平面与空间常见的对称性及其解法
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从这个方程组解出且它们的值代入直线的方程就得到直线关于的方程。
方法二：由方程值，得直线与的交点，设直线关于直线的对称直线为，则的方程为(*)
一方面到与到的角相等，因此（、常数）
从这个方程解出且它的值代入(*)就得到的方程。
注：若直线此时关于的对称直线的方程很容易找到。
2.空间中的对称问题及其求法
2.1点关于点、直线、平面的对称点的求法
[4]吕林根，许子道．解析几何[M]．北京：高等教育出版社．2006
[5]郭卫中.空间解析几何[M]．辽宁人民出版社，1982：65～109，96～132
[6]丘维声．解析几何[M]．北京：北京大学出版社，1988：45～72
[7]朱德祥，朱维宗．新遍解析几何学．西南师范大学出版社．1989.3：53 ~77，287 ~ 321
参考文献
[1]王向东，韩普宪，马合成．解析几何常用方法[M]．重庆大学出版社，1994 . 12：325～327 , 338～340
[2]张绍春，赵莉红．平面解析几何[M]．东北师范大学出版社，2003.5：65～105
[3]陈绍菱，博若男．解析几何[M]．北京：经济科学出版社，1995.10：1～182
1 1 2点关于直线的对称点的求法
已知：点和直线，求点关于直线的对称点。
方法：设点关于直线的对称点为，那么点，所在直线的斜率为，直线的斜率为
因为直线和直线互相垂直所以，即
直线中满足中点公式，
所以
即满足下列方程组
解得
于是，点关于直线的对称点为
直线关于点，直线的对称直线的求法
直线关于点的对称直线的求法
已知：直线和点，求直线关于点的对称直线。
己知：点和平面，求点关于平面的对称点。
方法一：设点在平面上的射影为，由直线，即，其中是的法向量。
因此且（）
故有
由(1)
得
(3)
将(2)代入(3)得
所以
再设关于平面的对称点为
由中点坐标公式得
所以，所求的点的坐标为
方法二：设通过点且垂直于平面的直线为
则参数直线方程为(1)
将(1)代入的方程
(2)
把(2)代入(1)得
2.2.2直线关于直线的对称直线的求法
己知：直线，求直线关于直线的对称直线的方程。
方法：设点是直线关于直线的对称直线的任一点，那么关于直线的对称点的坐标为在直线上，于是有
化简整理得
所以，这就是我们所要求的对称直线方程。
2.2.3直线关于平面的对称直线的求法
如：已知直线和平面，求直线关于平面的对称直线方程。
显然点到这两个平面的距离相等，即
得
于是，所求的平面方程为
2.3.2平面关于直线的对称平面的求法
已知：平面和直线，求平面关于直线的对称平面的方程。
方法：设点是平面关于直线的对称平面上的任一点，那么关于直线的对称点的坐标为
在平面上，于是有
即
代入上式化简得
所以，这就是所求的对称平面的方程。
2.3.3平面关于平面的对称平面的求法
引言
通常，我们把常见的对称问题分为两大类，第一类是在平面上的对称问题；第二类是在空间中的对称问题，在本文中专门讨论了这两类对称问题。
1.平面上的对称问题及其求法
1.1点关于点、直线的对称点的求法
1.1.1点关于点的对称点的求法
已知：点和
求：点关于的对称点。
方法：设关于的对称点由中点公式得
所以点关于的对称点。
令
得
故
再设关于直线的对称点为，由中点坐标公式，可得
所以点关于直线的对称点的坐标为
方法二：设通过且垂直于直线的平面为
则方程为(1)
这就是直线的参数方程
把(2)代入(1)
即
令
，，
即点在直线上的射影点是
再设关于直线的对称点为，由中点坐标公式，可得
所以，点关于直线的对称点的坐标为
2.1.3点关于平面的对称点的求法
方法：设直线关于点的对称直线为，那么的方程可写为
且到两条直线的距离相等，即
=
所以对称直线的方程为=0
直线关于直线的对称直线的求法
已知：直线和直线，求直线关于直线的对称直线。
方法一：在上任取点设点关于直线的对称点为直线和互相垂直，所以，直线的斜率为
直线的斜率为
一方面直线中、满足中点公式
所以，利用下列方程组
已知：平面和平面，求平面关于平面的对称平面的方程。
方法：设点是平面关于平面的对称平面上的任一点，那么关于平面的对称点坐标为
，，
显然点在平面上，故所求的对称平面的方程为
即
这就是所求的对称平面的方程。
总结
对称问题在学习数学过程中常常遇到的重要问题之一，方法也有众多．除此外，还有很多方面的问题值得我们去探讨和研究，因此我们应该好好掌握一些对称问题的解题技巧，总结我们解决对称问题是很有用的．
2.1.1点关于点的对称的求法
已知：点和点，求点关于的对称点。
方法：设关于的对称点为则由中点公式得
所以，关于的对称点为
2.1.2点关于直线的对称点的求法
已知：点和直线，求点关于直线的对称点。
方法一：设点在直线上的射影为，则直线，且。其中是直线的方向向量，即
又因此
故有
由(1)
由(2)用等比定理，得
所以Biblioteka Baidu
于是点在上的射影点为
再设关于平面的对称点为，由中点坐标公式，可得
即
所以，点关于平面的对称点
2.2直线关于点、直线、平面的对称直线的求法
2.2.1直线关于点的对称直线的求法
己知：直线和点，求直线关于点的对称直线。
方法：先求在上的射影点（即过作垂直于的平面，则与的交点），然后求关于的对称点，则的方程为。
方法：设点为直线关于平面的的对称直线上的任一点，那么关于平面的对称点的坐标为。
，，
显然在直线上，故直线关于平面的对称直线的方程为
化简整理得
即
这就是我们所求的对称直线方程。
2.3平面关于点，直线，平面的对称平面的求法
2.3.1平面关于点的对称平面的求法
已知：平面和点，求平面关于点的对称平面。
方法：设所求的平面为，则的方程可取为
方法二：由方程值，得直线与的交点，设直线关于直线的对称直线为，则的方程为(*)
一方面到与到的角相等，因此（、常数）
从这个方程解出且它的值代入(*)就得到的方程。
注：若直线此时关于的对称直线的方程很容易找到。
2.空间中的对称问题及其求法
2.1点关于点、直线、平面的对称点的求法
[4]吕林根，许子道．解析几何[M]．北京：高等教育出版社．2006
[5]郭卫中.空间解析几何[M]．辽宁人民出版社，1982：65～109，96～132
[6]丘维声．解析几何[M]．北京：北京大学出版社，1988：45～72
[7]朱德祥，朱维宗．新遍解析几何学．西南师范大学出版社．1989.3：53 ~77，287 ~ 321
参考文献
[1]王向东，韩普宪，马合成．解析几何常用方法[M]．重庆大学出版社，1994 . 12：325～327 , 338～340
[2]张绍春，赵莉红．平面解析几何[M]．东北师范大学出版社，2003.5：65～105
[3]陈绍菱，博若男．解析几何[M]．北京：经济科学出版社，1995.10：1～182
1 1 2点关于直线的对称点的求法
已知：点和直线，求点关于直线的对称点。
方法：设点关于直线的对称点为，那么点，所在直线的斜率为，直线的斜率为
因为直线和直线互相垂直所以，即
直线中满足中点公式，
所以
即满足下列方程组
解得
于是，点关于直线的对称点为
直线关于点，直线的对称直线的求法
直线关于点的对称直线的求法
已知：直线和点，求直线关于点的对称直线。
己知：点和平面，求点关于平面的对称点。
方法一：设点在平面上的射影为，由直线，即，其中是的法向量。
因此且（）
故有
由(1)
得
(3)
将(2)代入(3)得
所以
再设关于平面的对称点为
由中点坐标公式得
所以，所求的点的坐标为
方法二：设通过点且垂直于平面的直线为
则参数直线方程为(1)
将(1)代入的方程
(2)
把(2)代入(1)得
2.2.2直线关于直线的对称直线的求法
己知：直线，求直线关于直线的对称直线的方程。
方法：设点是直线关于直线的对称直线的任一点，那么关于直线的对称点的坐标为在直线上，于是有
化简整理得
所以，这就是我们所要求的对称直线方程。
2.2.3直线关于平面的对称直线的求法
如：已知直线和平面，求直线关于平面的对称直线方程。
显然点到这两个平面的距离相等，即
得
于是，所求的平面方程为
2.3.2平面关于直线的对称平面的求法
已知：平面和直线，求平面关于直线的对称平面的方程。
方法：设点是平面关于直线的对称平面上的任一点，那么关于直线的对称点的坐标为
在平面上，于是有
即
代入上式化简得
所以，这就是所求的对称平面的方程。
2.3.3平面关于平面的对称平面的求法
引言
通常，我们把常见的对称问题分为两大类，第一类是在平面上的对称问题；第二类是在空间中的对称问题，在本文中专门讨论了这两类对称问题。
1.平面上的对称问题及其求法
1.1点关于点、直线的对称点的求法
1.1.1点关于点的对称点的求法
已知：点和
求：点关于的对称点。
方法：设关于的对称点由中点公式得
所以点关于的对称点。
令
得
故
再设关于直线的对称点为，由中点坐标公式，可得
所以点关于直线的对称点的坐标为
方法二：设通过且垂直于直线的平面为
则方程为(1)
这就是直线的参数方程
把(2)代入(1)
即
令
，，
即点在直线上的射影点是
再设关于直线的对称点为，由中点坐标公式，可得
所以，点关于直线的对称点的坐标为
2.1.3点关于平面的对称点的求法
方法：设直线关于点的对称直线为，那么的方程可写为
且到两条直线的距离相等，即
=
所以对称直线的方程为=0
直线关于直线的对称直线的求法
已知：直线和直线，求直线关于直线的对称直线。
方法一：在上任取点设点关于直线的对称点为直线和互相垂直，所以，直线的斜率为
直线的斜率为
一方面直线中、满足中点公式
所以，利用下列方程组
已知：平面和平面，求平面关于平面的对称平面的方程。
方法：设点是平面关于平面的对称平面上的任一点，那么关于平面的对称点坐标为
，，
显然点在平面上，故所求的对称平面的方程为
即
这就是所求的对称平面的方程。
总结
对称问题在学习数学过程中常常遇到的重要问题之一，方法也有众多．除此外，还有很多方面的问题值得我们去探讨和研究，因此我们应该好好掌握一些对称问题的解题技巧，总结我们解决对称问题是很有用的．
2.1.1点关于点的对称的求法
已知：点和点，求点关于的对称点。
方法：设关于的对称点为则由中点公式得
所以，关于的对称点为
2.1.2点关于直线的对称点的求法
已知：点和直线，求点关于直线的对称点。
方法一：设点在直线上的射影为，则直线，且。其中是直线的方向向量，即
又因此
故有
由(1)
由(2)用等比定理，得
所以Biblioteka Baidu
于是点在上的射影点为
再设关于平面的对称点为，由中点坐标公式，可得
即
所以，点关于平面的对称点
2.2直线关于点、直线、平面的对称直线的求法
2.2.1直线关于点的对称直线的求法
己知：直线和点，求直线关于点的对称直线。
方法：先求在上的射影点（即过作垂直于的平面，则与的交点），然后求关于的对称点，则的方程为。
方法：设点为直线关于平面的的对称直线上的任一点，那么关于平面的对称点的坐标为。
，，
显然在直线上，故直线关于平面的对称直线的方程为
化简整理得
即
这就是我们所求的对称直线方程。
2.3平面关于点，直线，平面的对称平面的求法
2.3.1平面关于点的对称平面的求法
已知：平面和点，求平面关于点的对称平面。
方法：设所求的平面为，则的方程可取为