2011年高考全国卷理科数学新课标卷及解析

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2011年高考数学理科试卷(全国1卷)(含答案)(新课标卷卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720（C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45-（B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

【深度解析高考真题】2011年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)

、选择题（共12小题，每小题5分, （5分）复数冬-的共轭复数是（1-21『丫[] / /*疋=1：戸=1/ 输了箱束（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，贝U 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为c l（5分）已知角0的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，贝U 相应的侧视2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）2. 3. A 3. A . 丁（5分）下列函数中，既是偶函数又在 A . y=2x 3B . y=| x|+ 1C.- i D . i（0，+X ）上单调递增的函数是（y=- x 2+4D . y=2-lxl（5分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是6，那么输出的卩是（满分60分）1. k-k-[A . 120B . 720 C. 1440 D . 50404. 5. y=2x 上，贝U cos2 0 =A .-1B .6.图可以为（）10. （5分）已知庁与b 均为单位向量，其夹角为 0,有下列四个命题P i : ||a +b |[0, ¥）； P 4： |；-b | > 1? 0€ （罟，n ；其中的真命题是（的横坐标之和等于（）B .8. I 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，I 与C交于A , B 两点，|AB 为C 的实轴长的2倍，贝U C 的离心率为（）A .西B.巫C. 2〔蕊丄卢的展开式中各项系数的和为 D . 39. （5分）（冲为（） A .— 40B .- 20C. 202,则该展开式中常数项 D . 40（5分）由曲线 A .乎y M ，直线y=x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ C 16B . 4D . 6>1? 0€[0,Qjr f才)；P 2： |b +b | > 1? 0€(,n ; P 3： | a -b | > 1? 0€D . P 2, P 4TT11. (5 分)设函数 f (x ) =sin ( wx©) +cos ( wx©) W >0■冲 |<-—^ 的最 A . P 1, P 4B . P l , P 3 C. P 2, P 3小正周期为n 且f （- X ）=f （x ）, TTA . f （X ）在-^）单调递减TTC. f （刈在（0,可）单调递增则（）C £ /、* / 兀 3 兀B. f （X ）在（一，三D . f （X ）在（¥，乎）单调递增4 4 ）单调递减12 （ 5分）函数y 占的图象与函数y=2sin ,（- 2<x < 4）的图象所有交点A . 8B . 6C. 4 D . 2【正视E ） tW?视图）十一，则z=x+2y 的最小值为 .14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为』2.过F l 的直线交于A , B 两点，且△ AB 冋的周长为16,那么C2 的方程为.15. （5分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=V3，则棱锥0- ABCD 的体积为 ________ .16. _________________________________________________________ （5分）在^ ABC 中，B=60°, AC ，则AB+2BC 的最大值为 ________________ .三、解答题（共8小题，满分70 分）17. （12分）等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6, （I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（n ）设b n =log 3a 1+log 3a 2+・・+log 3a n ，求数列｛丄｝的前n 项和.18. （12分）如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD, PD 丄底面 ABCD(I )证明：PA! BD;二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13（5分）若变量x,y 满足约束条件戸虽+応9（n ）若PD=AD,求二面角A- PB- C的余弦值.C19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果:A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94, 98)[98, 102)[102，106)[106，110]频数20 42 22B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98)[98，102)[102，106)[106，110]频数12 42 32 10 （I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;（n）已知用B配方生成的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t的卜2, t<94 ■关系式为y= 2, 9Kt<lC2£ 1>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,- 1), B 点在直线y=-3 上，M 点满足両// 61,冠云丽冠,M 点的轨迹为曲线 C.(I )求C 的方程；(n) P 为C 上的动点，I 为C 在P 点处的切线，求O 点到I 距离的最小值.型蔓■+&，曲线y=f (X )在点(1, f (1))处的切线方程为x+2y - 3=0.(I )求a 、b 的值；(n )如果当 x >0,且 x M 1 时，f (x )>22. (10分)如图，D , E 分别为△ ABC 的边AB , AC 上的点，且不与^ ABC 的顶点重合.已知AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的长是关于x 的方程x 221. (12分)已知函数f (x ) 霁青，求 k 的取值范围.-14x+mn=0的两个根.(I )证明：C, B, D, E四点共圆;求C, B, D, E所在圆的半径.是Ci 上的动点，P 点满足0P =OT , P 点的轨迹为曲线 Q(I)求C 2的方程;(n)在以o 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B,求| AB| .24.设函数 f (x ) =|x -a|+3x ,其中 a >0.(I)当a=1时，求不等式f (x )> 3x+2的解集(n )若不等式f (x )< 0的解集为｛x| x <- 1｝，求a 的值.23.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 y=2+2sinCt (a 为参数)M0 = 与 C i 的异【点评】本题是基础题, 考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型.2. （5分）下列函数中,既是偶函数又在（0, +^）上单调递增的函数是（）B . y=|x|+1 【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断. 【专题】11:计算题；51:函数的性质及应用.【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0, +X ）上单调递增的函数.【解答】解：对于A . y=2x 3，由f （- x ） =-2x 3=- f （x ）,为奇函数，故排除A ; 对于 B . y=| x|+ 1，由 f （- x ） =| - x|+1=f (x ),为偶函数，当 x > 0 时，y=x+1, 是增函数，故B 正确；对于 C . y=- X 2+4,有 f （- =f （x ）,是偶函数，但x >0时为减函数，故排除参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. （5分）复数勢的共轭复数是（1-21C.- i的形式，然后求出共轭复数，即可.2+i =少+¥（l+2i 〔型_=i ，它的共轭复数为：-i .故选：c.2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）D . i【考点】 A5:复数的运算. 【专题】 11:计算题.【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+bi (a , b € R )【解答】解：复数*…1-21 C1-2OC1+2D 5C；对于D. y=2^lxl，有f （- X）=f （x），是偶函数，当x> 0时，y=2「x，为减函数, 故排除D.故选：B.【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题.3. （5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的卩是（）『丫[]/输沁・/*疋=1：戸=1k-k-[/ 输了箱束A. 120B. 720C. 1440D. 5040【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】执行程序框图，写出每次循环P, k的值，当k v N不成立时输出P的值即可.【解答】解：执行程序框图，有N=6, k=1，p=1P=1,k v N成立，有k=2P=2, k v N成立，有k=3第11页（共30P=6, k v N 成立，有 k=4 P=24, k v N 成立，有 k=5 P=120, k v N 成立，有 k=6P=720, k v N 不成立，输出P 的值为720. 故选：B.【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题.4. （5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，贝U 这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为c l本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有 3种结果，根据古典概型概率公式得到结果.【解答】解：由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是3 X 3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P 弓#, 故选：A .【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目.5. （5分）已知角0的顶点与原点重合，始边与X 轴的正半轴重合，终边在直线 y=2x 上，则 cos2 0 =）B .【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式.【专题】 51:概率与统计.3 X 3种结果，满足条【分析】A.-4B .- 3C•耳亏5GS:二倍角的三角函数；15:直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan 0的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos B的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos0的平方代入即可求出值. 【解答】解：根据题意可知：tan 0 =2所以coS20 —=_——¥，sec^ 6 tan，9 +1 5则cos2 0 =2c（2s0- 1=2xi - 1 = -3.- N故选：B.【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题.6. （5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，贝U相应的侧视图可以为（）（正视S）（俯视图）【考点】L7:简单空间图形的三视图.【专题】13:作图题.【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体【考点】【专题】11:计算题.【分析】A. B.第13页（共30的侧视图.【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体, 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成, •••侧视图是一个中间有分界线的三角形, 故选：D .【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题.7. （5分）设直线I 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直, 交于A , B 两点，|AB 为C 的实轴长的2倍，贝U C 的离心率为（A.西B. V32 _ 一 —不妨设双曲线C:务壬匸1，焦点F （-c , 0）,由题设知务玉二1, a 『 a t/ 由此能够推导出C 的离心率.2 ca y= 士 - ，a •并2 , • ------- =4 a ,a b 2=2a 2,c 2- a 2=2a 2, c 2=3a 2,•••珥吨.D . 3C. 2 【考点】 KC 双曲线的性质. 【专题】 11:计算题.【分析】【解答】解: 2 2不妨设双曲线C :务七二1 焦点F (- c , 0）,对称轴y=0, 由题设知故选：B.【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用.&（5分）（耳亡）〔羽三广的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为（）A.—40B.- 20C. 20D. 40【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数.【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a1+a=2--a=1••• 6』）（2藍-丄）5=G£』）（2葢-丄）II 一一=K（2X-丄）P^CSx-—}1 5 1•••展开式中常数项为（2二）的丄与）C的系数和•••丄）展开式的通项为T r+1= （- 1）r25-r C5r x5-2r• “ 1 ” ................................. -— K展开式中常数项为8C52- 4C53=40故选：D.【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.9. （5分）由曲线y M，直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为（A.#B. 4 C•寻B. 4 D. 6第15页（共30【考点】69:定积分的应用.【专题】11:计算题.【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=^，直线y=x- 2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【解答】解：联立方程f皿得到两曲线的交点（4, 2），.尸旷2因此曲线y M，直线y=x- 2及y轴所围成的图形的面积为:【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题.10. （5分）已知庁与b均为单位向量，其夹角为0,有下列四个命题P i: ||a+b|>1? 0€[0，警）；P2：苗恳| > 1? 0€（，n ；P3：| a-b| > 1? 0€TT [0,丐-）；P：if TT13- b| > 1? 0€ （丐-，n ；其中的真命题是（A. P1, F4B. P1，P3C. P2，P3D. P2，P4.故选C.第17页（共30【考点】91 :向量的概念与向量的模；9B :向量加减混合运算；9E :向量数乘和线性运算.【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围. 【解答】解：由 |a-b |>1，得出 2-2COS 41，即 cos 0<X ，又 0€ [0，n ， 2 牛，n ，故P 3错误，P 4正确.由|；+7| > 1，得出2+2cos 0> 1，即卩cos O-i ，又0€ [ 0， n ，故可以得出 0【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力.11. (5 分)设函数 f (X )=sin (wx©) +COSH5:正弦函数的单调性；HK :由y=Asin （ wx®的部分图象确定其解析式.利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与 w 的关系确定出 w 的值，根据函数的偶函数性质确定出 ©的值，再对各个选项进行考查筛选.TT【解答】解：由于 f （X ）=sin （wx ?） +COS （wX ?）軒~孑），故可以得出0€（警），故P 2错误，P 1正确. 故选：A .€ [0, 小正周期为n ，且f （- X ） =f （X ），牛）单调递减A . f （X ）在（0,（刈在（0, 今）单调递增则（B.D . f3兀（4，4 '3兀・（4'4 ' (wX©) 冲 I )的最【考点】【专题】 57:三角函数的图像与性质.【分析】（X ）在）单调递减（X ）在）单调递增由于该函数的最小正周期为T 型、，得出CD =2又根据 f （- X ） =f （X ）,得 ©+芈 €-+k n （k € Z ），以及 I 咁 <£-,得出 © =4 2 2 4 因此，f （x ） =^^“口〔2尤十€^）刊/^°°5“'若x €〔0,=），贝U 2x €（ 0， n ），从而f （x ）在© 2L ）单调递减, 若x € （芋，普44该区间不为余弦函数的单调区间，故 B , C, D 都错，A 正确. 故选：A .【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识, 考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握.属于三角中的基本题型.的横坐标之和等于（）当 1<x < 4 时，y i < 0而函数y 2在（1，4）上出现1.5个周期的图象, 在（1，［嘗）和（£，魯）上是减函数；），则2x € （冷-，甞 ),12 （5分）函数y 占的图象与函数y=2sin ,（- 2<x < 4）的图象所有交点A . 8B . 6 C. 4 D . 2【考点】 57: 函数与方程的综合运用. 51:函数的性质及应用；54:函数y1^^与y 2=2sin n 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个 L-X函数的图象，利用数形结合思想能求出结果. 【解答】解：函数y 1』一，1-Xy 2=2sin n 的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，【专题】【分析】等差数列与等比数列.2' 2 2，2 ，在（寻，寻）和（I ，4）上是增函数.第19页（共30•••函数y 1在（1, 4）上函数值为负数，且与y 2的图象有四个交点E 、F 、G 、H 相应地，y i 在（-2, 1）上函数值为正数, 且与y 2的图象有四个交点A 、B 、C 、D且：X A +X H =X B +X G =X C +X F =X D +X E =2，【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. （5分）若变量X , y 满足约束条件£严+二?16 抵 x-yS ： 9随着增大，当直线过 A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值.【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域, 得到的图形是一个平行四边形，,则z=x+2y 的最小值为【考点】 7C:简单线性规划. 【专题】 11:计算题.【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形, ，当直线沿着y 轴向上移动时，把目标函数z=X+2y 变化为y= - 2z 的值故所求的横坐标之和为8.目标函数z=x+2y , 变化为y=-丄X 止,2 2当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大, 当直线过A 点时，z 取到最小值，由y=x - 9与2x+y=3的交点得到A (4,- 5) 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中, 找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值.14. （5分）在平面直角坐标系xOy,椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在X 轴上，离心率为返.过F 的直线交于A , B 两点，且△ ABE 的周长为16,那么C22 2的方程为鼻+匚=1.—16_ 8根据题意，△ ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16,结合椭圆的有4a=16,即可得a 的值；又由椭圆的离心率，可得 c 的值，进而可【考点】 K4:椭圆的性质. 【专题】 11:计算题；16:压轴题.【分析】定义,••• z=%2 (- 5) =-6第21页（共30页）得b 的值；由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程.【解答】解：根据题意，△ ABE 的周长为16,即B 冃+A 冃+BF 1+AF 1=16; 根据椭圆的性质，有4a=16,即a=4；椭圆的离心率为*2,2 将a ^2c ,代入可得，2 2则椭圆的方程为牯^ = 1； 2 2故答案为：亲即1.【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可.15. （5分）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6, BC=^，则棱锥0-ABCD 的体积为 &胚 .11:计算题；16:压轴题.由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离,满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积.离为：d 护）2=2, 所以棱锥0- ABCD 的体积为：寺X 時X 2=^3.故答案为：8/3【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型.16. （5 分）在^ ABC 中，B=60°, Ac Vs ，则 AB+2BC 的最大值为一^一.，贝y a ^2c ，即£a c=^2，贝Ub 2=a 2 -c 2=8;【考点】 LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】【分析】【解答】解：矩形的对角线的长为: 閉:亦F 二晒，所以球心到矩形的距第22页（共30页）设AB=c AC=b BC=a 利用余弦定理和已知条件求得 a 和c 的关系，设 c+2a=m 代入，利用判别大于等于0求得m 的范围，贝U m 的最大值可得. 【解答】解：设AB=c AC=b BC=a 由余弦定理2 , 2 ,2 cosB 昌 +C f 2ac 所以 a 2+c 2 - ac=b 2=3 设 c+2a=m 代入上式得 7a 2- 5am+m 2 - 3=0△ =84 - 3m 2 >0 故 m < 2听a 马2，普符合题意因此最大值为2衍sinC slnA sinB sinSO" 所以 AB=2sinC BC=2sinA所以 AB+2BC=2sin(+4sinA=2sin (120° - A ) +4sinA =2 (sin 120 cosA- cos120 si nA ) +4si nA W3cosA+5si nA =^sin （A+®,（其中 sin cos所以AB+2BC 的最大值为2听. 故答案为：2^7【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.涉及了解三角形和函数思想的运用.三、解答题（共8小题，满分70 分）【考点】 HR 余弦定理.【专题】 11:计算题；16:压轴题.【分析】当m=2jV 时，此时另解：因为B=60°, A+B+C=180,所以 A+C=120,由正弦定理，有 AB 二 BC 二 AC17. (12分)等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 2a i +3a 2=1，a 32=9a2a 6, (I )求数列｛an ｝的通项公式；(n)设 b n =log 3a 1+Iog 3a 2+…+log 3a n ，q ,由a 32=9a 2a 6，禾U 用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 2a i +3a 2=1，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式即可;(n)把(I)求出数列｛a n ｝的通项公式代入设 bn=log 3a i +log 3a 2+-+log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到b n 的通项由条件可知各项均为正数，故 q 丄.J由 2a 1+3a 2=1 得 2a 1+3a 1q=1，所以 a 1吉.(n) bn="g ；i + "g 牛+・・+1 口g ；n = -( 1+2+・・+ n)=-门8+ L )=-2(丄-音)n n+1 =-2[ (1卡+(寺肖所以数列｛占｝的前n 项和为-单-.% 卅1【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档第20页(共30页)求数列｛丄｝的前n 项和.【考点】 88:等比数列的通项公式; 8E :数列的求和.【专题】 54:等差数列与等比数列.(I )设出等比数列的公比【分析】公式,各项,【解答】求出倒数即为丄的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的抵消后即可得到数列｛山｝的前n 项和. 解：(I )设数列｛a n ｝的公比为q ，由a 32=9a2a 6得a 32=9a 2，所以q 2* .3故数列｛an ｝的通项式为 an —故丄-2 故》nS+1〕则？+? +bi E %全国统一高考试卷试题第25页(共30页)(I )因为/ DAB=60 , AB=2AD,由余弦定理得BD 需AD ，利用勾股定理证明BD 丄AD ，根据PD 丄底面ABCD 易证BD 丄PD,根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证 PA ! BD ;(n)建立空间直角坐标系，写出点A, B, C, P 的坐标，求出向量疋，豆，祝,和平面PAB 的法向量，平面PBC 的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可.【解答】(I)证明：因为/ DAB=60, AB=2AD,由余弦定理得BD ^AD , 从而 BD 2+AD 2=A B^，故 BD !AD 又PD 丄底面ABCD ,可得BD 丄PD 所以BD 丄平面PAD.故PA1 BD(n)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长,射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D -xyz ，则题.18. (12 分) 如图，四棱锥P- ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，/ DAB=60 , AB=2AD, PD 丄底面ABCD【考点】 LW 直线与平面垂直；MJ :二面角的平面角及求法.【专题】 11:计算题；14:证明题；15:综合题；31 :数形结合；35:转化思想.【分析】 (I )证明:PA! BD;PB- C 的余弦值.全国统一高考试卷试题A (1, 0, 0),B (0,頂，0),C (- 1,7^, 0), P (0, 0, 1). 忑=(-1, 7^, 0),耳=(0,7^,- 1),蔗=(-1, 0,0),第26页（共30页）全国统一高考试卷试题第27页(共30页)即：可取鼻(0, 1^3), COSV 恳【点评】此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力.19. （12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果: A 配方的频数分布表[94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110]设平面PAB 的法向量为n= （X , y , z ),则,n*PB=O因此可取：二（｛5, 1,血）设平面PBC 的法向量为Tr =（X ， y ，z ），则 _m^PB=O指标值分组[90, 94）全国统一高考试卷试题频数20 42 22B配方的频数分布表第28页（共30页）全国统一高考试卷试题指标值分组[90, 94) [94, 98) [98, 102) [102, 106) [106, 110] 频数12 42 32 10 (I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;(n)已知用B配方生成的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t的C-2, t<94 ■关系式为y= 2, 9Kt<lC2£ 1>102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)【考点】B2:简单随机抽样；BB:众数、中位数、平均数；CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】11:计算题；15:综合题.【分析】(I)根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值.(II )根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值.【解答】解(I )由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为瓷-Q.3•••用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为塔•••用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42;(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90, 94)，[94, 102)，[102, 110]的频率分别为0.04, 0.54, 0.42,••• P (X=— 2) =0.04, P (X=2) =0.54, P (X=4) =0.42,即X的分布列为第29页(共30页)全国统一高考试卷试题第30页（共30页）••• X 的数学期望值 EX=- 2 X 0.04+2 X 0.54+4 X 0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，- 1），B 点在直线y=-3 上, M 点满足丽//武冠爸砸顽，M 点的轨迹为曲线C. （I ）求C 的方程；（n ） P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值.【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角；KH :直线与圆锥曲线的综合. 【专题】11:计算题；15:综合题；33:函数思想；36:整体思想.【分析】（I ）设M （x ，y ），由已知得B （x ，-3），A （0，- 1）并代入丽//玉,二阳?弘，即可求得M 点的轨迹C 的方程;（n ）设P （X 0, y 0）为C 上的点，求导，写出C 在P 点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得 O 点到I 距离，然后利用基本不等式求出其最小值.【解答】解：(I )设M (X , y ),由已知得B (X ,- 3), A (0,- 1). 所血二(-X ,- 1 - y ),血=(0,__ -------- --- ----- ► 一再由题意可知（?AE =0，即（-X ，- 4-2y ） ? （x ，- 2） =0. 所以曲线C 的方程式为炖/- 2.为女X0, 因此直线 l 的方程为 y - y 0令X 0 (x - x 0)，即卩 X 0X - 2y+2y 0 - X 02=0.0.040.54 0.42-3 - y )，AB = (x ，- 2).（n ）设 P （X 0, y 0）为曲线 C :-2上一点，因为y 专X ,所以l 的斜率全国统一高考试卷试题第31页（共30页）则0点到I 的距离dJ 争F 丨.又yo d 2 -2,片 4 0P 仃 ^+4, --------- N所以d w^^w 严2, 所以x o 2=O 时取等号，所以0点到I 距离的最小值为2. 【点评】此题是个中档题.考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.线方程为x+2y - 3=0. （I ）求a 、b 的值；程.15:综合题；16:压轴题；32:分类讨论；35:转化思想.（I ）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出 a ，b 值.（II ）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数 k 分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数 k 的范围.【解答】解：由题意f （1） =1，即切点坐标是（1,1）（1）F ◎弋亍事由于直线x+2y -3=0的斜率为I 寺且过点（1, 1），故21. （12分）已知函数f （x ）型斗，工+1曲线y=f （X ）在点（1, f （ 1））处的切（n ）如果当x >0,且x M 1时，f （X ） —，求k 的取值范围.> S-1 X【考点】 6E:利用导数研究函数的最值;6H :利用导数研究曲线上某点切线方【专题】【分析】全国统一高考试卷试题b 二 1过1解得a=1, b=1.—— 2 2（n ）由（I ）知f G ）二上寻』，所以x+1 XK 一1 K 1-K考虑函数h&)二旦空Jk-na T) (x >0),则（i ）设 k < 0,由 h ，知，当 x M 1 时, (1) =0,故(ii )设 0v k v 1.由于当 x €( 1,占)时，(k - 1) (x 2+1) +2x >0,故 h' (x )1-k> 0,而 h( 1) =0,故当 “(1^)时，h( x)>0,可h (x)v 0,与题设矛盾.(iii )设 k > 1.此时 h (x )>0,而 h (1) =0,故当 x €( 1, +^)时，h (x ) >0,可得一q h （x ）v 0,与题设矛盾.1-/ 综合得，k 的取值范围为（--,0].【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法.22. （10分）如图，D , E 分别为△ ABC 的边AB , AC 上的点，且不与^ ABC 的顶点重合.已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2 第26页（共30页）IX （』T ）（S 也h (x )v 0 .而 h当 x €( 0, 1)时，h (x)v 0,可得-A_^hCx>>Ci ;1- /当 x €( 1, +x)时，h (x)v 0,可得—^h (x )> 01-s^ 从而当 x >0,且 xM 1 时，f (x )-( InxX-1 XA ）> 0，即 f （ x ）>如As-L y第33页(共30页)-14x+mn=0的两个根.(I)证明：C, B , D , E 四点共圆;(n)若/ A=90°,且m=4, n=6，求C, B ，D ，E 所在圆的半径.(I )做出辅助线，根据所给的 AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的长是关于x 的方程x 2 - 14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论.(II )根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE 的中点G , DB 的中点F ,分别过G , F 作AC, AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ,根据四点共圆得到半径的大小.【解答】解：(I )连接DE,根据题意在△ ADE 和^ACB 中, AD X AB=mn=AE< AC,又/ DAE=/ CAB 从而△ ADE^A ACB 因此/ ADE=Z ACB ••• C, B , D , E 四点共圆.(n ) m=4, n=6 时，方程 x 2 - 14x+mn=0 的两根为 x i =2, x 2=12. 故 AD=2, AB=12.【考点】 N7:圆周角定理; NC : 与圆有关的比例线段. 【专题】 11:计算题；14: 证明题.【分析】 B。

2011年高考理科数学全国卷(及答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学试题卷本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于 (A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减（B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增（D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增（12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ．（2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ．（5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．55．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数z=1+i，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．【解答】解：=1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k+2﹣S k=24转化为：（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想．【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离．【解答】解：由题意画出图形如图：直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h，所以AD=，CD=，BC=由V B﹣ACD=V D﹣ABC可知所以，h=故选C．【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力．7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种，根据分类计数原理知共10种，故选：B．【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中．8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．【解答】解：∵y=e﹣2x+1∴y'=（﹣2）e﹣2x∴y'|x=0=（﹣2）e﹣2x|x=0=﹣2∴曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为×1×=故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题．9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】根据已知中抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量，的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点为F，∴F点的坐标为（1，0）又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4），则=（0，﹣2），=（3，4），则cos∠AFB===﹣，故选：D．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧．11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）A．2B．C．D．1【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．【解答】解：∵，∴的夹角为120°，设，则；=如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60°∴∠AOB+∠ACB=180°∴A，O，B，C四点共圆∵∴∴由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为0．【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数分别取1，9求出x的系数与x9的系数；求出值．【解答】解：展开式的通项为令得r=2；令得r=18∴x的系数与x9的系数C202，C2018∴x的系数与x9的系数之差为C202﹣C2018=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α．【解答】解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=﹣，tanα==∴tan2α==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题．15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值．【解答】解：由题意画出图形如图：因为E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2所以SB：SC=1：2，设正方体的棱长为：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RT△PBE中，tan∠EPB===，故答案为：【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=，a+c=b，求C．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】由A﹣C等于得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以后，根据C和B的范围，得到C+=B或C++B=π，根据A为钝角，所以C++B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数．【解答】解：由A﹣C=，得到A为钝角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可变为：sinA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是△ABC的内角，故C+=B或C++B=π（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=π，解得C=．【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用．18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可．（Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2）所以EX=100×0.2=20【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S （，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）由是公差为1的等差数列，知，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由==，能够证明S n＜1．【解答】解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，，∴（n∈N*）．（Ⅱ）==，∴=1﹣＜1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用．21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案．（Ⅱ）先计算概率P=，再证明＜＜，即证明99×98× (81)（90）19，最后证明＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln，而这个结论由（1）所得结论可得【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=，∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0．即当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=，要证P＜＜．先证：P=＜，即证＜即证99×98×…×81＜（90）19而99×81=（90+9）×（90﹣9）=902﹣92＜90298×82=（90+8）×（90﹣8）=902﹣82＜902…91×89=（90+1）×（90﹣1）=902﹣12＜902∴99×98×…×81＜（90）19即P＜再证：＜e﹣2，即证＞e2，即证19ln＞2，即证ln＞由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣，当x＞0时，f（x）＞0．令x=，则ln（1+）﹣=ln（1+）﹣＞0，即ln＞综上有：P＜＜【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力．祝福语祝你考试成功!。

2011年高考数学真题(全国卷)理科(详细解析)

1. 复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i z z z i i i i =---=+----=- 2. 函数2(0)y x x =≥的反函数为【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B .在函数2(0)y x x =≥中，0y ≥且反解x 得24yx =，所以2(0)y x x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.3. 下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b >【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a b ＞，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

4. 解：设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = 【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二：利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++= 11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D 。

5. 设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年高考理科数学(全国卷)(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷．．．．上作答无效。

．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞（B ）1a b -＞（C ）22a b ＞（D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α –ι- β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)23 (B)33 (C)63(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种(8)曲线y=2xe-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1(9)设()f x是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x=2(1)x x-，则5 ()2f-=(A) -12(B)14- (C)14(D)12(10)已知抛物线C：24y x=的焦点为F，直线24y x=-与C交于A，B两点．则cos AFB∠=(A)45(B)35(C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a，b，c满足a=b =1，a b =12-，,a cb c--=060，则c的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷注意事项：1、答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年全国卷高考数学答案(理科)

AC l 得 AC 平面，进而 AC DE ，又
B C D E , B C A C C ，于是 D E 平面 ABC，
故 DE 为 D 到平面 ABC 的距离。在 R t B C D 中，利用等面积法得 D E
BD DC BC 1 3 2 6 3
=
5 5
得
cos
2 5 5
, ta n
s in cos
4 3

1 2
,
ta n 2
2 ta n 1 ta n
2

.
x
2
(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:
-
y
2
=1 的左、右焦点，点 A∈C，点 M 的坐标为 .
9
27
(2，0)，AM 为∠F1AF2 的平分线．则|A F2| =
(6)已知直二面角 l ，点 A , A C l ,C 为垂足， B , B D l , D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于 (A)
2 3
(B)
3 3
(C)
6 3
(D) 1
【思路点拨】本题关键是找出或做出点 D 到平面 ABC 的距离 DE，根据面面垂直的性质不难证明 A C 平面，进而平面平面 ABC,所以过 D 作 D E B C 于 E，则 DE 就是要求的距离。【精讲精析】选 C. 如图，作 D E B C 于 E，由 l 为直二面角，
x
2
（A） y
(x R)
（B） y
x
2
( x≥ 0 )

2011年高考数学理科试题解析(新课标卷)-推荐下载

0,

3
2 3
,

。由
。
a
b
选A

a2 b2 2ab cos
（11）设函数 f (x) sin(x ) cos(x )( 0, ) 的最小正周期为，且 2
f (x) f (x) ，则
（A）
（A） 2
（B） 3
解析：通径|AB|= 2b2 2a 得 b2 2a2 a2 c2 2a2 ，选 B a
（8）

x

（A）-40
a x

2x

1 x
5
的展开式中各项系数的和为
（B）-20
解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= (x 1 )(2x 1 )5 。 (x 1 )(2x 1 )5 的通项
（C）2
解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘，若第 1 个括号提出 x,从余
下的 5 个括号中选 2 个提出 x，选 3 个提出 1 ；若第 1 个括号提出 1 ，从余下的
括号中选 2 个提出 1 ，选 3 个提出 x. x
故常数项=
X
C52 (2 X )2
C33(
1 X
)3
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2011 年普通高等学校招生全国统一考试
(新课标)理科数学解析
第I卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 (1)复数 2 i 的共轭复数是
1 2i
（A） 3 i 5
sin2 sin2

2011年新课标卷高考理科数学试卷真题及解析

1 x 图像所有交点的横坐标之和等于( D )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
y 1 的对称中心是(1, 0),也是y 2sin x(2 x 4)
1 x
3
的中心,它们的图像在x 1
2
左侧有4个交点, 右侧也有4
个交点, 不妨把它们横坐标
1
从小到大设为x1 , x2 , x3 , x4 ,
6
B.
f
(
x
)在
4
,
3
4
单调递增
f ( x) 2 sin( x ), 2, 又f ( x)为偶函数,
4
k k , k Z ,
42
4
f ( x) 2 sin(2x ) 2 cos 2x
2
12. 函数y 1 的图像与函数y 2sin x(2 x 4)的
C52 (2 x)3
1 x
2
40
80
40
9.由曲线y x , 直线y x 2及y轴所围成的图形的
面积为( C )
10
4
16
A.
B. 4
C.
D. 6
3
3
3
4
S 0 ( x x 2)dx
2
2 3
3
x2
1 2
x2
2x
4 0
16 3
.
1
6
4
2
2
4
1
2
3
10.已知a与b均为单位向量,其夹角为 ,有下列四个命题
4
2
x5 , x6 , x7 , x8 , 则x1 x8
1
x2 x7 x3 x6 x4 x5 2
2

2011年高考理科数学(含答案)_1全国卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=（） (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为（）(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x=≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（） (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k=（） (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（） (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A A C l C α∈⊥为垂足，,,B B D l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于（）(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（） (A)13(B) 12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） (A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠=（） (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于（）(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= .15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2A F = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111A B C D A B C D - 的棱11B B C C 、上，且12B E E B =,12C F F C =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年高考数学(理科)试卷(及答案)_全国卷

2011年高考全国卷数学（理工）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y xx R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年高考全国数学试卷(新课标)-理科(含详解答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是（A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

2011年高考新课标全国I卷数学(理)试题精解精析(原卷版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．复数212ii+-的共轭复数是A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2．下列函数中,既是偶函数哦、又在（0,）单调递增的函数是 A ．2y x = B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=3．执行右面的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是 A ．120 B ．720 C ．1440 D ．5040 4．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A ．13B ．12 C ．23D ．345．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ= A ．45- B ．35-C ．35 D ．456．在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的俯视图可以为7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于 A,B 两点,AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为AB C ．2D ．38．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．409．由曲线y =,直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A ．103 B ．4C ．163D ．6 10．已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是A ．14,P PB ．13,P PC ．23,P PD ．24,P P11．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π,且()()f x f x -=,则A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 12．函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题---第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题—第24题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13．若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 .14．在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在 x 轴上,.过F 1的直线交于C ,A B 两点,且2ABF 的周长为16,那么C 的方程为 .15．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上,且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为 .16．在ABC 中,60,B AC ==则2AB BC +的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +==求数列{}n a 的通项公式.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18．(本小题满分12分) 如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A-PB-C 的余弦值. 19．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验,各生产了100件这种产品,并测试了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果：（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A （0,-1）,B 点在直线3y =-上,M 点满足//MB OA ,MA AB MB BA =,M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点,l 为C 在点P 处的切线,求O 点到l 距离的最小值． 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a,b 的值；（II ）如果当x>0,且1x ≠时,ln ()1x kf x x x>+-,求k 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,D,E 分别为ABC ∆的边AB,AC 上的点,且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m,AC 的长为n,AD,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：C,B,D,E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒,且4,6,m n ==求C,B,D,E 所在圆的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数）,M 为1C 上的动点,P 点满足2OP OM =,点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A,与2C 的异于极点的交点为B,求|AB|. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >．（I ）当a=1时,求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-,求a 的值．2019高中教师读书心得体会作为教师，在教授知识的提示，也应该利用空暇时刻渐渐品读一些好书，吸收书中的精华。

2011年全国统一高考数学试卷详细解析(新课标卷)(理科)

2011年全国统一高考数学试卷（新课标卷）（理科）答案与评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、复数的共轭复数是（）A、B、C、﹣iD、i考点：复数代数形式的混合运算。

专题：计算题。

分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．解答：解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2、下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A、y=x3B、y=|x|+1C、y=﹣x2+1D、y=2﹣|x|考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断。

专题：常规题型。

分析：首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．解答：解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选B．点评：本题考查基本函数的奇偶性及单调性．3、执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A、120B、720C、1440D、5040考点：程序框图。

专题：图表型。

分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．解答：解：经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到；经过第四次循环得经过第五次循环得；经过第六次循环得此时执行输出720，故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律．4、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A、B、C、D、考点：古典概型及其概率计算公式。