2020高考数学(理)大一轮复习配套练习：第九章10第9讲第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题含解析

[基础题组练]

1．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵

上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( )

A ．(10，14)

B ．(12，14)

C ．(10，12)

D ．(9，11)

解析：选C.抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1，

圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5，

可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ，

由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4，6)，可得6＋x P ∈(10，12)，

故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C.

2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB →

(λ＞1)，

则λ的值为________．

解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB →

，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线AB 与抛物线方程，消元得y 2－3

2

py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2

y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ

＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.

答案：4

3．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →

的取值范围．

解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋

2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，

即椭圆C 的方程是y 28＋x 2

4

＝1.

(2)若直线l 垂直于x 轴，则点E (0，22)，F (0，－22)， OE →·OF →

＝－8.

若直线l 不垂直于x 轴，不妨设l 过该椭圆的上焦点，则l 的方程为y ＝kx ＋2，设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，

将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到(2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－4

2＋k 2

， 所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2

)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4＝202＋k 2－8， 因为0＜202＋k 2≤10，所以－8＜OE →·OF →≤2， 所以OE →·OF →

的取值范围是[－8，2]．

4．(2019·郑州第一次质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以

F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．

(1)求椭圆C 的离心率e ；

(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →

的最大值．

解：(1)由题意知

|－3ab |a 2

＋4b

2＝c ，

则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，

即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]， 所以a 2＝2c 2，所以e ＝

22

. (2)因为△PQF 2的周长为42， 所以4a ＝42，即a ＝ 2.

由(1)知b 2

＝c 2

＝1，故椭圆方程为x 22

＋y 2

＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．

①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ⎝

⎛⎭⎫－1，

22，Q ⎝

⎛⎭⎫－1，－22，F 2P →＝⎝⎛⎭⎫－2，22，F 2Q →＝⎝

⎛⎭⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72.

②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪

⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2

＝2

消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－4k 2

2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1

.

所以F 2P →·F 2Q →

＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2

＋1＝(k 2＋1)2k 2

－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝⎛⎭⎫－4k 22k 2＋1＋k 2

＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92（2k 2＋1）

，

令t ＝2(2k 2＋1)，则F 2P →·F 2Q →＝72－9

t (t >2)，

所以F 2P →·F 2Q →

∈⎝

⎛⎭⎫－1，72. 结合①②，得F 2P →·F 2Q →

∈⎝⎛⎦⎤－1，72， 所以F 2P →·F 2Q →

的最大值是72

.

[综合题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－1

2

.记M 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .

(ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形； (ⅱ)求△PQG 面积的最大值．

解：(1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 2

2＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在

x 轴上的椭圆，不含左右顶点．

(2) (ⅰ)证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1得x ＝±2

1＋2k 2. 记u ＝

2

1＋2k 2

，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u ，0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k

2

(x －u )．