(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理(含解析)苏教版

（江苏专版）高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方

程教案理（含解析）苏教版

第八节 曲线与方程

1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点

设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标

即为方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

F 1x ，y ＝0，F 2x ，y ＝0

的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．

[小题体验]

1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹方程为________．

解析：设P 点的坐标为(x ，y )，

∵A (－2,0)，B (1,0)，动点P 满足PA ＝2PB ， ∴

x ＋2

2

＋y 2

＝2

x －1

2

＋y 2

，

平方得(x ＋2)2

＋y 2

＝4[(x －1)2

＋y 2

]， 化简得(x －2)2

＋y 2

＝4，

∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x －2)2

＋y 2

＝4.

答案：(x －2)2＋y 2

＝4

2．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝M Q ，则Q 点的轨迹方程是________．

解析：设Q(x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.

答案：2x －y ＋5＝0

3．已知F 是抛物线y ＝14x 2

的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程

是________．

解析：因为抛物线x 2

＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2

＝4y 上，所以(2x )2

＝4(2y －1)，化简得x 2

＝2y －1.

答案：x 2

＝2y －1

1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．

2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响． [小题纠偏]

1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM ―→·PN ―→

＝0，则P 点的轨迹是________． 解析：因为PM ―→·PN ―→

＝0，所以PM ⊥PN . 所以点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：以线段MN 为直径的圆

2．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a

2，0(a ＞0)，且满足条件 sin C －sin B ＝1

2

sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．

解析：由正弦定理得AB 2R －AC 2R ＝12×BC

2R

，

即AB －AC ＝12BC ，故动点A 是以B ，C 为焦点，a

2为实轴长的双曲线右支．

即动点A 的轨迹方程为16x 2

a 2－16y

2

3a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．

答案：16x 2

a 2－16y

2

3a

2＝1(x ＞0且y ≠0)

考点一 直接法求轨迹方程 基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是________． 解析：设P 点的坐标为(x ，y )， 则

x －1

2

＋

y ＋2

2

＝3x 2＋y 2

，

整理得8x 2

＋8y 2

＋2x －4y －5＝0. 答案：8x 2

＋8y 2

＋2x －4y －5＝0

2．已知M (－2,0)，N (2, 0)，求以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程． 解：设P (x ，y )，

因为△MPN 为以MN 为斜边的直角三角形， 所以MP 2

＋NP 2

＝MN 2

，

所以(x ＋2)2

＋y 2

＋(x －2)2

＋y 2

＝16， 整理得x 2

＋y 2＝4.

因为M ，N ，P 不共线，所以x ≠±2， 所以轨迹方程为x 2

＋y 2

＝4(x ≠±2)．

3．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→

，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．

解：设M (x ′，0)，P (0，y ′)，N (x ，y )， 由MN ―→＝2MP ―→

，得(x －x ′，y )＝2(－x ′，y ′)，

所以⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －x ′＝－2x ′y ＝2y ′，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ′＝－x ，y ′＝y

2.

因为PM ―→⊥PF ―→，PM ―→＝(x ′，－y ′)，PF ―→

＝(1，－y ′)， 所以(x ′，－y ′)·(1，－y ′)＝0， 即x ′＋y ′2

＝0， 所以－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22

＝0，

即y 2

＝4x .

因此所求的轨迹方程为y 2

＝4x .

[谨记通法]

直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但