混合有限元离散元方法

可变形离散元的坐标变换

0 接触检测算法

对非连续问题来说，判断是否接触是很重要的。减少相隔较远的颗粒间的接触判断可以提高算法效率()()o N o N →2。直接检测的算法分为两类：一类是圆形边界，另一类是矩形边界。对矩形边界，有离散单元的直接映射检测算法，单元每改变一次位置该方法需调用一次：

Step 1：将离散元映射到胞元。根据每个单元中心位置将单元映射到胞元上。因此每个单元都唯一的与一个胞元对应。即对每个单元中心坐标取整，其中d 为胞元边长，max()elements d R >

min min

int int(

), int int()i i i i x x y y x y d d

--=+=+11 （1） Step 2：找到可能接触的离散元。每个离散元都与其映射胞元中心重合且被完全覆盖，两个胞元相邻的单元有可能接触。事实上对下面的胞元，因为每个胞元都可作为中心元被检查两次，所以只需检查左下角的四个。

如何将单元映射到胞元上呢？不同的映射方法定义了不同的算法，如屏风法、分类法、Munjiza-NBS 法和Williams-C 网格法。

1 屏风法：

[,,,...,]N E e e e e =123，N 为单元个数。离散元素映射到细胞的获得是通过设置阵列C 指单独列出的头连接的胞元。

映射进行如下： STEP 1 设置空为-1

Loop over all rows of cells(i=1; i ≤Ncel ; i++)

{ Loop over all cells in a row(j=1;j ≤Ncel ; j++) { set C[i][j ] = −1 } }

Loop over all discrete elements(k=1; k ≤N; k++) { set E[k] = −1 }

STEP 2 离散元映射到胞元。单元每运动一次执行一次，例如每个时间步执行一次。对每个胞元设置一个独立的链表：

Loop over all discrete elements (k=1; k ≤N;k++) { Integerise current coordinates and set

min

min

int int(

), int int()

i i i i x x i x d

y y j y d

-==+-==+11

Place the discrete element onto the corresponding singly connected list by

setting E[k] = C[i][j ] and afterwards C[i][j ] = k

}

当单元移动后再进行映射时不需要初始化。当单元分离时步骤1再次进行。一旦 离散元都映射到胞元，则检测开始。对所有离散元循环，找到离散元映射的胞元，然后检查该胞元相邻和周围胞元中的单元。 Loop over discrete elements (k=1; k ≤N; k++) { Integerise current coordinates and set

min

min

int int(

), int int()

i i i i x x i x d y y j y d -==+-==+11

if C[i][j]≤N

{ C[i][j]=C[i][j]+N

loop over all discrete elements from C[i][j] list

{ loop over all discrete elements from neighboring cells, i.e. lists C[i-1][j-1], C[i][j-1], C[i+1][j-1], C[i-1][j], C[i][j]

{ direct check for contact between discrete elements } } }

}

搜索只遍历所有离散元，并不遍历所有胞元。

2 分类法

如果离散元是分散分布的，则胞元矩阵会很大，所以为节省RAM 和CPU 产生

了新的方法。设置数组X 记录胞元所在的列，数组Y 记录胞元所在的列，数组D 记录离散元，长度皆为N 。

3 Munjiza-NBS 法

该算法是找到相隔最近的点对，即它们最近的点之间的距离小于或等于零，则单元重叠或接触。

空间重构：空间被分为理想的长度为d 的正方形胞元。 从集合{,,...,}E N =12映射到

(,)(,)(,)...(,)(,)(,)(,)...(,)...............(,)(,)(,)...(,)n n C m m m m n ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢

⎥

⎣⎦

11121312122232123 将离散元(x,y)映射到胞元(,)x y i j 上，其中

min

min

int(

), int()

x y x x i d

y y i d -=-=

STAGE1 链接列：对每一列y i (y y i N ≤)，构造一个独立的接触链，包含在这一列上的所有离散元。单元序号按降序排列相互关联，例→→→10741，它们对应的胞元y i 都等于7。

Loop over all discrete elements ( i=1; i ≤N; i++) { calculate integerised coordinate

min

int()y y y i d -=

and place the discrete element onto the y yi list }

数组B 存放的元素是最后一个映射进当前列链的单元，有N y 个分量，指向数组Y 的相应位置，引出一个新的链表。数组Y 中存放着当前单元指向的单元，当指向结束时当前值设为-1，有N 个分量。

STAGE 2：对所有y y i =的单元循环，将x x i =的单元放入链表X ，且令该链表为NEW 。有N 个分量。

检查一个链表后令其为OLD 。则每建立一个新链表都应用旧链表的空间，只是需先进行初始化。 算法总结：

1. Loop over all discrete elements( k=0; k ≤N; k++)