导数与微分习题(基础题)

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(高等数学)导数与微分习题

一. 填空题(理工类)1. , 则= _______.解. , 假设, 则, 所以2. 设, 则______.解. ,3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以4. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以所以5. 设f(x)可导, 则_______.解.=+=6. 设, 则k = ________.解. , 所以所以7. 已知, 则_______.解. , 所以. 令x2= 2, 所以8. 设f为可导函数, , 则_______.解.9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 x－2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以=, 于是======所以, 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以========所以存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d)解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.4. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. .所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0+ ∆x时, 记∆y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞解. 由微分定义∆y = dy + o(∆x), 所以. (b)是答案.6. 设在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8. 设函数f(x)在(－∞, +∞)上可导, 则(a) 当时, 必有(b) 当时, 必有(c) 当时, 必有(d) 当时, 必有解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x,单增. 如果, 则证明结束, 否则单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗日定理(x < ξ < x + 1)令x → +∞, 于是0 = +∞, 矛盾. 所以.9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.(c) f(a) > 0且. (d) f(a) < 0且.解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.不妨假设. . 所以存在δ, 当x ∈ (a－δ, a + δ)时. 所以当x> a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x) < 0. 于是. 所以不存在.三. 计算题(理工类)1.解.2. 已知f(u)可导,解.=3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求. 解., 所以4. 已知, 求.解. ,5. 设, 求解. ,6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .解. , 所以=3.所以7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以所以.所以. 在t = 1的曲率为四. 已知, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求.解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以,所以, 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以=(2) 方法1:=== (0 < ξ < x)=所以方法2:====五. 已知当x≤ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且存在, 所以, 所以, 所以六. 已知.解., k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, …七. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式=所以。

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（）A 、不连续B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（）Ａ、在0=x 处极限不存在Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（）Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对７、已知)(x f e y =，则y ''＝（）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

微积分基础练习--导数、微分及其应用

（二）导数、微分及其应用一．选择题1．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1cos )(2x x xx x f ，则f (x )在点x =0处的导数（ ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于-1 （D ）不存在 2．设)(x ϕ为连续函数，且0)(≠a ϕ，则)()()(x a x x f ϕ-=在点x =a 处（）（A ）连续，但不可导 (B)可导,且()()f a a ϕ'= （C)不连续，更不可导（D ）可导，且()0f a '= 3．设f （x ）=(x -1）sin x ,则f （x ）在点x =1处的导数（）（A) 等于0 （B ）等于cos1 （C ）等于-cos1 （D)sin1 4．曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-，该点坐标是（ )（A) 1(2,ln )2 (B ） 1(,ln 2)2- （C ） 1(2,ln )2- (D) 1(,ln 2)25．在抛物线21y x =+上过点(1,2)处的切线的斜率为（ )（A ）12 （B) 2 (C ） 2- （D) 12- 6．函数y 由方程y y x =+)(ϕ确定，)(y ϕ'若存在且不等于1,则dydx的值是( ）（A ）)(1y ϕ'+ （B ）)(11y ϕ'- （C ）)(11y ϕ'+ （D ）不存在7．若f (x ）为可导函数，且)(xe f y =，则y ′=（）(A ）)(xxe f e ' (B))()(x f e f x'' （C ）)(xe f ' （D))(xxe f e 8．f （x ）是x 的可导函数，则2()df x dx=（ ) (A ）)(323x f x ' （B ）22()xf x ' （C ）)(2x f ' （D))(2x f x '9．若f (x ）为可导函数，且)(x f ey =,则y ′=( )(A ）)()(x f ex f ' （B ）)(x f e （C ）)()(x x f e f e ' （D ）)(x f e x '10．导数等于1sin 22x 的函数是（ ) （A)1cos 24x （B ）21sin 2x （C ） 21cos 2x （D ）11cos 22x -11．若f （u ）为可导,且)(xe f y =，则有d y =( ）（A ） dx e f e x x )(' （B ）dx e f x)(' （C) dx e e f x x x ])([' （D) xx x de e f ])(['12．函数（ )的微分等于它的增量。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

高等数学第二章导数与微分习题

h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2

第三章导数与微分习题

习题三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。

4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。

5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。

8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。

9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。

10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。

12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。

导数与微分测试题

从而，从而，f ′(1) = 2 .
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分一、填空题 (每题分，共12分) 每题分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式：三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

高等数学题库第02章(导数与微分)

第二章导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（）（1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。

高等数学-——导数与微分练习题.pdf

C：若函数 f (x) 在点 x0 处不可导，则函数 f (x) 在点 x0 处左、右导数只有一个不存在
x≥0
（）
（5）若 f (x) = x −1 ，则 f (x) 在 x = 1 处可导
（）
（6） f (x) = 3 x 在 (−∞, +∞) 内均可导
（）
（7）若函数 f (u) 可导，则 [ f (ln x)]′ = f ′(ln x)
（）
（8）若 y = x2ex ，则 y′′ − 2 y′ + y = 0
dx
五、证明题
1.
设函数
f (x) = arctan 1+ x ，证明 dy 1− x
=
x
1 2+
1
dx
2.
证明：函数
f
(
x
)
=
⎧ ax + b, ⎨⎩ex −1, x
x ≤
> 0
0
在 x = 0 处可导的充要条件是 a = 1, b = 0 .
3.
证明：
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x3
sin
1 x
,
x
≠
0
在定义域内处处可微.
则 a, b 之值为（
）
A： a = 2,b = −1 B： a = 1,b = −3
C： a = 0,b = −2
D： a = −3,b = 1
（5）下列结论正确的是（
）
A：若左、右导数都存在，则函数 f (x) 在点 x0 处可导
B：函数 f (x) 在点 x0 处不可导的充要条件是左、右导数都不存在
⎛ ⎜⎝
arctan

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数观点一．填空题1. 若f (x0)存在，则lim f (x0x)f (x)= f ( x0)x 0x2. 若f (x0)存在，lim f (xh) f ( xh)=2 f ( x0).h 0hlim0f ( x3 x) f ( x)=3 f ( x0).x x3. 设f ( x0)2x 1, 则lim4x 0 f ( x0 2 x) f ( x0 ) )4.已知物体的运动规律为 s t t 2(米)，则物体在t 2秒时的刹时速度为 5（米/秒）5. 曲线y cosx 上点（，1）处的切线方程为 3 x 2 y 10 ，法线323方程为2x3y3202 36.用箭头 ? 或? 表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微可导|连续极限存在。

二、选择题1．设 f (0) 0 ,且 f ( 0) 存在，则 lim f ( x)=xx 0[B]（A）f ( x)(B) f (0)(C) f (0)(D)1f (0)22.设 f ( x) 在 x 处可导， a ,b为常数，则lim f (x a x) f (x b x) =x 0x [ B ]（A）f (x)( B)( a b) f (x)(C)(a b) f (x)(D)a bf (x)23.函数在点 x0处连续是在该点 x0处可导的条件[ B ]（A）充足但不是必需（B）必需但不是充足（ C）充足必需（D）即非充足也非必需4．设曲线y x2x 2 在点M 处的切线斜率为，则点M的坐标为3[ B ]（ A） (0,1)( B) (1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5.设函数 f ( x) | sin x |，则 f (x)在x 0处[ B ]（A）不连续。

（B）连续，但不行导。

（D）可导，且导数也连续。

三、设函数 f ( x)x2x 1为了使函数 f (x) 在x 1 处连续且可导，ax b x1a ，b应取什么值。

微积分练习题

微积分练习题一、极限与连续(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x(1) f(x) = |x| 1，在x = 0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x = 1处(3) f(x) = sqrt(x + 2) 2，在x = 1处二、导数与微分(1) f(x) = x^3 3x + 2(2) f(x) = e^x sin x(3) f(x) = ln(sqrt(1 + x^2))(1) f(x) = x^2 + 3x 5(2) f(x) = cos(2x)(3) f(x) = 1 / (1 x)三、高阶导数与微分方程(1) f(x) = x^4 2x^2 + 1(2) f(x) = e^x cos x(3) f(x) = ln(x^2 + 1)(1) y' = 2x + y(2) y'' 2y' + y = e^x(3) (1 + x^2) y'' + 2x y' = 0四、不定积分与定积分(1) ∫(x^2 + 1) dx(2) ∫(e^x x) dx(3) ∫(1 / (x^2 + 1)) dx(1) ∫_{0}^{1} (3x^2 2x + 1) dx(2) ∫_{π}^{π} (sin x) dx(3) ∫_{1}^{e} (1 / x) dx五、多元函数微分学(1) f(x, y) = x^2 + y^2(2) f(x, y) = e^(x + y) sin(x y)(3) f(x, y) = ln(x^2 + y^2)(1) f(x, y) = x^3 + y^3(2) f(x, y) = sin(x + y)(3) f(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)六、重积分(1) ∬_D (x^2 + y^2) dxdy，其中D为圆心在原点，半径为1的圆(2) ∬_D (x y) dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2(3) ∬_D (e^(x + y)) dxdy，其中D为三角形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ x(1) ∭_E (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz，其中E为立方体区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 1，0 ≤ z ≤ 1(2) ∭_E (xyz) dxdydz，其中E为长方体区域0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 3，0 ≤ z ≤ 4七、级数(1) Σ (1/n^2)，n从1到∞(2) Σ (n/(n+1)^2)，n从1到∞(3) Σ ( (1)^n / n )，n从1到∞(1) Σ (x^n / n)，n从1到∞(2) Σ (n! x^n)，n从0到∞(3) Σ ( (n^2 + 1)^n x^n )，n从0到∞八、微分方程的应用(1) 物体在空气中自由下落，其速度v与时间t的关系，已知阻力与速度成正比。

第二章导数与微分

第二章导数与微分第一节导数概念习题2.11、设26)(x x f =，试按定义求)1(-'f2、证明x x sin )(cos -='3、下列各题中均假定)(0x f '存在，按导数的定义观察下列极限，并指出a 表示什么：（1）a xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000（2）a xx f x =→)(lim，其中0)0(=f ，且)0(f '存在。

（3）a hh x f h x f h =-+--→)()(lim0004、求下列函数的导数：（1）52x y = （2）53x y =（3）4.2x y = （4）xy 2=（5）31xy = （6）35x x y ⋅=（7）3533xxx y ⋅=5、已知物体的运动规律为3t s =(m)，求这物体在2=t 秒(s)时的速度。

6、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '0=。

7、求曲线x y sin =在具在下列横坐标的各点处切线的斜率： π32=x ，π=x8、求曲线x y cos =上点)21,3(π处的切线方程和法线方程。

9、求曲线2x e y =在点)1,0(处的切线方程和法线方程。

10、在抛物线2x y =上取横坐标为11=x 及2x 3=的两点，作过这两点的割线。

问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？11、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：（1）x y sin =；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 3x x xx y ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x xx y 。

12、设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(3x b ax x x x f为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？13、已知)(x f =⎩⎨⎧<-≥0,0,3x x x x ，求)0(+'f 及)0(-'f ，又)0(f '是否存在？14、已知⎩⎨⎧≥<0,0,sin 2x x x x ，)(x f '15、证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。

第2章导数与微分(题库)(1)

第2章导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ；右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理： .3. 导数几何意义：函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为：；法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件；可微是可导的_____________条件；连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为：将y 视为函数()y x ，⑴在(),0F x y =_________________________；⑵利用“解方程”的思想，_________________________.7. 对数求导法适用形式：；求导方法： .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则（和、差、积、商）：()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ； ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ；()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在，则()()0003limh f x h f x h→+-=（）.A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '=（）.A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（）.A. 左、右导数都存在B. 左导数存在，但右导数不存在C. 左导数不存在，但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=，则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02，π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导，b a 、应取什么值？2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2，则='y （）.A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =，则='y . 3. 设x y 2sin =，则='y .4. 设22x a y -=，则='y .5. 设2)(arcsin x y =，则='y .6. 设xy 1cos ln =，则='y .7. 设xxy -+=11arctan ，则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =，则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数，求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数，求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数，求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数，求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数，求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ，其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章导数与微分（题库）第页共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =，则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =，则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =，则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=，则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =，则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算：sin 29.。

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。

数学分析高等数学导数与微分习题有答案

导数与微分重点:倒数的定义,基本初等函数求导公式,各类求导法则,二阶导数,连续与可导的关系,导数与微分的关系,导数的几何意义难点:导数的定义,复合函数求导,高阶导数例题:例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求例2 设 31s i n ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导例3 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数例4 求下列函数的导数'y(１)2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y = (３)1ln1xy x +=-例5 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y =的导数.例6 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x+=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .例7 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求例8 设()0f x>且处处可微,求ln() ()()f xdff x.例9 求下列函数的高阶导数(１)23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44() sin cos,.n y x x y =+求(３)2()21,.nxxy ye-=求(４)()2156n y yx x=++，求.例10 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.答案：例1 试确定a 、b 之值,使函数,0()1ln(1),0x x ae be x f x x x x-⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在内可导,并求解: 欲使()f x 在内可导,只需()f x 在0x=处连续,可导,由lim ()lim()x xx x f x ae be a b ---→→=+=+ 00011lim ()lim ln(1)lim 11xx x f x x x x+++→→→=+==+ 而()f x 在0x=处连续,得1a b += (1)00()(0)'(0)lim lim x x x x f x f ae be a bf a b x x ----→→-+--===+ 00(1)(1)lim lim x x x x a e b e x x---→→--=+ 00lim lim x x x x a b a b x x--→→-=-=-- 00ln(1)()()(0)'(0)lim lim x x x a b f x f x f x x+++→→+-+-== 20011ln(1)11lim lim 22x x x x x x x ++→→-+-+===- 由()f x 在0x=处可导,得12a b -=- (2)联立(1)与(2)解得14a =,34b =.所以当14a =,34b =时,()f x 在0x =处可导,且213,044'()11ln(1),0(1)x x e e x f x x x x x x-⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>+⎪⎩例2 设31sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明()f x 在0x =处连续,可微,且导函数在0x =处连续,但'()f x 在0x =处不可导证: 因为3001lim ()lim sin 0()x x f x x f x x→→===,故()f x 在0x =处连续,又 320001sin()(0)1'(0)lim lim lim sin 0,x x x x f x f x f x x x x→→→-====故()f x 在0x =处可导,也可微.当0x ≠时,211'()3sin cos .f x x x x x=-20011lim '()lim(3sin cos )0'(0).x x f x x x f x x→→=-==故导函数'()f x 在0x =处连续,但00'()'(0)11lim lim(3sin cos ).x x f x f x x x x→→-=-不存在故导函数'()f x 在0x =处不可导例11 设()f u 在u t =处可导,求01lim (0)r r r f t f t a r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为常数解: 01lim r r r f t f t r a a →⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦0()()()()lim r r r f t f t f t f t a a r →+-+--= 00()()()()11lim lim()r r r r f t f t f t f t a a r r a a a a→→+---=+-112'()'()'()ft f t ft a a a=+=例12 求下列函数的导数'y(１) 2(2)(0)x xy x x x =+>(２)arctan y =(３)1ln1xy x +=-(１) 解:221'()'[(2)]',,x x x y x x y x =+=令111'ln 2ln ,22ln y y x x x y ==+21'(22ln )xy x x =+. 令 2222'1(2),ln ln(2),ln 22xy y x y x x x y ===+21'(2)(ln 2)2xy x x =+故2'2(1ln )(2)(1ln 2)x xy x x x x =+++ (２) 解:31'12y x x=+-2331321222x x x x x-=+--232x -=(３) 解:1ln ln 1ln 11x y x xx +==+---2112'111y x x x=+=+--例13 设()x ϕ和()x ψ是可导函数,求函数y=的导数.解:''y =()'()()'()x x x x +=例14 设()y y x =由方程22()()y f x xf y x +=确定,其中()f x 是x 的可微函数,试求'y .解: 对原式左右求导有22'()'()()'()'2y y f x y f x f y x f y y x+++= 解得 22'()()'2()'()x y f x f y y yf x xf y --=+例15 已知22'(),''()0.'()()x f t d yf t y t f t f t dx =⎧≠⎨=-⎩求解:'()''()'()''()dydy f t tf t f t dt tdx dx f t dt +-===22()1"()dy d dx d y dt dx dx f t dt==例16 设()0f x >且处处可微,求ln ()()()f x df f x . 解: 2'()()'()ln ()ln ()ln ()()'()()()f x f x f x f x f x f x f x df f dx f x f x f x ⋅-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]2ln ()'()1ln ()'()()f x f f x f x f x dx f x -⎡⎤=⋅⋅-⋅⎢⎥⎣⎦例17 求下列函数的高阶导数(１) 23(6)(2)(23)(34),y x x x y =+++求(２)44()sin cos ,.n y x x y =+求(３)2()21,.n x x y y e-=求(４)()2156n y y x x =++，求.(１) 解:23655(2)(3)()108(),y x x x p x x p x =+=+其中5()p x 为x 的５次多项式,故(6)1086!y =(２) 解: 将原函数变形得 22222(sin cos )2sin cos y x x x x =+-2111cos 41sin 21222x x -=-=-1(3cos 4)4x =+,故()114c o s (4)4c o s (4).422nnn nnyx x ππ-=+=+ (３) 解: 将原函数变形得22(1)x y e x -=-故()22212(2)(1)(2)()(1)(2)n n x n x n xy x e nx e n n e ----=-------(４) 解: 将原函数变形得111(2)(3)(2)(3)y x x x x ==-++++故 1111'(1)!(2)(3)nn n y n x x ++⎡⎤=-⋅⋅-⎢⎥++⎣⎦例18 设函数()f x 满足:(１) 对于任意实数12,x x ,有1212()()()f x x f x f x +=(２) ()f x 在0x =可导,且'(0)1f =. 证明: ()f x 可导且'()()f x f x =证: 首先()f x 不恒为零,否则有'(0)0f =,与题设矛盾.于是至少存在一点0x ,使0()0f x ≠.这样,由000()(0)()(0)f x f x f x f =+=可得(0)1f =.设为内任一点,则00()()()()()'()lim lim x x f x x f x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆ 00()1(0)(0)lim ()lim ()x x f x f x f f x f x x x∆→∆→∆-+∆-=⋅=⋅∆∆ ()'(0)f x f f x==即()f x 可导且'()()f x f x =.作业题:求平面曲线2y x =与1(0)y x x =<的公切线方程.解: 设公切线分别与曲线2y x =和1(0)y x x=<相切于点2(,)M ξξ,11(,)M ηη,并与x 轴交于点00(,0)M x ,见图,因为公切线是曲线2y x =在点2(,)M ξξ处切线,故其斜率为2k ξ= (1)其方程为22()y x ξξξ-=-,即22y x ξξ=-……… (２)或002()y x x ξ-=-,即022y x x ξξ=-…… (３)公切线也是曲线1y x=在点11(,)M ηη处的切线,故其斜率为21k η=-…………………………（４）其方程为211()y x ηηη-=--,即22xy ηη=-+…… (５)或210()y x x η-=--,即22x xy ηη=-+…. (６)由(２)、(３)可得, 02x ξ=由(５)、(６)可得, 02x η=所以4ξη=由(１)、(４)、(７)可解得2ξ=-,12η=-.故所求公切线方程为 44y x =--。

（完整版）高阶、隐函数的导数和微分练习题

（完整版）高阶、隐函数的导数和微分练习题高阶导数1．填空题.（1）x y 10=，则()()=0n y. （2）y x =sin 2，则()()y x n = ..2．选择题. （1）设f x ()在()-∞+∞,内为奇函数且在()0,+∞内有'>f x ()0，''>f x ()0，则f x ()在()-∞,0内是( )A.'A ．()1''f x ； B. ()()[]-'''f x f x 2；C. ()[]()'''f x f x 2； D. ()()[].3x f x f '''- 3. 求下列函数的n 阶导数. (1) .)1(αx y += (2) .5x y =4．计算下列各题.（1）()y x x =-11，求()().24y （2）()ye x x =-21，求().20y （3）y x x =-+1322，求()y n . （4）x y 2sin =，求().n y（5）,2sin 2x x y = 求()..50y5. 设x x f 2cos )(cos '=，求).(''x f6. 已知)(''x f 存在，)(ln x f y =，求'.'y隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．设y ey x x sin 22=-，求.dx dy 2．设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dx dy3．求曲线+=+=2221313t ty t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 4．利用对数求导法求导数.（1）.1sin x e x x y -=（2）().sin ln x x y =5．设()y y x =由方程e y x xy +-=350所确定，试求d d y x x =0，.d d 022=x x y 6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.（1）设()x t y e t ==+-ln sin tan 1，02<1sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy 7．已知函数()()f x ax bx c x x x =++<+≥2010,ln , ，在点x =0处有二阶导数，试确定参数a b c ,,的值.函数的微分。

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