2020-2021学年高考总复习数学(理)第二次八校联考模拟试题及答案解析

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八校2020届高三下学期第二次联考数学(理)试题含解析

（2）假如这5个布娃娃中恰有1个有奖品，以上问中的作为p的值。已知每次购买布娃娃需要2元，若有中奖，则中奖者每次可得奖金15元。以最终奖金的期望作为决策依据，是否该买下剩下所有的45个布娃娃；
(3）若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品,从这堆布娃娃中任意购买5个,若抽到k个有奖品可能性最大，求k的值.（k为正整数）
，，
,即 ,
，可得，
.
故选：B。
【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题需要学生有较强的空间想象和思维能力，综合性较强。在解决此类最值问题时，一般采用侧面展开的形式将立体问题转化为平面问题解决。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分；其中16题第一空3分，第二空2分。
13。在等比数列中, ，，则 _______________.
【答案】31
【解析】
【分析】
由已知求得公比，利用等比数列的求和公式计算即可。
【详解】设等比数列公比，易求得， , 。
故答案为: 31。
【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式中基本量的计算，属于基础题。
14.自湖北武汉爆发新冠肺炎疫情以来，武汉市医护人员和医疗、生活物资严重短缺，其他兄弟省市纷纷驰援武汉等地。某运输队50辆汽车载满物资急赴武汉，如图是汽车经过某地时速度的频率分布直方图，则这50辆汽车速度中位数的估计值是_______________.
【详解】（1) ，
。
；
又，，
即对称中心是 .
（2) ，，
又为锐角三角形,
且 ,
即，，
得到，
而在中，，
即，
，
。
【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,难度较易.

2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及参考答案二(精品试题).docx

-学年第二学期第二次模拟高三数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1、集合{}B=，则图中阴影部分表3,4,5,6A=，{}1,2,3,4示的集合为A ．φB ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}5,6 2、在复平面内，点(2,1)A -，(,)B a b 分别表示复数1z 和2z ，若21z i z =，则a b += A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 3、α，β, γ为不同平面，a ，b 为不同直线，命题p ：若αγ⊥，βγ⊥，且a αβ=I ，则a γ⊥；命题q ：若a α⊥，b α⊥，则//a b ，下列命题正确的是A ．p ⌝B ．q ⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝ 4、如图是一个样本的频率分布直方图，由图中数据可估计样本的中位数大约等于A ．12B ．12.5C ．13D ．13.55、如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为棱AD 的中点，则经过点1B 、1D 和E 三点的截面的左视图的面积为A ．1B ．2C ．3D ．46、{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，若1166S =，则3612432a a a ++=A ．27B ．54C ．99D ．1087、ABC ∆中，3A π=，3a =，2b =，则cos C =A ．366+-B ．366+ C ．636- D ．366- 8、有一个长为10米的木棒斜插．．在地面上，点P 是地面内的一个动点，若点P 与木棒的两个端点构成的三角形面积为定值，则点P 的轨迹为A ．椭圆B ．圆C ．两条平等直线D ．双曲线9、执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于 A ．[]1,9- B ．[]3,6-C ．[]3,1--D ．(]2,6- 10、如图，网格中的每个小格均为边长是1的正方形，已知向量a r ，b r，若c xa yb =+r r r ，则x 和y 的值分别为A ．4和0B ．4和 1C ．45-和85D ．85和45-11、在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，若一个椭圆经过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的离心率为 A ．2362- B ．21- C ．632- D ．63-12、22()ln f x x x =-，若(0,)απ∈，且(sin )(cos )f f αα>，则α的取值范围为A ．3(0,)(,)44πππU B ．3(,)(,)4224ππππUC ．3(0,)(,)424πππUD ．3(,)(,)424ππππU 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（每小题5分，共20分）13、4(12)x x ⋅-展开式按升幂排列的第4项的系数为。

2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第二次模拟检测试题及答案解析

最新高考数学二模试卷（理科）一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．不等式的解为．2．若（i为虚数单位），则实数m= ．3．若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω= ．4．集合A=，则A∩B ．5．若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为．6．如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为．7．函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）= ．8．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为．9．已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sinθ﹣cosθ）=1和ρ=1，若l和Γ相交于两点A，B，则|AB|= ．10．如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ= （结果用最简分数作答）．12．若正方形ABCD的边长为1，且=，则|= ．13．已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为．14．x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N （1）=1；则函数的所有零点之和为．二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项18．已知m，n，i，j均为正整数，记a i，j为矩阵中第i行、第j 列的元素，且a i，j+1=a i，j+1，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j（其中i≤n﹣2，j≤m﹣2）；给出结论：①a5，6=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③④若m为常数，则．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围．22．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，（1）若b n=1+log2（S n•a n），求数列{b n}的前n项和T n；（2）若0＜θn＜，2n•a n=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，求实数m的最大值．参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题4分，满分56分）1．不等式的解为{x|0＜x＜1} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式组，求出解集．【解答】解：同解于x（x﹣1）＜0所以不等式的解集为{x|0＜x＜1}故答案为{x|0＜x＜1}【点评】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解．2．若（i为虚数单位），则实数m= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求得m值．【解答】解：由，得，即，m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．若函数f（x）=sin的最小正周期为π，则ω= 2 ．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=sinωx，再根据y=Asin （ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin=sin•cos=sinωx的最小正周期为π，则=π，∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin （ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．4．集合A=，则A∩B [0，1] ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴A=（﹣∞，1]，由B中y2=4x，得到x=≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．若0≤x≤π，则函数的单调递增区间为[] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．【解答】解：==，令：，解得：（k∈Z）由于：0≤x≤π，则：函数的单调递增区间为：[]．故答案为：[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调区间的确定．主要考查学生的应用能力．6．如图，若∠OFB=，=﹣6，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为左焦点的椭圆的标准方程为=1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据已知条件可设椭圆标准方程为，并且可得到a=，再根据即可得到，解出a，c，从而得到b2，从而得出椭圆的标准方程．【解答】解：根据已知条件知：c=，a=||，b=；又，；∴；解得a=，c=；∴b2=2；∴椭圆的标准方程为．故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，a，b，c的几何意义，直角三角形边角的关系，以及数量积的计算公式．7．函数f（x）=，若函数g（x）=x2+ax是偶函数，则f（a）= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据g（x）为偶函数即可得到a=0，从而便求出f（a）=1．【解答】解：函数g（x）=x2+ax是偶函数；∴g（﹣x）=g（x）；∴x2﹣ax=x2+ax；∴ax=0；∴a=0；∴f（a）=f（0）=1．故答案为：1．【点评】考查偶函数的定义，以及已知函数解析式求函数值的方法．8．一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，求出球的体积，利用圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为：r，则球的体积为：．∵圆锥与球的体积相等，圆锥的高为1，∴=，∴r=1，∴球的表面积为：4πr2=4π．故答案为：4π．【点评】本题考查圆锥与球的表面积与体积，考查计算能力，比较基础．9．已知直线l和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sinθ﹣cosθ）=1和ρ=1，若l和Γ相交于两点A，B，则|AB|= ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式|AB|=2，即可得出．【解答】解：直线l：ρ（sinθ﹣cosθ）=1化为y﹣x=1，曲线Γ：ρ=1，化为x2+y2=1，∴圆心到直线的距离d=，∴|AB|=2=2=．故答案为：．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、弦长公式|AB|=2，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如图，机车甲、乙分别停在A，B处，且AB=10km，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，甲沿北偏东60°的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为千米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】由原题求出AD，BC，利用余弦定理求解即可．【解答】解：甲的速度为4千米/小时，移动100分钟，可得AD=千米．甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的，乙沿正北方向移动，移动100分钟，可得BC=千米，AC=10﹣=千米．∠DAC=120°，CD==．（千米）．故答案为：．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．11．一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色．从袋中随机地取出3个小球．其中取到黑球的个数为ξ，则Eξ= （结果用最简分数作答）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】由题意，ξ～H（3，2，7），利用公式可求Eξ．【解答】解：由题意，ξ～H（3，2，7），所以Eξ==．故答案为：．【点评】本题考查超几何分布，考查学生的计算能力，正确运用超几何分布的期望公式是关键．12．若正方形ABCD的边长为1，且=，则|= 5 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】可画出图形，而根据=进行数量积的计算即可求得答案．【解答】解：如图，==．故答案为：5．【点评】考查求向量长度的方法：||=，以及数量积的计算公式．13．已知复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，若z=z1+z2，则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为12+π．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由题意设出z1、z2，结合z=z1+z2得到z的轨迹（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，由圆心变化得到z所对应点的图形，则面积可求．【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|≤1，﹣1≤Rez2≤1，﹣1≤Imz2≤1，则可设z1=cosθ+isinθ，z2=a+bi（﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1），由z=z1+z2，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，设z=x+yi，则，∴（x﹣a）2+（y﹣b）2=1．当a，b变化时，z点的轨迹如图：则z在复平面上对应的点组成的图形的面积为：图中内部边长为2的正方形面积+四个长为2宽为1的长方形面积+四个四分之一圆的面积．等于．故答案为：12+π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，关键是对题意的理解，属中档题．14．x∈R，用记号N（x）表示不小于实数的最小整数，例如N（2.5）=3，，N （1）=1；则函数的所有零点之和为﹣4 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象，结合图象讨论以确定方程N（3x+1）=2x﹣的解，从而求函数的所有零点之和．【解答】解：作函数y=3x+1与函数y=2x﹣的图象如下，①当﹣4＜3x+1≤﹣3时，N（3x+1）=﹣3，故2x﹣=﹣3，解得，x=﹣（舍去）；②当﹣5＜3x+1≤﹣4时，N（3x+1）=﹣4，故2x﹣=﹣4，解得，x=﹣；③当﹣6＜3x+1≤﹣5时，N（3x+1）=﹣5，故2x﹣=﹣5，解得，x=﹣；④当﹣7＜3x+1≤﹣6时，N（3x+1）=﹣6，故2x﹣=﹣6，解得，x=﹣（舍去）；故函数的所有零点之和为﹣﹣=﹣4；故答案为：﹣4．【点评】本题考查了数形结合的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15．a，b，c表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离；推理和证明．【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理即可判断出位置关系，判断A；利用线面垂直的性质定理判断B，D；若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，可判断C．【解答】解：对于A，∵a∥b，∴a与b可以确定平面β．若β∥α，则b∥β；若α∩β=l，∵a∥平面α，∴a∥l．取l为b，则b⊂α，故A不正确；对于B，因为直线a⊥b，直线b⊥α，所以若a⊄α，则a∥α，或者a⊂α，故B不正确；对于C，若a⊥c，b⊥c，则a与b平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于D，若a⊥α，b⊥α，利用线面垂直的性质定理可得a∥b，正确．故选：D．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间的位置关系的定义，几何特征及判定方法是解答的关键．16．”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可．【解答】解：”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”，不是必要条件，如图示：，直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线和抛物线的关系，是一道基础题．17．在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（）A．第2项B．第3项C．第4项D．第5项【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=第5项的系数为•24，第3项的系数为•22，由已知，得出•24：•22=56：3，解得n=10令10﹣5r=0，可得r=2时，取到常数项，故选：B．【点评】本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，方程思想是关键．18．已知m，n，i，j均为正整数，记a i，j为矩阵中第i行、第j 列的元素，且a i，j+1=a i，j+1，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j（其中i≤n﹣2，j≤m﹣2）；给出结论：①a5，6=；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③④若m为常数，则．其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】进行简单的合情推理．【专题】综合题；推理和证明．【分析】利用条件确定a n，m=+m，再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，2a i+2，j=a i+1，j+a i，j，所以a n，1﹣a n﹣1，1=，所以利用叠加法可得a n，1=+1，因为a i，j+1=a i，j+1，所以a n，m=+m所以：①a5，6=，故不正确；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2+3+4+…+m+1=，故不正确；③由a n，m=+m，可得，故不正确；④若m为常数，利用极限可得，正确．故选：B【点评】本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定a n，m=+m是关键．三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤）19．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx．（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；（2）若0≤x≤，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．【考点】三角函数的最值．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2a）的值；（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域．【解答】解：（1），其对称轴为，因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，所以，又因为，所以即．（2）由（1）得=∵，∴，∴．所以h（x）的值域为．【点评】本题考查三角函数的化简求值，对称性的应用，三角函数的最值求法，考查计算能力．20．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1，则EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，BM=，于是在Rt △BEM中，用反正切表示出∠MBE即可．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1，B，G，E共面，则BG⊂面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．【解答】解：（1）如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE==3，BM==于是在Rt△BEM中，tan∠EBM==，即直线BE与平面ABB1A1所成的角是．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG⊂平面A1BE因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F⊄平面A1BE，BG ⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．【点评】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）（1）若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1，求实数x的值；（2）若关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，求实数m的取值范围．【考点】反函数；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）易得f﹣1（x）=log2x，解关于x的对数方程可得；（2）易得m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，由“对勾函数”的单调性可得．【解答】解：（1）f（x）=2x的反函数为f﹣1（x）=log2x，由若f﹣1（x）﹣f﹣1（1﹣x）=1可得log2x﹣log2（1﹣x）=1，∴log2=1，∴=2，解得x=；（2）∵关于x的方程f（x）+f（1﹣x）﹣m=0在区间[0，2]内有解，∴2x+21﹣x=m在区间[0，2]内有解，∴m的范围即为函数y=2x+21﹣x在[0，2]的值域，函数y=2x+21﹣x=2x+在（0，）单调递减，在（，2）单调递增，∴当x=时，函数取最小值2，当x=2时，函数取最大值，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查反函数，涉及函数的值域和对数函数的性质，属基础题．22．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程．【解答】解：（1）因为，所以|OP|=，因为OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，所以|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，所以|OM|=，所以△OMP的面积为××=，所以；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得代入化简得动点T轨迹方程为．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＞0，（1）若b n=1+log2（S n•a n），求数列{b n}的前n项和T n；（2）若0＜θn＜，2n•a n=tanθn，求证：数列{θn}为等比数列，并求出其通项公式；（3）记|，若对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，求实数m的最大值．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；数列与函数的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用已知条件以及对数的运算法则，直接求出通项公式．然后求解前n项和．（2）化简2n•a n=tanθn，通过a n=S n﹣S n﹣1求出a n，得到θn的函数关系式，然后证明数列{θn}为等比数列，求出其通项公式；（3）化简|，利用函数的最值，求解实数m的最大值．【解答】解：（1）∵，∴b n=1+log2（S n•a n）=1+log2=1﹣2n，，T n==﹣n2（2）由，代入，得，当n≥2时，，因为，代入上式整理得tanθn﹣1=tan（2θn），，所以的常数．当n=1时，，∵，所以数列{θn}是等比数列，首项为，公比为，其通项公式为．（3）由（2）得，它是个单调递减的数列，所以，对任意的n∈N*，c n≥m恒成立，所以m≤（c n）min．由知，c n+1≥c n，所以数列{c n}是单调递增的，c n最小值为c1=0，m≤（c n）min=0，因此，实数m的取值范围是（﹣∞，0]，m的最大值为0．【点评】本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，等比数列的判断，考查分析问题解决问题的能力．。

2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第二次高考模拟训练试题及答案解析

最新顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．34136．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．148．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，300] ＞300 空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2=P（K2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.82819．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B（）A．（2，3] B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B=（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A=[﹣2，3]，∴A∪B=（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求解复数即可．【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，可得==+1﹣3i==2﹣i，z=2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．已知sin（x+）=，则cosx+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据两角和差的余弦公式和正弦公式计算即可．【解答】解：cosx+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=sin（x+）=，故选：B．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱中挖去一个正四棱锥．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V=π×12×2﹣=2π﹣．故选A．5．在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．1193 B．1359 C．2718 D．3413【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是x在（0，1）的概率．【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=P（B）=，p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B），能求出甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）==，P（B）=，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）==．故选：C．7．设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z=xy，则y=为双曲线，要使z=xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z=xy与2x+y=10相切时，z=xy取得最大值，∴2x+=10即2x2﹣10x+z=0，由判别式△=100﹣8z=0，得x==，即xy的最大值为，故选：A8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出P的坐标，利用对称知识，结合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m=，n=﹣，代入椭圆+=1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故选：D．9．据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【考点】解三角形的实际应用．【分析】作出示意图，在风暴中心行进路线上取两点C，D使得到码头A的距离均为300km，利用勾股定理求出CD，则影响时间为．【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB=400，AC=AD=300，∠B=45°，过A作AE⊥BD于E，则AE=ABsinB=200，∴CE==100，∴CD=2CE=200，∴码头受风暴影响时间为=10h．故选：B．10．已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABC B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，求出=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），利用向量法得OD⊥平面ABC；在B中，求出平面ACD的法向量，利用向量法得到直线OB ∥平面ACD不成立；在C中，求出=（0，1，0），=（﹣），利用向量法得到直线AD与OB所成的角不是45°；在D中，由得量法得到二面角D﹣OB﹣A为135°．【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴=（﹣），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=，==0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC=A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵=（0，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣），设平面ACD的法向量=（x，y，z），∴，取x=1，得=（1，﹣5，1），∵=﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵=（0，1，0），=（﹣），∴cos＜＞===﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：=（0，1，0），=（1，0，0），=（﹣），设平面AOB的法向量=（a，b，c），则，∴=（0，0，1），设平面AOD的法向量=（x1，y1，z1），则，取y1=1，得=（0，1，﹣1），cos＜＞===﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c=a，∴e==．故选：B．12．设直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【分析】作出f（x）=x（x﹣3）2的函数图象，判断t的范围，根据f（x）的变化率判断c﹣a的变化情况，构造函数g（x）=x（x﹣3）2﹣t，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，c ﹣a的值进行判断．【解答】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由题意可得λ+的坐标，利用（λ+）⊥，数量积为0，代入数据可得关于λ的方程，解之可得．【解答】解：由题意可得λ+=（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•=0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=﹣故答案为：．14．在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是 3 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+1）4 按照二项式定理展开，可得（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，由此求得y的值．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 =（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）=x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y=32，∴y=3，故答案为：3．15．三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AB=2，AC=4，∠BAC=30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=2，AC=4，∠BAC=30°，∴BC==2，∴三角形ABC的外接圆直径AC=4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD=2∴R2=（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=18π．故答案为：18π．16．已知a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51= 5151 ．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】求出数列{a n}的前8项，由不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51=a101，由此能求出结果．【解答】解：∵a n=，∴，，=6，，，，，，…∵a n=，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51=a101==5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2b，又sinA，sinC，sinB成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及正弦定理以及已知条件，通过两角和的余弦函数以及余弦定理求cos（B+C）的值；（Ⅱ）利用第一问的结果，通过，即可求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，∴sinA+sinB=2sinC，由正弦定理得a+b=2c，又a=2b，可得，]∴，∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴．（Ⅱ）由，得，∴，∴，解得．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，300] ＞300 空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数 6 14 18 27 20 15 （Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为y=试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．0.100 0.050 0.025 0.010 0.001参考公式：K2=P（K2≥k）k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】独立性检验的应用；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）列出2×2列联表，由公式，得到结果．（Ⅱ）由分段函数，得到各段的概率，由此得到数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70总计85 15 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2=≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X=0）=P（0≤x≤100）=P（X=400）=P=，P（X=2000）=P（x＞300）=∴E（X）=0×+400×+2000×=560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．19．已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，推导出CPFQ为平行四边形，四边形AECQ为平行四边形，从而AE∥PF，由此能证明AE∥面SPD．（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，能求出二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），=（1，2，﹣1），=（1，0，﹣2），=（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c），则，即，取z=2，得=（4，﹣1，2），，即，取c=1，得=（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞===﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M （x0，4）到焦点F 的距离|MF|=x0．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过F 的直线l 与E 相交于A，B 两点，AB 的垂直平分线l′与E相交于C，D 两点，若=0，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．x0+=x0，16=2px0，求得p的值，可得C的方程；（Ⅱ）设l的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|CD|．由于CD垂直平分线段AB，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，由此求得m的值，可得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|=x0．可得x0+=x0，又16=2px0，解得p=2，则E的方程为y2=4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|=•|y1﹣y2|=•=4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，可得y3+y4=﹣，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|=•|y3﹣y4|=•=，由•=0，故ACBD四点共圆等价于|AH|=|BH|=|CD|，即AB2+GH2=CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2=（）2，化简可得m2﹣1=0，即m=±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．21．设函数f（x）=e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=e x﹣a，f'（0）=0，得a=1，从而f′（x）=e x﹣1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，从而m≤g′（x）在R上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．（3）e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，由此利用累加法能证明．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，∵f′（0）=1﹣a=0，∴a=1，∴f′（x）=e x﹣1，由f′（x）=e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）=e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i=1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x∴4×∴x=即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6=0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）联立方程组，然后，解得两个交点坐标，从而确定其中点坐标，从而求解其直线方程，再化为极坐标形式即可．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k=，于是所求直线方程为：y﹣=（x﹣1），即4x﹣6y+5=0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5=0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．2016年10月17日。

2020届湖北八校第二次联考数学(理科)试题答案(官方)

时有
一个零点；
当
a
2
1
ln
2
时，
f
2
x1x2
y1 y2
0
y12 2p
y22 2p
y1 y2
0 ，得到
y1 y2
4 p2
又令 l : x my t 代入抛物线 y2 2 px 中，可得方程 y2 2 pmy 2 pt 0
由韦达定理得 y1 y2 2 pt 4 p2 ,t 2 p
s
12p 2
y1
y2
p
4 p2m2 16 p2 2 p2
6
再设 hx
1 x
cos
x
，则 hx
1 x2
sin
x
0 从而 a 关于
x0 单调递增。
①若
x0
0,
2
，此时
a
,
2
，若
f
2
f
0
得
a
2
1
ln
2
或
a
ln
，所以
a
2
1
ln
2
时无零
点；
f
2
f
0
得
-
2
1
ln
2
a
ln
，所以
-
2
1
ln
2
a
2
即 c 2 3 2 2,8
tan B
…………………………………………………………………10 分
s 1 bc sin A 1 4 3 c 3c
2
2
2
s 2 3,8 3
18. 1 证明:连接 AC

2020-2021学年高考总复习数学(理)第二次大联考模拟试题及答案解析

最新全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．16．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．27．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．20．已知椭圆C：+=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．最新全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={y|y=|x|﹣3，x∈A}=[﹣3，0），则A∩B=（﹣2，0），故选：C．2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用命题的否定定义即可得出．【解答】解：∵命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为：∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立．故选：C．3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．【分析】求出b的值，从而求出z﹣bi对应的点所在的象限即可．【解答】解：===+i，故|z|==，解得：b=6，∴z=﹣1+5i，∴z﹣bi=﹣1+5i﹣6i=﹣1﹣i，故复数z﹣bi在复平面上对应的点在第三象限，故选：C．4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，∴r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，∴城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和差化积公式，诱导公式化简已知即可计算求值．【解答】解：cos54°+cos66°﹣cos6°=2cos cos﹣cos6°=2cos60°cos（﹣6°）﹣cos6°=cos6°﹣cos6°=0．故选：A．6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】将直线y=x+a代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由两平行直线的距离公式，结合平行四边形的面积公式，化简整理，运用双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由y=x+a代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2）x2﹣2a3x﹣a4﹣a2b2=0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得|AB|=•=•=2•，由两平行直线的距离公式可得d=，由题意可得6b2=2••，化为a2=3b2，又b2=c2﹣a2，可得c2=a2，即e==．故选：B．7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立平面直角坐标系，从而利用平面向量的坐标表示化简即可．【解答】解：建立如右图所示的平面直角坐标系，∵，∠BAD=45°，∴设D（x，x），（x＞0），则C（4﹣x，x），G（2，x），E（2，0），F（，），故=（2﹣，），所以在方向上的投影为==，即=，解得，x=1；故CD=4﹣2=2，故=2，故选：B．8．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代人②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，S=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，S=，满足结束循环的条件，故退出的循环的条件，应为：k＜8？，故选：D10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得ab的方程，解得ab令x=1计算可得．【解答】解：∵（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，∴a2（﹣b）3=﹣80，a（﹣b）4=80，解得a=1，b=2∴（a﹣bx）5=（1﹣2x）5，令x=1可得（1﹣2x）5=﹣1，∴展开式所有项系数之和为﹣1，故选：A．11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r=，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=πr2+r2sin120°=（l2﹣4）+（l2﹣4），因为几何体的体积为V=Sh=，所以S=π+，所以（l2﹣4）+（l2﹣4）=π+，解得l=2故选：A12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．【解答】解：由选项知a＞0，设g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，即g（x）=0有唯一解，则g′（x）=2x﹣﹣2a=，令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（另一根舍去），当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，+∞）上是单调递增函数，∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0，∴，∴，∴2alnx1+ax1﹣a=0∵a＞0，∴2lnx1+x1﹣1=0，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解，∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解为x1=1，即x1==1，∴，∴当a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f（0）=0进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为R，若函数f（x）是偶函数，则g（x）=e x+是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=1+a=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由，利用抛物线的定义可得：x M+1=，解得x M，代入抛物线方程可得：y M．可得：k MF=tan∠MFx，进而得出．【解答】解：∵，∴x M+1=，解得x M=．代入抛物线方程可得：=4×，解得y M=．取y M=．∴k MF==﹣=tan∠MFx，∴∠MFx=．则∠NMF=．故答案为：．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是（﹣1，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】易知y=log2x在其定义域上是增函数，从而化为利用线性规划求+的取值范围．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点A（1，1）确定的直线的斜率，易知B（﹣1，0），故==，=﹣1，故﹣1＜≤，故＜+≤2，故﹣1＜log2（+）≤1，故答案为：（﹣1，1]．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin∠BAD= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及，可得AC=CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．【解答】解：∵∠DAC=90°，=，可得：AC=CD，又∵AB=6，，∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（CD）2+（+CD）2﹣2×CD×（+CD）×，∴整理可得：CD2+2CD﹣90=0，解得：CD=3，AC=6，∵AB=AC=6，∴sinB=sinC==，∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过与S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3）作差，进而可知数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵，S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3），∴a n=[+3a n﹣（+3a n﹣1）]，整理得：﹣=3（a n+a n﹣1），又∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，又∵a1=a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），∴数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，∴其通项公式a n=3n；（2）证明：由（1）可知==（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由四边形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C，由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1，故BC1⊥平面A1B1C，从而平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BC=CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BC1，又∵AB∥A1B1，∴A1B1⊥BC1，又A1B1⊂平面平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1C，又BC1⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1B1C．（2）∵BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．∴AB=，建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（0，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，1），A（0，，0），C1（1，0，1），D（，，0），设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（0，，0），则•=x+z=0，•=y=0，令x=1，则z=﹣1，y=0，即平面ABC1的法向量为，=（1，0，﹣1），设平面C1BD的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（，，0），则•=x+z=0，•=x+y=0，令y=1，则x=﹣，z=，即平面C1BD的法向量为，=（﹣，1，），则====﹣则平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值是．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图先求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）利用频率分布图能求出40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得年龄分布在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，∴在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：40×0.75=30（人）．（2）年龄分布在[20，50）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，年龄分布在[50，60）的频率为0.3，∴中位数为：50+=55．平均数的估计值为：25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有（0.005+0.010）×10×40=6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012PEX==．20．已知椭圆C：+=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在Q．【解答】解：（1）右焦点F（c，0）到直线x﹣y+3=0的距离为5，可得=5，解得c=2，由题意可得a2+b2=10，又a2﹣b2=8，解得a=3，b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程x2+9y2=9，可得t2（cos2α+9sin2α）+2mcosα•t+m2﹣9=0，可得△=（2mcosα）2﹣4（cos2α+9sin2α）（m2﹣9）＞0，t1t2=，t1+t2=﹣，则+=+==，=为定值，即有2（m2+9）=18（9﹣m2），解得m=±，代入判别式显然成立．故在x轴上存在点Q（±，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值10．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）若a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）若a=，F（x）=（x2+bx+1）e x，则F′（x）=（2x+b）e x+（x2+bx+1）e x=[x2+（b+2）x+b+1]e x=（x+1）[x+（b+1）]e x，由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），①若b+1=1，即b=0时，F′（x）=（x+1）2e x≥0，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，+∞），②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣（b+1），﹣1），③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣1，﹣（b+1））；（2）方程f（x）=e x在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=e x在（0，1）内有解，即e x﹣2ax2﹣bx﹣1=0，设g（x）=e x﹣2ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h（x）=g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g′（x）=e x﹣4ax﹣b，h′（x）=e x﹣4a，当a≤时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，当a≥时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜，设φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），则φ′（x）=﹣lnx，令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=，当1＜x＜时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，当＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，则φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，则h（ln（4a））＜0恒成立，由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜，当＜a＜时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）＞g（0）=0，g（x2）＜g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，综上，实数a的取值范围是（，）．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O 于A与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．【解答】（1）证明：连接BE，∵DE与圆O相切，∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP∴∠BFE=∠DEP，∴DE∥BF；（2）解：由切割线定理，得PC2=PE×PF=12，∵D为线段BP的中点，DE∥BF；∴PF=2PE，∴PF=2，∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．∴DE为Rt△PBF的中位线，∴DE=2，在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；（2）求出直线l的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴x+y=3．即直线l的普通方程为x+y=3．（2）直线l的标准参数方程为，代入曲线C的普通方程得t2+3﹣5=0．∴|QA|•|QB|=|t1t2|=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．2016年8月17日。

2020-2021学年高考总复习数学(理)第二次高考模拟试题及答案解析八

高三数学(理科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间l20分钟。

注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．R 表示实数集，集合M={x |0<x <2}，N={ x |x 2+x -6≤0}，则下列结论正确的是A ．M ∈NB ．R M N ⊆ðC ．M ∈R N ðD ．R R M N ⊆痧2．已知复数z 满足z (1)i ⋅-=2，则z 5的虚部是A ．4B ．4iC ．-4iD ．-43．已知命题:p x ∃∈R ，223x x ++=0，则p ⌝是 A ．2,230x R x x ∀∈++≠B ．2,230x R x x ∀∈++=C ．2,230x R x x ∃∈++≠D ．2,230x R x x ∃∈++=4x 2 3 4 5 6 y 25 ● 50 56 64ˆ A ．37 B ．38．5 C ．39 D ．40．55．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．2x π=-B ．4x π=-C ．8x π= D ．4x π= 6．一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图和侧(左)视图是腰长为l 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为A ．2B ．3C ．5D ．77．已知双曲线2222:1x y C a b-= (a >0，b >0)的焦距为25，抛物线21144y x =+与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 A ．22182x y -= B ．22128x y -=C ．2214y x -= D ．2214x y -= 8．在2(1)(1)...(1)(,2)222n x x x n N n ++++∈≥的展开式中，x 的系数为1516，则x 2的系数为 A ．1516 B ．31128C ．35128D ．31649．设集合M={(,)|02,02,,m n m n m n R <<<<∈}，则任取(m ，n)∈M ，关于x 的方程220mx x n ++=有实根的概率为A ．1ln 22+ B ．12ln 24+ C ．1ln 22- D ．32ln 24- 10．已知函数23log (1)1,10()32,0x x f x x x x a-+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是 A ．(0，1] B ．[1，3]C ．[1，2]D ．[3，2] 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．已知||1,||2,|2|5a b a b ==+=，则向量a ，b 的夹角为． 12．若存在实数x 使|||1|x a x -+-≤3成立，则实数a 的取值范围是． 13．已知变量x ，y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则2x y x ++的最大值为 . 14．执行如图所示的程序框图，若输入x =6，则输出y 的值为 .15．已知函数2111,[0,]242()21,(,1]22x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪+⎩，()cos 52(0)2xg x a a a π=+->若对任意的1x ∈[0，1]，总存在2x ∈[0，1]，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(I)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c ，且角C 为锐角，3ABC S ∆=，c=2，31()442f C π+=-，求a,b 的值．17．(本小题满分12分)在一次购物抽奖活动中，假设某l0张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此l0张奖券中任抽2张，求(I)该顾客中奖的概率；(Ⅱ)该顾客获得奖品总价值X 的概率分布列和数学期望．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足112311111,...1()23n n a a a a a a n N n ++=++++=-∈．数列{a n }的前n 项和为S n ． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设1n n b S =，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得10n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m ． 19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，AD ⊥CD ，且AD=CD=22，BC=42，PA=2，点M 在线段PD 上．(I)求证：AB ⊥PC ；(Ⅱ)若二面角M-AC-D 的余弦值为5，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值．20．(本小题满分13分)已知函数21()(1)ln (0)2f x ax a x x a R a =---∈≠且． (I)求函数()f x 的单调递增区间；(II)记函数y=F(x )的图象为曲线C ．设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M(x 0，y 0)，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F(x )存在“中值和谐切线”．当a=2时，函数()f x 是否存在“中值和谐切线”，请说明理由． 21．(本小题满分14分)如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 2与抛物线y 2=4x 的焦点重合，过F 2作与x 轴垂直的直线l 与椭圆交于S 、T 两点，与抛物线交于C 、D 两点，且||22||CD ST =． (I)求椭圆E 的方程； (II)若过点M(2，0)的直线与椭圆E 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆E 上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r (O为坐标原点)，当25||3PA PB -<u u u r u u u r 时，求实数t 的取值范围．。

2020-2021学年高考总复习数学(理科)八校联考模拟试题及答案解析

最新八校高三联合考试理科数学一、选择题：共12题1．复数z=2−i1+i的共轭复数对应的点在复平面内位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】主要考查复数代数形式的乘除运算和复数的代数表示法及其几何意义.∵z=2−i1+i=(2−i)(1−i) (1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i,∴z̅=12+32i.∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(12,32),在第一象限.故选D.2．某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入的N＝3,则输出i＝A.6B.7C.8D.9 【答案】C【解析】主要考查直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.执行程序框图,可得N＝3是奇数,满足条件:n=10,i=2,不满足条件:返回循环;n=10是偶数,不满足条件,n=5,i=3不满足条件,返回循环;n=5是奇数,满足条件,n=16,i=4不满足条件,返回循环;n=16是偶数,不满足条件,n=8,i=5不满足条件,返回循环;n=8是偶数,不满足条件,n=4,i=6不满足条件,返回循环;n=4是偶数,不满足条件,n=2,i=7不满足条件,返回循环;n=2是偶数,不满足条件,n=1,i=8满足条件,结束循环,输出i的值为8.故选C.3．设集合A={x|2x>1},B={y|y=√2x−1,x∈A},则A∩(C R B)等于A.(√3,2)B.[√3,2)C.(0,√3)D.(0,2)【答案】B【解析】本题主要以分式不等式的解法及指数函数的值域为载体,考查集合的补集和交集运算.由集合A={x|2x>1}={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2},∵ 0<x<2,∴1<2x<4,0<2x−1<3,∴B={y|y=√2x−1,x∈A}={y|0<y<√3}.又全集是U=R,∴C R B={y|y≤0或y≥√3},∴A∩(C R B)=[√3,2).故选B.4．函数y=sin2x的图像的一个对称中心为A.(0,0)B.(π4,0)C.(π4,12)D.(π2,1)【答案】C【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质以及二倍角公式. 因为函数y =sin 2x =12−12cos2x ,令2x =k π+π2,kϵZ,求得x =k π2+π4,可得它的图象的对称中心为(k π2+π4,12),kϵZ,故选C.5．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是A.143B.4C.103D.3【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和直观图,及简单几何体的体积.由三视图知余下的几何体如图所示:其中E 、F 都是侧棱的中点,∴上、下两部分的几何体相同,∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积V =12×23=4.故选B.6．在如图所示的正方形中随机投掷10 000 个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为A.1 193B.1 359C.2 718D.3 413附:若X ∼(μ,σ2),则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826,P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544, 【答案】B【解析】主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.考查正态分布中两个变量μ和σ的应用,以及正态分布的图象的对称性.正态分布的图象如下图:正态分布N (-1,1),则在(0,1)的概率如图中阴影部分,由概率为12×[P (μ−2σ<X ≤μ+2σ)−P (μ−σ<X ≤μ+σ)]=0.1359;即阴影部分的面积为0.1359;所以点落入图中阴影部分的概率为P =0.1359;所以投掷10 000 个点,则落入阴影部分的个数的估计值为10000×0.1359=1359.故选B.7．已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1⋅a 6⋅a 11=−3√3,b 1+b 6+b 11=7π,则tanb 3+b 91−a 4⋅a 8的值是A.1B.√22C.−√22D.−√3【答案】D【解析】主要考查等差数列和等比数列的性质以及正切函数的求值.因为数列{a n }是等比数列,且a 1⋅a 6⋅a 11=−3√3,所以a 1⋅a 6⋅a 11=a 63,解得a 6=−√3∴1−a 4⋅a 8=1−a 62=−2;又因为数列{b n }是等差数列,所以b 1+b 6+b 11=7π=3b 6,b 6=7π3,∴b 3+b 9=2b 6=14π3.故tan b 3+b 91−a4⋅a 8=tan14π3−2=tan (−7π3)=tan2π3=−√3.故选D.8．已知实数x,y 满足{x +y −4≤0y −1≥0x −1≥0,则z =y 2x的最大值是A.13B.1C.3D.9【答案】D【解析】主要考查简单的线性规划问题.作出不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =y 2x表示的几何意义可知,当曲线过点C(1,3)时,z 取最大值9.故选D.9．在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,若cos 2B ＋cos B ＝1-cos A cos C ,则A.a ,b ,c 成等差数列B.a ,b ,c 成等比数列C.a ,2b ,3c 成等差数列D.a ,2b ,3c 成等比数列【答案】B【解析】主要考查正弦定理,诱导公式,同角三角函数间的基本关系,两角和的余弦公式以及等比数列的性质,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.∵cos 2B ＋cos B ＝1-cos A cos C ,∴1−cos 2B =cosB +cosAcosC.即sin 2B =−cos (A +C )+cosAcosC =sinAsinC,由正弦定理可知:b 2=ac.所以a ,b ,c 成等比数列.故选B.10．某高中数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析,则在取到选择题时解答题也取到的概率为A.C 121⋅C 61⋅C 201C 223−C 103 B.C 121⋅C 61⋅C 41+C 121⋅C 62C 223−C 103C.C 121⋅(C 61⋅C 41+C 62)+C 122⋅C 61C 223−C 103 D.C 223−C 103−C 163C 223−C 103【答案】C【解析】主要考查分布计数原理以及古典概型的概率计算公式. 由条件,采用分类的方法:分三类;第一类:抽到的3道题分别为:一道选择题,一道填空题,一道解答题;共有C 121⋅C 61⋅C 41种; 第二类:抽到的3道题分别为一道选择题,两道解答题,共有C 121⋅C 62种; 第三类:抽到的三道题为两道选择题,一道解答题,共有C 122⋅C 61种;总的抽取方式共有C 223−C 103种,由古典概型的概率计算公式可知:在取到选择题时解答题也取到的概率为C 121⋅(C 61⋅C 41+C 62)+C 122⋅C 61C 223−C 103.故选C.11．双曲线eq f(x 2,a 2)-eq f(y 2,b 2)＝1(a ,b ＞0)的两顶点为A 1,A 2,虚轴两端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ,则双曲线的离心率是A.3−√52B.√5−12C.√5+12D.3+√52【答案】C【解析】主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离和直线与圆锥曲线的位置关系.因为双曲线的虚轴两端点为B 1,B 2,两焦点为F 1,F 2.∴F 1(−c,0),B 1(0,b ),可得直线F 1B 1的方程为y =bc (x +c ),即bx −cy +bc =0.∵双曲线的两顶点为A 1,A 2, 以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2 ∴点O 到直线F 1B 1的距离等与半径,即22=a,化简得b 2c 2=a 2(b 2+c 2),∵b 2=c 2−a 2,∴上式化简整理得c 4−3a 2c 2+a 4=0.两边同时除以a 4,得e 4−3e 2+1=0,解之得e 2=3±√52.∵双曲线的离心率大于1,∴e 2=3+√52,可得e =√5+12.故选C.12．已知f (x )=|x ∙e x |,又g (x )=f 2(x )+tf (x ),(t ∈R ),若满足g(x)=−1的x 有四个,则t 的取值范围为A.(−∞,−e 2+1e) B.(e 2+1e,+∞) C.(−e 2+1e,−2) D.(2,e 2+1e)【答案】A【解析】主要考查利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系.f (x )=|xe x |={xe x ,x ≥0−xe x,x <0,易知f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,当xϵ(−∞,0)时,f (x )=−xe x ,f ′(x )=−e x (x +1),故f (x )在(−∞,−1)上是增函数,在(−1,0)上是减函数,作其图象如下:且f (−1)=1e ;故方程f 2(x )+tf (x )+1=0(t ∈R )有两个不同的实根,x 1∈(0,1e),x 2∈(1e,+∞),故{0+0+1>01e 2+t 1e+1<0,解得,tϵ(−∞,−e 2+1e ). 故选A.二、填空题：共4题13．设n=∫4sinxdx π20,则(x +2x )(x −2x )n 的展开式中各项系数和为_________.【答案】3【解析】主要考查二项式定理和定积分的应用.n =∫4sin x dx =−4cos x|0π2π20=4.则(x +2x )(x −2x )n=(x +2x )(x −2x )4,令x =1得,(x +2x)(x −2x)4=3.故答案为3.14．正ΔABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为−1,且AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =________. 【答案】23【解析】主要考查平面向量的数量积.因为正ΔABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为−1,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.以BC 边上的高为y 轴,以BC 为x 轴建立平面直角坐标系,A(0,√3),C (1,0),B (−1,0),由AD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知:D (23,√33),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(53,√33),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =23.故答案为23.15．已知P ,A ,B ,C 是球O 球面上的四点,ΔABC 是正三角形,三棱锥P −ABC 的体积为9√34,且∠APO =∠BPO =∠CPO =30°,则球O 的表面积为______________.【答案】16π【解析】主要考查球的体积和表面积的求法.如图,P,A,B,C 是球O 球面上的四点,∆ABC 是正三角形,设∆ABC 的中心为S ,球O 的半径为R,∆ABC 的边长为2a,∵∠APO =∠BPO =∠CPO =30°,OB =OP =R,∴OS =R2,BS =√32R .∴2√33a =√32R ,解得a =34R,2a =32R,∵三棱锥P −ABC 的体积为9√34,∴13×12×12×32R ×32Rsin60°×32R =94√3,解得R =2,∴球O 的表面积S =4πR 2=16π.故答案为16π.16．下列说法中所有正确的序号是________.①”p ∧q “为真的一个必要不充分条件是”p ∨q “为真.②若p:1x>0,则¬p:1x ≤0.③若实数a,b 满足√a +√b =1,则12≤a +b ≤1.④数列{2n(2n +1)2}(n ∈N ∗)的最大项为29. 【答案】①③④【解析】主要考查命题的真假判断.① “p ∧q ”为真等价于p 、q 均为真;“p ∨q ”为真等价于p 、q 只需一真即可,∴①正确;②若1x>0,则x >0,故¬p:x ≤0,∴②错误;③由基本不等式可知a +b ≤(√a +√b)2=1,a+b2≥(√a+√b 2)2=14,∴ a +b ≥12, ∴③正确.④函数y =2n (2n +1)2=2n +1(2n +1)2−1(2n +1)2=12n +1−1(2n +1)2(n ∈N ∗)是单调递减的,∴n =1时,y 有最大值29,∴④正确.故答案为:①③④三、解答题：共8题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N ∗),且满足a n +S n =2n +1．(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求证:12a 1a 2+122a2a 3+⋯+12n an a n+1<13．【答案】(1)∵a n +S n =2n +1,令n =1,得2a 1=3,a 1=32．∵a n +S n =2n +1,∴a n−1+S n−1=2(n −1)+1,(n ≥2,n ∈N ∗), 两式相减得2a n −a n−1=2,整理a n =12a n−1+1,a n −2=12(a n−1−2),(n ≥2) ∴数列{a n −2}是首项为a 1−2=−12,公比为12的等比数列,∴a n −2=−(12)n ,∴a n =2−12n ．(2)∵12n a n a n+1=12n ⋅2n+1−12n ⋅2n+2−12n+1=2n+1(2n+1−1)(2n+2−1)=12n+1−1−12n+2−1,∴12a 1a 2+122a 2a 3+⋯+12n a n a n+1=(122−1−123−1)+(123−1−124−1)+⋯+(12n+1−1−12n+2−1)=13−12n+2−1<13.【解析】主要考查由递推公式求数列的通项公式及数列求和(裂项相消法). (1)令n=1,得a1=32,根据通项公式求出2a n−a n−1=2,整理得到数列{a n−2}是首项为a1−2=−12,公比为12的等比数列,根据等比数列的通项公式即可得出结果;(2)∵12n a n a n+1=12n+1−1−12n+2−1,∴12a1a2+122a2a3+⋯+12n a n a n+1=13−12n+2−1<13.18．已知正方形ABCD的边长为2,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点．(1)在正方形ABCD内部随机取一点P,求满足|PE|<1的概率;(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的距离的平方为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．【答案】(1)所有点P构成的区域是正方形ABCD的内部,其面积为S正=2×2=4．满足|PE|<1的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分,其面积为S=π2．所以|PE|<1的概率为P=SS正=π24=π8．(2)从A,B,C,D,E,F,G,H这八个点中,任意选取两个点,共可构成28C28条不同的线段,其中长度为1的线段有8条,长度为√2的线段有4条,长度为2的线段有6条,长度为√5的线段有8条,长度为2√2的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为1,2,4,5,8,且P(ξ=1)=828=27,P(ξ=2)=428=17,P(ξ=4)=628=314,P(ξ=5)=828=27,P(ξ=8)=228=114,所以随机变量ξ的分布列为:ξ 1 2 4 5 8P 271731427114随机变量ξ的数学期望为Eξ=1×27+2×17+4×314+5×27+8×114=247.【解析】主要考查离散型随机变量的分步列,离散型随机变量的数学期望及几何概型的概率计算公式.(1)根据已知条件可知:满足|PE|<1的所有点P构成的平面区域是以E为圆心,1为半径的圆的内部与正方形ABCD内部的公共部分, 其面积为S=π2.根据几何概型的概率计算公式即可得出结果;(2)根据条件列出随机变量ξ的分布列,根据随机变量的数学期望的计算公式即可得出结果.19．如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,底面△ABC是边长为2的等边三角形,过A1C作平面A1CD平行于BC1,交AB于点D.(1)求证:CD⊥AB;(2)若四边形BCC1B1是正方形,且A1D=√5,求直线A1D与平面BCC1B1所成角的正弦值.【答案】(1)连结AC1,设AC1与A1C相交于点E,连接DE,则E 为AC 1中点,∵BC 1∥平面A 1CD ,DE =平面A 1CD ∩平面ABC 1, ∴DE ∥BC 1, ∴D 为AB 的中点,又∵ΔABC 为正三角形,∴CD ⊥AB .(2)222115AD +A A =A D Q =, ∴A 1A ⊥AD ,又B 1B ⊥BC,B 1B ∥A 1A , ∴A 1A ⊥BC , 又AD BC B I ,∴A 1A ⊥平面ABC,设BC 的中点为O ,B 1C 1的中点为O 1,以O 为原点,OB 所在的直线为x 轴,OO 1所在的直线为y 轴,OA 所在的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O-x y z .则A 1(0,2,√3),D(12,0,√32),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−2,−√32), 平面BCC 1B 1的一个法向量n =(0,0,1),|cos 〈A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 〉|=|A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n||A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√1510. 所以直线A 1D 与平面CBB 1C 1所成角的正弦值为√1510. 【解析】主要考查线面平行的性质定理以及用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值. (1)连结AC 1,设AC 1与A 1C 相交于点E ,连接DE ,由线面平行即可得出DE ∥BC 1, 进而得到D 为AB 的中点,又因为ΔABC 为正三角形,所以得证;(2)由勾股定理得出:A 1A ⊥AD ,结合题中条件得出A 1A ⊥平面ABC, 建立适当的空间直角坐标系,求出平面BCC 1B 1的一个法向量n =(0,0,1),进而求出结果.20．已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接ΔABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y−20=0.(1)求抛物线方程;(2)过抛物线上一动点M作抛物线切线l,又MN⊥l且交抛物线于另一点N,ME(E在M的右侧)平行于x轴,若∠FMN=λ∠NME,求λ的值.【答案】(1)设抛物线的方程为y2=2px,则其焦点为(p2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),联立{4x+y−20=0y2=2px,整理得8x2−(p+80)x+200=0,∴x2+x3=p+808,y2+y3=20−4x1+20−4x2=−p2,又ΔABC的重心为焦点F,⇒{p2=x1+x2+x33⇒x1=11p−8080=y1+y2+y33⇒y1=p2,代入抛物线中,解得p=8,故抛物线方程为y2=16x.(2)设M(x0,y0),即切线l:y0y=8(x+x0)⇒k MN=−y08,即tan∠NME=−k MN=y08,又tan∠FME=−k MF=−y0x0−4,∵tan∠FME=−k MF=−y0x0−4,即λ=1.【解析】主要考查抛物线的标准方程和简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,同时考查了直线的倾斜角与斜率的关系.(1)先设抛物线的方程为y2=2px,然后表示焦点坐标,抛物线和直线方程联立可消去y得到关于x的一元二次方程,进而可得到B,C的横坐标之和与纵坐标之和,再由A点在抛物线上得到坐标满足抛物线方程,最后将A,B,C的坐标代入ΔABC的重心坐标公式可求得p的值,从而确定抛物线方程;(2)设M(x 0,y 0),即切线l:y 0y =8(x +x 0)⇒k MN =−y 08,由直线倾斜角与斜率的关系和题上的已知条件即可得出结果.21．已知函数f(x)=−x 3+x 2(x ∈R),g(x)满足g ′(x)=ax (a ∈R,x >0),且g(e)=a,e 为自然对数的底数.(1)已知ℎ(x)=e 1−x f(x),求ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程;(2)设函数F(x)={f(x),x <1g(x),x ≥1,O 为坐标原点,若对于y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任一点P ,在曲线y =F(x)(x ∈R)上总存在一点Q ,使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且PQ 的中点在y 轴上,求a 的取值范围. 【答案】(1)∵ℎ(x)=(−x 3+x 2)e 1−x ,ℎ′(x)=(x 3−4x 2+2x)e 1−x ,∴ℎ(1)=0,ℎ′(1)=−1.∴ℎ(x)在(1,ℎ(1))处的切线方程为y =−(x −1),即y =−x +1.(2)∵g ′(x)=a x(a ∈R,x >0), ∴g(x)=alnx +c ,∴g(e)=alne +c =a +c =a ,故c =0,从而g(x)=alnx ,设P(t,F(t))为y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点,则t ≤−1,∵ PQ 的中点在y 轴上,∴Q 的坐标为(−t,F(−t)),∵ t ≤−1,∴−t ≥1,所以P(t,−t 3+t 2),Q(−t,aln(−t)) ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 2−at 2(t −1)ln(−t). 由于OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,所以a(1−t)ln(−t)<1.当t =−1时,a(1−t)ln(−t)<1恒成立,∴ a ∈R , 当t <−1时,a <1(1−t)ln(−t),令φ(t)=1(1−t)ln(−t)(t <−1),则φ′(t)=(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2,∵t <−1,∴t −1<0,tln(−t)<0,∴φ′(t)>0,从而φ(t)=1(1−t)ln(−t)在(−∞,−1)上为增函数,由于t →−∞时,φ(t)=1(1−t)ln(−t)→0,∴φ(t)>0,∴a ≤0.【解析】主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性问题,同时也考查了分类讨论的数学思想方法. (1)∵ℎ(x)=(−x 3+x 2)e 1−x ,求出ℎ(1)=0,并对ℎ(x)求导,求出导函数在x =1时的值,也即切线的斜率,利用直线方程的点斜式即可求出结果;(2)根据导数的定义和题干中的已知条件,求出g(x)=alnx , 设P(t,F(t))为y =F(x)在x ≤−1时的图象上的任意一点,∵ PQ 的中点在y 轴上,∴Q 的坐标为(−t,F(−t)),再利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,得a(1−t)ln(−t)<1.当t =−1时,a(1−t)ln(−t)<1恒成立,∴ a ∈R ,当t <−1时,a <1(1−t)ln(−t),令φ(t)=1(1−t)ln(−t)(t <−1),则φ′(t)=(t−1)+tln(−t)t[(1−t)ln(−t)]2,根据φ(t)的单调性求出φ(t)>0,进而求出a 的取值范围.22．如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点．(1)求证:DE ∥AB ;(2)求证:AC ·BC ＝2AD ·CD .【答案】(1)连接OE ,因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点, 所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点, 所以OE ∥AB ,故DE ∥AB .EACD(2)因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,所以∠BAD ＝∠DAC , 又∠BAD ＝∠DCB ,∠DAC ＝∠DCB . 又因为AD ⊥DC ,DE ⊥CE △DAC ∽△EC DAC CD=AD CE, AD ·CD ＝AC ·CE , 2AD ·CD ＝AC ·2CE,2AD ·CD ＝AC ·BC .【解析】主要考查直径所对的圆周角为直角以及与圆有关的比例线段的知识,解题时,注意线段乘积的形式通常可以转化为比例的形式,通过相似三角形的性质得出.(1) 连接OE ,因为D 为eq o(BC ,︵)的中点,E 为BC 的中点,所以OED 三点共线．因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点,所以OE ∥AB ,故DE ∥AB ;(2)要证AC ·BC ＝2AD ·CD ,转化为AD ·CD ＝AC ·CE ,再转化为比例式AC CD=AD CE,最后只须证明△DAC ∽△ECD 即可.23．已知直线l :{x =1+12t,y =√32t,(t 为参数), 曲线C 1:{x =cos θ,y =sin θ,(θ为参数).(1)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB |;(2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.【答案】(1) l 的普通方程为y =√3(x −1),C 1的普通方程为x 2+y 2=1,联立方程组{y =√3(x −1),x 2+y 2=1,解得l 与C 1的交点为A (1,0),B(12,−√32), 则|AB |=1.(2)C 2的参数方程为{x =12cos θ,y =√32sin θ,(θ为参数).故点P 的坐标是(12cos θ,√32sin θ),从而点P 到直线l 的距离是d =|√32cos θ−√32sin θ−√3|2=√34[√2sin (θ−π4)+2],由此当sin (θ−π4)=−1时,d 取得最小值,且最小值为√64(√2−1).【解析】主要考查直线的参数方程,函数的图象与图像变化,圆的参数方程和点到直线的距离公式,以及两点间距离公式. (1)分别求出直线l 的普通方程和曲线C 1的普通方程,联立直线方程与曲线方程,求出点A,B 的坐标,利用两点间距离公式即可得出结果;(2)把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的√32倍,得到曲线C 2的参数方程:{x =12cos θ,y =√32sin θ,(θ为参数),任取一点P 的坐标是(12cos θ,√32sin θ),利用点点到直线的距离公式即可求出d =√34[√2sin (θ−π4)+2],根据三角函数的值域得出d 的最小值为√64(√2−1).24．已知函数f (x )=|x −2|.(1)解不等式:f (x )+f (x +1)≤2; (2)若a <0,求证:f (ax )−f (2a )≥af (x ).【答案】(1)由题意,得f (x )+f (x +1)=|x −1|+|x −2|, 因此只须解不等式|x −1|+|x −2|≤2,当x ≤1时,原不式等价于-2x +3≤2,即12≤x ≤1;当1<x ≤2时,原不式等价于1≤2,即1≤x ≤2; 当x >2时,原不式等价于2x -3≤2,即2<x ≤52.综上,原不等式的解集为{x|12x ≤52}.(2)由题意得f (ax )−af (x )=|ax −2|−a |x −2| =|ax −2|+|2a −ax |≥|ax −2+2a −ax | =|2a −2|=f (2a ).所以f(ax)−f(2a)≥af(x)成立．【解析】主要考查含绝对值不等式,取绝对值时常用零点分段法.(1)根据题意,不等式f (x )+f (x +1)≤2可等价转化为|x −1|+|x −2|≤2,通过对x ≤1与1<x ≤2及x >2的讨论分析,去掉绝对值符号,即可求得原不等式的解集;(2)利用绝对值不等式a <0时,可得f (ax )−af (x )=|ax −2|−a |x −2|≥|ax −2+2a −ax |=f (2a ). 从而可得结论.。

2020—2021年最新高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析一.docx

高三年级第二学期期末练习（二模）数学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知全集=U R ，{|1},{|2},M x x P x x =≤=≥则()U M P =U ðA.{|12}x x <<B.{|1}x x ≥C.{|2}x x ≤D.{|12}x x x ≤≥或 2.在数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a na ++=，则3a 的值为A.5B.6C.7D.8 3. 若点(2,4)P 在直线1,:3x t l y at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）上，则a 的值为A.3B.2C.1D.1- 4.在ABC ∆中，34cos ,cos ,55A B ==则sin()A B -=A.725-B.725C.925- D.9255.在5()x a +(其中0a ≠)的展开式中，2x 的系数与3x 的系数相同，则a 的值为A.2-B.1-C. 1D.2 6.函数()ln 1f x x x =-+的零点个数是A.1个B.2个C.3个D.4个7. 如图，在等腰梯形ABCD 中，8,4,4AB BC CD ===. 点P 在线段AD 上运动，则||PA PB +u u u r u u u r的取值范围是A.[6,443]+ B.[42,8] C.[43,8] D.[6,12]8.直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B , 直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D . 给出下面三个结论：①11,2AOB a S ∆∀≥=；②1,||||a AB CD ∃≥<；③11,2COD a S ∆∃≥<则所有正确结论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2021届湖北省八校高三第二次联考理科数学试题(附答案)

2021届湖北省八校高三第二次联考理科数学试题(附答案)2021届湖北省八校高三第二次联考理科数学试题整卷的满分是150分。

考试花了120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目必修的。

1.设定一个目标？{y | y？2x，x？r}，b？{x | y？1？x，x？R}，然后AA？1.b、（0，？）b?c、（0,1）d.（0,1]2．若复数z满足2?zi?z?2i（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则z?1?a、 5b.2c．3d．33.矩形ABCD，AB？4，广告？如果P被随机投射到矩形的内部，那么？ABP和？ADP面积不小于2的概率为a11b．34c。

44d．794．已知函数f(x)?(x?1)(ax?b)为偶函数，且在(0,??)单调递减，则f(3?x)?0的解集为a、（2,4）b.（？？，2）（4，？）c、（？1,1）d.（？，？1）（1，？）x2y2?1的离心率为2，则a的值为5．已知双曲线?a2?a2a．1b．?2c、 1还是？2d-16．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项和分别为a,b,c，则a、 a？Bcb.b2？交流电c．a?b?c?b3d．a2?b2?a(b?c)7.执行如图所示的程序框图。

如果M？0，n？2.输出x？1.75、空白判断框中要填写的条件是a．m?n?1?b．m?n?0.5?c．m?n?0.2?d．m?n?0.1?8．将函数f?x??2sin?2x?向左平移图像上每个点的横坐标缩短为原始点的一半，纵坐标保持不变，然后生成的图像为3°？？以单位表示函数g？十、在G？十、在图像的所有对称轴中，最靠近原点的对称轴是12a。

十、24b.x？？4c.x？5.d、 x？二千四百一十二9．在(1?x)2?(1?x)3??(1?x)9的展开式中，含x2项的系数是a、 119b。

120摄氏度。

121d。

72022.中国古代著名的数学著作《九章算术》记载：“反刍动物有广袤的下半部，但有广袤的上半部无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为a．256160b.160c.d.6433x2y2？1.直线L:x？4在点E处与x轴相交，穿过椭圆右焦点F的直线在a，B11处与椭圆相交。

江西省2020八校第二次联考试卷数学(理)参考答案

由图可知， f (x) 的对称轴是 x k , k Z ； 4
所以 x 是 f (x) 图象的一条对称轴， A 正确； f (x) 的最小正周期是，所以 B 错误；
2
2
f
(x)
是偶函数，没有对称中心，C
错误；由图可知，
f
(x)
1 2
sin
2x
在区间
π 4
，π 2
上是单调减
函数，D 错误.故选 A.
当 x 1, 时， y 0 ，函数单调递增，
所以 x 0 时，函数的最小值 f 1 1，作出函数 y f x 与 y 2a 的图象，
观察他们的交点情况，可知， 1 2a 1 1 或 2a 1时，即 1 a e 1 或 a 1 时有且只有 2 个
e
2
2e
2
零点满足题意，故选 B.
，则
AE
x
AC
y
AD
1 4
AC
3 4
AD
,所以
y x
an1
2 3
an
2an an1
3
，
所
以
an1 2a an an1
3(n
2)
，又因为
a1
1, a2
2,
所以数列 an+1
an 是首项为
1，
公比为
3
的等比数列.即
an+1
an
=3n1
，所以
从而可得 c 2 ，设△ ABF2 的内切圆的半径为 r ，由面积相等可得
12 2
2 2 2= 1 (2 2
23
23
2) r ，解得 r 1.故选 D.
10. 【解析】由 f (x) 2a 0 ，得 f x 2a ， y xex 1

2020-2021学年高考总复习数学(理)八校联考模拟试题及答案解析

最新高三年级八校联考理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共40分)一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上） 1．复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（） A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i -D ．23i +2．若,x y ∈R ，且1,230,0,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≥，则2z x y =-的最小值等于（）A ．0B ．3C ．1D ．－13.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是A ．7203B ．7500C ．7800D ．74064．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）A ．.充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．532⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为（） A ．40-B ．40C ．80D ． 80-6．下列函数中，在区间()∞+,0上为增函数的是（）A ．1+=x yB ．()21-=x yC ．x y -=2D ．()1log 5.0+=x y7．在等差数列}{n a 中，01>a ，且7853a a =，则前n 项和n S 中最大的是（）PCA ．5SB ．6SC ．7SD ．8S8．双曲线22221y x a b-=与抛物线218y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直于实轴的弦长为3,则双曲线的离心率等于 A ．2 BC．2D ．3第Ⅱ卷（非选择性试题共110分）二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =I10．已知直线PA 切⊙O 于点A ，PBM 是⊙O示有P BAC ∠=∠，若9PA BM ==，5,BC = 则_________.AB =11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是12．直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于13．已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为14．在边长为1的等边ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =u u u r u u u r，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>u u u r u u u r u u u r ，则11m n+取最小值时，||AP =u u u r ________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。

2020-2021学年高考总复习数学(理)第二次模拟考试试题及答案解析

最新高考模拟考试理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．第I 卷(选择题共50分)注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数12i z a i -=+的实部与虚部互为相反数，则实数a = (A)-1 (B)1 (C)3 (D)3-2．已知集合{}2230A x x x =--<，(){}ln 2B x y x ==-,定义{},A B x x R x B -=∈∉且，则A B -= (A)(-1，2) (B)[)2,3 (C)(2，3) (D)(]1,2-3．已知()()2,22a b a b a b ==+⋅-=-u u r u u r r r r r ，则a b r r 与的夹角为 (A)30° (B)45°(C)60° (D)120° 4．命题p ：若22x y ≥，则11gx gy ≥；命题q ：若随机变量ξ服从正态分布()()23,,60.72N P σξ≤=，则()00.28P ξ≤=.下列命题为真命题的是(A)p q ∧ (B)p q ⌝∧ (C)p q ∨⌝ (D)p q ⌝∧⌝5．右图所示的程序框图中按程序运行后输出的结果 (A)7 (B)8 (C)9(D)10 6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωθθπω=+<<>为奇函数，其图象与直线y=2相邻两交点的距离为π，则函数()f x(A)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 (B)在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 (C)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D)在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．若对任意实数x 使得不等式23x a x --+≤恒成立，则实数a 的取值范围是(A)[]1,5- (B)[]2,4- (C)[]1,1- (D)[]5,1- 8．已知等腰ABC ∆满足,32AB AC BC AB ==，点D 为BC 边上一点且AD=BD ，则sin ADB ∠的值为(A)36 (B)23 (C)223 (D)639．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()225OP OA OB ,,8u R u λλμλ=+∈+=uu r uuu r uu u r ，则双曲线的离心率为 (A)23 (B)35 (C)32 (D)9810．已知函数()23261x ax f x x ++=+，若存在x N *∈使得()2f x ≤成立，则实数a 的取值范围为 (A)[)15,-+∞ (B)(,2122⎤-∞-⎦ （C ）(],16-∞- (D)(],15-∞- 第II 卷(非选择题共100分)注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．正四棱锥的主视图和俯视图如图所示，其中主视图为边长为1的正三角形，则该正四棱锥的表面积为__________．12．在二项式393n x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为___________． 13．若变量,x y 少满足约束条件32930,0x y x y y ≤+≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z =x +2y 的最大值为__________．14．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为C 上一点．若2,MF p MOF =∆的面积为43，则抛物线方程为____________．15．已知函数()31,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若关于x 的方程()f x x m =+有两个不同的实根，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)已知()()()2cos sin cos cos 102f x x x x x πλλ⎛⎫=-+-+> ⎪⎝⎭的最大值为3． (I)求函数()f x 的对称轴；(II)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2A a B c b =-，若不等式()f B m <恒成立，求实数m 的取值范围．17. (本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，2,2AD PD DC ===，E,F 分别为PD ，PC 的中点，且BE 与平面ABCD 所成角的正切值为2. （I ）求证：平面PAB ⊥平面PBD ；（II ）求面PAB 与面EFB 所成二面角的余弦值.18．(本小题满分12分)2015年，威海智慧公交建设项目已经基本完成．为了解市民对该项目的满意度，分别从不同公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有680人．(I)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度.现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；(II)在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E （X ）；(III)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．(注：满意指数=100满意程度的平均分)19．(本小题满分12分)设单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，2694n n S a n =+-，126,,a a a 成等比数列．(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)设()226131n n n b n a -=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．(本小题满分13分)已知函数()()()ln 1,, 1.ax f x x g x a x a=+=>+ (I)若函数()()1f x x x =与g 在处切线的斜率相同，求a 的值：(II)设()()()()=,F x f x g x F x -求的单调区间：(III)讨论关于x 的方程()()f x g x =的根的个数．21．(本小题满分14分)已知椭圆()221222:10,,x y C a b F F a b+=>>是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点()12,,P a b F F 与围成等腰三角形，且12PF F S ∆=(I)求椭圆C 的方程；(II)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线4x QA QB =-与，分别交于M,N 两点．(i)当1QF MN λ=u u u r u u u u r 时，求Q 点坐标；(ii)过点M,N ，1F 三点的圆是否经过x 轴上不同于点1F 的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由.。

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开始输入tt <2π 3s t =5sin s t =输出s 结束是否届高三第二次八校联考数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。

) 1.设集合{}|215A x x =->，集合{}|lg(6)B x y x ==-，则B A I 等于（）A ．()3,6B ．[]3,6C ．(]3,6D ．[)3,6 2.设i 是虚数单位，若复数5()2a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为( )A ．32- B ．－2 C ．2 D ．323.2016(25)x y +展开式中第1k +项的系数为( )A ．20161201625kk k C -- B ．120171201625k k k C --- C ．12016k C -D ． 2016201625k k k C -4.已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的焦点坐标为 ( )A ． (3,0)±B ． (0,3)±C ．(3,0)±或(5,0)±D ．(0,3)±或(5,0)±5.等差数列{}n a 的公差0d <且22113a a =，则数列{}n a 的前n 项和n s 有最大值，当n s 取得最大值时的项数n 是( )A ．6B ．7C ．5或6D ．6或7 6. 执行右面的程序框图，如果输入的[1,]t π∈-，则输出的S 属于（）A.3[3,]2π-B.3[5,]2π-C.[5,5]-D.[3,5]-7.如右图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的的三视图，则该几何体的体积为（）A.4B.163 C. 203D.8 8.设,a b R ∈，则a b >“”是 ()()a a b b a e e b e e --+>+“”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 9. 已知等腰直角ABC ∆，4AB AC ==，点,P Q 分别在边,AB BC 上，()0PB BQ BC +⋅=u u u r u u u r u u u r ,2PM PQ =u u u u r u u u r ,0AP AN +=u u u r u u u r r,直线MN 经过ABC ∆的重心，则||AP uuu r =（）A.43B. 2C. 83D.110. 已知直线1y x =-与双曲线221ax by +=（0,0a b ><）的渐近线交于,A B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为32-，则ba的值为（）A. 32- B.233- C. 932- D. 2327-11. 函数2016sinxy x=-的图像大致是（）A B C D12. 已知函数21()()ln()2f x a x x a R=-+∈.在区间(1,)+∞上，函数()f x的图象恒在直线2y ax=下方，则实数a的取值范围是（）A．1(,]2-∞B．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1(,)2+∞D．1(,)2-∞第Ⅱ卷（非选择题90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题，学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数1()121xaf x-=++为奇函数，ln0()axa x xg xe x>⎧=⎨≤⎩，则不等式()1g x>的解集为 .4.若实数,x y满足不等式组23010yx yx y≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2||z y x=-的最小值是________________．15. 如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为2，体积为43，则圆柱的体积为 .16.已知数列{}na是等差数列，数列{}n b是等比数列，对一切*n N∈，都有1n nnaba+=，则数列{}n b的通项公式为 .三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设ABC∆的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，点O为ABC∆的外接圆的圆心，若满足2a b c+≥（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，已知3a b==，点P为ABC∆外接圆圆弧上一点，若OP xOA yOB=+u u u r u u u r u u u r，求x y⋅的最大值.18. （本小题满分12分）骨质疏松症被称为"静悄悄的流行病"，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如下表：（单位：人）有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计常喝碳酸饮料的同学 22830不常喝碳酸饮料的同学 8 12 20 总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E （X ）．附表及公式19.已知菱形ABCD ，2,3AB BAC π=∠=，半圆O 所在平面垂直于平面ABCD ,点P 在半圆弧上.（不同于,B C ）.(1) 若PA 与平面ABCD 所成角的正弦值为24，求出点P 的位置；（2）是否存在点P ,使得PC BD ⊥,若存在，求出点P 的位置，若不存在，说明理由.20.给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知点(2,1)A 是椭圆22:4G x y m+=上的点. （1）若过点(0,10)P 的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长；（2）椭圆G 上的,B C 两点满足1241k k ⋅=-（其中12,k k 是直线,AB AC 的斜率），求证：,,B C O 三点共线.21.对于函数()y F x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x F x ⋅=成立，则称0x 为函数()F x 的“反比点”.已知函数()ln f x x =，21()(1)12g x x =--（1）求证：函数()f x 具有“反比点”，并讨论函数()f x 的“反比点”个数；（2）若1x ≥时，恒有()(())x f x g x x λ⋅≤+成立，求λ的最小值.请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）如图，在三角形ABC 中， ACB ∠=90°，CD ⊥AB 于D ，以CD 为直径的圆分别交AC 、BC 于E 、F 。

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届高三下学期重点中学第二次联考试题数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B U 中元素的个数为 ▲ ．6 2.设复数z 满足i i z 510)2(-=+，（i 为虚数单位），则复数z 的实部为▲ .33. 已知样本7，8，9，x ，y 的平均数是8，且xy = 60，则此样本的方差是▲ ．24. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为▲ ．135.从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为4或5的概率为 ▲ .126.已知3(0,),sin()45αππα∈+=-，则tan α＝ ▲ .17-7.已知正三棱锥的体积为93cm3，高为3cm ．则它的侧面积为 ▲ cm 2．1838. 已知双曲线22221x y a b-= (0a >，0b >)的左顶点为M ，右焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且满足MA MB ⊥，则该双曲线的离心率是 ▲ ．2 9. 设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 .2 10.已知2231,0()2,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则不等式2(2)5f x x -≤的解集为▲ . [1,1]-11. 如图，已知AC 是圆的直径，,B D 在圆上且35AB AD ==，，则AC BD ⋅=u u u r u u u r▲ .212.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+= 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+ ，则b = .5313. 若函数2()2(ln )f x m x x x =+-有唯一零点，则m 的取值范围是 ▲ .102m m <=或 14.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t，使得1()()2f t f t+=-，则224a b +的最小值为▲ ．165二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足I ←0While I <9 S ←2I + 1 I ←I +3End While Print S 第4题图ACBD2sin()6b C ac π+=+．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．（Ⅰ）312sin (sin cos )sin sin 22B C C A C ⋅+⋅=+，即3sin sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，3sin sin cos sin sin B C B C C ∴=+，3sin cos 1B B ∴=+，所以2sin()16B π-=，由(0,)B π∈ ,5(,)666B πππ-∈- 解得3B π=． ………………… 7分（范围不说明扣1分）（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =，由（Ⅰ）知3B π=，33,27AD x AC x ∴=∴=，由正弦定理知，427sin sin 60x xBAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分解法二：由（Ⅰ）知3B π=，又M 为BC 中点，2a BM MC ∴==，在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+- 222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-37,22a cb a ∴=∴=，由正弦定理知，72sin sin 60aa BAC =∠o，得21sin 7BAC ∠=. …………………14分16. 如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．（1）若AB BC ⊥，CP PB ⊥，求证：CP PA ⊥；（2）若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．16．（1）因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC I 平面ABC BC =，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ．…………3分因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB 又因为CP ⊥PB ，且PB AB B =I ，,AB PB ⊂平面PAB ,所以CP ⊥平面PAB ，又因为PA ⊂平面PAB ，所以CP ⊥PA ． …………7分（2）在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．ACBP因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ． (10)分又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ．又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ，l //平面PBC ． …………14分17.某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -，所以200T=4v -，即2004T v =-，4v >； ……………………4分（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦162002(4)84c v v ⎡⎤⋅-⋅+⎢⎥-⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）……………9分(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >，所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =，当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>，所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ； (ⅱ)6v =km/h时，该探测器消耗的能量最少． ……………14分18.如图,已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为(0,1)A ,离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点A 作圆()2221:r y x M =++()10<<r 的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时,试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.2221,3,2,12,b c a b aa b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪⎪=+⎩, 解：（Ⅰ）由已知可得,所求椭圆的方程为2214x y += …………………5分（Ⅱ）设切线方程为1y kx =+，则2|1|1k r k-=+，即222(1)210r k k r --+-=，设两切线,AB AD 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以121k k ⋅=；…………………8分由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(14)80k x kx ++=，所以211112211814,1414k k x y k k --==++，同理可得：222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k ----====++++， …………………12分所以221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==----++，于是直线BD 方程为22111221111418()14314k k k y x k k k -+--=--++，令0x =，得2221111222111114185205143143(14)3k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，故直线BD 过定点5(0,)3-. …………………16分19. 定义：从一个数列{a n }中抽取若干项(不少于三项)按其在{a n }中的次序排列的一列数叫做{a n }的子数列，成等差(比)的子数列叫做{a n }的等差(比)子列．xyDBAMO（1）求数列1，12，13，14，15的等比子列；（2）设数列{a n }是各项均为实数的等比数列，且公比q ≠1．（i ）试给出一个{a n }，使其存在无穷项的等差子列（不必写出过程）；（ii ）若{a n }存在无穷项的等差子列，求q 的所有可能值．解：（1）设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为k （1≤k ≤3，k ∈N *），当k ＝2时，①设1n ，1n ＋1，1m 成等比数列，则1(n ＋1)2＝1n ×1m ，即m ＝n ＋1n ＋2，当且仅当n ＝1时，m ∈N *，此时m ＝4，所求等比子数列为1，12，14；②设1m ，1n ，1n ＋1成等比数列，则1n 2＝1n ＋1×1m ，即m ＝n ＋1＋1n ＋1－2N *； ………3分当k ＝3时，数列1，12，13；12，13，14；13，14，15均不成等比，当k ＝1时，显然数列1，13，15不成等比；综上，所求等比子数列为1，12，14．……………………5分（2）（i ）形如：a 1，－a 1，a 1，－a 1，a 1，－a 1，…（a 1≠0，q ＝－1）均存在无穷项等差子数列： a 1，a 1，a 1，… 或－a 1，－a 1，－a 1， ……………………7分（ii ）设{a n k }(k ∈N *，n k ∈N *)为{a n }的等差子数列，公差为d ，当|q|＞1时，|q|n＞1，取n k ＞1＋log |q||d||a 1|(|q|－1)，从而|q|n k －1＞|d||a 1|(|q|－1)，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1q n k ＋1－1－a 1q n k －1|＝|a 1||q|n k －1·|q n k ＋1－n k －1|≥|a 1||q|n k －1(|q|－1)＞|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去；……………………12分当|q|＜1时，|q|n＜1，取n k ＞1＋log |q||d|2|a 1|，从而|q|n k －1＜|d|2|a 1|，故|a n k ＋1－a n k |＝|a 1||q|n k －1|q n k ＋1－n k －1|≤|a 1||q|n k －1||q|n k ＋1－n k ＋1|＜2|a 1||q|n k －1＜|d|，这与|a n k ＋1－a n k |＝|d|矛盾，故舍去；又q ≠1，故只可能q ＝－1，结合(i)知，q 的所有可能值为－1． ……………………16分20.设函数()()ln ,f x x a x x a a R =--+∈．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a <，试判断函数()f x 在区间22(,)e e -内的极值点的个数，并说明理由；（3）求证：对任意的正数a ，都存在实数t ，满足：对任意的(,)x t t a ∈+，()1f x a <-．解：（1）当a ＝0时，f(x)＝xlnx －x ，f ’(x)＝lnx ，令f ’(x)＝0，x ＝1，列表分析x (0，1) 1 (1，＋∞)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……………………3分（2）方法一、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax，其中x ＞0，令g(x)＝xlnx －a ，分析g(x)的零点情况．g ’(x)＝lnx ＋1,令g ’(x)＝0，x ＝1e，列表分析x (0，1e )1e (1e，＋∞) g ’(x) － 0 ＋ g(x)单调递减单调递增 g(x)min ＝g(1e )＝－1e－a ，……………………5分而f ’(1e )＝ln 1e －ae ＝－1－ae ，f ’(e －2)＝－2－ae 2＝－(2＋ae 2)，f ’(e 2)＝2－a e 2＝1e 2(2e 2－a)，①若a ≤－1e ，则f ’(x)＝lnx －ax≥0，故f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；②若－1e ＜a ＜－2e 2，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)＞0，f ’(e 2)＝1e 2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有两个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；③若－2e 2≤a ＜0，则f ’(1e )＝ln 1e －ae ＜0，f ’(e －2)＝－(2＋ae 2)≤0，f ’(e 2)＝1e 2(2e 2－a)＞0，因此f ’(x)在(e －2，e 2)有一个零点，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点；综上所述，当a ∈(－∞，－1e]时，f(x)在(e －2，e 2)内没有极值点；当a ∈(－1e ，－2e2)时，f(x)在(e －2，e 2)内有两个极值点；当a ∈[－2e2，0)时，f(x)在(e －2，e 2)内有一个极值点.. ……………………10分方法二、f(x)＝(x －a)lnx －x ＋a ，f ’(x)＝lnx －ax ，令()ln g x x x（不用零点存在定理说明扣3分）（3）猜想：x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1恒成立． ……………………11分证明如下：由（2）得g(x)在(1e ，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－a ＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a ．因为当x ＞1时，lnx ＞1－1x (*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－1a ＋1)－a ＝0．故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x 0．由x (1，x 0) x 0 (x 0，1＋a)f ’(x) － 0 ＋ f(x)单调递减单调递增知，x ∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……………………13分又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x ＞1时，lnx ＜x －1(**)，所以f(1＋a)＜(a ＋1)－1－1＝a －1＝f(1)．即x ∈(1，1＋a)，f(x)＜a －1．所以对任意的正数a ，都存在实数t ＝1，使对任意的x ∈(t ，t ＋a)，使 f(x)＜a －1．……………………15分补充证明（*）：令F(x)＝lnx ＋1x －1，x ≥1．F ’(x)＝1x －1x 2＝x －1x2≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．所以x ＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx ＞1－1x ．补充证明（**）令G(x)＝lnx －x ＋1，x ≥1．G ’(x)＝1x －1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．所以x ＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx ＜x －1． ……………………16分数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定．．．．．区域内．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：AD 2＝AB ·ED ．证明：连接BD ，因为直线AE 与圆O 相切，所以∠EAD ＝∠ABD ． ……………………4分又因为AB ∥CD ，所以∠BAD ＝∠ADE ，所以△EAD ∽△DBA ． ……………………8分从而ED DA ＝AD BA ，所以AD 2＝AB ·ED ． ……………………10分B ．选修4－2：矩阵与变换已知，点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90o ，得到点B ．若点B 的坐标为(3,4)-，求点A 的坐标．A BCDEO ·（第21题（A ）图）解：011201100112--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………………………………………………4分设(,)A a b ，则由013124a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得324b a b -=-⎧⎨+=⎩．……………………………………8分所以23a b =-⎧⎨=⎩，即(2,3)A -． (10)分C ．选修4－4：坐标系与参数方程若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l 的参数方程为323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），当直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB．解：（1）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 2=，26y x =． ……………………4分所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线． ……………………5分（2）将323x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩代入26y x =得2230t t --=，123,1t t ==- ……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22212121()[3()]28t t t t t t =-+-=-=……………………10分解法二：代入26y x =得2230t t --=，12122,3t t t t +==-……………………8分222121()()AB x x y y =-+-22221212112()[3()]2()48t t t t t t t t =-+-=+-= ……………………10分D ．选修4－5：不等式选讲设函数()23()f x x x x m m R =-+---∈．（Ⅰ）当4m =-时，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若存在0x R ∈，使得01()4f x m≥-，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）当4m =-时，33,2,()2341,23,5,3x x f x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩……2分∴函数()f x 在(,3]-∞上是增函数，在(3,)+∞上是减函数，所以max ()(3)2f x f ==．……………………4分（Ⅱ）01()4f x m ≥-，即0001234x x x m m-+--+≥+，令()234g x x x x =-+--+，则存在0x R ∈，使得01()g x m m≥+成立， ∴max 1()2,m g x m +≤=即12,m m+≤ ……………………7分∴当0m >时，原不等式为2(1)0m -≤，解得1m =，当0m <时，原不等式为2(1)0m -≥，解得0m <，综上所述，实数m 的取值范围是{}(,0)1-∞U ． ……………………10分22.设集合{}5,4,3,2,1=S ，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A ⊆，若A x ∈，则A x ∈-6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为ξ，求ξ的分布列和数学期望()ξE . 解：可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125=-个.（I ）满足性质p 的非空子集为：{}3，{}5,1，{}4,2，{}5,3,1，{}4,3,2，{}5,4,2,1，{}5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317=p . …………………4分（2）x 的可能值为1,2,3,4,5x12345P1312314318311631()124816129=1+2+3+4+5=313131313131E x 创创?…………………10分23. 设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=L L ，，，集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤L ”的元素个数记为nm S ．⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-． 23.解⑴228S =，4232S =； ……………………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=L，即123,,n x x x x L ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112nC ，美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。