混合有限元离散元方法
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可变形离散元的坐标变换
0 接触检测算法
对非连续问题来说,判断是否接触是很重要的。减少相隔较远的颗粒间的接触判断可以提高算法效率()()o N o N →2。直接检测的算法分为两类:一类是圆形边界,另一类是矩形边界。对矩形边界,有离散单元的直接映射检测算法,单元每改变一次位置该方法需调用一次:
Step 1:将离散元映射到胞元。根据每个单元中心位置将单元映射到胞元上。因此每个单元都唯一的与一个胞元对应。即对每个单元中心坐标取整,其中d 为胞元边长,max()elements d R >
min min
int int(
), int int()i i i i x x y y x y d d
--=+=+11 (1) Step 2:找到可能接触的离散元。每个离散元都与其映射胞元中心重合且被完全覆盖,两个胞元相邻的单元有可能接触。事实上对下面的胞元,因为每个胞元都可作为中心元被检查两次,所以只需检查左下角的四个。
如何将单元映射到胞元上呢?不同的映射方法定义了不同的算法,如屏风法、分类法、Munjiza-NBS 法和Williams-C 网格法。
1 屏风法:
[,,,...,]N E e e e e =123,N 为单元个数。离散元素映射到细胞的获得是通过设置阵列C 指单独列出的头连接的胞元。
映射进行如下: STEP 1 设置空为-1
Loop over all rows of cells(i=1; i ≤Ncel ; i++)
{ Loop over all cells in a row(j=1;j ≤Ncel ; j++) { set C[i][j ] = −1 } }
Loop over all discrete elements(k=1; k ≤N; k++) { set E[k] = −1 }
STEP 2 离散元映射到胞元。单元每运动一次执行一次,例如每个时间步执行一次。对每个胞元设置一个独立的链表:
Loop over all discrete elements (k=1; k ≤N;k++) { Integerise current coordinates and set
min
min
int int(
), int int()
i i i i x x i x d
y y j y d
-==+-==+11
Place the discrete element onto the corresponding singly connected list by
setting E[k] = C[i][j ] and afterwards C[i][j ] = k
}
当单元移动后再进行映射时不需要初始化。当单元分离时步骤1再次进行。一旦 离散元都映射到胞元,则检测开始。对所有离散元循环,找到离散元映射的胞元,然后检查该胞元相邻和周围胞元中的单元。 Loop over discrete elements (k=1; k ≤N; k++) { Integerise current coordinates and set
min
min
int int(
), int int()
i i i i x x i x d y y j y d -==+-==+11
if C[i][j]≤N
{ C[i][j]=C[i][j]+N
loop over all discrete elements from C[i][j] list
{ loop over all discrete elements from neighboring cells, i.e. lists C[i-1][j-1], C[i][j-1], C[i+1][j-1], C[i-1][j], C[i][j]
{ direct check for contact between discrete elements } } }
}
搜索只遍历所有离散元,并不遍历所有胞元。
2 分类法
如果离散元是分散分布的,则胞元矩阵会很大,所以为节省RAM 和CPU 产生
了新的方法。设置数组X 记录胞元所在的列,数组Y 记录胞元所在的列,数组D 记录离散元,长度皆为N 。
3 Munjiza-NBS 法
该算法是找到相隔最近的点对,即它们最近的点之间的距离小于或等于零,则单元重叠或接触。
空间重构:空间被分为理想的长度为d 的正方形胞元。 从集合{,,...,}E N =12映射到
(,)(,)(,)...(,)(,)(,)(,)...(,)...............(,)(,)(,)...(,)n n C m m m m n ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
11121312122232123 将离散元(x,y)映射到胞元(,)x y i j 上,其中
min
min
int(
), int()
x y x x i d
y y i d -=-=
STAGE1 链接列:对每一列y i (y y i N ≤),构造一个独立的接触链,包含在这一列上的所有离散元。单元序号按降序排列相互关联,例→→→10741,它们对应的胞元y i 都等于7。
Loop over all discrete elements ( i=1; i ≤N; i++) { calculate integerised coordinate
min
int()y y y i d -=
and place the discrete element onto the y yi list }
数组B 存放的元素是最后一个映射进当前列链的单元,有N y 个分量,指向数组Y 的相应位置,引出一个新的链表。数组Y 中存放着当前单元指向的单元,当指向结束时当前值设为-1,有N 个分量。
STAGE 2:对所有y y i =的单元循环,将x x i =的单元放入链表X ,且令该链表为NEW 。有N 个分量。
检查一个链表后令其为OLD 。则每建立一个新链表都应用旧链表的空间,只是需先进行初始化。 算法总结:
1. Loop over all discrete elements( k=0; k ≤N; k++)