正交基
平面向量的正交和标准正交基
平面向量的正交和标准正交基平面向量是平面上具有大小和方向的向量。
在平面向量的研究中，正交和标准正交基是非常重要的概念。
本文将详细介绍平面向量的正交性和标准正交基，并探讨它们在几何和代数中的应用。
一、正交向量在平面向量的研究中，正交向量是一个重要的概念。
两个向量如果夹角为90度，则它们被称为正交向量。
而两个向量的点积（内积）为0时，也可以称它们为正交向量。
假设有两个平面向量A和B，它们的坐标表示分别为A=(x1, y1)和B=(x2, y2)。
如果A·B=0，则向量A和向量B为正交向量。
正交向量的性质之一是它们的内积为零，这可以利用点积的几何意义进行解释。
点积等于向量A在向量B方向上的投影的长度与向量B 的长度的乘积。
因此，若两个向量正交，则其中一个向量在另一个向量的方向上的投影为零，即点积为零。
正交向量在几何上有很多应用，例如在计算两条直线的关系时，可以利用正交向量来判断是否垂直。
此外，在物理学、工程学和计算机图形学等领域中，正交向量也有着广泛的应用。
二、标准正交基在平面向量中，标准正交基是由线性无关的向量组成的集合，并且每个向量都与其他向量正交。
标准正交基的一个重要性质是每个向量的长度都为1，即它们是单位向量。
假设有两个平面向量A和B，它们满足以下条件：1. A和B是线性无关的向量；2. A·B=0；3. A的长度为1，即|A|=1；4. B的长度为1，即|B|=1。
则向量A和向量B为标准正交基。
标准正交基在几何和代数中都有着重要的应用。
在几何中，标准正交基可以用来描述平面上的坐标系，例如笛卡尔坐标系中的单位向量i 和j就是一个标准正交基。
在代数中，标准正交基可以用来表示向量空间的基，通过标准正交基可以简化向量的表示和计算。
另外，标准正交基还可以用于求解线性方程组和矩阵的特征向量等问题。
通过将向量表示为标准正交基的线性组合，可以将复杂的运算问题简化为基本的代数运算。
总结：平面向量的正交和标准正交基是平面向量研究中的重要概念。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
规范正交基
规范正交基定义1.欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.岩宝小提示：正交向量组是线性无关的. 事实上，设正交向量组\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\有一线性关系k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}=0 \\用 \alpha_{i} 与等式两边作内积，即得k_{i}\left(\alpha_{i}, \alpha_{i}\right)=0 \\由 \alpha_{i} \neq 0, 有\left(\alpha_{i}, \alpha_{i}\right)>0, \\从而k_{i}=0(i=1,2,3, \cdots, m) \\以上结果也说明了在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个，这个事实的几何意义是清楚的.例如在平面上找不到三个两两垂直的的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.定义2.在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.定义3. n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA'=E.定理1. n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证明：设\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\是一正交向量组，我们对n-m作数学归纳法.当 n-m=0 时 ,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\就是一组正交基了.假设 n-m=k 时,也就是说，可以找到向量\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{k} \\使得\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{k} \\成为一组正交基.现在看 n-m=k+1 的情形. 因为 m < n,所以一定有向量\beta 不能被 \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\\ 线性表出，作向量\alpha_{m+1}=\beta-k_{1} \alpha_{1}-k_{2} \alpha_{2}-\cdots-k_{m} \alpha_{m} \\这里k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m} \\是待定的系数. 用 \alpha_{i} 和 \alpha_{m+1} 作内积，得\left(\alpha_{i}, \alpha_{m+1}\right)=\left(\beta,\alpha_{i}\right)-k_{i}\left(\alpha_{i},\alpha_{i}\right)(i=1,2,3, \cdots, m) \\取k_{i}=\frac{\left(\beta,\alpha_{i}\right)}{\left(\alpha_{i},\alpha_{i}\right)}(i=1,2,3, \cdots, m) \\有\left(\alpha_{i}, \alpha_{m+1}\right)=0(i=1,2, \cdots, m) \\由 \beta 的选择可知 ,\alpha_{m+1} \neq 0 . \\因此\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m},\alpha_{m+1} \\是一正交向量组，根据归纳法假定,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m},\alpha_{m+1} \\可以扩充成一正交基.定理2. 对于n维欧氏空间中任意一组基\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{n} \\可以找到一组标准正交基\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} \\使L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{i}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{i}\right), i=1,2, \cdots, n \\证明：设\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{n} \\是一组基，我们来逐个地求出向量\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} \\首先，可取\eta_{1}=\frac{1}{\left|\varepsilon_{1}\right|} \varepsilon_{1} \\一般地，假定已经求出\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{m} \\它们是单位正交的，具有性质L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{i}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{i}\right), i=1,2, \cdots, m \\下一步求 \eta_{m+1}.因为\varepsilon_{m}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2},\cdots, \eta_{m}\right), \\所以 \varepsilon_{m+1} 不能被\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{m} \\线性表出.按照定理1证明的方法，作向量\xi_{m+1}=\varepsilon_{m+1}-\sum_{i=1}^{m}\left(\varepsilon_{m+1}, \eta_{i}\right) \eta_{i} \\显然有\xi_{m+1} \neq 0, 且 \left(\xi_{m+1},\eta_{i}\right)=0, i=1,2, \cdots, m \\令\eta_{m+1}=\frac{\xi_{m+1}}{\left|\xi_{m+1}\right|} \\\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{m}, \eta_{m+1} 就是一单位正交向量组. 同时L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{m+1}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2},\cdots, \eta_{m+1}\right) \\由归纳原理，定理2得证.岩宝小提示：定理2中要求\varepsilon_{i}\right)=L\left(\eta_{1}, \eta_{2},\cdots, \eta_{i}\right), i=1,2, \cdots, n \\就相当于由基\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,\varepsilon_{n} \\到基\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n} \\的过渡矩阵是上三角形的.例1.把\begin{array}{ll} \alpha_{1}=(1,1,0,0),& \alpha_{3}=(-1,0,0,1) \\\alpha_{2}=(1,0,1,0), & \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)\end{array}\\变成单位正交的向量组.证明：先把它们正交化，得\begin{array}{l} \beta_{1}=\alpha_{1}=(1,1,0,0) \\\beta_{2}=\alpha_{2}-\frac{\left(\alpha_{2},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)}\beta_{1}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 1,0\right)\\ \beta_{3}=\alpha_{3}-\frac{\left(\alpha_{3},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)}\beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{3},\beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)}\beta_{2}=\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1\right) \\ \beta_{4}=\alpha_{4}-\frac{\left(\alpha_{4},\beta_{1}\right)}{\left(\beta_{1}, \beta_{1}\right)} \beta_{1}-\frac{\left(\alpha_{4},\beta_{2}\right)}{\left(\beta_{2}, \beta_{2}\right)} \beta_{2}-\frac{\left(\alpha_{4},\beta_{3}\right)}{\left(\beta_{3}, \beta_{3}\right)} \beta_{3}=(1,-1,-1,1) \end{array}\\再单位化，得\begin{array}{l} \eta_{1}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}, 0,0\right) \\\eta_{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0\right) \\ \eta_{3}=\left(-\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{3}{\sqrt{12}}\right) \\\eta_{4}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \end{array}\\例2.在2级实矩阵构成的线性空间R^{2 \times 2}中定义(A, B)=\operatorname{tr}\left(AB^{\prime}\right) \\ 其中A,B是任意2级实矩阵.（1）证明如上定义(A, B) 是线性空间 R^{2 \times2} 上的内积.（2）设W是由矩阵A_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),A_{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\\ 生成的子空间，求W^{\perp}的一组标准正交基.（3）举例说明定义(A,B)=\operatorname{tr}\left(A B^{\prime}\right)\\ 不构成内积.证明：（1）（i）(A, B)=\operatorname{tr}\left(AB^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(\left(AB^{\prime}\right)^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\le ft(B A^{\prime}\right)=(B, A) \\（ii）(k A, B)=\operatorname{tr}\left(k AB^{\prime}\right)=\operatorname{ktr}\left(AB^{\prime}\right)=k(A, B) \\（iii）任取 A, B, C \in R^{2 \times 2}, 即有(A+B, C)=\operatorname{tr}\left((A+B)C^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(AC^{\prime}+B C^{\prime}\right)\\=\operatorname{tr}\left(AC^{\prime}\right)+\operatorname{tr}\left(BC^{\prime}\right)=(A, C)+(B, C) \\（iv）(A, A)=\operatorname{tr}\left(AA^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right) \geq 0, \\当且仅当 A=O 时(A, A)=\operatorname{tr}\left(AA^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right)= 0 \\即 (A, B) 是线性空间 R^{2 \times 2} 上的内积.（2）对任意的 A \in W^{\perp}, 我们设A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c &d\end{array}\right) \\则\left(A, A_{1}\right)=\left(A, A_{2}\right)=0, \\即t r\left(\begin{array}{ll} a+b & 0 \\ c+d & 0\end{array}\right)=t r\left(\begin{array}{ll} b & a+b \\ d & c+d \end{array}\right)\\于是a+b=b+c+d=0, \\即b=-a, d=a-c, \\所以A=\left(\begin{array}{cc} a & -a \\ c & a-c\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\\现在记B_{1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\\易知 B_{1}, B_{2}是线性无关的（岩宝提示：如果不放心可以按照线性无关的定义进行验证），从而W^{\perp}=L\left(B_{1}, B_{2}\right), \\现在对于 B_{1}, B_{2}进行施密特正交化，变为标准正交基：首先,\left(B_{1}, B_{2}\right)=3, \\所以C_{1}=\frac{B_{1}}{\sqrt{\left(B_{1},B_{1}\right)}}=\frac{\sqrt{3}}{3}B_{1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right)\\C_{1}是一个单位向量.接下来由施密特正交化有C_{2}=B_{2}-\frac{\left(B_{2},B_{1}\right)}{\left(B_{1}, B_{1}\right)}B_{1}=B_{2}+\frac{1}{3} B_{1}=\left(\begin{array}{cr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3}\end{array}\right)\\而\left(C_{2}, C_{2}\right)=\frac{5}{3}, \\对 C_{2} 进行单位化可得\frac{C_{2}}{\sqrt{\left(C_{2},C_{2}\right)}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\left(\begin{array}{ rr} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 1 & -\frac{2}{3}\end{array}\right)\\=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{15}}{15} & -\frac{\sqrt{15}}{15} \\\frac{\sqrt{15}}{5} & -\frac{2 \sqrt{15}}{15}\end{array}\right)\\(3) 例如取A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 &0\end{array}\right), \\这时 A \neq 0, 但是(A, A)=\operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=0 \\这与内积的正定性矛盾.1.在 R[x]_{4} 中定义内积为(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x \\求 R[x]_{4} 的一组标准正交基（由基 1, x, x^{2}, x^{3} 出发做正交化）.2.在欧氏空间 M_{n}(R) 中，定义内积为(A, B)=\operatorname{tr}\left(A^{\prime} B\right) \\设W是所有n级实对称矩阵组成的线性子空间，求W 和W^{\perp}的一组标准正交基.3.设A为n阶实对称正定矩阵,\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}, \beta \\为 n 维欧氏空间 R^{n} ( 标准度量 )中的n+1个向量，若已知(1)\alpha_{i} \neq 0, i=1,2, \cdots, n \\(2)\alpha_{i}^{T} A \alpha_{j}=0, i \neq j, i, j=1,2,\cdots, n \\(3)\beta与 \alpha_{i}(i=1,2, \cdots, n) 正交. \\证明： \beta=0.4.设A是一个实系数方阵，判断若A的行向量组两两正交，则它的列向量组也两两相交，是否正确，若正确请给出证明.不正确请给出反例.。
内积空间的标准正交基
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如 果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性 无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组 线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个 基向量，其各分量平方和都等于1。
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正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将 它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则 这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。
求矩阵的标准正交基
求矩阵的标准正交基首先，我们来了解一下标准正交基的概念。
在n维欧氏空间中，如果存在n个两两正交的单位向量，且它们张成的向量空间与整个n维欧氏空间重合，那么这组单位向量就称为n维欧氏空间的标准正交基。
简单来说，标准正交基就是一组相互垂直且长度为1的向量，它们可以用来表示整个向量空间中的任意向量。
接下来，我们将介绍求解矩阵的标准正交基的方法。
对于一个给定的矩阵A，我们希望找到一组标准正交基，使得矩阵A可以由这组基进行线性表示。
首先，我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法来求解标准正交基。
Gram-Schmidt方法是一种通过正交化的方式，将线性无关的向量组转化为标准正交基的方法。
其基本思想是从给定的线性无关向量组中构造出一组标准正交基。
具体操作是，先将向量组中的第一个向量单位化，然后依次将后续的向量投影到前面向量的正交补空间上，得到一组正交向量，最后将这些正交向量单位化即可得到标准正交基。
另外，我们还可以利用特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基。
对于一个对称矩阵A，我们可以将其分解为A=QΛQ^T的形式，其中Q是标准正交矩阵，Λ是对角矩阵。
这时，矩阵Q的列向量就是矩阵A的标准正交基。
特征值分解方法在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以用来求解标准正交基，还可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
最后，我们来看一下矩阵的标准正交基在实际问题中的应用。
标准正交基可以用来表示向量空间中的任意向量，因此在信号处理、图像处理、物理建模等领域都有着重要的应用。
例如，在图像处理中，我们可以利用标准正交基将图像表示为一组正交基向量的线性组合，从而实现图像的压缩和重构。
在物理建模中，标准正交基可以帮助我们更好地理解物理现象，分析物理过程中的向量关系。
总结一下，矩阵的标准正交基是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解向量空间的性质，解决相关的计算和应用问题。
我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法和特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基，并且在实际问题中有着广泛的应用。
第二节标准正交基(08-09第二学期)
高等代数
3. 正交基的定义 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成
由单位向量组成的正交 的正交向量组称为正交基； 基称为标准正交基. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交 基.
高等代数
例如,设
⎛1 2 ⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 2 ⎟ ⎜ − 1 2⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ e1 = ⎜ ⎟, e2 = ⎜ 0 ⎟, e3 = ⎜1 2 ⎟, e4 = ⎜ 1 2 ⎟. 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 2 ⎟ ⎜ − 1 2⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠
⎧(ei , e j ) = 0, i ≠ j 且i , j = 1, 2, 3, 4. ⎪ 由于 ⎨ ⎪ (ei , e j ) = 1, i = j 且i , j = 1, 2, 3, 4. ⎩
所以 e1 , e 2 , e 3 , e 4 为 R 的一个标准正交基 .
4
高等代数
又如，考虑定义在闭区间 [0, 2π ] 上一切连续函数
α = x1 ε1 + x2 ε2 + … + xn ε n ，
则 xi = (εi , α ) ( i = 1, 2, … , n ) .
高等代数
证明
(εi , α ) = (εi , x1 ε1 + x2 ε2 + … + xn εn ) = (εi , x1ε1) + … + (εi , xi-1εi-1) + (εi , xiεi ) + + (εi , xi+1εi+1) + … + (εi , xnεn ) = x1(εi , ε1) + … + xi-1(εi , εi-1) + xi(εi , εi ) + + xi+1(εi , εi+1) + … + xn(εi , εn ) = xi(εi , εi ) = xi .
四规范正交基(标准正交基)
1.规范正交基的概念 定义3 设 n 维向量 e1 ,e2 , ,er是向量空间V V R n 的一个基,如果
e1 ,e2 ,,er
是两两正交的单位向量,则称
e1 ,e2 ,,er
显然,若
是向量空间V的一个规范正交基.
e1 ,e2 ,,er
j
是V的一个规范正交基。
T T
x P Px
x x x
T
按‖x‖表示向量长度, ‖x‖=‖y‖说明经正交变换 向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。
作业:
161页
1 (2)
2
3
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α3单位化，得 e3 3
3
1 1 1 , 3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以 P为正交矩阵。
例5 设e1 , e2 ,, en是Rn的一个 规范正交基.A为正交矩阵.
试证.Ae1 , Ae2 , , Aen也是R 的一个规范正交基.
n
证 由于
i
Ae , Ae Ae
j i
T
T
高等代数第九章 2第二节 标准正交基
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因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关 于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵. 这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩 阵是单位矩阵. 由此断言
结论 在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积 简单地表示出来，即 (1 , )1 ( 2 , ) 2 ( n , ) n (2)
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例3 欧氏空间Rn的基
i (0,,0, 1 ,0,,0） i 1, 2 ,, n
（i）
是Rn的一个标准正交基.
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(5)
(5)式相当于一个矩阵的等式
ATA=E ，
或者
返回
(6)
A-1=AT .
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我们引入
定义7 n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=E . 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正 交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组 基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么
第二组基一定也是标准正交基.
向量η1,η2,…,ηn .
| 1 | 求出η1,η2,…,ηm ，它们是单位正交的，具有性质
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首先，可取 1
1
1 . 一般地，假定已经
L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,m.
下一步求ηm+1. 因为L(ε1,ε2,…,εm)=L(η1,η2,…,ηm)，所以εm+1 不能被线性表出. 按定理1证明的方法，作向量
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傅里叶级数 正交基
傅里叶级数正交基傅里叶级数和正交基是数学中的两个重要概念。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪早期提出。
该方法通过将函数拆分为一系列正弦波和余弦波，从而能够分析函数的频率和相位。
傅里叶级数的定义如下：对于任意周期函数f(x)，都可以表示为以下无穷级数：f(x) = a0 + Σ(an * cos(nx) + bn * sin(nx))其中，a0、an和bn是系数，Σ表示求和符号，n是从0到无穷大的整数。
这些系数可以通过将函数f(x)与正弦波和余弦波进行内积来求解。
傅里叶级数有以下几个重要的性质：1.唯一性：对于周期函数f(x)，其傅里叶级数表示是唯一的，即不存在其他函数与傅里叶级数表示相同的周期函数。
2.收敛性：傅里叶级数在数学上是收敛的，即当级数的项数趋于无穷大时，级数的和将趋于一个有限的数值。
3.三角函数的正交性：傅里叶级数中的正弦波和余弦波是正交的，即它们在数学上是相互独立的。
这一性质使得傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。
二、正交基正交基是线性代数中的一个重要概念，它是一组线性无关的向量，满足向量之间的正交性条件。
正交基在解决线性方程组、计算矩阵的秩和逆等方面具有重要作用。
正交基的定义如下：对于一个n维向量空间V，如果存在一组线性无关的向量{e1, e2, ..., en}，满足：1.e1, e2, ..., en之间相互正交，即e1⊥e2, e1⊥e3, ..., e1⊥en,e2⊥e3, e2⊥e4, ..., e2⊥en, ..., en-1⊥en。
2.{e1, e2, ..., en}中向量的个数为n个。
则称{e1, e2, ..., en}为V的一个正交基。
正交基具有以下几个重要的性质：1.唯一性：对于一个向量空间V，其正交基是唯一的，即不存在其他向量组同时满足正交性和线性无关性的条件。
2.正交性：正交基中的向量之间相互正交，即任意两个不同的向量之间都是正交的。
向量空间中的正交分解和选取正交基
向量空间中的正交分解和选取正交基在数学中，向量空间是一个非常基础的概念，它是一组向量和对这些向量进行加法和数乘运算所形成的集合。
对于一个向量空间，它的性质和性质的推导通常都和基向量有关系。
正交基是一种特殊的基向量，在向量空间中有着重要且应用广泛的意义。
本文将会介绍向量空间中的正交分解和选取正交基的概念与相关应用。
正交分解的概念一个向量空间中的任何向量都可以表示为一些基向量的线性组合。
即任何向量 $\mathbf{v}$ 可以表示为：$$\mathbf{v} = c_1\mathbf{v_1} + c_2\mathbf{v_2} + \cdots +c_n\mathbf{v_n}$$其中 $c_i$ 是标量，$\mathbf{v_i}$ 是基向量。
如果基向量与自身不同，则它们必须线性无关。
对于具有内积的向量空间，我们可以将这些基向量选取为正交基，即：$$\langle \mathbf{v_i},\mathbf{v_j}\rangle = \begin{cases}1&\text{if }i=j\\ 0& \text{if }i\neq j\end{cases}$$当一个向量空间有正交基时，我们可以通过计算线性系数来求解任意向量 $\mathbf{v}$ 在这组基下的坐标：$$c_i = \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}$$利用这个公式，就可以将任意向量在正交基下的表示求出来。
如果我们将上面的公式代入到向量的线性组合公式中，可以得到一个被称为正交分解的式子：$$\mathbf{v} = \sum_{i=1}^n\frac{\langle\mathbf{v},\mathbf{v_i}\rangle}{\langle\mathbf{v_i},\mathbf{v_i}\rangle}\mathbf{v_i}$$正交分解是一种分解向量的方式，它将一个向量分解为其在不同方向上的投影之和。
第二节标准正交基
(5)
(5) 式相当于一个矩阵的等式
ATA = E ，
(6)
或者
A-1 = AT .
定义 7 n 级实数矩阵 A 称为正交矩阵，如
果 ATA = E . 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正
交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组 基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么
第二组基一定也是标准正交基. 最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
显然
m +1 0 , 且 (m +1 , i) = 0 ，i = 1 , 2 , … , m .
令
m1
m1 | m1
|
.
则 1 , 2 , … , m , m +1 就是一单位正交向量组.
同时
L(1 , 2 , … , m +1 ) = L(1 , 2 , … , m +1) .
交向量组的方法称为施密特(Schimidt)正交化过程.
三、举例
例1 设
1
1
4
a1 2 , a2 3 , a3 1 ,
1
1
0
试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在一个内积空间中，如果向量集合中的向量两两正交且归一化，即它们之间的内积为0且它们的模为1，那么这个向量集合就是标准正交基。
接下来，我们来介绍一种求解标准正交基的常用方法——施密特正交化方法。
假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过施密特正交化方法将它们变换成一个标准正交基。
首先，我们取向量组中的第一个向量v1，对它进行归一化处理，即得到第一个标准正交基e1。
然后，我们取向量v2，将它在e1上的投影减去，得到一个新的向量，然后对这个新的向量进行归一化处理，得到第二个标准正交基e2。
依此类推，对于向量组中的每一个向量，都可以通过这种方法得到一个标准正交基。
施密特正交化方法的关键在于对向量的投影和归一化处理，通过这种方法，我们可以将任意线性无关的向量组变换成一个标准正交基。
除了施密特正交化方法，我们还可以通过矩阵的特征值分解来求解标准正交基。
对于一个对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到它的特征向量，然后对特征向量进行归一化处理，就可以得到一个标准正交基。
此外，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如利用奇异值分解、Gram-Schmidt方法等。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法。
总的来说，求解标准正交基是线性代数中的一个重要问题，通过施密特正交化方法、特征值分解等方法，我们可以比较容易地求解标准正交基。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，以便更加高效地求解标准正交基。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
标准正交基单位化公式
标准正交基单位化公式
在高等代数中，我们常用到一些基本的运算和公式，其中标准正交基的单位化公式就是一个非常重要的内容。
在标准正交基中，每个向量的模都被设定为1，这就意味着这些向量两两正交，同时也可以看作是一个坐标系。
而标准正交基的单位化公式，就是通过一定的方式，使得向量的模变为1，从而可以方便地进行数据处理和分析。
标准正交基的单位化公式为：
X = X/||X||，其中||X||表示向量X的模。
当我们需要对向量进行单位化时，只需将每个向量的模设为1即可，这可以有效地减少数据的存储空间，更方便我们的实际应用。
特别的，在计算机图形学、信号处理等领域，标准正交基的单位化公式有着广泛的应用。
标准正交基的单位化公式的证明和应用是线性代数中一个重要的基础知识点，也提供了一个简单有效的方式来表示和分析向量数据。
通俗易懂正交基
通俗易懂正交基
若一物体可用“颜色”和“大小”表示，我们称“颜色”和“大小”为特征基（特征向量），它构成此物体特征描述空间。
“大小”和“颜色”是互不相干的两种描述量，一个量不能由另一个量代替，这样的两个量（多个量）称为正交。
其中的每一个量成为一个特征基。
若这些基能够完全表示所有物体，我们称其为完备特征基。
特征基表现了物体特征，这样就可以用更简洁的描述表示物体。
一组向量可以是力学的参数、可以是电学的物理量、当然也可以是向量空间。
也就是数学抽象的伟大。
三维空间的标准正交基
三维空间的标准正交基三维空间的标准正交基是线性代数中的一个重要概念，它是指由三个相互垂直的单位向量所组成的一组基向量。
在三维空间中，我们可以使用这组基向量来描述任意一个三维向量。
本文将围绕三维空间的标准正交基展开讨论，介绍其定义、性质以及在计算机图形学和物理学中的应用。
我们来定义三维空间的标准正交基。
三维空间中的标准正交基通常用三个单位向量 i、j 和 k 来表示。
其中，单位向量 i 指向 x 轴的正方向，单位向量 j 指向 y 轴的正方向，单位向量 k 指向 z 轴的正方向。
这三个单位向量两两垂直，并且长度都为1，因此它们构成了一组标准正交基。
三维空间的标准正交基具有一些重要的性质。
首先，这组基向量是相互垂直的，也就是说任意两个基向量的内积为0。
例如，单位向量 i 和 j 的内积为 0，单位向量 j 和 k 的内积也为 0。
其次，这组基向量的长度都为1，也就是说它们都是单位向量。
最后，这组基向量可以用来表示三维空间中的任意一个向量。
例如，对于一个向量v = (x, y, z)，我们可以用 v = xi + yj + zk 来表示，其中 x、y 和 z 分别为向量 v 在 i、j 和 k 方向上的投影。
三维空间的标准正交基在计算机图形学中有着广泛的应用。
在三维建模和渲染过程中，我们常常需要对三维物体进行旋转、缩放和平移等操作。
这些操作可以通过矩阵变换来实现，而矩阵变换的基础就是使用标准正交基来进行坐标变换。
通过对标准正交基进行线性组合，我们可以构造出表示旋转、缩放和平移的矩阵，从而实现对三维物体的变换。
标准正交基还可以用来描述三维空间中的向量运算。
例如，我们可以使用基向量 i、j 和 k 来表示向量的加法和数量乘法。
对于两个向量 v1 = x1i + y1j + z1k 和 v2 = x2i + y2j + z2k，它们的和可以表示为 v = (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k，即将两个向量在各个方向上的分量相加。
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§2 正交基
一、标准正交基
定义5 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.
正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.
定义6 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.
设n εεε,,,21 是一组标准正交基，由定义，有
⎩
⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i 当当εε (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的.
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
n n εαεεαεεαεα),(),(),(2211+++= . (2)
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设
.2211n n x x x εεεα+++=
.2211n n y y y εεεβ+++=
那么
.),(2211Y X y x y x y x n n '=+++= βα (3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所
有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位.
二、规范正交基的存在性及其正交化方法
定理1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.
定理2 对于n 维欧氏空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使
=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη
应该指出，定理中的要求
=),,,(21i L εεε .,,2,1,),,,(21n i L i =ηηη
就相当于由基n εεε,,,21 到基n ηηη,,,21 的过渡矩阵是上三角形的.
定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt ）正交化过程.
例1 )1,1,1,1(),1,0,0,1(),0,1,0,1(),0,0,1,1(4321--=-===αααα
变成单位正交组.
三、正交矩阵
上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.
设n εεε,,,21 与n ηηη,,,21 是欧氏空间V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是)(ij a A =，即
=),,,(21n ηηη ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛nn n n n n n a a a a a a a a a 21222211121121),,,(εεε 因为n ηηη,,,21 是标准正交基，所以
⎩⎨⎧≠==.
,0;,1),(j i j i j i 当当ηη (4) 矩阵A 的各列就是n ηηη,,,21 在标准正交基n εεε,,,21 下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为
⎩⎨⎧≠==+++.
,0;,12211j i j i a a a a a a nj ni j i j i 当当 (5) (5)式相当于一个矩阵的等式
E A A =' (6)
或者
A A '=-1
定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A ='
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.
最后指出，根据逆矩阵的性质，由
E A A ='
即得
E A A ='
写出来就是
⎩⎨⎧≠==+++.
,0;,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i 当当 (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.
例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组
.,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x
构成]2,0[πC 的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度,就得到]2,0[πC 的一个标准正交组:
.,sin 1
,cos 1
,,sin 1
,cos 1
,21
nx nx x x πππππ
例3 欧氏空间n R 的基 ））（0,,0,1,0,,0( i i =ε,n i ,,2,1 = 是n R 的一个标准正交基.。