2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第6节指数与指数函数教师用书教案理新人教版.doc

指数与指数函数

[考试要求] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，1

3

的指数函数的图象.

3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

1．根式

(1)n 次方根的概念

①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

②a 的n 次方根的表示：

x n

＝a ⇒⎩⎨

⎧

x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *

，n ＞1时，

x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *

时.

(2)根式的性质

①(n

a )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)． ②n a n

＝⎩⎨⎧

a ，n 为奇数，|a |＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ，a ≥0，

－a ，a ＜0，n 为偶数.

2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a m

n ＝n

a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n

＝

＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋

s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．

提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 3．指数函数的概念

函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，a 是底数，指数函数的定义域为R .

提醒：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

4．指数函数的图象与性质

y ＝a x

a ＞1

0＜a ＜1

图象

定义域 R 值域

(0，＋∞) 过定点(0,1)

性质

当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；

当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数

在R 上是减函数

[常用结论]

1．指数函数图象的画法

画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)n a n ＝(n

a )n ＝a .

( )

(2)(－1)24＝(－1)12

＝－1.

( ) (3)函数y ＝a x 2＋1

(a ＞1)的值域是(0，＋∞)． ( )

(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生

1．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，1

2，则f (－1)＝________. 2 [由题意知12＝a 2，所以a ＝2

2，

所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x

，所以f (－1)＝⎝⎛⎭

⎫

2

2－1

＝ 2.]

2．化简4

16x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________. －2x 2y [4

16x 8y 4＝4(2x 2y )4＝|2x 2y |＝－2x 2y .]

3．已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－13，b ＝⎝⎛⎭⎫35－14，c ＝⎝⎛⎭⎫32－34，则a ，b ，c 的大小关系是________． c ＜b ＜a [∵y ＝⎝⎛⎭⎫

35x

是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫35－13＞⎝⎛⎭⎫35－14＞⎝⎛⎭⎫350

， 则a ＞b ＞1，

又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34＜⎝⎛⎭⎫320

＝1， ∴c ＜b ＜a .]

4．某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，

则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为________．

y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)[当x＝1时，y＝a＋ap%＝a(1＋p%)，当x＝2时，y＝a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2，

当x＝3时，y＝a(1＋p%)2＋a(1＋p%)2p%＝a(1＋p%)3，

……

当x＝m时，y＝a(1＋p%)m，

因此y随年数x变化的函数解析式为y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)．]

考点一指数幂的化简与求值

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

1．计算：⎝⎛⎭⎫

－

27

8

－

2

3

＋0.002

－

1

2

－10(5－2)－1＋π0＝________.

－

167

9[原式＝⎝

⎛

⎭

⎫

－3

2

－2

＋500

1

2

－

10(5＋2)

(5－2)(5＋2)

＋1＝

4

9＋105－105－20＋1＝－

167

9.]

2．