三角二轮复习三角专题二 三角函数的图像及性质

三角函数的图像及性质
一、考点分析：
1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性．
2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.
二、主干知识：
1．正弦、余弦、正切函数的性质
函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图像
定义域R R{x|x≠π
2＋kπ，k∈Z}
值域[－1,1][－1,1]R
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调性
在[－
π
2＋2kπ，
π
2＋2kπ](k∈Z)
上递增．
在[
π
2＋2kπ，
3π
2＋2kπ](k∈Z)上
递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递
增．在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
上递减
在(－
π
2＋kπ，
π
2＋kπ)(k∈Z)
上递增
最值
当x＝
π
2＋2kπ，k∈Z时，y取
得最大值1.
当x＝－
π
2＋2kπ，k∈Z时，y
取得最小值－1
当x＝2kπ，k∈Z时，y取得
最大值1.
当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取
得最小值－1
无最值
提炼1三角函数的图象问题
(1)函数y＝A sin(ωx＋φ)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确
定A，利用周期确定ω，利用图象的某一已知点坐标确定φ.
(2)三角函数图象的两种常见变换
提炼2三角函数奇偶性与对称性
(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π
2(k∈Z)时为偶
函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π，(k ∈Z )解得．
(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π
2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )解得．
y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；对称中心的横坐标可由ωx ＋φ＝k π
2(k ∈Z )解得，无对称轴.
(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦.
x ＋φ)＋c 其中tan φ＝b
a 的形式，这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y ＝a 2＋
b 2sin(x ＋φ)＋
c 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解． (2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 型函数的最值：可利用降幂公式sin 2x ＝1－cos 2x 2，sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2
x ＝1＋cos 2x 2 三、小题快练
回访1 三角函数的图象问题
1．(理)(2016·全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A ．x ＝k π2－π
6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π
12(k ∈Z )
D ．x ＝k π2＋π
12(k ∈Z )
回访2 三角函数的性质问题
2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图1-2所示，则f (x )的单调递减区间为( )
图1-2
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为
y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
4. 用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1、x 2、x 3、x 4、x 5且x 1＋x 5＝3π
2
，则x 2＋x 4( )
A.π2 B ．π C.3π2
D ．2π
5. 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，
得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )
A ．在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称
C ．函数g (x )是奇函数
D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6，23π时，函数g (x )的值域是[－2,1]
6. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2
，x ∈R )的图象的一部分如图所示，则函数
f (x )的解析式为________．
7. 如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下
列四个函数：
①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x; ④f (x )＝2sin x ＋ 2.
其中为“互为生成”函数的是________(填序号)． 8.已知函数f (x )＝2－(3sin x －cos x )2.
(1)求f (π
4
)的值和f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间[－π6，π
3]上的最大值和最小值．
9、已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭
⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π4，π4上的单调性．
[解] (1)f (x )的定义域为xx ≠π
2＋k π，k ∈Z .
1分
f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π3－3
＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋3
2sin x －3
＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3.
4分 所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
6分 (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π2＋2k π，π2＋2k π，
k ∈Z .
由－π2＋2k π≤2x －π3≤π
2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z .
8分
设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x －π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π12，π4.
10分
所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥
⎤－π4，－π12上单调递减.
12分
方法指津：研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的“两种”意识
1．转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式．
2．整体意识：类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”代入求解便可．。