单像空间后方交会
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•像点坐标( x, y) •内方位元素 ( x0 , y0 , f ) •控制点在地面坐标系中的坐标 ( X , Y , Z ) •角元素一般为： 0 w 0 k 0 0 •摄站坐标为：
0 XS
[ X ] 0 [Y ] 0 ,YS , ZS H n n
R •计算旋转矩阵： X •计算地面点的变换坐标： , Y , Z x计，y计 ： •计算 •计算误差方程系数：cij •组误差方程：V AX L
b3 0 b1
第五章 影像解析基础
X X XS T T Rw T R Y YS Y Rk w w Z Z Z S X T Rw T Rk R ( R Rw Rk ) Y w Z
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
如何求偏导数
为此，引入下列符号：
X a1 ( X X S ) b1 ( Y YS ) c1 ( Z Z S )
令：Y a2 ( X X S ) b2 ( Y YS ) c2 ( Z Z S ) 为地面点的变换坐标
Xs0，Ys0，Zs0， 0，ω0，κ0为未知数的初始近似
值
（x）,（y）为未知数的近似值代入共线条件方程
求出的像点坐标值
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
根据间接平差的误差方程形式，按泰勒公式展开后 的误差方程为： vx(x )
y y y y y y vy y) -y △ Xs △Ys △Zs △f △w △k ( Xs Ys Zs f w k -x x x x x x x △Ys △f △w △k △ Xs △Zs Xs Ys Zs f w k
T
第五章 影像解析基础
经过上面的推导，误差方程的系数全部求出来 然后，参考间接平差法列法方程，求解参数的改 正数△Xs，△Ys，△ Zs，△ ，△ω，△κ，计算参数
的新的近似值。初始值粗略，所以要进行迭代计算，直到 改正数小于某一限差。一般是三个角元素的改正数均小于 0.1秒。
Xs= Xs0+ △Xs1+ Ys= Ys0+ △Ys1 + Zs= Zs0+ △ Zs1+ = 0+ △ 1 + Ω=ω0+ △ω1 + Κ=κ0+ △κ1+
T
X T Rw Rk Rw Rk Y w Z
T
0 0 sin k
0 0 cosk
sin k X cosk Y 0 Z
第五章 影像解析基础
X X XS T Rk T T Rw R Y YS Y k k Z Z Z S X X XS T Rk Rk T T T ( Rk Rk ) Rw R Y YS Rk Y k Z Z Z k S Y X 0
5、空间后方交会的布点方案
y 1 a 9 2 6 5 3 1 a x 2 6 y 1 a b 5 2 6 4 x y 5 3 1 a x 4 y 1 a b x 4 2 y 3
8
b
7 4
b
b
4
x
9点全片后交
6点全片后交
3
4点全片后交
3
2
6点半片后交
4点半片后交
第五章 影像解析基础
百度文库
不论是全片后交还是半片后交，增加控制点 的数目，可以提高空间后方交会的精度，但精度 提高的幅度不是很大。 在采用相同数量的控制点的情况下，全片后 交比半片后交的精度有很大的提高，几乎是成倍 地改善。 控制点的分布比控制点的数量对于确保后交 的精度更为重要。
A •计算： T PA •计算： T PL A A •答解法方程： T PAX APL •计算外方位元素的改正数：
dX S , dYS , dZS , d , dw , dk
•外方位元素改正值：
k 1 k k 1 k k k X S 1 X S dX S 1 d
法方程： AT PA AT PL 0
答解改正数： AT PA
1
AT PL
第五章 影像解析基础 4、空间后方交会的计算过程
获取已知数据 量测控制点的像点坐标 确定未知数的初始值 计算旋转矩阵 计算像点坐标的近似值 组误差方程 组法方程 解外方位元素的改正数（求新近似值） 检查结果是否收敛，直到改正数小于限差， 否则重复计算，直到满足要求
线性化的基本思路： 按泰勒级数在零点（初始值）展开，取一次 项，将非线性方程转化为各参数改正数的线性方 程。
第五章 影像解析基础 2、单像空间后方交会基本关系式
x,y：像点坐标观测值，相应的改正数为：vx，vy
X,Y,Z为物方地面点坐标，已知
Xs，Ys，Zs， ，ω，κ，为未知参数，即待求量
相应的改正数为：△Xs，△Ys，△ Zs，△ ，△ω，△κ
同理可得其它线元素的偏导数
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
对角元素求偏导数
X X XS X XS T T T T Y R Y YS Rk Rw R Y YS Z Z Z Z Z S S
YSk 1 YSk dYSk 1
k k k Z S 1 Z S dZS 1
w k 1 w k dw k 1
k k 1 k k dk k 1
读入已知数据
确定外方位初值
组误差方程式
最小二乘答解
计算外方位元 素改正值
否
改正数是否小于限差
是
结果
第五章 影像解析基础
第五章 影像解析基础
内 容 安 排
1、单像空间后方交会的概念 2、单像空间后方交会的基本关系式 3、单像空间后方交会误差方程与法方程 4、单像空间后方交会的计算过程
5、单像空间后方交会的布点方案
第五章 影像解析基础 1、单像空间后方交会的概念
定义： 利用至少3个地面控制点(GCP,Ground Control Point)的坐标及其在像片上的像点坐标，根据共线 条件方程确定像片外方位元素的方法。 所采用的数学模型是共线条件方程，它是非线 性条件方程，根据平差的要求需要对其进行线性化。
x f X Z 2 ( Z X) Z
第五章 影像解析基础
X XS X X T T T T R T T R R Y Y Rk Rw Y YS Rk Rw Z ZS Z Z X X T T R R T T T T Rk Rw ( R R ) R Y R R R Y Z Z a1 a2 a 3 0 b3 b 2 b1 b2 b2 c1 0 0 1 a1 a2 c2 0 0 0 b1 b2 c3 1 0 0 c1 c2 b2 X b1 Y 0 Z a3 X b3 Y c3 Z
Z a 3 ( X X S ) b3 ( Y YS ) c3 ( Z Z S )
将共线方程改写为：
x f f y X Z Y Z
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
对线元素求偏导数
x x Z f X f 2 ( 2 (a1Z a3 X ) Z X) X S X X S Z X S Z 1[ a1 f a3 x ] Z
X ,Y , Z
x f f y
X Z Y Z
关键推求 X , Y , Z 对角元素的偏导数
X X XS T R T T Y Rk Rw Y YS Z Z ZS
第五章 影像解析基础 2、单像空间后方交会基本关系式
x f y f a1 ( X X S ) b1 (Y YS ) c1 ( Z Z S ) x0 a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z Z S ) a2 ( X X S ) b2 (Y YS ) c2 ( Z Z S ) y0 a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z Z S )
0 XS
[ X ] 0 [Y ] 0 ,YS , ZS H n n
R •计算旋转矩阵： X •计算地面点的变换坐标： , Y , Z x计，y计 ： •计算 •计算误差方程系数：cij •组误差方程：V AX L
b3 0 b1
第五章 影像解析基础
X X XS T T Rw T R Y YS Y Rk w w Z Z Z S X T Rw T Rk R ( R Rw Rk ) Y w Z
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
如何求偏导数
为此，引入下列符号：
X a1 ( X X S ) b1 ( Y YS ) c1 ( Z Z S )
令：Y a2 ( X X S ) b2 ( Y YS ) c2 ( Z Z S ) 为地面点的变换坐标
Xs0，Ys0，Zs0， 0，ω0，κ0为未知数的初始近似
值
（x）,（y）为未知数的近似值代入共线条件方程
求出的像点坐标值
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
根据间接平差的误差方程形式，按泰勒公式展开后 的误差方程为： vx(x )
y y y y y y vy y) -y △ Xs △Ys △Zs △f △w △k ( Xs Ys Zs f w k -x x x x x x x △Ys △f △w △k △ Xs △Zs Xs Ys Zs f w k
T
第五章 影像解析基础
经过上面的推导，误差方程的系数全部求出来 然后，参考间接平差法列法方程，求解参数的改 正数△Xs，△Ys，△ Zs，△ ，△ω，△κ，计算参数
的新的近似值。初始值粗略，所以要进行迭代计算，直到 改正数小于某一限差。一般是三个角元素的改正数均小于 0.1秒。
Xs= Xs0+ △Xs1+ Ys= Ys0+ △Ys1 + Zs= Zs0+ △ Zs1+ = 0+ △ 1 + Ω=ω0+ △ω1 + Κ=κ0+ △κ1+
T
X T Rw Rk Rw Rk Y w Z
T
0 0 sin k
0 0 cosk
sin k X cosk Y 0 Z
第五章 影像解析基础
X X XS T Rk T T Rw R Y YS Y k k Z Z Z S X X XS T Rk Rk T T T ( Rk Rk ) Rw R Y YS Rk Y k Z Z Z k S Y X 0
5、空间后方交会的布点方案
y 1 a 9 2 6 5 3 1 a x 2 6 y 1 a b 5 2 6 4 x y 5 3 1 a x 4 y 1 a b x 4 2 y 3
8
b
7 4
b
b
4
x
9点全片后交
6点全片后交
3
4点全片后交
3
2
6点半片后交
4点半片后交
第五章 影像解析基础
百度文库
不论是全片后交还是半片后交，增加控制点 的数目，可以提高空间后方交会的精度，但精度 提高的幅度不是很大。 在采用相同数量的控制点的情况下，全片后 交比半片后交的精度有很大的提高，几乎是成倍 地改善。 控制点的分布比控制点的数量对于确保后交 的精度更为重要。
A •计算： T PA •计算： T PL A A •答解法方程： T PAX APL •计算外方位元素的改正数：
dX S , dYS , dZS , d , dw , dk
•外方位元素改正值：
k 1 k k 1 k k k X S 1 X S dX S 1 d
法方程： AT PA AT PL 0
答解改正数： AT PA
1
AT PL
第五章 影像解析基础 4、空间后方交会的计算过程
获取已知数据 量测控制点的像点坐标 确定未知数的初始值 计算旋转矩阵 计算像点坐标的近似值 组误差方程 组法方程 解外方位元素的改正数（求新近似值） 检查结果是否收敛，直到改正数小于限差， 否则重复计算，直到满足要求
线性化的基本思路： 按泰勒级数在零点（初始值）展开，取一次 项，将非线性方程转化为各参数改正数的线性方 程。
第五章 影像解析基础 2、单像空间后方交会基本关系式
x,y：像点坐标观测值，相应的改正数为：vx，vy
X,Y,Z为物方地面点坐标，已知
Xs，Ys，Zs， ，ω，κ，为未知参数，即待求量
相应的改正数为：△Xs，△Ys，△ Zs，△ ，△ω，△κ
同理可得其它线元素的偏导数
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
对角元素求偏导数
X X XS X XS T T T T Y R Y YS Rk Rw R Y YS Z Z Z Z Z S S
YSk 1 YSk dYSk 1
k k k Z S 1 Z S dZS 1
w k 1 w k dw k 1
k k 1 k k dk k 1
读入已知数据
确定外方位初值
组误差方程式
最小二乘答解
计算外方位元 素改正值
否
改正数是否小于限差
是
结果
第五章 影像解析基础
第五章 影像解析基础
内 容 安 排
1、单像空间后方交会的概念 2、单像空间后方交会的基本关系式 3、单像空间后方交会误差方程与法方程 4、单像空间后方交会的计算过程
5、单像空间后方交会的布点方案
第五章 影像解析基础 1、单像空间后方交会的概念
定义： 利用至少3个地面控制点(GCP,Ground Control Point)的坐标及其在像片上的像点坐标，根据共线 条件方程确定像片外方位元素的方法。 所采用的数学模型是共线条件方程，它是非线 性条件方程，根据平差的要求需要对其进行线性化。
x f X Z 2 ( Z X) Z
第五章 影像解析基础
X XS X X T T T T R T T R R Y Y Rk Rw Y YS Rk Rw Z ZS Z Z X X T T R R T T T T Rk Rw ( R R ) R Y R R R Y Z Z a1 a2 a 3 0 b3 b 2 b1 b2 b2 c1 0 0 1 a1 a2 c2 0 0 0 b1 b2 c3 1 0 0 c1 c2 b2 X b1 Y 0 Z a3 X b3 Y c3 Z
Z a 3 ( X X S ) b3 ( Y YS ) c3 ( Z Z S )
将共线方程改写为：
x f f y X Z Y Z
第五章 影像解析基础 3、单像空间后方交会误差方程与法方程
对线元素求偏导数
x x Z f X f 2 ( 2 (a1Z a3 X ) Z X) X S X X S Z X S Z 1[ a1 f a3 x ] Z
X ,Y , Z
x f f y
X Z Y Z
关键推求 X , Y , Z 对角元素的偏导数
X X XS T R T T Y Rk Rw Y YS Z Z ZS
第五章 影像解析基础 2、单像空间后方交会基本关系式
x f y f a1 ( X X S ) b1 (Y YS ) c1 ( Z Z S ) x0 a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z Z S ) a2 ( X X S ) b2 (Y YS ) c2 ( Z Z S ) y0 a3 ( X X S ) b3 (Y YS ) c3 ( Z Z S )