5，△AC ＝5，△OA ＝2，△OC ＝3，△C （0，3），设直线l 的解析式为：y ＝mx +n ，把B （3，2）和C （0，3）代入得：323m n n +=⎧⎨=⎩ ，解得：133m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，△直线l 的函数表达式为：y ＝13-x +3； ②如图2，AB ＝AC ＝5，△C （0，﹣7），同理可得直线l 的解析式为：y ＝3x ﹣7； ③如图3，AB ＝BC ，过点B 作BD △y 轴于点D ，△CD ＝AD ＝4，△C （0，6），同理可得直线l 的解析式为：y ＝43-x +6； ④如图4，AC ＝BC ，过点B 作BD △y轴于D ，设AC ＝a ，则BC ＝a ，CD ＝4﹣a ，根据勾股定理得：BD 2+CD 2＝BC 2，△32+（4﹣a ）2＝a 2，解得：a ＝258， △OC ＝258﹣2＝98 ，△C （0，98），同理可得直线l 的解析式为：y ＝724x +98；综上，直线l 的解析式为：y ＝13-x +3或y ＝3x ﹣7或y ＝43-x +6或y ＝724x +98．【变式训练3】如图，直线1:l y ax a =-，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点(4,0)A ，直线1l ，2l 交于点(2,3)C -．（1）a =______；点B 的坐标为______．（2）求直线2l 的解析表达式；（3）求ABC 的面积；（4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ABP △为等腰三角形，请直接写出P 点的横坐标？【答案】（1）3a =-，()10B ,；（2）362y x =-；（3）92；（4）52，2813【解析】（1）△直线1:l y ax a =-经过点(2,3)C -，32a a ∴-=-，解得：3a =-；即直线1:l y ax a =-的解析式为33y x =-+；当y =0时，-3x +3=0，解得1x =，则()10B ,；故答案为：-3，（1,0）；（2）设直线2l 的解析式为:y kx b =+， △经过点()4,0A 和点(2,3)C -，△0432k b k b=+⎧⎨-=+⎩，解得：32k ，6b =-．△直线2l 的解析式为：362y x =-；（3）设ABC 的面积的面积为ABC S ；则413AB =-=，ABC 的高为3，则193322ABCS=⨯⨯=；（4）存在，设点P 的坐标为（x ，362x ），分三种情况： ①当AP=BP 时，点P 在线段AB 的垂直平分线上，△A （4,0），B （1,0），△点P 的横坐标为：41522+=； ②当AP=AB =3时，过点P 作PH △x 轴于点H ，△222PH AH AP +=，△2223(6)(4)32x x -+-=，解得x③当AB=BP =3时，作PM △x 轴于点M ， △222PM BM BP +=，△2223(6)(1)32x x -+-=，解得x =2813或x =4（舍去）；综上，符合条件的P 点的横坐标是52，2813，5213± 类型四、一次函数与直角三角形例1.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝13x ＋b 的图象交于点C （－2，m ）．（1）求m 和b 的值；（2）函数y ＝－x ＋b 的图象与x 轴交于点D ，点E 从点D 出发沿DA 向，以每秒2个单位长度匀速运动到点M （到A 停止运动），设点E 的运动时间为t 秒． ①当ΔACE 的面积为12时，求t 的值；②在点E 运动过程中，是否存在t 的值，使ΔACE 为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m =4，b =143；（2）①t =5；②t ＝4或t ＝6 【解析】（1）△点C （−2，m ）在直线y ＝−x ＋2上， △m ＝−（−2）＋2＝2＋2＝4，△点C （−2，4）， △函数y ＝13x ＋b 的图象过点C （−2，4），△4＝13×（−2）＋b ，得b =143，即m 的值是4，b 的值是143；（2）①△函数y ＝−x ＋2的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，△点A （2，0），点B （0，2）， △函数y ＝13x ＋143的图象与x 轴交于点D ，△点D 的坐标为（−14，0），△AD ＝16， △△ACE 的面积为12，△(16−2t )×4÷2＝12，解得，t ＝5．即当△ACE 的面积为12时，t 的值是5； ②当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形，理由：当△ACE ＝90°时，AC △CE ， △点A （2，0），点B （0，2），点C （−2，4），点D （−14，0），△OA ＝OB ，AC ＝，△△BAO ＝45°，△△CAE ＝45°，△△CEA ＝45°，△CA ＝CE ＝，△AE ＝8， △AE ＝16−2t ，△8＝16−2t ，解得，t ＝4；当△CEA ＝90°时，△AC ＝，△CAE ＝45°，△AE ＝4， △AE ＝16−2t ，△4＝16−2t ，解得，t ＝6；由上可得，当t ＝4或t ＝6时，△ACE 是直角三角形．【变式训练1】如图1，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC BD 、交于点,O P 从B 点出发，沿B DC →→方向匀速运动，P 点运动速度为1cm/s ．图2是点P 运动时，APC △的面积2()cm y 随P 点运动时间()s x变化的函数图像．（1）AB =_______cm,a =_____；（2）P 点在BD 上运动时，x 为何值时，四边形ADCP；（3）在P 点运动过程中，是否存在某一时刻使得APB △为直角三角形，若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2；（3或1【解析】（1）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，则ABC ∆、ACD ∆为全等的两个等边三角形，设ABC ∆的边长为a，则其面积为24a ，由图2知，当点P 在点A 时，y ABC =∆的面积2=，解得2a =（负值已舍去），即菱形的边长为2，则2()AB cm =，由题意知，点P 与点O 重合时，对于图2的a 所在的位置，则1AO =，故a BO ====2（2）由（1）知点P 在BO 段运动时，对于图2第一段直线，而该直线过点、0)，设其对应的函数表达式为y kx t =+，则0t t ⎧=⎪+=，解得1k t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故该段函数的表达式为=-+y x ，当点P 在BD 上运动时，四边形ADCP，则点P 只能在BO 上，则四边形ADCP 的面积ACD S y ∆=+=x x =；（3）存在，理由：由（1）知，菱形的边长为2，则BP =1AO =，过点A 作AP DC ''⊥于点P ''交BD 于点P '，ABC ∆、ACD ∆均为等边三角形，则30PAP DAP ∠'=∠''=︒，①当点P 和点O 重合时，APB ∠为直角，则x BP ==②当BAP ∠'为直角时，则同理可得：PP '=x BP PP =+'=；③当BAP ∠''为直角时，则112x BD DP AD =+''=+=，综上，x 或1．【变式训练2】在平面直角坐标系xOy 中，将直线2y x =向下平移2个单位后，与一次函数132y x =-+的图象相交于点A ．（1）将直线2y x =向下平移2个单位后对应的解析式为；（2）求点A 的坐标；（3）若P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）22y x =-；（2）（2，2）；（3）（2，0）或（4，0）．【解析】（1）根据题意，得22y x =-；故答案为：22y x =-．（2）由题意得：22132y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩，△点A 的坐标为（2，2）；（3）如图所示，△P 是x 轴上一点，且满足△OAP 是等腰直角三角形，当OA =OP 时，P 点坐标为（4，0），当OP =AP 时，P 点坐标为（2，0），综上，P 点的坐标为：（2，0）或（4，0）．类型五、最值问题例1．如图，将直线34y x =-向上平移后经过点()4,3A ，分别交x 轴y 轴于点B 、C ．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）点P 为直线BC 上一动点，连接OP ．问：线段OP 的长是否存在最小值？若存在，求出线段OP 的最小值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）364y x =-+；（2）存在，线段OP 的最小值为4.8．【解析】（1）设平移后的直线BC 的解析式为34y x b =-+，代入()4,3A 得3344b =-⨯+，解得6b = △直线BC 的解析式为364y x =-+；（2）存在，理由如下：令x =0，得y =6，△C （0，6），故OC =6令y =0，得x =8，△B （8，0）故OB =8△BC 10= △OP △BC 时，线段OP 最小， △S △ABC =12BO CO ⨯=12BC OP ⨯，△OP = 4.8BO COBC⨯=，即线段OP 的最小值为4.8．【变式训练1】如图，四边形OABC 是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，5OC =，点E 在边BC 上．（1）若点N 的坐标为(3,0)，过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，将纸片沿直线OE 折叠，顶点C 恰好落在MN 上，并与MN 上的点G 重合． ①求点G 、点E 的坐标；②若直线:l y mx n =+平行于直线OE ，且与长方形ABMN 有公共点，请直接写出n 的取值范围．（2）若点E 为BC 上的一动点，点C 关于直线OE 的对称点为G ，连接BG ，请求出线段BG 的最小值．【答案】（1）①G （3，4），E （53，5）；②-15≤n ≤-4；（2）5【解析】（1）由折叠的性质可知，OG =OC =5，由勾股定理得，GN 4=， △点G 的坐标为（3，4）；设CE =x ，则EM =3-x ，由折叠的性质可知：EG =CE =x ， △GN =4，△GM =5-4=1，在Rt △EMG 中，222EG EM MG =+，即()22231x x =-+，解得：x =53， △点E 的坐标为（53，5）；设OE所在直线的解析式为：y=kx，则53k=5，解得，k=3，△OE所在直线的解析式为：y=3x，△直线l：y=mx+n平行于直线OE，△m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，解得，n=-4，当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，解得，n=-15，△直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；（3）连接OB，OG，△OC=BC=5，△OCB=90°，△BC OC=△点C关于直线OE的对称点为点G，△OC=OG=5，△BG≥OB-OG，△当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，△BG的最小值为5．。

中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题.doc

中考数学压轴题讲解分析：一次函数与几何综合问题下面我们先来看一道典型例题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析1：如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=4x/3的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．考点分析：一次函数综合题.题干分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB ＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB ＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可。

解题反思：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键。

动态综合问题一直是中考数学压轴题非常喜欢考查的内容，解决此类问题需要考生根据变量之间的关系，对动态几何中的“变量”进行分类讨论,如运动的点、运动的线等等。

考生要想正确解决此类问题，关键在于要抓住点与线的运动和变化,数量之间的关系也随之发生着变化,再把这些“变化”的几何问题就转化为函数问题。

中考数学，一次函数与几何相关综合题，典型例题分析2：如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B 不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．考点分析：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质．题干分析：（1）由点B坐标为（0，8），可知OB=8，根据线段垂直平分线的定义可知：AE=4，从而求得：BE=t+4，故此点E 的坐标为（t+4，8）；（2）过点D作DH⊥OF，垂足为H．先证明△OBA∽△AEC，由相似三角形的性质可知，EC/AB=AE/OB可求得EC=t/2，从而得到点C的坐标为（t+4，8﹣t/2），因为∠OCD=180°，CF∥DH，可知，OF/OH=FC/DH即从（t+4）/（t+8）=（8﹣t/2）/8而可解得t的值；（3）三角形OCF的面积=OF•FC/2从而可得S与t的函数关系式．解题反思：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，用含字母t 的式子表示点C的坐标是解题的关键。

一次函数中常见疑难问题解答

一次函数中常见疑难问题解答武汉李锋在学习一次函数的过程中，常常遇见一些疑难问题，现归类解答如下，以资读者一、如何求一次函数的系数例1 当m 为何值时，函数y=(m －2)32-m x -(m+2)是一次函数？解：因为 y=(m －2)32-m x－(m+2)是一次函数所以有⎩⎨⎧≠-=-02132m m 得m =－2.故当m=－2时，函数 y=(m-2) 32-mx －(m+2)是一次函数.点评：1.求一次函数的系数时，应根据一次函数的定义，使函数的解析式同时满足两个条件①自变量x 的次数是1②自变量x 的系数k 不等于0 2.正比例函数是一次函数的特例.（此例中的函数实为y=-4x ）.例2 如果m 不等于1，那么m 为何值时函数y=(m+3)1-m x+4x+1是一次函数.解：因为x 不等于1，所以分两种情况①当m+3=0 即m=-3时，y=4x+1②当m-1=1且m+3+4≠0即m=2时，y=9x+1 ∴如果m 不等于1，那么m 为-3或2时，函数y=(m+3)1-m x +4x+1是一次函数.点评:在求一次函数的系数时，如果函数解析式中含自变量x 的项不止一项时还应分类求解.二、如何求一次函数的解析式例1 大拇指与小拇指尽量张开，两指尖的距离称为指距，研究表明，一般情况下，人的身高h(cm)是指距d(cm)的一次函数，下表是指距与身高的一组数据，求h 与d 的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）解：设h=kd+b 依题有⎩⎨⎧=+=+1692116020b k b k 解⎩⎨⎧-==209b k 故h 与d 的函数关系式为：h=9d-20点评：待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，运用待定系数法的关键在于找到自变量与函数的两对对应值.例2 在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，角平分线BD 与高CE 交于点O （如图），设∠A=x °,∠BOC=y °.求y 与x 之间的函数关系式，(解：在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ∴∠ABC=21（180°-∠A ）又 BD 是角平分线∴∠ABD=41（180°-∠A ）,而CE 是高∴∠BEO=90° 又 ∠BOC=∠ABD+∠BEO∠BOC=41（180°-∠A ）+90°=135°-41∠A 即y 与x 的关系式为y=135-41x.点评:在几何图形中求一次函数的解析式时，应先搜集图形中涉及函数与自变量的有关性质，再利用等量代换或计算等进行整合，直到得出函数与自变量的数量关系为止.例3 甲、乙两地相距180km ，一辆客车和一辆货车分别以30km/h 和40km/h 的速度从两地同时出发，相向而行，试求出从出发到两车相遇这段时间内两车的距离S （km ）与行驶时间t(h)之间的函数关系式（不写自变量的取值范围）. 解：依题意有相等关系：客车行驶的路程+货车行驶的路程+两车的距离=甲、乙两地的总路程可得：30t+40t+S=180 即S=180-70t. 点评：由于一次函数的解析式实质就是一个关于函数与自变量的二元一次方程，所以在实际问题中求一次函数解析式的关键在于找到能同时包含函数与自变量的相等关系.三、如何求一次函数的自变量取值范围.例1 一根长20cm 的蜡烛，点燃后平均每小时燃烧4cm ，求燃烧时剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(h)的函数关系式，并写出自变量x(h)的取值范围.解：依题易得,y=20-4x 由于蜡烛最大长度为20cm ，所以最大燃烧时间为：20÷4=5（h ）而x 显然满足x ≥0.故自变量x(h)的取值范围是：0≤x ≤5.点评：1.没有附加条件的一次函数，自变量的取值范围是全体实数.2.在实际问题中的一次函数，自变量的取值还应符合实际意义.例2 如图，正方形ABCD 的边长为6 cm ，点P 在边AD 上沿A →D 运动，速度为2cm/s;点Q 在边CB 上沿C →B 运动，速度为3cm/s ，若P 、Q 同时出发，求运动过程中四边形APQB的面积S （cm 2）与时间t(s)之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围.解：由题易得：S=18+3t. 当t=0时，APQB 不是四边形.又由于P 、Q 分别是在边AD 和CB 上运动且同时出发，所以运动时间不能超过2s (6÷3=2).而当t=2时，APQB 又不是四边形.故自变量t(s)的取值范围是0<t<2.点评：在几何问题中的一次函数，自变量的取值范围应符合图形的要求.四、如何求一次函数的最大（小）值例 1 A 城有化肥200t ，B 城有化肥300t ，现要把化肥运往C 、D 两地，已知C 地需220t ，D 地需280t,运费价格如下表（单位：元/t ）如果某个体户承包了这项运输任务，他应怎样调运花费最少？最少的运费是多少？解：设从A 城运xt 到C 地，则从A 、B 两城分别运往C 、D 两地的化肥重量如右图，设总运费为y 元.依题意有y=20x+25×(200-x)+15×(220-x)+22×（80+x ）CD P 200t A 城220t C 地300t B 城280t D 地(x)t (200-x)t(220-x)t(80+x)t即y=2x+10060又因为x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥-≥-≥080022002000x x x x 所以0≤x ≤200 而在函数y=2x+10060中y随x 的增大而增大. 故当x=0时，函数y 的值最小，且y 最小=10060 即该个体户应从A 城运0t 到C 地，运200t 到D 地，再从B 城运220t 到C 地，运80t 到D 地时花费最少，且最少运费为10060元.点评：在实际问题中，求一次函数的最大（小）值时，首先应求得一次函数的解析式与自变量的取值范围，然后依函数的增减性（函数y 随自变量x 的变化规律）确定出函数取最大（小）值时所对应的自变量的值，最后将其代入一次函数的解析式即可求.五、如何画一次函数的图象例画出y=x+1（x<3）的图象解：①列表②描出点（0， ﹙虚线﹚如图1所示.③因为x<3，所以函数y=x+1的图象如图2所示.点评：虽然一次函数的图象一定是直线或直线的一部分，但图象的具体型态会因自变量取值范围的不同而不同，所以在画一次函数的图象时，除了选用两点法以外，还应依据自变量的取值范围来确定图象的具体型态.六、如何解读图象信息例某洗衣机经历了进水、清洗、排水三个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分)之间的关系如图所示，根据图象求出洗衣机的进水速度和排水速度.解：由于横轴上的点表示时间（分），纵轴上的点表示洗衣机中的水量（升），则点O 的坐标（0，0）表示时间为0 分时，洗衣机中的水量为0升，点A 的坐标（2，40）表示时间为2分时，洗衣机中的水量为40升，同样易得点B 、点C 的坐标所表示的实际意义.而线段OA 是进水过程中的图象，则进水速度为2040--=20(升/分).线段BC 是排水过程中的部分图象，则排水速度为691040--=10（升/分）.点评：解读函数图象信息应按三步进行，说明如下：1. 阅读文字——通过阅读有关函数图象的文字说明，明确坐标轴上的点所表示的实际意义.2. 观察图象——通过观察函数的图象，明确图象上关键点的坐标.3. 合二为一 ——将以上两步的结果相结合，得出图象上关键点的坐标所表示的实际意义.分)x图2。

2020年中考数学考点提分专题十六一次函数综合题(解析版)

2020年中考数学考点提分专题十六一次函数综合题（解析版）考点分析【例1】（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线142y x=-+分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A 向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长；（2）设点Q2为(m，n)，当17nm=tan∠EOF时，求点Q2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．【例2】（2019·射阳县）如图，已知函数12y x b=-+的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．在x轴上有一点P (a，0)（其中a>2），过点P作x轴的垂线，分别交函数12y x b=-+和y＝x的图象于点C，D．（1）求点A的坐标；（2）若OB＝CD，求a的值．考点集训1．（2019·重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y …﹣6﹣4﹣2﹣2﹣4﹣6…（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A ，B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小．2．（2019·江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．3．（2019·山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）求线段BC的长度；（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019·内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF．（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB 内有一定点P ．过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA 、OB 于点M 、N ．小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△MON 的面积存在最小值．请问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．实际应用：如图3，若在道路OA 、OB 之间有一村庄Q 发生疫情，防疫部分计划以公路OA 、OB 和经过防疫站的一条直线MN 为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON ．若测得∠AOB ＝66º，∠POB ＝30º，OP ＝4km ，试求△MON 的面积．（结果精确到0.1km 2）（参考数据：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，3≈1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 、C 、P 的坐标分别为（6，0）、（6，3）、9922⎛⎫⎪⎝⎭，、（4，2），过点P 的直线l 与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC 分成两个四边形，求其中以点O 为顶点的四边形的面积的最大值．5．（2019·贵州初三）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x 轴和y 轴分别相交于A 、B 两点．动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒3个单位长度的速度向点O 作匀速运动，到达点O 停止运动，点A 关于点P 的对称点为点Q ，以线段PQ 为边向上作正方形PQMN ．设运动时间为t 秒．（1）当t=13秒时，点Q 的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN 与△AOB 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数表达式；（3）若正方形PQMN 对角线的交点为T ，请直接写出在运动过程中OT+PT 的最小值．6．（2019·武汉市第八中学初三期中）如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A ，C 两点，分别过A ，C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且OA ，OC （OA ＞OC ）的长分别是一元二次方程x 2﹣14x+48=0的两个实数根．（1）求C 点坐标；（2）求直线MN 的解析式；（3）在直线MN 上存在点P ，使以点P ，B ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标． 7．（2019·辽宁中考真题）在平面直角坐标系中，直线y ＝kx+4（k≠0）交x 轴于点A （8，0），交y 轴于点B ，（1）k 的值是；（2）点C 是直线AB 上的一个动点，点D 和点E 分别在x 轴和y 轴上．①如图，点E 为线段OB 的中点，且四边形OCED 是平行四边形时，求▱OCED 的周长； ②当CE 平行于x 轴，CD 平行于y 轴时，连接DE ，若△CDE 的面积为334，请直接写出点C 的坐标． 8．（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动过程中，QAP∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ∆为等腰三角形时，求点Q的坐标．9．（2019·浙江中考模拟）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB 于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．（1）求直线CD的函数表达式；（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l 垂直于x轴，设运动时间为t．①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．10．（2013·山东中考真题）如图，直线142y x=-+与坐标轴分别交于点A、B，与直线y x=交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P 运动的速度是多少？（2）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 为正方形？（3）当t 为多少秒时，矩形PEFQ 的面积S 最大？并求出最大值．11．（2019·浙江中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(,)A a b ，(,)B c d ，若点(,)T x y 满足3a c x +=，3b dy +=，那么称点T 是点A ，B 的融合点. 例如：(1,8)A -，(4,2)B -，当点(,)T x y 满是1413x -+==，8(2)23y +-==时，则点(1,2)T 是点A ，B 的融合点，（1）已知点(1,5)A -，(7,7)B ，(2,4)C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点. （2）如图，点(3,0)D ，点(,23)E t t +是直线l 上任意一点，点(,)T x y 是点D ，E 的融合点. ①试确定y 与x 的关系式.②若直线ET 交x 轴于点H ，当DTH ∆为直角三角形时，求点E 的坐标. 12．（2019·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ．k 时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；①当2②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．2020年中考数学考点提分专题十六一次函数综合题（解析版）考点分析【例1】（2019·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线142y x =-+分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连结OE ．动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B 的坐标和OE 的长；（2）设点Q 2为(m ，n)，当17n m =tan ∠EOF 时，求点Q 2的坐标；（3）根据（2）的条件，当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合．①延长AD 交直线BC 于点Q 3，当点Q 在线段Q 2Q 3上时，设Q 3Q ＝s ，AP ＝t ，求s 关于t 的函数表达式． ②当PQ 与△OEF 的一边平行时，求所有满足条件的AP 的长．【答案】（1）（8，0），25OE =；（2）（6，1）；（3）①3552s t =，②AP 的长为165或3019. 【解析】解：（1）令0y =，则1402x -+=， ∴8x =，∴B 为()80，. ∵C 为()04，，在Rt BOC V 中，228445BC =+=又∵E 为BC 中点，∴1252OE BC ==（2）如图，作EM OC ⊥于点M ，则EM CD ∥， ∴CDN MEN V V ∽， ∴1CN CDMN EM==， ∴1CNMN ==， ∴221417EN =+=. ∵EN OF ON EM ⋅=⋅， ∴12171717OF ==，由勾股定理得141717EF =， ∴7tan 6EOF ∠=， ∴171766n m =⨯=. ∵142n m =-+，∴61m n ==，，∴2Q 为()61，.（3）①∵动点P Q ，同时作匀速直线运动， ∴s 关于t 成一次函数关系，设s kt b =+，将25t s =⎧⎪⎨=⎪⎩455t s =⎧⎪⎨=⎪⎩225455k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩3525k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴3552s t =②（ⅰ）当PQ OE ∥时，（如图），QPB EOB OBE ∠=∠=∠，作OH x ⊥轴于点H ，则12PH BH PB ==. ∵36565552BQ s t =-=-+37552t =-，又∵2cos 55QBH ∠=， ∴143BH t =-， ∴286PB t =-， ∴28612t t +-=， ∴165t =.（ⅱ）当PQ OF ∥时（如图），过点Q 作3QG AQ ⊥于点G ，过点P 作PH GQ ⊥于点H ，由3Q QG CBO V V ∽得33::1:5Q G QG Q Q =.∵33552Q Q s t ==∴331322Q G t QG t =-=-，, ∴33PH AG AQ Q G ==-3361722t t ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭，∴3222QH QG AP t t t =-=--=-. ∵HPQ CDN ∠=∠， ∴1tan tan 4HPQ CDN ∠=∠=， ∴1322742t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴3019t =.（ⅲ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行.综上所述，当PQ 与OEF V 的一边平行时，AP 的长为165或3019. 【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．【例2】（2019·射阳县）如图，已知函数12y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a>2），过点P 作x 轴的垂线，分别交函数12y x b =-+和y ＝x 的图象于点C ，D ．（1）求点A 的坐标；（2）若OB ＝CD ，求a 的值．【答案】（1）(6，0)；（2）4. 【解析】解：（1）∵点M 在直线y=x 的图象上，且点M 的横坐标为2， ∴点M 的坐标为（2，2），把M （2，2）代入y=﹣12x+b 得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣12x+3，把y=0代入y=﹣12x+3得﹣12x+3=0，解得x=6， ∴A 点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣12x+3得y=3， ∴B 点坐标为（0，3）， ∵CD=OB ， ∴CD=3， ∵PC ⊥x 轴， ∴C 点坐标为（a ，﹣12a+3），D 点坐标为（a ，a ） ∴a ﹣（﹣12a+3）=3， ∴a=4．考点集训1．（2019·重庆中考真题）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示．（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A ，B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】解：（1）(0,2)A ，(2,0)B -，函数2| 2|y x =-+的对称轴为2x =-；（2）将函数2||y x =-的图象向上平移2个单位得到函数2||2y x =-+的图象；将函数2||y x =-的图象向左平移2个单位得到函数2|2|y x =-+的图象；（3）将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|3|1y x =--+的图象．所画图象如图所示，当213x x >>时，12y y >．【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．2．（2019·江苏省无锡市天一实验学校初三月考）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．【答案】（1）①2；②1y x =-或1y x =-+；（2）1≤m≤5 或者51m -≤≤-．【解析】（1）①S=2×1=2；②C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式得到：0{23k b k b =+=+或0{23k b k b =+-=+，解得：1{1k b ==-或1{1k b =-=，则直线AC 的表达式为1y x =-或1y x =-+；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 有交点，即存在N ，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图1l 与2l ，直线1l 与⊙O 切于点N ，ON=2，∠ONM=90°，∴1l 与y 交于1P （0，-2）．1M （1m ，3），∴13(2)0m --=-，∴1m =-5，∴1M （-5，3）；同理可得2M （-1，3）；当k=1时，极限位置是直线3l 与4l （与⊙O 相切），可得3M （1，3），4M （5，3）．因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．3．（2019·山东省济南汇才学校初三期中）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A （﹣，0）的两条直线分别交y 轴于B 、C 两点，且B 、C 两点的纵坐标分别是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个根（1）求线段BC 的长度；（2）试问：直线AC 与直线AB 是否垂直？请说明理由；（3）若点D 在直线AC 上，且DB=DC ，求点D 的坐标；（4）在（3）的条件下，直线BD 上是否存在点P ，使以A 、B 、P 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）AC⊥AB，理由见解析；（3）D（﹣2，1）；（4）点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．【解析】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4；（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB•OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴D的纵坐标为1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐标为（﹣2，1），（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直线BD的解析式为：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，当PA=AB时，如图1，此时，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P与E重合，∴P的坐标为（﹣3，0），当PA=PB时，如图2，此时，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴点P的横坐标为﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），当PB=AB时，如图3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．考点：一次函数和三角形的综合题.4．（2019·内蒙古初三）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F．求证：S四边形ABCD＝S△ABF．（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB 内有一定点P ．过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA 、OB 于点M 、N ．小明将直线MN 绕着点P 旋转的过程中发现，△MON 的面积存在最小值．请问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由．实际应用：如图3，若在道路OA 、OB 之间有一村庄Q 发生疫情，防疫部分计划以公路OA 、OB 和经过防疫站的一条直线MN 为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON ．若测得∠AOB ＝66º，∠POB ＝30º，OP ＝4km ，试求△MON 的面积．（结果精确到0.1km 2）（参考数据：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，3≈1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 、C 、P 的坐标分别为（6，0）、（6，3）、9922⎛⎫ ⎪⎝⎭，、（4，2），过点P 的直线l 与四边形OABC 一组对边相交，将四边形OABC 分成两个四边形，求其中以点O 为顶点的四边形的面积的最大值．【答案】问题情境：见解析问题迁移：见解析实际运用：∴()2MON S 10.3km ∆≈。

难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)(解析版--初中数学北师大版8年级上册

第08讲难点探究专题：一次函数的综合与新定义型函数(7类热点题型讲练)目录【类型一一次函数图象共存综合问题】..................................................................................................................1【类型二一次函数含参数中的图象和性质】..........................................................................................................4【类型三一次函数中平移问题】..............................................................................................................................9【类型四一次函数中的规律探究问题】................................................................................................................14【类型五一次函数——分段函数】........................................................................................................................18【类型六绝对值的一次函数】................................................................................................................................21【类型七新定义型一次函数】.. (27)【类型一一次函数图象共存综合问题】例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数，且0mn ≠）的图象的是（）A ．①和③B ．②和③C ．①和④D ．②和④【答案】D【分析】利用正比例函数的图象和一次函数的图象逐一判断即可求解．【详解】解：①、由正比例函数图象得：0mn <，由一次函数图象得：0m >，且0n >，则0mn >，则①错误，故不符合题意；②、由正比例函数图象得：0mn <，由一次函数图象得：0m >，且0n <，则0mn <，则②正确，故符合题意；③、由正比例函数图象得：0mn >，由一次函数图象得：0m >，且0n <，则0mn <，则③错误，故不符④、由正比例函数图象得：0mn >，由一次函数图象得：0m <，且0n <，则0mn >，则④正确，故符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，熟练掌握其图象是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图所示，两条直线1y ax b =+与2y bx a =+在同一直角坐标系中的图像位置可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据选项，结合一次函数图像与表达式系数的关系逐项判断即可得到答案．【详解】解：A 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b ><，则断定直线2y bx a =+图像正确，该选项符合题意；B 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b >>，则断定直线2y bx a =+图像错误，该选项不符合题意；C 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b ><，则断定直线2y bx a =+图像错误，该选项不符合题意；D 、由选项中直线1y ax b =+的图像可知0,0a b >>，则断定直线2y bx a =+图像错误，该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查一次函数图像与表达式系数的关系，掌握此类题型的解题方法是解决问题的关键．2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m ，n 为常数，且0mn ≠）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．【详解】解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．3．（2023春·河北承德·八年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数y ax b =-和y bx a =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a 、b 的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确.【详解】解：A 、若函数y ax b =-图象经过第一、三、四象限，则0a >，0b >，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、三象限；若函数y ax b =-图象经过第一、二、四象限时，则a<0，0b <时，此时函数y bx a=+的图象应经过第二、三、四象限，故选项A 错误，不符合题意；B 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、四象限时，则a<0，0b <时，此时函数y bx a =+的图象应经过第二、三、四象限，故选项B 错误，不符合题意；C 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、三象限，则0a >，0b <，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、四象限；若函数y ax b =-图象经过第二、三、四象限时，则a<0，0b >时，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、三、四象限，故选项C 错误，不符合题意；D 、若函数y ax b =-图象经过第一、二、三象限，则0a >，0b <，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、三、四象限；若函数y ax b =-图象经过第一、三、四象限时，则0a >，0b >时，此时函数y bx a =+的图象应经过第一、二、三象限，故选项D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象与性质，正确记忆一次函数图象经过象限与系数关系是解题关键.4．（2023春·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考阶段练习）在同一坐标系中，直线1l ：()3y k x k =-+和2l ：y kx =-的位置可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质，对平面直角坐标系中两函数图像进行讨论即可得出答案．【详解】A 、由正比例函数图像可知0k -<，即0k >，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上方，故选项A 不符合题意；B 、由正比例函数图像可知0k -<，即0k >，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上方，但()3k -无法判断正负，因此增减都可以，故选项B 符合题意；C 、由正比例函数图像可知0k ->，即0k <，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的下方，故选项C 不符合题意；D 、由正比例函数图像可知0k -<，即0k >，故由一次函数图像与y 轴的交点在原点的上方，故选项D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像与性质是解决本题的关键．【类型二一次函数含参数中的图象和性质】例题：（2023春·山东滨州·八年级统考期末）对于y 关于x 的函数()3y k x k =-+（k 是常数，3k ≠），下列结论中正确结论的序号是（）①其图象是一条直线；②其图象必经过点()1,3-；③若其图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是0k <；④若y 随x 的增大而增大，则其图象与y 轴的交点必定在正半轴上．A ．①②③④B ．①②③C ．②③④D ．①③④【答案】A【分析】根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断后，即可得出结论．【详解】解：∵()3y k x k =-+（k 是常数，3k ≠），∴y 是关于x 的一次函数，其图象是一条直线，故①正确；当=1x -时，()33y k k =--+=，∴其图象必经过点()1,3-；故②正确；当其图象经过第二、三、四象限时，300k k -<⎧⎨<⎩，解得：0k <，故③正确；若y 随x 的增大而增大，则：30k ->，∴3k >，则其图象与y 轴的交点必定在正半轴上，故④正确；故选A ．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质．熟记一次函数的图象和性质，是解题的关键．【变式训练】∴与两个坐标轴围成的三角形面积是B 、∵320k ->，∴203k >>，∴一次函数y 随x 增大而增大，如图所示，∴若12>a a ，则12b b >，∴()()12120a a b b -->，故B 错；C 、假设一次函数不经过第三象限，则需0k <，320k ->，由B 得：当320k ->时，0k >，∴一次函数32y kx k =+-的图象一定经过第三象限，故C 错；D 、当0t >时，要想732tx kx k +>+-，则0327k t k =>⎧⎨-<⎩，解得：03k k >⎧⎨<⎩，即03k <<，如图所示，当0t <时，要想732tx kx k +>+-，则0k t =<即可，如图所示，综上所述：k 的取值范围是03k <<或0k <，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，灵活运用所学知识是关键．2．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）对于一次函数()y kx k 1k 0=+-≠，下列叙述正确的是（）A ．当01k <<时，函数图象经过第一、二、三象限B ．当0k <时，y 随x 的增大而增大C ．当1k >时，函数图象一定交于y 轴的负半轴D ．函数图象一定经过点()1，1--【答案】D【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A 、B 、C 进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征对D 进行判断．【详解】解：A .当01k <<时，10k -<，函数图象经过第一、三、四象限，故A 错误，不符合题意；B .当0k <时，y 随x 的增大而减小，故B 错误，不符合题意；C .当1k >时，10k ->，函数图象一定交于y 轴的正半轴，故C 错误，不符合题意；D .把=1x -代入1y kx k =+-得，()111y k k =⨯-+-=-，所以函数图象一定经过点()1，1--，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y kx b =+（k b 、为常数，0k ≠）是一条直线，当0k >时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大，当0k <时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，图象与y 轴的交点坐标为()0b ，．3．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）对于一次函数3(0)y kx k k =++≠，下列结论正确的是（）A ．当0k >时，y 随着x 的增大而减小B ．当0k <时，y 随着x 的增大而增大C ．当1k =-时，图象一定经过点(0,1)-D ．当0k ≠时，图象一定经过点(1,3)-【答案】D【分析】由题意知，当0k >时，y 随着x 的增大而增大，进而可判断A 的正误；当0k <时，y 随着x 的增大而减小，进而可判断B 的正误；当1k =-时，2y x =-+，当0x =，2y =，即图象经过点(0,2)，进而可判断C 的正误；当0k ≠时，()13y k x =++，当=1x -，3y =，即图象一定经过点(1,3)-，进而可判断D 的正误．【详解】解：由题意知，当0k >时，y 随着x 的增大而增大，A 错误，故不符合要求；当0k <时，y 随着x 的增大而减小，B 错误，故不符合要求；当1k =-时，2y x =-+，当0x =，2y =，即图象经过点(0,2)，C 错误，故不符合要求；当0k ≠时，()13y k x =++，当=1x -，3y =，即图象一定经过点(1,3)-，D 正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023春·广东珠海·八年级统考期末）关于x 的一次函数()12y k x k =--+（k 为常数且1k ≠），①当0k =时，此函数为正比例函数；②无论k 取何值，此函数图象必经过(1,1)；③若函数图象同时经过点(,)m a 和点1,1)(m a ++（m ，a 为常数），则2k =-；④无论k 取何值，此函数图象都不可能同时经过第二、三、四象限，上述结论中正确的序号有（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【分析】根据一次函数的性质依次判断即可．【详解】解：①当0k =时，则2y x =-+，为一次函数，故①错误；②整理得：()12y x k x =--+，∴1x =时，1y =，∴此函数图象必经过(1,1)，故②正确；解得4a=，故④说法正确；综上，正确的说法有①④，故答案为：①④．【点睛】本题考查的是两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，数形结合解题是关键．【类型三一次函数中平移问题】(1)求直线l对应的函数表达式；(2)求四边形ABDC的面积．【答案】(1)54 y x =-(2)42 51．（2023春·全国·八年级专题练习）若点()1,2P -在直线3y kx =+上，把直线3y kx =+的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______．【答案】55y x =-+【分析】把点()1,2P -代入3y kx =+中，确定直线的解析式，再运用直线的平移规律计算即可．【详解】点()1,2P -代入3y kx =+中，得23k -=+，解得5k =-，∴直线的解析式为53y x =-+，∴53y x =-+的图像向上平移2个单位得到的解析式为55y x =-+．故答案为：55y x =-+．【点睛】本题考查了解析式与点的坐标的关系，直线平移的规律，熟练掌握直线平移的规律是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线3y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x 轴的交点为()0m ,，则m 的值为___________．【答案】1-【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入()0m ,，即可求出m 的值．【详解】解：将直线3y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到3(2)3y x =+-，即33y x =+，∴平移后的直线与x 轴交于()0m ,，∴033m =+，解得1m =-，故答案为1-．【答案】8【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长【详解】解：如图所示，过点B 、D 分别作21y x =+的平行线，交由图象和题意可得431AE =-=，871CF =-=，BE DF =则22512AB BE AE =-=-=，31BC BF CF =+=+=【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）将直线1l 平移到直线2l ，直线【答案】()1,4D --【分析】根据一次函数与坐标轴的交点可求形，根据线段AB 在平移过程中扫过的图形面积为可求解．【详解】解：如图，连接,AC BD 对于直线443y x =+，令0y =，【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．【类型四一次函数中的规律探究问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；n A的坐标是_____．【答案】（7，8）（2n-1-1，2n-1）【分析】由题意可得A1，A2，A3，A4的坐标，可得点A坐标规律，即可求解．【详解】解：由题意可得正方形OA1B1C1边长为1，正方形A2B2C2C1的边长为2，正方形A3B3C3C2的边长为4，…正方形AnBnCnCn-1的边长为2n-1，∴A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），…，An（2n-1-1，2n-1），故答案为：（7，8），（2n -1-1，2n -1）．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练】【答案】()212n -【分析】分别过点1B 、2B ，3B 作x 1222142422A A B S =⨯⨯== ,23312A AB S = ∵1B 在1233y x =+，且1B 的横坐标为∴()11,1B ,∴111OC B C CA ===，【答案】1675【分析】关键一次函数图像上点的坐标特征，得到形的面积，得到变化规律进行求解．【详解】解：∵()111,B y 、2B 1311y =⨯+=，1y =⨯【类型五一次函数——分段函数】（2）根据函数图像可知，这个函数图像不关于观察函数图像可知，此函数没有最小值，故【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的图像与性质．【变式训练】m>时，设点(P m （3）当3【类型六绝对值的一次函数】下面是小慧的探究过程，请补充完成：(1)函数1y x =-的自变量x 的取值范围是(2)列表，找出y 与x 的几组对应值．其中，(3)在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(4)函数1y x =-的最小值为____________(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）【答案】(1)任意实数(2)2(3)见解析(4)0(5)x <1时，y 随x 增大而减小；x >1（4）由函数图象可知，函数的最小值为0．故答案为：0．（5）x<1时，y随x增大而减小；x>1时，y随x增大而增大；图象关于直线y=1对称（写一条即可）．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．【变式训练】(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．【答案】(1)任意实数(2)1(3)见解析(4)见解析（4）解：由函数图象可知，①函数有最小值为0；②当x＞-1时，y随x的增大而增大；③图象关于过点（-1，0）且垂直于【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，(3)在如图的直角坐标系中：①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象；②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________；③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________．【答案】(1)x 的取值范围是全体实数(2)①1m =﹐②9n =-(3)①见解析；②1；③函数关于y 轴对称【分析】（1）没做要求一次函数自变量取值范围都是全体实数（2）①把x =0代入函数即可求得m 的值②y =10代入函数即可求得n （3）①作图见解析②由图可见最小值为1③言之有理即可．【详解】解：（1）自变量x 的取值范围是全体实数；（2）①1m =﹐②9n =-﹔（3）①图象如图所示．②最小值为1；③函数关于y 轴对称（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质：（3）利用学过的平移知识，说说函数的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣【答案】（1）见解析；（2）当x＞x>时，y随（2）由图象可知，当0故答案为当0x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；（3）函数|4|1y x =-+是由函数||y x =向右平移4个单位，再向上平移1个单位得来的，利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数|4|1y x =-+图象如图所示．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形变换-平移，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．【类型七新定义型一次函数】由－3x ＋2＝4，得x ＝23-1．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y 和(),Q x y '，给出如下定义：如果()()00y x y y x ⎧≥⎪=<'⎨-⎪⎩，那么称点Q 为点P 的“关联点”，例如：点()2,3的“关联点”为点()2,3，点()2,3-的“关联点”为点()2,3--(1)点()3,3-的“关联点”为(),a b ，则a b +=______；(2)①如果点()2,1P '-是一次函数1y x =+图象上点P 的“关联点”，那么点P 的坐标为______；②如果点(),2Q m '是一次函数1y x =+图象上点Q 的“关联点”，求点Q 的坐标。

一次函数题型(含解析)

一次函数典型例题精讲分析（解析归纳）类型一：正比例函数与一次函数定义1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．解：∵函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数，∴ ∴m=-2.∴当m=-2时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数．举一反三：【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）.A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1【答案】：考虑到x的指数为1，正比例系数k≠0，即|m-1|=1；m-2≠0，求得m=0，选C【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值．解析：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx．把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-3＝2k，∴ k＝2．∴ y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=.类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，∵图象经过点（ 2，-1），∴ -l=2×2+b．∴ b=-5，∴所求一次函数的表达式为 y=2x-5.总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。

举一反三：【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b．由题意可知，当 x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2.把它们代入y=kx+b中得∴∴这个一次函数的表达式为y=0.3x+6．【变式2】已知直线y=2x+1．（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．解析：∵直线 y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，∴两直线上的点关于 y轴对称．又∵直线 y＝2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（-，0），B（0，1）,∴A（-，0），B（0，1）关于y轴的对称点为A′（，0），B′（0，1）．∴直线 y=kx+b必经过点A′（，0），B′（0，1）．把A′（，0），B′（0，1）代入y=kx+b中得∴∴k＝-2，b＝1．所以（1）点M（0，1）（2）k=-2,b=1【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b．由题意可知，∴∴过A，B两点的直线的表达式为y=x-2．∴当 x=4时，y=4-2=2．∴点 C（4，2）在直线y=x-2上．∴三点 A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上．类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)汽车共行驶了___________ km；(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了120×2=240(千米)，整个过程用时4.5小时，平均速度为240÷4.5= (千米/时)，行驶途中1.5时—2时之间汽车没有行驶.解析：(1)240； (2)0.5； (3) ； (4)从目的地返回出发点.总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别.本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间.举一反三：【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s 与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。