透视解析几何中角的处理

透视解析几何中“角”的处理

解析几何中有关角的问题，涉及的知识点多，解决方法综合而灵活，是学习的一个难点，同时，又是高考的一个热点。下文通过对一个实例多层面剖析并变式引伸，从中透视处理“角”的一般思维程序，以展示问题求解的一般策略，并由此建构解决“角”的方法体系，最终击破难点，轻取热点。

已知：椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上的任意

一点，试求∠F 1MF 2的最大值。

分析：所求解的目标——角，已学习过的哪些知识（如概念、公式、定理等）与角相关联？向量的数量积，余弦定理，到角公式，……

解法一：设M （x,y ）,),(1y x c MF ---= ),(1y x c MF --=由212121cos MF F MF MF MF MF ∠∙=∙得：

cos 21MF F ∠=22222

22)()(y

x c y x c y c x +-⋅+--+-把)1(22

2

2a x b y -=代入上式，化简得

=∠21cos MF F ||||2

2222a x a c a x a c c b x a c -⋅+-+=22222222222x a c a a c b x a c a -+-++-=2

222221x a

c a b -+- ∵0≤x 2

≤a 2

∴b 2

=a 2

-c 2

≤a 2

-2

22x a

c ≤a 2

∴

2

22a b ≤2

22

22

2x a

c a b -≤2 2221a b +-1cos 21≤∠≤MF F 当x 2

=0时，∠F 1MF 2取为最大值arccos(2221a

b +-)

解法二：根据焦半径公式ex a MF +=1 ex a MF -=2，由余弦定理得

∴

cos

|

|||2||||||212

21222121MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠=

)

)((2)2()()(2

22ex a ex a c ex a ex a -+--++

=2

222

22222222222222221222x

e a b x e a c a x e a x e a c x e a -+-=--++-=---（下同解法一） 解法三：cos |

|||2||||||21221222121MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠

|

|||2||||2|||)||(|2121221221MF MF MF MF F F MF MF ⋅∙--+=

=|||||

|||221212MF MF MF MF b ⋅⋅- 121||||222

212-≥-⋅=a

b MF MF b 这里，2a=|MF 1|+|MF 2|||||221MF MF ⋅≥ ∴|MF 1|·|MF 2|≤a 2 当且仅当|MF 1|=|MF 2|即（M 位于短轴顶点B 1顶点）时等号成立（下略） 评注：定义是构筑知识体系的基础，利用定义解题，如同抓住了“纲”，能收到“纲举目张”的效果，可靠而灵巧。

解法四：由椭圆的对称性，可设M （x,y ）为第一象限内“椭圆弧”上的任意一点，即0≤x

tan ∠F 1MF 2=

2

222111

212c y x cy

c

x y c x y c x y

c x y K k K K MF MF MF MF -+=+⋅

-++-

-=⋅+- =2

2422

2222222222)1(2y c b cy b y b

c b cy c y b y a cy

-=-+=-+- 令g(y)=224y c b y

-，则g'(y)=2

224

22422242224)

()()2()(y c b y c b y c b y c y y c b -+=---- 在其定义域内恒正,，故tan ∠F 1MF 2],0(b 在单调递增，当y=b 即x=0时，就是点M 位于上顶点B 2，∠F 1MF 2达到最大值*

。（下略）

上述探索异途同归：在点M 从右顶点A 2往上顶点B 2移动过程中，∠F 1MF 2逐渐增大，

并且当M 位于顶点B 2时达到最大。

变式：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，M 是椭圆上任意一点，A 1、A 2是椭圆的左、

右顶点，求∠A 1MA 2的最大值。

分析：|MA 1|、|MA 2|不是焦半径，公式|MA 1|=a+ex 、定义|MA 1|+|MA 2|=2a 不能用，并且 |MA 1|=2

2

)(y a x +-不能通过配成完全平方而化简。故前三种解法都不可行。

解：tan ∠A 1MA 2=

1

2121MA MA MA MA K K K K ⋅+-2

2

2

1a x y a x y a x y -++-

-=2222a y x ay -+=

2

222

2

)1(2a y b

y a ay

-+-=

y

c ab 2

2

2-= tan ∠A 1MA 2],0(b 在单调递增，当y=b 时，即点M 位于上B 2时∠A 1MA 2最大，其值为2

2arctan

c ab

-+π。 至此，凸现了处理角的常用方法：到角公式，余弦定理，（向量）数量积的定义。

引伸1：已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两端点是1A 、2A ，且在椭圆上存在

点M ，使0

21120=∠MA A ，则椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A ．（0，1） B ．]3

6,

0( C ．)1,36

[ D ．不能确定，因结论不仅仅与e 有关 解：选C 。在椭圆上存在点M ，使0

21120=∠MA A ⇔0

2211

20≥∠A B A ⇔22A OB ∠

060≥，

360tan tan 022=∠≥∠=A OB b a

即222113e

c a a -=-≤ 故36≥e 引伸2：椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F 1、F 2，点M 为其上的动点，则当∠F 1MF 2为钝角时，点M 横坐标的取值范围是_______.

解：找出分界点P ：0

2190=∠PF F 的横坐标即可。

解52

2

=+y x 且14922=+y x 联立的方程组5

3±=x )5

3,

5

3(-

∈x

在“有着适度潜在距离”的相关问题之间建立精当的序列关系，会将知识结构化、网络

化，使得知识体系简约，易于理解，可以避免因知识繁杂而不得要领，并且结构化、网络化的知识给联想提供线索和桥梁，具有迁移和应用的活力。

详细理由如下：

（一）当b>c 时，∴b 2

>c 2

且b 2

≥y 2

>0 ∴b 4

>c 2y 2

∴tan ∠F 1MF 2=2

2422y c b cy

b -为正且

在(]b ,0上单调递增 ∴锐角∠F 1MF 2在y=b 时取得最大值，2

22tan c b bc

arc -

（二）当b=c 时