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高三第四次月考理科数学试卷高三数学模拟试题精选25高三数学模拟试题精选25

实验中学高三第四次月考理科数学试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 集合{}{}2|||2,|0M x x N x x x =<=->，那么M N = 〔〕A ．∅ B.R C .M D.N2. 在复平面内，复数121ii+-对应的点位于〔〕 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D3. 假设右框图所给程序运行的结果为S =90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( ) A ．k 8≤ B ．k 7≤C ．k 9>D ．k 8>4. 设曲线x x y sin cos 1+=在点⎪⎭⎫⎝⎛1,2π处的切线与直线01=+-ay x 平行，那么实数a 等于A.1-B.1C.2-D.25. 函数f 〔x 〕是以2为周期的偶函数，且当)10(log ,12)(,)1,0(2f x f x x则时-=∈ 的值是〔〕 A ．53 B ．58 C ．85- D ．35-6. 假设cos 22sin()4θπθ=--，那么cos sin θθ+的值是〔〕O yxDCBA -112π A.72-B.12-C.12D.72 7．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的外表积为〔〕A ．233+ B ．33+ C ．61 D ．238．函数)1,0(log )(,)(,)(321≠>===a a x x f x x f a x f a ax 且其中在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的选项是〔〕5||),4,2(),2,1(=--==c b a ，假设25)(=•+c b a ，那么a 与c 的夹角为〔〕 A ．︒30 B ．︒60 C ．︒120 D ．︒150 10．如下图，墙上挂有一长为π2，宽为2的矩形木板ABCD ，它的阴影局部是由函数]2,0[,cos π∈=x x y 的图象和直线1=y 围成的图形.某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，那么他击中阴影局部的概率是〔〕 A ．81B ．41 C ．31D ．21侧视图正视图俯视图11．椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，0211=⋅F F AF ，221c AF AF =⋅，那么椭圆的离心率e =〔〕A ．33 B ．213- C ．215- D ．22 12．给出以下命题：①命题“假设m>0，那么方程x 2+x －m=0有实数根〞的逆否命题为：“假设方程x 2+x －m=0 无实数根，那么m ≤0”.②“x =1”是“x 2－3x+2=0”的充分不必要条件. ③假设“p 且q 〞为假命题，那么p 、q 均为假命题.④对于命题p ：.01,:,01,22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x 均有则使得〔其中“∃〞表示“存在〞，“∀〞表示“任意〞〕其中错误．．的命题为〔〕 A ．① B ．② C ．③ D ．④二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分．一共16分 13．设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．那么数列{}n a 的通项公式为____________14. 圆O 的半径为18，P 为圆外一点，P 与圆上各点连线的最大间隔为38，那么点P 到圆O 的切线长是 ___________________.15．设实数x,y 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≤--032,04202x y x y x 那么x y 的最大值是_____________.16．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在[-1,0]上是增函数，以下五个关于)(x f 的命题中:①)(x f 是周期函数；②)(x f 的图象关于1=x 对称；③)(x f 在［0，1］上是增函数;④)(x f 在［1，2］上是减函数；⑤)0()2(f f =其中正确的命题是_____________三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．〔本小题满分是12分〕锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量(2sin ,3),m B = 2(2cos 1,cos 2)2Bn B =- ,且m n ⊥. 〔Ⅰ〕求B 的大小;〔Ⅱ〕假如2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值. 18．〔本小题满分是12分〕如图，平面PCBM ⊥平面ABC ,∠PCB =90°,PM ∥BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又AC =1,BC =2PM =2, ∠ACB =90° (Ⅰ)求证：AC ⊥BM ;(Ⅱ)求二面角M -AB -C 的正切值；〔Ⅲ〕求多面体P-MABC 的体积.19．〔本小题满分是12分〕在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个宏大的汽油罐.只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是互相HY 的,且命中的概率都是23. 〔Ⅰ〕求油罐被引爆的概率;〔Ⅱ〕假如引爆或者子弹打光那么停顿射击,设射击次数为ξ.求ξ的分布列及E ξ. 20．〔本小题满分是12分〕C B A 、、是直线l 上的三点，向量→→→OC OB OA ,,满足：=++'+-→→→OC x OB f y OA )1ln()]1(2[→〔Ⅰ〕求函数)(x f y =的表达式；〔Ⅱ〕假设0>x ，证明：22)(+>x xx f ； (Ⅲ) 假设不等式32)(21222--+≤bm m x f x 时，[]1,1-∈x 及[]1,1-∈b 都恒成立，务实数m 的取值范围．21．〔本小题满分是12分〕双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．〔Ⅰ〕求双曲线的离心率；〔Ⅱ〕设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22. 〔本小题满分是14分〕数列).,3,2,1(221,1,}{211 =+-==+n a a a a a n n n n 中〔1〕求证：①1+<n n a a ；②21<≤n a ；〔2〕比拟∑=+nk n ka a 1139401与的大小，并加以证明。

宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高三上学期第四次月考理科数学试题(解析版)

银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{05}A xx =<<∣，104x B x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B = （）A.[]1,4- B.[)1,5- C.(]0,4 D.()0,4【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合B ，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式104x x +≤-，则等价于()()1404x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得14x -≤<，所以{}14B x x =-≤<，由{}05A x x =<<，则{}04A B x x ⋂=<<.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数C.实部不为零的虚数D.纯虚数【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设()()0,0OZ a a =≠，所以对应复数为()i 0a a ≠，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20B.32C.203D.323所以该几何体的体积为【答案】D 【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥E -ABCD ，该几何体的高为EF ，且EF =4，13224433E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足3cos 5α=，则这块四边形木板周长的最大值为（）A.20cmB.C. D.30cm【答案】D 【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2)cm =.设截得的四边形木板为ABCD ，设A α∠=，AB c =，BD a =，AD b =，BC n =，CD m =，如下图所示.由3cos 5α=且0πα<<可得4sin 5α=，在ABD △中，由正弦定理得sin aα=，解得a =在ABD △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc α=+-.，所以，()()()()222222616168055545b c b c b c bc b c b c ++=+-=+-≥+-⨯=，即()2400b c +≤，可得020b c <+≤，当且仅当10b c ==时等号成立.在BCD △中，πBCD α∠=-，由余弦定理可得()222226802cos π5a m n mn m n mn α==+--=++()()()()22224445545m n m n m n mn m n ++=+-≥+-⨯=，即()2100m n +≤，即010m n <+≤，当且仅当5m n ==时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm .故选：D.5.若13α<<，24β-<<，则αβ-的取值范围是（）A.31αβ-<-<B.33αβ-<-<C.03αβ<-<D.35αβ-<-<【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵24β-<<，∴04β≤<，40β-<-≤，又13α<<，∴33αβ-<-<，故选：B.6.已知向量(1,1)a = ，(,1)b x =- 则“()a b b +⊥”是“0x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得0x =或=1x -，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量(1,1)a = ，(,1)b x =-，可得(1,0)a b x +=+r r ，若()a b b +⊥，可得()(1)0a b b x x +⋅=+= ，解得0x =或=1x -，所以()a b b +⊥是0x =的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A.8π-B.8π-C.16π-D.16π-【答案】A 【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为21π4sin 23⨯=圆弧的长度为π4π433l =⨯=，故一个弓形的面积为18π423l ⨯-=-，故“莱洛三角形”的面积为8π38π3⎛-+=- ⎝.故选：A8.若数列{}n a 满足11a =，1121n n a a +=+，则9a =（）A.10121- B.9121- C.1021- D.921-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可得到数列{}n a 的通项公式，从而得到结果.【详解】因为11a =，1121n n a a +=+，所以111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又1112a +=，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列，所以112n n a +=，即121n n a =-，所以99121a =-.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形ABCD ，点M ，N 分别在上、下底面圆上，2NB AN =，2CM MD =，2AB =，3BC =，则异面直线AM 与CN 所成角的余弦值为（）A.10B.4C.5D.20【答案】D 【解析】【分析】作出异面直线AM 与CN 所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接,,,,DM CM AN BN BM ，设BM CN P ⋂=，则P 是BM 的中点，设Q 是AB 的中点，连接PQ ，则//PQ AM ，则NPQ ∠是异面直线AM 与CN 所成角或其补角.由于 2NB AN =， 2CMDM =，所以ππ,36BAN NBA ∠=∠=，由于2AB =，而AB 是圆柱底面圆的直径，则AN BN ⊥，所以1,AN BN ==，则122AM PQ AM ====，12CN PN CN ====，而1QN =，在三角形PQN中，由余弦定理得1010313144cos 20NPQ +-+-∠==.故选：D10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且70a >，690a a +<则（）A.数列{}n a 为递增数列B.80a <C.n S 的最大值为8SD.140S >【答案】B 【解析】【分析】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，所以公差870d a a =-<，所以17n ≤≤时0n a >，8n ≥时0n a <，逐项分析判断即可得解.【详解】由70a >且78690a a a a +=+<，所以80a <，故B 正确；所以公差870d a a =-<，数列{}n a 为递减数列，A 错误；由0d <，70a >，80a <，所以17n ≤≤，0n a >，8n ≥时，0n a <，n S 的最大值为7S ，故C 错误；114147814()7()02a a S a a +==+<，故D 错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖臑P ADE -的外接球的体积为3，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（）A.15πB.16πC.17πD.18π【答案】C 【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因PA ⊥平面ABCE ，AD DE ⊥,故可以构造长方体ADEF PQRS -,易得：长方体ADEF PQRS -的外接球即鳖臑P ADE -的外接球，设球的半径为1R ，PA x =，由12PE R ==，且314π33R =,解得:1R =, 3.x =又因四边形ABCD 为正方形，阳马P ABCD -的外接球即以,,PA AB AD为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为2R22R ==,解得：2172R =故阳马P ABCD -的外接球的表面积为2224π4π(17π.2R =⨯=故选：C.12.若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.(ln 21,)--+∞B.[ln 21,)--+∞C.(ln 21,)-++∞D.[ln 21,)-++∞【答案】A 【解析】【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x '=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =⋅+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x '=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x '=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+∞，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件4,2,4,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =-+的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为4.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数2z x y =-+可化为2y x z =+，若要求目标函数z 的最大值，即求出2y x z =+在y 轴上的最大截距即可，易知当2y x =（图中虚线所示）平移到过点A 时，截距最大，显然()0,4A ，则max 4z =，所以2z x y =-+的最大值为4.故答案为：414.已知偶函数()f x 满足()()()422f x f x f +=+，则()2022f =__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令2x =-，则()()()2222f f f =-+，又()()22f f -=，所以()20f =，于是()()()422f x f x f +=+化为：()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，所以()()()20225054220f f f =⨯+==．故答案为：0.15.在ABC 中，已知3AB =，4AC =，3BC =，则BA AC ⋅的值为________.【答案】8-【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：cos ⋅=-⋅=-⋅∠uu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu rBA AC AB AC AB AC A22222291698222+-+-+-=-⋅⨯=-=-=-⋅AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC ，即8BA AC ⋅=-.故答案为：8-.16.将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()f x ，已知函数()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为__________.【答案】150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数()y f x =的解析式，再由函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，列出不等式组求出ω的取值范围即可【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π4个单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍（纵坐标不变），得到函数()πsin 4y f x x ω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，函数()y f x =在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以3ππ242T ≥-，即ππ4ω≥，解得04ω<≤，①又πππ3ππ24444x ωωω+<+<+，所以πππ2π2423πππ2π442k k ωω⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得3184233k k ω-+≤≤+，②由①②可得150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故答案为:150,,332ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1AA ，11C D 的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面1111D C B A 相交于直线l ．（1）画出直线l 的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥D MNA -的体积．【答案】（1）答案见解析（2）324a 【解析】【分析】（1）延长DM 与11D A 的延长线交于E ，连接NE 即为所求；（2）根据D MNA N DAM V V --=结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线NE 即为所求：依据如下：延长DM 交11D A 的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．11E DM D A ∈ ，E DM ∴∈⊂平面DMN ，11E D A ∈⊂平面1111D C B A ，E ∴∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，又由题意显然有N ∈平面DMN ⋂平面1111D C B A ，EN ∴⊂平面DMN ⋂平面1111D C B A ，则NE 即为直线l 的位置．【小问2详解】因为D MNA N DAM V V --=，所以3111112332224D MNA DAMa aa V ND S a -⨯=⨯⨯=⨯⨯= .18.已知数列{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}nb 满足14b =，422b =，设n n nc a b =-，且{}n c 是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n c 的通项公式；（2）求{}n b 的通项公式和前n 项和n T .【答案】18.13·2n n a -=，2n c n =-19.1322n n b n -=⋅+-，21332322=⋅-+-n n T n n 【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列{}n b 的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为13a =，34124a a q ==，所以2q =，即132n n a -=⋅，设等差数列{}n c 公差为d ，因为1111c a b =-=-，444132c a b c d =-=+=，所以1d =，即2n c n =-.【小问2详解】因为n n n c a b =-，所以n n n b a c =-,由（1）可得1322n n b n -=⋅+-，设{}n b 前n 项和为n T ，()()131242212-=⋅+++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+n n T n n 21232122n n n n -+=⋅+--21332322n n n =⋅-+-.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块ABCD ，30m AB =，15m AD =，有关部门划定了以D 为圆心，AD 为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为AB 边上的点E ，出口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与古树保护区边界相切，EF 右侧的四边形BCFE 将作为绿地保护生态区. 1.732≈，长度精确到0.1m ，面积精确到20.01m ）（1）若30ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入口E 在AB 上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）17.3m（2）AE =2255.15m 【解析】【分析】（1）根据DH HE ⊥得Rt Rt DHE DAE ≅ ，然后利用锐角三角函数求出EF 即可；（2）设ADE θ∠=，结合锐角三角函数定义可表示,AE HF ，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H ，连结DH ，如图.15DH DA == ，DA AE ⊥，DH HE ⊥，Rt Rt DHE DAE ∴≅△△；30HDE ADE HDF ∴∠=∠=∠=︒；15tan 3015tan 3017.3m EF EH HF ∴=+=︒+︒≈.【小问2详解】设ADE θ∠=，则902EDH θ∠=︒-，15tan AE θ∴=，()15tan 902HF θ︒=-.()1111515tan 1515tan 1515tan 902222ADE DHE DHF AEFD S S S S θθθ=+=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯︒-△△△梯形 2225111tan 31225tan 225tan 225tan 2tan 222tan 44tan θθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22513tan 4tan 2θθ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭，当且仅当tan 3θ=，即30θ=︒时，等号成立，30152ABCD BCFE AEFD S S S ∴=-=⨯-梯形梯形矩形，15tan AE θ∴==时，生态区即梯形BCEF 的面积最大，最大面积为2450255.15m 2-≈.20.已知向量()π2cos ,cos21,sin ,16a x x b x ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设函数()1,R 2f x a b x =⋅+∈ .（1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）将()f x 图象向左平移π4个单位长度得到()g x 图象，若方程()21g x n -=在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解12,x x ，求实数n 的取值范围，并求()12sin2x x +的值.【答案】（1）()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）实数n的取值范围是)1,1-，()12sin22x x +=【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出()g x 的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知()1π1112cos sin cos212cos sin cos cos2262222f x a b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅+--+=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21cos211cos cos cos2=sin2cos22222x x x x x x x +=⋅+--+--1πsin2cos2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()πsin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，可得ππππ,Z 63k x k k -+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()ππππsin 2sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，πππ2π22π,Z 232k x k k -+<+<+∈ ，得5ππππ,Z 1212k x k k -+<<+∈，()πsin 23g x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在区间()5πππ,πZ 1212k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()π7ππ,πZ 1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ,Z 122k x k =+∈对称，方程()21g x n -=，即()12n g x +=，∴当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,x x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间π12π,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()πππ0,1,,261222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故当31122n +≤<时，方程()12n g x +=有两个不同的解12,,x x11n -≤<，实数n 的取值范围是)1,1-.又()g x 的图象关于直线π12x =对称，12π212x x +∴=，即()1212π3,sin262x x x x +=∴+=.21.已知函数()ln 1,R f x x ax a =-+∈.（1）若0x ∃>，使得()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意的2222*22221223341N ,e,e 112233k k k k k+++++∈⨯⨯⨯⨯<++++ 为自然对数的底数.【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式()0f x ≥，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得ln 1(1)x x x <->，令221(N )x k k k k k*+∈+=+，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数()ln 1f x x ax =-+，则不等式()ln 10ln 1x f x ax x a x +≥⇔≤+⇔≤，令ln 1()x g x x+=，求导得2ln ()xg x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 递减，因此当1x =时，max ()1g x =，依题意，1a ≤，所以实数a 的取值范围是1a ≤.【小问2详解】由（1）知，当1x >时，()(1)g x g <，即当1x >时，ln 1x x <-，而当N k *∈时，222111111()11k k k k k k k k ++=+=+->+++，因此2211111ln 1()111k k k k k k k k ++<+--=-+++，于是222222221223341ln ln ln ln 112233k k k k +++++++++++++ 11111111(1)()()()112233411k k k <-+-+-++-=-<++ ，即有222222*********ln()1112233k k k k +++++⨯⨯⨯⨯<++++ ，所以222222*********e 112233k k k k+++++⨯⨯⨯⨯<++++ .【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义区间为D ，(1)若x D ∀∈，总有()m f x <成立，则min ()m f x <；(2)若x D ∀∈，总有()m f x >成立，则max ()m f x >；(3)若x D ∃∈，使得()m f x <成立，则max ()m f x <；(4)若x D ∃∈，使得()m f x >成立，则min ()m f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ．（1）求C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 是C 上的一点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（1）C 的普通方程2212x y -=；直线l0y +=（2【解析】【分析】（1）利用消参法求C 的普通方程，根据极坐标可知直线l 表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线C 的参数方程为33x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），两式平方相减得22223312x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程2212x y -=；又因为直线l 的极坐标方程为()2π3θρ=∈R ，表示过坐标原点O ，倾斜角为2π3的直线，可得直线l的斜率2πtan 3k ==，所以直线l的直角坐标方程y =0y +=.【小问2详解】由题意可设33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设点33,P t t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭到直线l0y +=的距离为d ，则d =当且仅当))311t t+=，即(232t=-时，等号成立，所以点P 到直线l .【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()22f x x x =-++.（1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥.【答案】（1）(,0]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分<2x -、22x -≤≤和2x >三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最小值，再利用基本不等式可证得所证不等式成立.【小问1详解】由题意可知：2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，①当<2x -时，不等式即为224x x -≥+，解得1x ≤-，所以<2x -；②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，解得0x ≤，所以20x -≤≤；③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，无解，即x ∈∅；综上所示：不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.【小问2详解】由绝对值不等式的性质可得：()22(2)(2)4=-++≥--+=f x x x x x ，当且仅当22x -≤≤时，等号成立，所以()f x 取最小值4，即4k =，可得()4+=a b c ，即4ab ac +=，所以()()22222222228a b c a bac ab ac ++=+++≥+=当且仅当22224ab ac a b b c +=⎧⎪=⎨⎪=⎩，即a b c ===时，等号成立.。

宁夏银川九中2015届高三上学期第四次月考数学(理) Word版含答案

宁夏银川九中高三年级第四次月考试卷理科数学李淑萍本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22—24题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数11iz i-=+，则z 等于（）A ．-iB ．iC ．2iD ．1+i2. 如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（）A.11a b<<22a b < D.||||a b > 3. 已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“β⊥m ”的（ )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知|a |=3，|b |=5，且=12a b ⋅，则向量a 在向量b 上的投影为（） A ．512B ．3C ．4D ．55.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (-3,m )到焦点距离为5，则抛物线方程为( ) A. x y 82=B. xy 82-= C. x y 42=D. x y 42-=6.已知曲线1,27)1(,13)0(,)(24=-=-'-='++=x f f bx ax x x f 则曲线在且处切线的倾斜角为（）A ．6πB ．－6π C ．3π D ．4π 7.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9。

北京市第三十五中学08届高考理科数学第四次月考试题

ABCD北京市第三十五中学08届高考理科数学第四次月考试题数学试题（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合M {}{2,xy y P y y -====，则M P ⋂=（）A ．{}1y y >B ．{}1y y ≥C ．{}0y y >D ．{}0y y ≥2．已知向量a ()()4,3,1,2==-b ，若向量k +a b 与-a b 垂直，则k 的值为（）A ．323B ．7C ．115-D ．233-3．设1cos32x =-且3,3x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则x 等于（）A ．18π±B ．9π±C ．29π±D ．518π±4．已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p p ，则m n p -+的值是（）A ．24B ．20C ．0D ．－45．实数x ，y 满足不等式组x y W y x y x 1,0,0,1-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥则的取值范围是（）A ．)1,1[-B ．)2,1[-C ．()21-，D ．[]11-， 6．函数()21y x =≥的反函数的图象是（）7．设a ，b ，c 表三条直线，βα,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）A ．α⊥c ，若β⊥c ，则βα//B ．α⊂b ，α⊄c ，若α//c ，则c b //C ．β⊂b ，若α⊥b ，则αβ⊥D ．β⊂b ，c 是a 在β内的射影，若c b ⊥，则a b ⊥8．已知函数()()32122f x x x m m =-+为常数图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为450，则点A 的横坐标是（）A ．0B ．1C ．0或16D ．1或169．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，被方向向量为)6,6(=的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值是（）A ．25 B ．26 C ．310D ．210．设0,1a b a b >>+=且111log ,log ,log a ba b x b y ab z a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===则,,x y z 之间的大小关系是（）A ．y x z <<B ．z y x <<C ．y z x <<D ．x y z <<11．设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中E ，F 分别是棱A 1A ，B 1B 中点，G 为BC 上一点，若C 1F⊥EG ，则FG D 1∠为（）A ．60 0B ．090C ．1200D ．150012．已知A ，B 是抛物线()220y px p =>上的两个点，O 为坐标原点，若OA OB =且AOB ∆的垂心恰是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A ．x p =B ．3x p =C ．52x p =D ．32x p =二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上13．圆θθθ(s i n 1cos 1⎩⎨⎧+=+=y x 为参数）的标准方程是，过这个圆外一点P ()2,3的该圆的切线方程是。

河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第四次月考理科数学试题Word版含答案

河北冀州中学高三年级第四次月考理科数学试题考试时间120分钟试题分数150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1、设复数z 满足i i21=+z，则 z =（） A 、i 2+- B 、i 2-- C 、i 2+D 、i 2-2、设集合P ＝{x |⎰>=+-x02006103x dt t t ,)(}，则集合P 的非空子集个数是（）A 、2B 、3C 、7D 、8 3、下列说法中正确的是（）A 、若命题:p x R ∀∈有20x >，则:p x R ⌝∀∈有20x ≤；B 、若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-；C 、若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；D 、方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±4、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（） A 、48cm 3 B 、78cm 3 C 、88cm 3 D 、98cm 35、函数125)(-+-=x x x f 的零点所在的区间是（）A 、)1,0(B 、)2,1(C 、)3,2(D 、)4,3(6、将函数x y 2sin =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图像对应的解析式为（） A 、x y 2sin 2= B 、x y 2cos 2=C 、1)42sin(+-=πx y D 、x y 2cos -=7、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（）A 、1t ≥B 、1t ≥C 、1t ≤D 、18t ≤8）的图象在1x =处的切线，且当1n =时，其图象经过()2,8，则 5 C 、6 D 、7（ 9、已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值是A 、1 B 、2 C 、2 D 、22（） 10、将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有（） A 、192 B 、144 C 、288 D 、24011、若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程220ax bx c ++= 的两个实数根分别是12,x x ，则点12(,)P x x 到原点的距离为（）AB、2C 、2D 、7412、已知偶函数(),y f x x R =∈满足：2()3(0)f x x x x =-≥，若函数2log ,0()1,0x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()()y f x g x =-的零点个数为（） A 、1 B 、3 C 、2 D 、4第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省阳春二中2014届高三第四次月考数学(理)试题 Word版含答案

图 2俯视图2013-2014学年度第一学期阳春二中高三第11月月考试题理科数学一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则AB ＝（）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（）A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<3. 复数ii z +-=1)1(2（i 为虚数单位）等于（）A ．i +-1B ．i --1C ．i -1D ．i +14.一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（）A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒 5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于（）A ．[1,2]B ．[2,3]C ．[3,4]D ．[4,5] 6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为( )AB CD1第1页共4页8.如图：正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→黑蚁爬行的路线是1.AB BB →→它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ．二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==则BC = .11.若函数()y f x =是函数(0,xy a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ，则=)21(f ____________.12.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为__________.13.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

广东省汕头市潮南区东山中学2013届高三上学期第四次月考数学(理)试题

潮南区东山中学高三第四次月考试卷数学（理科）参考公式：h S V ·31锥体底=2S 4R π=球面积 343=R V π球体一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知复数(1)z i i =+ (i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合{}{}4,5,3,93M m N =-=-，，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1- 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，14a =，则公差d 等于（） A ．1 B.53C.2-D. 34. 已知向量()()cos ,2,sin ,1a a b a =-= ，且//a b ，则tan 4a π-()等于（）A ．3B ．3-C ．31D ． 31-5. “22a b >”是“22log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件 D. 必要不充分条件6．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种 7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题：①函数)(x f 的最小正周期为π；②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．已知函数2()1,()43x f x e g x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为D（） A．(22-+B．22⎡-+⎣C ．()1,3D ．[]1,3 二．填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分。

高三第四次月考经典试题

2014届高三第四次月考试题数学（理）一、选择题1．已知R是实数集，2{|1},{|M x N y y x===＜，则R N C M ⋂=( ) A.（1，2）B. [0，2]C.∅D. [1，2]2．已知a ＋2ii＝b －i, (a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（）A.－1 B ．1 C ．2 D ．33. 实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0,002204y x y x y x ,则y x -2的最小值为（）A ．16B ．4C ．1D ．21 4.要得到函数21sin 2+-=x y 的图像，只需将x x y cos sin =的图像（） A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位C.向左平移2π个单位D. 向右平移2π个单位5 .下列命题中正确命题的个数是（）（1）0cos ≠α是)(22Z k k ∈+≠ππα的充分必要条件；（2）若,0,0>>b a 且112=+ba ，则4≥ab ；（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（4）设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若p P =>)1(ξ，则.21)01(p P -=<<-ξ A ．4 B ．3 C ．2D ．16 . 10)31(xx -的展开式中含有x 的正整数幂的项的个数是（） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6INPUT xIF 0<x THEN2)^2(+=x y ELSEIF 0=x THEN 4=y ELSE2)^2(-=x y END IF END IFPRINT “=y ”; y7. 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F ，作圆4222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若)(21OP OF OE +=，则双曲线的离心率为（）A ．10B ．510 C ．210D ．28. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且137,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为（）AB ．4C ．2D ．129.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：选由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 965 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B . 0.25 C ．0.20D ．0.1510. 已知向量a =(x －1，2)，b =(y ，－4)，若a ∥b ，则向量,12y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭c 与向量()0,1=-d 的夹角为（）A ．120°B ．135° C. 45° D ．60°11. 直线t x =（0>t ）与函数1)(2+=x x f ，x x g ln )(=的图象分别交于A 、B 两点，当||AB 最小时，t 值是（）A. 1B.22 C . 21D. 33 12. 函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不等的实数根,则实数a 的取值范围为 A.(-∞,0) B.[0,1) C.(-∞,1) D.[0,+∞)二、填空题：13. 右图所示的程序是计算函数)(x f 函数值的程序，若输出的y 值为4，则输入的x 值是 .C1A1C B 11BD14. 设函数)2()(-=x nx f ，其中⎰=20cos 6πxdx n ，则)(x f 展开式中x 4的系数为15. 四棱锥ABCD P -的三视图如右图所示,四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为 .16．给出下列五个命题：①当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x+≥；②ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充分必要条件；③函数x y a =的图像可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）的图像通过平移得到；④已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称。

甘肃省兰大附中2015届高三上学期第四次月考数学理试题 Word版无答案

兰大附中2015届高三第四次月考数学试卷（理科数学）李虎第一卷选择题（60分）一:选择题（每小题5分，共12小题，共计60分） 1. 已知R a ∈，若复数iia z +-=12为纯虚数，则=-|3|ai （） A.13 B.13 C.10 D.10 2．已知集合} 111|{>-=x x A ，} 1log |{21>=x x B ，那么“A m ∈”是“B m ∈”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 不充分也不必要条件3．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则（） A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>4. 已知()πα,0∈ 22)3cos(-=+πα，则=α2tan （）A.33B.3-或33-C.33- D.3-5．若n x x )12(32-展开式各项系数和为1281-，则展开式中常数项是第（）项 A 7 B 6 C 5 D 26．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（） A.3160B.160C.23264+D.2888+7.已知四面体ABCD 中，AB =AD=6,AC =4,CD =132，AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为（）A π36B π88C π92D π128(8) 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 131，如果目标函数z=5x-4y 的最小值为3，则实数 m = （） A 3 B 2 C 4 D3119.如图，O 为△ABC 的外心，BAC ,AC ,AB ∠==24为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM ∙的值A．．12 C ．6 D ．510．设F 1、F 2是双曲线224x y －＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使（OP uu u r ＋2OF uuu r ）·2F P uuu r＝0（0为坐标原点）且｜PF 1｜＝λ｜PF 2｜，则λ的值为（）A ．2B ．12 C ．3 D ．1311．已知,P Q 是函数2()(1)(1)f x x m x m =---+的图象与x 轴的两个不同交点，其图象的顶点为R ，则PQR ∆面积的最小值是（）A ．１ BC． D12.已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为A ．8B ．9C ． 10D ． 11第9题图第二卷非选择题（共90分）二：填空题（每小题5分，共计20分）13．随机变量),1(~2σN X ，若32)1|1(|=<-X P ，则=≥)0(X P ______________ 14．若()f x '为()f x 的导函数，且()fx =11()f x dx -'=⎰.15．16.设函数,1)(2-=x x f 设圆.1625:22=+y x C 其中点)1,0(M 为圆内一定点。

【恒心】2015届江西省崇义中学高三上学期第四次(12月)月考数学(理科)试题及参考答案【纯word版】

江西省崇义中学2015届高三上学期第四次（12月）月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则MN 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．7D ．52．1.已知11mni i=-+，其中,m n R ∈， i 为虚数单位，则m ni +=（） A ．12i + B.2i + C.12i - D.2i - 3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是( )A . 3x y = B . 12+-=x y C . 1+=x y D . xy -=24．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线01=+-y ax 平行，则a =（） A ．2B ．2-C ． 12D ． 12-5．错误！未找到引用源。

为平行四边形错误！未找到引用源。

的一条对角线，错误！未找到引用源。

（） A ．(1,1)--错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．(2,4)6．已知0>t ，若8)22(0=-⎰tdx x ，则t =（）A .1B . 4C .- 2或4D . -27．已知变量y x ,满足条件，则的最小值是（）A . 6B .4C .3D .28．边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．120 B ．135 C ．90D ．1509．已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（）A . 3B . 4C . 29D . 211 10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A ．16643π-B ．32643π-C ．6416π-D ．64643π-11．已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,2)(2x ax x x x x f ，若存在12,x x R ∈且12x x ≠，使得12()()f x f x = 成立，则实数a 的取值范围是（）A . 0<aB . 0≤aC . 3<aD . 30<<a俯视图侧视图正视图第（10）题12．已知函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= 错误！未找到引用源。

张家界市第一中学高三第四次月考数学试卷(理科)

中小学教育资源站（)，百万资源免费下载，无须注册！张家界市第一中学高三第四次月考数学（理）试卷时间120分钟，满分150分1ni ii n x ynx yb =-=∑参考公式：一、选择题：本大题共1．如图1，正方体所成的角等于 A ．︒30 B 2．有50件产品编号从 A ．5，10，15，C ．5，11，17，3． A . 7 4．从4张100元，3张则所取3张中至少有2A ．57)3x π+的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ）B ．向右平移512π个长度单位D ．向右平移56π个长度单位6．如果不等式log 0m x x -<在（0，2）内恒成立，那么实数m 的取值范围是D A.112m m >≠且 B.1161<≤mC.112m << D.112m ≤< 7．图1是某工厂10个车间2008年9月份产量的条形统计图，从左到右的各条形图表示各车间的产量依次记为1210A A A ，，，（如3A 表示3号车间的产量为950件）．图2是统BA ．4 B. 5 C. 6 D. 108. 已知函数()32f x x =-，x R ∈．规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，若1244x ≤，则继续赋值21()x f x =，…，以此类推，若1244n x -≤，则1()n n x f x -=，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*()n N ∈.已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范是 C A.65(3,3]k k -- B.65(31,31]k k --++ C.56(31,31]k k --++D.45(31,31]kk --++二、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分,） 9. 不等式3的解集为 . )2,1(-12=m y 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是O 相切于A ，PCB 为圆O 的割切，且不过圆心O ，已知30,1BPA PA PC ∠===，则圆O 的半径r =11、解：连结AO 在直角三角形PAD 中，0AD=PAtan300PA PD==4cos301图21=B由切割线定理可知2PA PC PB PB 12⋅⇒＝＝由BD ＝PB －PD ＝8，CD ＝PD －PC ＝3由相交弦定理知DE DA CD BD ⋅⋅＝即()2r-22=38⨯ r=712.已知不等式(x+y)(1x + ay)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 413．下列各数)9(85 、 )6(210 、 )4(1000 、)2(111111中最小的数是____________)2(11111114.在极坐标系中，圆ϑρcos 2=与方程)0(>=π所表示的图形的交点坐标)4,2(π15．已知点G 是△的重心，(,AG AB AC λμλμ=+∈________μ+=；若120,A AB AC ∠==三、解答题（本大题共16.（本题满分12已知cos 22sin-x （Ⅰ）求x tan 02cos =x , 22tan =⇒x， (2)3421222-=-⨯=． …………………5分（Ⅱ）原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=…………………10分1cot +=x1)43(+-= …………………12分17、（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤(1) (2) (3)方程，预测生产100 (参考数值：32．【解析】(1) (2)4166.5i i i x y ==∑, 0.7b =a = (3)100(0.7100-⨯18.（本小题满分12如图，在三棱锥V D 是AB 1）求证：平面VAB ⊥平面2）当角θ变化时，求直线的取值范围。

河北省邢台一中2013-2014学年高二下学期第四次月考数学理试题 Word版含答案

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.集合{},,2R x x y y M ∈=={},,222R x y x x N ∈=+=则=N M （）.A {})1,1(),1,1(- .B {}1 .C {}10≤≤x x .D {}20≤≤x x2.复数20152015121ii z -+=的共轭复数在复平面上对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（） A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ． 96种 4．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x yB x y=+++，则,A B 的大小关系是（）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >5．用数学归纳法证明“(1)(2)()212(21)()n n n n n n n N +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅-∈时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是（）A. 12+kB. 32+kC. )12(2+kD. )32(2+k 6.若),()21(20112011102011R x x a x a a x ∈+++=- 则20112011221222a a a +++ 的值为（）.2A .0B .1C - .2D - 7．设,a b c n N >>∈，且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．68.函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（）.A (0,3) .B (,3)-∞ .C (0,)+∞ 302.(,)D9.设[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=2,1,231,0,)(3x x x x x f 则=⎰dx x f )(02（）A. 41B. 31C. 43D. 110下列判断正确的是（）A ．命题“若12=x ，则1=x ”的否命题是“若12=x ，则1≠x ”B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C ．ABC ∆ 中，“B A >”是“B A 2cos 2cos <”的充要条件D ．命题“R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是“R x ∈∀，均有012<++x x ”11．函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为N N ，则（）A.4M N -=B.4M N +=C.2M N -=D.2M N +=12.已知定义在R 上的函数)(x f 满足,0)()2(),3()1(<'--=+x f x x f x f 设),2(cos πf a =),sin 4(),21(2α+==f c f b 则c b a ,,的大小关系为（）A ． c b a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有_________种．14. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_____________15. 已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为______________16. 通过观察所给两等式的规律：①160cos 30cos 60sin 30sin 0000=++ ②390cos 30cos 90sin 30sin 0000=++ 请你写出一个一般性的命题：__________________________三、解答题（共70分） 17．（本小题满分10分）17)(-++=x x x f （1）解不等式10)(≥x f(2) mx f x g +=)(1)(的定义域为R ,求m 的取值范围.18.（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设x BF AE == cm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.19. （本小题满分12分）现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为21，乙、丙应聘成功的概率均为),20(2<<t t且三人是否应聘成功是相互独立的。

江西省赣州市平川中学2012届高三年级第四次月考数学试卷理科

平川中学高三年级第四次月考数学试卷(理)命题人：黄信江审题人：曾令瑞 2012-4-21一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、若关于x 的方程x 2+(1+2i)x －(3m －1)i=0有实数根，则纯虚数m=A ．－121iB ．－121C ．121iD ．1212、已知双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>的离心率为2，则椭圆221mx ny +=的离心率为 A ．13BCD3、右面是“二分法”求方程x 2－2=0近似解的流程图，在图中①~④处应填写的内容分别是A ．()()0;f a f m a m <=；是；否B ．()()0;f b f m m b <=；是；否C ．()()0;f b f m b m <=；是；否D ．()()0;f b f m b m <=；否；是 4、已知y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x+x4，且当x ∈[－3, －1]时，n ≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值是A ．31B ．1C ．32 D ．34 5、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AD 、CC 1上，若AF ⊥A 1E ，则A ．AE=EDB ．AE=C 1FC ．AE=CFD ．C 1F=CF6、在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，且c 33b a =++，其中a ，b ，c 是∠A ，∠B ，∠C 的对边，则∠A=A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7、x 、y 、z 均为正实数，且4xy+z 2+2yz+2xz=8，则x+y+z 的最小值为A ．2B ．22C ．4D ．88、如图，给定两个平面向量OA和OB，它们的夹角为120︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且OC xOA yOB =+(其中,x y R ∈)，则满足x y +≥的概率为A1 B ．4π C ．3π D ．349、设首项不为零的等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若不等式22n 2nn S a +≥21a λ对任意{a n }和正整数n f(x)=x 2－2恒成立，则实数λ的最大值为A ．0B ．51C ．21 D ．110、已知f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|+|x －1|+|x －2|+…+|x －2012|(x ∈R)且f(a 2－1)=f(a －1)，则f(a)的值为A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11、若二项式6)x1x a (-的展开式中的常数项为－160，则11)adx x⎰= ． 12、如果函数()sin()(0)4f x x πωπω=->在区间(1,0)-上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的取值范围是．13、已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03y ,05y x 0y x 若不等式a(x 2+y 2)≤(x+y)2恒成立，则实数a 的最大值是．14、已知三棱锥O ABC -，OA OB OC 、、两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在OBC ∆内运动(含边界)，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面OAB OBC OAC 、、围成的几何体的体积为．三、选做题(本大题共两小题，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第①题给分，共5分) 15、①(极坐标与参数方程选讲选做题)已知点P(1+cos α, sin α)，参数α∈[0, π]，点Q 在曲线C ：)4sin(29π+θ=ρ上，则点P 与点Q 之间距离的最小值为。

【Word版解析】云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学

玉溪一中2013届第四次月考试卷理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数2)1(ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （）A.1±B.1-C.0D.1 【答案】A 【解析】2222(1)1212ai ai a i a ai+=++=-+，要使复数是纯虚数，则有210a -=且20a ≠，解得1a =±，选A.2．已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “ac b =”，那么p 成立是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件【答案】D【解析】,,a b c 成等比数列,则有2b ac =，所以b =所以p 成立是q 成立不充分条件.当==0a b c =时，有ac b =成立，但此时,,a b c 不成等比数列，所以p 成立是q 成立既不充分又非必要条件，选D.3．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于（） A ．13 B ．1 C ．32D ．2(第3题图 )【答案】C 【解析】由图象可知153122888T πππ=-=,所以3T π=，又23T ππω==，所以23ω=，选C.4．关于x 的不等式()()0x a x b x c--≥-的解为12x -≤<或3x ≥，则点(,)P a b c +位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】A【解析】由不等式的解集可知，1,3-是方程的两个根，且2c =，不妨设=1a -，=3b ，所以=2a b +，即点(,)P a b c +的坐标为(2,2)，位于第一象限，选A. 5．在ABC ∆中，若coscoscos222a b c A B C ==，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理可知sin cos,sin cos ,sin cos ,222A B CA B C ===由sin 2sin cos cos 222A A A A ==，因为cos 02A ≠，所以1sin 22A =，因为0A π<<，所以022A π<<，所以26A π=，即3A π=.同理可得,33B C ππ==，所以三角形为等边三角形，选B.6．某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于514757512C +C C C 的是（）A.()1P ξ=B.()1P ξ≤C.()1P ξ≥D.()2P ξ≤【答案】B【解析】()1P ξ==1457512C C C ,57512C (0)C P ξ==,所以514757551212C C C (0)(1)C C P P ξξ=+==+，选B. 7．如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A.19 B 31C. 1D. 3 【答案】A【解析】因为13AN NC = ，所以14AN AC =设BP BN λ=，（x 为有理数）（x 为无理数）则()AP AB BP AB BN AB AB AN λλ=+=+=+- (1)(1)4AB AN AB AC λλλλ=+-=+-,又29AP m AB AC −−→−−→−−→=+，所以有2491mλλ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，即8919m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选A. 8．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（）A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(,0)2πC ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由行列式的定义可知sin 2()cos 2x f x x=sin 222sin(2)3x x x π==-，函数的图象向左平移6π个单位，得到的函数为()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=，所以有()2sin(2)2sin 022g πππ=⨯==，所以(,0)2π是函数()g x 的一个零点，选B. 9．函数1()0f x ⎧=⎨⎩ ，则下列结论错误的是 ( ) A ． ()f x 是偶函数 B ．方程(())f f x x =的解为1x =C ． ()f x 是周期函数D ．方程(())()f f x f x =的解为1x =【答案】D【解析】则当x 为有有理数时，x -，x T +也为有理数，则()=()f x f x -，()=()f x T f x +；则当x 为有无理数时，x -，x T +也为无理数，则()=()f x T f x +，所以函数()f x 为偶函数且为周期函数，所以A,C 正确.当x 为有有理数时, (())(1)f f x f x ==,即1x =，所以方程(())f f x x =的解为1x =，C 正确.方程(())()f f x f x =可等价变形为()=1f x ，此时与方程()=1f x 的解为x 为有理数，故D 错误，故选D10．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a S a S 中最大的项为 .A 66a S .B 77a S .C 99a S .D 88a S【答案】D 【解析】由11515815()=1502a a S a +=>，得80a >.由116981615()15()=022a a a a S ++=<，得980a a +<，所以90a <，且0d <.所以数列{}n a 为递减的数列.所以18,a a 为正，9,n a a 为负，且115,0S S > ，16,0n S S > ，则990S a <，10100S a < ，880S a >，又8118,S S a a >>，所以81810S S a a >>，所以最大的项为88Sa ，选D. 11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为（）A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0 【答案】D【解析】因为函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称，所以()y f x =的图象关于原点对称，即函数()y f x =为奇函数，由0)2()2(22≤-+-y y f x x f 得222(2)(2)(2)f x x f y y f y y -≤--=-，所以2222x x y y -≥-，所以222214x x y yx ⎧-≥-⎨≤≤⎩，即()(2)014x y x y x -+-≥⎧⎨≤≤⎩，画出可行域如图，可得=x+2y ∈[0，12]．故选D ．12．在抛物线)0(52≠-+=a ax x y 上取横坐标为2,421=-=x x 的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆365522=+y x 相切，则抛物线顶点的坐标为（）A ．)9,2(--B ．)5,0(-C ．)9,2(-D ．)6,1(-【答案】A【解析】解：两点坐标为(4,114),(2,21)a a ---，两点连线的斜率k=对于)0(52≠-+=a ax x y ，'2y x a =+， ∴2x+a=a ﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)6=0a x y --- 直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为245y x x =+-顶点坐标为)9,2(--，故选A ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是【答案】-30【解析】5(1)x -的展开式的通项为5(1)k k k C x -，6(1)x -的展开式的通项为6(1)k k kC x -，所以3x 项为333333356(1)(1)30C x C x x -+-=-，所以3x 的系数为30-.14．对于满足40≤≤a 的实数a ，使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值范围是【答案】(,1)(3,)-∞-+∞【解析】原不等式等价为2430x ax x a +--+>，即2430x a x x a +--+>，所以2(1)430a x x x -+-+>，令2()(1)43f a a x x x =-+-+，则函数2()(1)43f a a x x x =-+-+表示直线，所以要使2()(1)430f a a x x x =-+-+>，则有(0)0,(4)0f f >>，即2430x x -+>且210x ->，解得3x >或1x <-，即不等式的解析为(,1)(3,)-∞-+∞ . 15．过椭圆左焦点F ，倾斜角为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为【答案】32【解析】如图，设椭圆的左准线为l ，过A 点作AC⊥l 于C ，过点B 作BD⊥l 于D ，再过B 点作BG⊥AC 于G ，直角△ABG 中，∠BAG=60°，所以AB=2AG ，…① 由圆锥曲线统一定义得：，∵FA=2FB， ∴AC=2BD 直角梯形ABDC 中，AG=AC ﹣BD=…② ①、②比较，可得AB=AC ，又∵∴ ，故所求的离心率为32．16．已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,PC PB PA ,,两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.【答案】33【解析】因为在正三棱锥P -ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点.球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P -ABC 在面ABC上的高.2，可求得正三棱锥P -ABC 在面ABC 上的高为3，所以球心到截面ABC 33=.三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（本题12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .18．（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.19．（本题12分）如图6，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点. （1）求证：11AD E B ⊥；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1?若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若二面角11A E B A --的大小为30°，求AB 的长.图620．（本题12分）（Ⅰ）已知函数ax x x x f -+=ln )(2在)1,0(上是增函数,求a 的取值范围;（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下,设1)(2--=x xae ex g ，∈x []3ln ,0,求)(x g 的最小值.21．（本题12分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点（1）写出抛物线2C 的标准方程；（2）若AM 21=，求直线l 的方程；（3）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值.请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. 22．（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρc o s 2s i n :2a C =)0(>a，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．23．（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数()|21||23|f x x x =++-. （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式|1|)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.玉溪一中2013届第四次月考试卷理科数学答案一．13．-30 14. (－∞，－1)∪ (3，＋∞)．15.32 16. 3317. 解:（1）设{}n a 的公差为d .因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d . 故()3313n a n n =+-= ，13-=n n b .（2）由（1）可知，()332n n n S +=，所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦….18. 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E ξ＝0×827＋2×4081＋4×1781＝1488119. 解:（1）以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.因为AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E ⊥AD 1.（2）假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE .此时DP →＝(0，－1，z 0).又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z ).因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D .因为B 1C ∥A 1D ，所以AD 1⊥B 1C .又由（1）知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，所以AD 1⊥平面DCB 1A 1.所以AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1).设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a 2－a 21＋a 24＋a 2. 因为二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，所以|cos θ|＝cos30°，即3a221＋5a 24＝32，解得a ＝2，即AB 的长为2.20. 解:（1）a x x x f -+='12)(,∵f （x ）在（0，1）上是增函数,∴2x+x 1-a ≥0在（0,1）上恒成立,即a ≤2x+x 1恒成立, ∴只需a ≤（2x+x1）min 即可. …………4分∴2x+x 1≥22 （当且仅当x=22时取等号） , ∴a ≤22 …………6分（2）设[][].3,1,3ln ,0,∈∴∈=t x t e x 设)41()2(1)(222a a t at t t h +--=--= ，其对称轴为 t=2a ，由（1）得a ≤22， ∴t=2a ≤2＜23…………8分则当1≤2a ≤2,即2≤a ≤22时,h （t ）的最小值为h （2a ）=-1-42a , 当2a ＜1,即a ＜2时，h （t ）的最小值为h （1）=-a …………10分当2≤a ≤22时g （x ）的最小值为-1-42a , 当a ＜2时g （x ）的最小值为-a. …………12分21. 解：（1）(2)设（3）椭圆设为消元整22. 解：（Ⅰ）22,2y ax y x ==-. ……………..5分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）, 代入22y ax =,得到2)8(4)0t a t a -+++=， ………………7分则有1212(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅. 解得 1a =.23. 解：（Ⅰ）原不等式等价于313,,222(21)(23)6,(21)(23)6,x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或1,2(21)(23) 6.x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解之得31312,12222x x x <≤-≤≤-≤<-或,或. 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x . ………………5分（Ⅱ）()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f .41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或. ………………10分（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）。

【名师解析】湖南省长沙市重点中学2014届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含解析

湖南省长沙市重点中学 2014届高三上学期第四次月考试卷理科数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =-的集合B 个数是（） .2A .3B .4C .8D2.1a =是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的（）.A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 .C 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若非零向量,,a b c 满足a //b ，且0b c ⋅=，则a b c +⋅=（）（） .4A .3B .2C .0D【答案】D【解析】试题分析：非零向量a //b ，若所以存在实数λ使得a b λ=.又 0b c ⋅=，所以()(1)0a b c b c λ+⋅=+⋅=. 考点：共线向量基本定理、向量的数量积4.已知函数：22(),()2,()log x f x x g x h x x ===，当(4,)a ∈+∞时，下列选项正确的是 ( )A.()()()f a g a h a >>B.()()()g a f a h a >>C.()()()g a h a f a >>D.()()()f a h a g a >>5.已知平面α外不共线的三点C B A ,,到αα的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必与α相交C.平面ABC 必不垂直于αD.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内6.已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点B A ,，则AB 等于（） A 3 B 4 C 23 D 24【答案】C【解析】试题分析：设00(,)A x y ，因为B A ,关于直线0=+y x 对称，所以00(,)B y x --.又B A ,在抛物线7.平面上动点),(y x A 满足135=+yx，)0,4(-B ，)0,4(C ,则一定有（）考点：直线的方程、椭圆的几何性质8.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若1512m S S n n ≤-+对*n N ∈恒成立，则正整数m 的最小值为（）A 5B 4C 3D 2第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在极坐标系中，曲线2cos 4sin ρθθ=的焦点的极坐标 .【答案】(1,)2π【解析】试题分析：由2c o s 4s i n ρθθ=得4sin cos 4tan cos θρθθθ==，转化为直角坐标方程为4y x x=，即24x y =为抛物线.易知其焦点直角坐标是（0,1），写成极坐标为(1,)2π.考点：极坐标与直角坐标的转化 10.已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点， ACB ∠的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .则ADF ∠的度数= .11.若存在实数x 使a x x >-++1463成立，求常数a 的取值范围 .【答案】(,8)-∞【解析】试题分析：由柯西不等式，22221]1++≥，即24(214)64x x ≤⨯++-=8≤1=，即10x =时取等号.值为8.则若存在实数x 使a x x >-++1463成立，8a <，所以常数a 的取值范围为(,8)-∞. 考点：柯西不等式（二）必做题（12-16题）12.计算：xdx 20cos ⎰π= . 【答案】2π 【解析】试题分析：由定积分的定义得20001cos 2sin 2cos ()224x x x xdx dx πππ+==+⎰⎰ sin 20sin(20)()[]24242πππ⨯=+-+=. 考点：定积分的计算13.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是.14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有种不同的排法.（用数字作答）【答案】168015.定义：θθθsin cos i e i +=，其中i 是虚数单位，R ∈θ，且实数指数幂的运算性质对θi e 都适应.若12sin 12cos 12cos 223303πππC C x -=，12sin 12sin 12cos 333213πππC C y -=，则=+yi x ．16.已知函数,1ln )(+-=mx x x f 其中R m ∈,)(183)(2x f x x x g ++-=. （1）若0)(≤x f 在)(x f 的定义域内恒成立，则实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当m 取最小值时，)(x g 在))(,[Z n e n∈+∞上有零点，则n 的最大值为 .【答案】(1) 1≥m ；（2）-2.【解析】三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求:（1）函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；（2）函数()f x 的单调增区间.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，31===AA BC AB ,F E B A AC 、上分别有一点、线段1，且满足12,2FA BF EC AE ==.（1）求证：AB BC ⊥；（2）求点B A E 1到直线的距离；（3）求二面角C BE F --的平面角的余弦值.到(1,1,1),EF =-- 1(0,3,3).BA = 所以1BA EF ⊥,即点B A E 1到直线的距离3==EF d ；（3）分（2）由（1）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，B (0,0,0), A (0,3,0), C(3，0，0) , )3,3,0(1A有由F E B A AC 、上分别有一点、线段1，满足12,2FA BF EC AE ==，所以E(1，2，0), F(0，1，1)(1,1,1),EF =-- 1(0,3,3).BA = 所以1BA EF ⊥,所以点B A E 1到直线的距离3==EF d . …………………………8分19.长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示.其中有43的社长是高中学生，41的社长是初中学生，高中社长中有31是高一学生，初中社长中有32是初二学生. （1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ. 1190297)(33629193361181919=+=C C C C C C C A P ……………………………………………6分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3 33391(0)84C P C ξ===, 1263393(1)14C C P C ξ===, 21633915(2)28C C P C ξ===， 215)3(==ξP ，所以ξ的分布列为所以0123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ……………………12分考点：1.组合；2.随机事件的概率；3分布列与期望.20.2013年我国汽车拥有量已超过2亿（目前只有中国和美国超过2亿），为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号.某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为1x （1x =100万辆），第n 年（2013年为第1年，2014年为第2 年，依次类推）年初的拥有量记为n x ，该年的增长量n y 和n x 与mx n -1的乘积成正比，比例系数为λ)10(<<λ其中m =200万.（1）证明：λ50≤n y ；（2）用n x 表示1+n x ；并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内.试题解析：（1）依题 )1(mx x y n n n -=λ …………………………2分 ∴ 只需证明50)1(≤-mx x n n ，即证0)100(2≥-n x . 上式显然成立，所以λ50≤n y . …………………………5分21.定义：对于两个双曲线1C ,2C ,若1C 的实轴是2C 的虚轴，1C 的虚轴是2C 的实轴，则称1C ,2C 为共轭双曲线.现给出双曲线x x y 1:1+=Γ和双曲线xx y 1:2-=Γ，其离心率分别为21,e e . （1）写出21,ΓΓ的渐近线方程（不用证明）；（2）试判断双曲线x x y 1:1+=Γ和双曲线x x y 1:2-=Γ是否为共轭双曲线？请加以证明. （3）求值：222111e e +. 【答案】（1）x y =、0=x ；（2）是；（3）1.【解析】（3）由（2）易得242221212121+==c a e ，242221222222-==c a e ，所以222111e e +=1 . -------------13分考点：1.双曲线的几何性质；2.共轭双曲线的定义；3.离心率.22.设函数()0ln )(2>+=p x q x p x f ，若22=x 时，)(x f 有极小值()2ln 121-，（1）求实数q p ,的取值；（2）若数列{}n a 中，()n f a n =，求证：数列{}n a 的前n 项和4n S n ≥；（3）设函数)0(ln )(>++=a c bx x a x g ，若)(x g 有极值且极值为t ，则t 与ab ac 442-是否具有确定的大小关系？证明你的结论.（2）由条件和第（1）问可知，函数)(x f y =在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,22x 上单调递增， …5分1),(≥=n n f a n44111n na S a a n n =≥⇒=≥∴ ……………………………7分（3）b xa x g +=)('，由)(x g 有极值且)(x g 的定义域为()+∞,0可知：。

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。

江西省崇义中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)试题

江西省崇义中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则MN 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．7D ．52．1.已知11mni i=-+，其中,m n R ∈， i 为虚数单位，则m ni +=（） A ．12i + B.2i + C.12i - D.2i - 3．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是( )A . 3x y =B . 12+-=x yC . 1+=x yD . xy -=24．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线01=+-y ax 平行，则a =（） A ．2B ．2-C ． 12D ． 12-5．错误！未找到引用源。

为平行四边形错误！未找到引用源。

的一条对角线，错误！未找到引用源。

（） A ．(1,1)--错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

重庆八中2015-2016学年高二下学期第四次月考数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年重庆八中高二(下）第四次月考数学试卷（理科)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A=｛a，4｝，B={2,a2｝,且A∩B={4}，则A∪B=（）A．｛2，4}B．{﹣2，4} C．｛﹣2，2,4}D．{﹣4，2,4｝2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（)A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx3．若函数f(x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件4．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1)=p,则P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p5．函数y=lncosx（）的图象是(）A．B．C．D．6．下列说法正确的是（）A．已知命题p:∃x0＞0,2x0=3，则￢p是∀x≤0，2x≠3B．“p∧q为假命题"是“p∨q为假命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题D．命题“∀x∈R，sinx＜x”是真命题7．函数f(x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．08．已知不等式＞0的解集为（﹣1,2）,则二项式（ax﹣）6展开式的常数项是（)A．5 B．﹣5 C．15 D．259．5个人排成一列,其中甲不排在末位,且甲、乙两人不能相邻，则满足条件的所有排列有（）A．18种B．36种C．48种D．54种10．已知函数f（x）（x∈R)是偶函数，函数f(x﹣2）是奇函数,且f（4）=1,则fA．2016 B．﹣2016 C．1 D．﹣111．已知函数,且f（x)存在最大值M和最小值N,则M、N一定满足(）A．M+N=8 B．M﹣N=8 C．M+N=6 D．M﹣N=612．已知λ∈R,函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g(x）)=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）=的定义域为．14．已知f（x)=,(i为虚数单位），则f（f（1﹣i）)=．15．定义在R上的函数f（x)满足f（x+y）=f(x）+f（y）+2xy，f（﹣2）=2，则f（4)=．16．重庆八中开设6门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习,甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知数列{a n｝是等差数列,｛b n}是等比数列，且a1=b1=2,b4=54,a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列｛a n｝和｛b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列｛c n｝的前n项和S n．18．某校教务处要对高三上学期期中数学试卷进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况．已知该题有两空，第一空答对得3分,答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分．第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的．从该校1468份试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本,统计结果如下表：第一空得分情况第二空得分情况得分0 3 得分0 2人数198 802 人数698 302（1）求样本试卷中该题的平均分,并据此估计该校高三学生该题的平均分．(2）该校的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0。

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会宁三中2015— 2016学年高三第四次模拟考试理科数学1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

答卷前考雄IB 考试号填写在本试卷和答题卡相应位置2.答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号标黑如需渤用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上麵3•答第II卷时，将答案写在试卷的指定位置4.考试结束后，将答题卡和本试卷一甕回第I卷（选择题，共60分）二.选择题：毛衣题共+ 吟小题。

}每小题5g,共260的。

在每个@题暂出的四个选项中，只{ —} { > - } { <- } { £-}项是符合题目要求的。

3.A.4.么其中至少有一人解决这个问题的髄=I I（A）0.9右边程序运行结果（7 B・6 C.(B)0.2 (C)0.8 (D)0.7n=10s=05 D・4DO要得到函数一y sin 4x 的图象,3只需甜各函数sin 4x1.2设集合M x|xx3 2 0 ,集合N x | xA. x| x 2 B x| x 1 C . x | x2. 甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的It0.4, 乙解决这个问题的擁0.5的图象（A、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件6.A. 等差数列｛&｝中,1ai + a= 10, a4= 7,B. 2C. 3则数列｛an｝的公差内）注意事项:D 4y< x,则40.在四面体P-ABC 中，PA, PB, PC两两垂直,「）PA=PB=PC=a,则点到平而ABC的距离为［、)s=s+nn 二LOOPs=>40PRINTEND UNTIL A.aB.aC.aD.个单位 D ・向右平移个单位 3A.向左平移个单位B •向右平你单位12・A.C.向左平移33 x2 x a11 •若函数f （x）是（）ax 3 3 ( 0）在区间（1,2）是增函数，贝ij a的取值范围5 5,0)B .(3,0) C・・，0D -1,04 4第II 卷(非90分)选择题，共二•填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。

13. 己知各顶点都在同一个球面上的正四棱讎 3,体初6,则这个球的表面勰・14. 、丄皆卩' 2 =计卓 0 1 - X dx.+ _ _2 y 2 xy15. 已知点M (1,0 )是圆C ： x 4 20内部的一点，那么过点 M 的所有弦当中,弦长最短的弦所在的直线方程为16.已知函数f (x)的定义域［4 5］,部分对应值如表，f (x)的导函数y=f‘ ( x)的图①函数f (x)的极大值点为 2；②函数f (x)在［2, 4］上是减函数;=—则 PB PC的最大值等于(点是1 ABC 所在平面内一)A. 13B・15C ・19D・21如图所示.下列四个命题:x1- 04 5③如果当X时，f (X )的最小值是2,那么m 的最大值为 4；f (x) 1-221-④函数y=f (x) a(aeR)的零点个数可能为0、仁2、3、4个.其中正确命题的序号是.三.解答题：本大题6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或镰骤亿(12分) 在^ABC中，内角A, B, C的对逊别为a, b, c,且a>c.已知BA・BC =1B=，b=3.求：(1)a 和c 的值；(2)cos(B-C)的值.3-2 n e N * =18.(12分)已知数列｛a n｝的前n项和Sn ( ),数列｛bn｝为等比数列，且满畑ai,n2b 一b (1)求数列｛an｝, ｛bn｝的通项公式；(2)求数列｛a n bn｝的前n项和。

3 4COS OT tOP (0为坐标原点)，求实数t 的取值怆cos2 + +冶20. (12分)已知椭圆C :2a 接直角三憔J JW 直线 x y 1 圆+ = 相切.(I)求椭圆C 的方程；y1 (a b 0)的两蕉点与短轴的一个端点的连线耀2b0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长轴长为很(II )B 为椭圆C 上一点，若过点足M (2,0)的直线I 与椭圆C 相交于不同的两点2⑵ AC 2AE AF . f = a3.(本小题满分10分)《选修4-4：坐标系与参数方程》 I = + a, 、 x 2cos觥角坐标系xoE’C 严数方程为『2 2sjn 釐为参数)(1)求C2的方程;⑵ 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 24.(本小题满分10分)《选修牡5：环等式选讲》21. (14 分)已知函数 f(x) x 2 8In x, g4x)14x ,. (4)求函数f(x)在点(4, f(1))处的切线方程；与g(x)在区间(a,a 4)上均为增函数，求a 的取值范围；= + • (3)若方程f (x) g(x) m 有唯一解，试求实数m 的值. 22.(本小题满分10分)《选修4-1：几何证明选讲》 0相切于求证: 如图，直线AB 过圆心0 ,交。

0于A, B ,直C ,交AB 于E ,且与AF 垂直，垂足为G ,连结A(1) BAC 二上 CAG ;AF 交。

0于F (不与B 重合)，直线I 与。

(2)若函数f(x)M C 上的动点，P 迹为曲銭点满足OP 2OM , P 点的轨c . 2 C 与Ci 的异于极点的交3点设函数f x (X)羽3x,其中(a 0(I )当a 1时，求不等式f x 3x 2的解集; (U)若不等式f x 0的解集为x|x会宁三中2015— 2016学年高三第四次模拟考试理科数学答案1-5 : ADCBA 6-10 : BCCBB 11-12 : CA二、填空题13、16TT 14 一、415 、x+y■仁0 16 、①②③④解答题=2 得ca cos B= 2, 绘丿分2+ c2= b2+ 2accos B,由余弦定理，得a又b = 3,所沪2+c2 = 9十2x?二理.解罷厂13,a17. （2014・辽宁卷）1又cos B=,所以3解：⑴由BA・ac= 6.c= 2.nCDCA1CECA1 因为a>c,所以a=3, c=2.2-x (2n 1) ◎ +1 4(2n 1) _(2n所以BCi||平面A CD. -----------2(2)由M=CB= AB 得，AC±BC ・I . S =以忙为型标原点,CA 的方®为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标鈴xyz.I ■ = I * 设 Cg2, E^1,1,0) , E(0,2,1) , Ai(2,0,2) , CD = (1,1,0) , CE = (0,2,1) (2,0,2)；设n=.2(22 n2 (2)(2n 分 (2013年爭考理科 (1)连加1爻AC 才 3) 42分 2) 于点F, 所以 Tn (2n 3)2 3 1219. 解：交D 是AB 中点，连障F, ®Di|| DF. 因为DF?平面ACD, BCi 平面 ACD, 则为AG 中 2 + 1)CA T 三—一6 分(xi,=yi, zi)是平面AiCD 的法向量, ___ £2B = (2)在△ ABC 中, 1- 1 2 23・ sin B = 1 — cos 由正弦定理，得因为 a= b> c, c sin C= sin B= • b 3 所以C 为锐角，因此 2c = 2 cosC= 1— si n 1- 4 9・・分10 1 cos(B — C) = cos Bcos C+sin Bsin x 3 2 23 27. 分 12 18.解: 知 (1)由已 S n 分 2 ，得 Si 1 - 2 2 2 (X C) y a x y 1 1 2x 2z 0. 1 1 可取 =(2」 2) --------- 10 m , — ・分 n m ■ 3 |n||m|3 即二面角一 D AC E 的正弦勺---------- 3可取 n =(1 , - 1, - 1). ------------------------------ 8分同理，设m 是平面ACE 的法向量， m则m 6 ・・ 12 分3 c 1d a(* (1)2 故 sin 〈n, rrt =20•解：(I)由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半的圆的方程为从而cos 〈n, , ----------- 11nrl・•・圆心到直线x y 1 0的距离•・•椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形/. b c, a 2b 2c , 代入(*)式得b c 1 , .-.a 2b 2 , 分2 ...........................................................................................................................................................x ........................ 4分2 故所求椭圆方程为y 1.所以b 2 1 ----------------- 6分n(2)设数｛：0nbn｝的前II项狗Tn ,2 ・・・(2 1) 2 n 1则1 1 3 2 5 2T n n 9------- 7分2 3 n2T n 1 2 3 2 5 2 ■ (2n 1) 2f一9 分两式相减得2 分-—10丿Jn 1 n Tn 1 1 2 2 2 2 …2 2 (2n 1) 2设等比数d的公比为q，由2bs b4 得2qP Xo, y 0 , k(x 2),设 2 x k x 2 2 k2 将直线方程代入椭圆方程得： 1 2k 8 8 2 0, 1 k 2 2 • 4 k 2 k 2 k 2 64k 41 2 8 2 16 8 0, /.(II)由题意知直线I 的斜率存在，设直线I 方程为y2 8k 22k 2,XT T —由OS*"OT^ "top,当仁0,得+oC(a 为参鸟，射线8 = d» =Q 与G 的交点B 的极径为p2= 割n y = 4+ 4sin a.(2)曲线C 的极坐标方程为p = 4sin 9,曲线C 的极坐标方程为p = 8sin 0.TT TT 射线0= 与C 的交点A 的极径为pi=4sin■ 33所以 | AB| = | p 2 —pi| = 2/ 3. ooooo o ooo o ooo o ooooo o ooo o oooo o o o o o o oooooooooooo o oo 1 0 (24)解:(I )当 a 1 时, f(x) 3x 2可化为x 12 •由此可得 x 3或X 1. 由于所以 M 点在C 上, 从而 2的纟数方程为『X =2cosa, J 2y 一 + = 2 + 2sin a. 2 x 吕 4cosa,故不等式f x 3x 2的解集为x|x 3或x 1 • O OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 5r (i )(I)因为 f (x) 2x x y 1,故所求切线方程为 2( x 2)( x (II)因为 f (x) 0・2) ，所以切线的斜率f (1) 6 1 6( x 1),即 y 6x 7 ，又x>0,所以当x>2时，f (X ) 0；当0vxv2时, x即f (x)在(2,)上递增，在(0,2 )上递减 V 2 乂 g(x) (x 7) 49,所以 9匕)在(■ ■ ■ ・・■ ・・■,7)上递增,在(7, )上递减 ..... 欲f (x)与g(x)在区御,a 1上均为增函数，则解得f (x)x由f(x) 0得ax 3x此不等式化为不等式组x a 3x 0即x a 3x 0因为a 0,所以不等式组的解集为x x由题设可得 2厶 •O O OOOO O OOO(III ) 原方程等价于 h(x) m. 10分因为当] [■■■ ■■■ ■■■ 2 2x 8 Inx 令 14x 2 h(x) 2x 即为In x 14x ,则原方程又,h (x) x 0时原方程有唯一解 "分 81)4x 14，所以函数y h(x)与y m 的图象在y 轴右侧有唯一的交 2(x 4)(2x 且 x>o,所以当 x>4 时，h (x)0；当 Ovxv4 时,h (x)0・ (12)分即h( x)在(4,)上递增，在(0,4 )上递减・故h (x)在x=4处取得最值从而当x 0吋原方程有唯一解的充要条件是 m h(4) 16ln 2 24 四、选题(1)BC,/AB 是直径，..n ACB 二90°,.・.zACB 二N AGC=90°・ / GC 切 O O 于 C,.‘.z GC A=z ABC...Z BAC=zCAG.。