复变函数第9讲x精品PPT课件
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复变函数-清华大学精品PPT课件
.
34
例 1 .设 z 1 1 ,z 2 i,则 z 1 z 2 i
A 1 r g 2 m zm 0 , 1 , 2 ,
Ar2 g 2z 2n n0,1,2,
A(z r1z2 g )22 k
k0 , 1 ,2 ,
代 入 3 2 上 m n 式 2 k
2
2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
•在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数”
•直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念
•应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
•闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D. 有界区域与无界区域 若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有 z∈G={z | |z|<R}，则D是有界区域；否则无界.
zz0 r 表示以 z0 为圆,点 以r为半径的圆内所. 有
.
44
Rze,Im z表示分y别 轴x平 和 轴行 的. 于 直
特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isin nθ，则有
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
定义
棣模佛(De Moivre)公式.
z n
1 zn
.
由定义 zn得 rnein
.
37
3.复数的方根（开方）——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ，求所有的满足ωn=z 的
【精品】复变函数总复习PPT课件
其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
复变函数与积分变换PPT课件
复变函数与积分变换是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。复变函数是自变量为复数的函数，其基础包括复数的概念、表示及运算。复数形如z=x+iy，其中x和y分别为实部和虚部，i为虚数单位。复数的模定义为|z|=√(x²+y²)，幅角是复数在复平面上与实轴正方向的夹角。复数有代数、三角和指数三种表示方法，且可以进行加、减、乘、除四则运算。复数的加减运算满足平行四边形法则或三角形法则，乘法运算则是模相乘、幅角相加，除法运算为模相除、幅角相减。复变函数的极限与连续性是进一步研究解析函数理论和方法的基础。此外，积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换等，是解决微分方程、信号处理等问题的重要工具，其ห้องสมุดไป่ตู้键公式和方法也在文档中进行了详细汇总。
高等数学课件：chap5_9复变函数的导数与解析函数
（2） u( x, y), v( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足C R 条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在点 ( x0 ,
y0 )
处连续。 (得到推论
9.1)
证明：（必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
u , u , v , v 在 D 内连续。(得到推论 9.2) x y x y
例 4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解： u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y，
ux ex cos y, uy ex sin y,
f z g z f z g(z) f (z)g z
f
z
g
z
f
(
z
)
g
z
f g2 z
z
g
z
(
g
z
0)
f (g(z)) f (g(z))g z
f (z) 1
( w )
（z
(w), w
f (z) 互为反函数，
且(w) 0 ）
注意：复变函数和一元实函数的导数定义，虽然在形式 上类似，但在本质上有很大的不同．因为一元实函数的 导数定义中的极限是一元实函数的极限，而复变函数的 导数定义中的极限对应于二元实函数的极限．
第9节 复变函数的导数与解析函数
9.1 复变函数导数的概念与性质
定义 9.1 设复变函数 w f (z) 在z0 的某邻域 N (z0 ) 内有定义， 如果在点 z0 x0 iy0 处存在一个关于 z x iy 的线性函数 Lz ，使 z0 z N (z0 ) ，有
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在点 ( x0 ,
y0 )
处连续。 (得到推论
9.1)
证明：（必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
u , u , v , v 在 D 内连续。(得到推论 9.2) x y x y
例 4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解： u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y，
ux ex cos y, uy ex sin y,
f z g z f z g(z) f (z)g z
f
z
g
z
f
(
z
)
g
z
f g2 z
z
g
z
(
g
z
0)
f (g(z)) f (g(z))g z
f (z) 1
( w )
（z
(w), w
f (z) 互为反函数，
且(w) 0 ）
注意：复变函数和一元实函数的导数定义，虽然在形式 上类似，但在本质上有很大的不同．因为一元实函数的 导数定义中的极限是一元实函数的极限，而复变函数的 导数定义中的极限对应于二元实函数的极限．
第9节 复变函数的导数与解析函数
9.1 复变函数导数的概念与性质
定义 9.1 设复变函数 w f (z) 在z0 的某邻域 N (z0 ) 内有定义， 如果在点 z0 x0 iy0 处存在一个关于 z x iy 的线性函数 Lz ，使 z0 z N (z0 ) ，有
复变函数与积分变换复数与复变函数PPT课件
将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：
复变函数第9讲
1 l
l
(比值法)
lim
n
n
cn l
R
( l 0, l ) (l)
0
(根值法)
( l0 )
7
例1 求幂级数 z n 1 z z 2 z n
n 0
的收敛范围及和函数 .
解 lim
n 1 z 2 n1 又sn 1 z z z ( z 1), 1 z 1 n 当 z 1时 ， limz 0, limsn . n n 1 z
n 0 n
(1)
f ( z 其 中c n f ( z 0 ), n 0,1,2, . n!
f ''( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) f '( z0 )( z z0 ) ( z z0 ) 2 2! f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
11
4、幂级数的性质
定理4.8 (1)幂级数的和函数f ( z ) cn ( z z0 )n在其
n 0
收敛圆内是一个解析函数。
( 2)幂级数的和函数f ( z ) cn ( z z0 )n在其收敛圆内
n 0
可以逐项求导和逐项积分，即
f '( z ) [ cn ( z z0 )n ]'
b0
b1
b2
a0
a1 a2
a0b0 a1b0 a2b0
a0b1 a1b1 a2b1
a0b2 a1b2 a2b2
16
注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成 立. 但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上 面两个级数中的较小一个收敛半径.
l
(比值法)
lim
n
n
cn l
R
( l 0, l ) (l)
0
(根值法)
( l0 )
7
例1 求幂级数 z n 1 z z 2 z n
n 0
的收敛范围及和函数 .
解 lim
n 1 z 2 n1 又sn 1 z z z ( z 1), 1 z 1 n 当 z 1时 ， limz 0, limsn . n n 1 z
n 0 n
(1)
f ( z 其 中c n f ( z 0 ), n 0,1,2, . n!
f ''( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) f '( z0 )( z z0 ) ( z z0 ) 2 2! f ( n ) ( z0 ) ( z z0 ) n n!
11
4、幂级数的性质
定理4.8 (1)幂级数的和函数f ( z ) cn ( z z0 )n在其
n 0
收敛圆内是一个解析函数。
( 2)幂级数的和函数f ( z ) cn ( z z0 )n在其收敛圆内
n 0
可以逐项求导和逐项积分，即
f '( z ) [ cn ( z z0 )n ]'
b0
b1
b2
a0
a1 a2
a0b0 a1b0 a2b0
a0b1 a1b1 a2b1
a0b2 a1b2 a2b2
16
注：上面的运算在两个级数中的较小的收敛圆内成 立. 但这并不意味着运算后级数的收敛半径就是上 面两个级数中的较小一个收敛半径.
复变函数与积分变换课堂PPT课件
完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。
复变函数 ppt课件
z x iy
其中 i 为虚数单位，满足 i2 1
记号： x Re z , y Im z
若 x 0 ，则称 z iy 为纯虚数。
称复数 x iy 为复数 z x iy 的共轭复数,
记为 z x iy
注：１）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ２）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。
为arg z，这样，我们有：
Arg z arg z 2k
2020/12/27
15
arg z 与 arctan y 关系如下 x
arctan
y x
,
2
,
当x 0时 当x 0, y 0时
arg
z
2
,
当x 0, y 0时
arctan
y x
＋
,
当x
0,
y
0时
arctan
2020/12/27
4
x
arctan x
1
dx
1
x
(
1
1
)dx
0 1 x2
2i 0 i x i x
[ 1 2i
ln
i i
x x
]0x
1 2i
ln
i i
x x
1 2i
ln1
1 ln i x 2i i x
这样取X =1，得
arctan1 1 ln i 1
4
2i i 1
1 ln( i 1)2 4i i 1
除 法： z z1 z2
z2 z z1 (z2 0)
运算：
2020/12/27
z1 z1z2 z2 z2 z2
(z2 0)
10
容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。 此外，共轭复数具有下列性质：
复变函数与积分变换PPT课件
11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25
开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
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开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.
复变函数第九章
§9.2 Z变换简介
1. Z变换的定义 序列x(n)的Z变换X(z)的定义为 X(z)=Z(x(n))= x(n) z n 其中z实一个复变量. 设z= re
j
，有
X (re j ) x(n)r n e j n .
2. 逆Z变换的定义 定义逆Z变换为
x(n) Z ( X ( z)).
n h rN , r为整数; 其他,
0 n N 1.
因此
y ( n)
m
x(n mN ),
将x(n)每次平移N并无限次叠加,就得到了序列y(n).
3. DFT与Z变换的关系 (1)由DFT通过内插得到Z变换
Z平面内的插值公式
N 1 n 0
X ( z ) X (k )(k , ) X (k )(k , z ),
(2)平移性 a.时移性 设l(n)=g(n-n0)，则其离散时间傅里叶变换为
L(e j ) e jn0 G(e j ).
b.频移性 设l(n)= e j0ng(n)，则其离散时间傅里叶变换为
L(e j ) G( 设l(n)=ng(n)，则其离散时间傅里叶变换为 dG (e j ) L(e j ) j d (4)卷积性质
N 2πk
(2)DTFT的抽样 对离散时间序列x(n)的离散时间傅里叶变换 X (e j ) 进 X (e j (2πk / N ) ) 行频率均匀采样，记采样点为Y(k)= (0nN-1),由离散傅里叶变换的定义知，可以将Y(k)视 为一个有限离散时间序列y(n)(0nN-1)的离散傅里叶 变换. 由离散傅里叶逆变换可得 1 N 1 y (n) Y (k )WN kn N k 0
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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n1
-----称为复变函数项级数；
级数前n项的和
n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z) k 1
-----级数的部分和；
设z0为D内一点，如果
lim
n
sn (z0
)
s(z0
)存在，
则称级数(1)在z0处收敛，s(z0 )称为它的和. 12
如果级数(1)在D内处处收敛，则对于 D内的
故
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
“”已知
lim
n
a
n
a,
lim
n
bn
b,
即
0, N
0,当 n
N , 恒有 an
a
2
，bn
b
，
2
n (an a) i(bn b)
an a bn b ,
故
lim
n
n
.
4
2、 复数项级数
定义2 设复数列 { n } {an ibn }(n 1,2,, ), n 1 2 n ---无穷级数 n1
因为 z z0 ,
所以|
z
| |
z0
|
q
1,
cn z n cn z0n
n
z Mq n , z0
由于 Mqn收敛, 由比较判别法得 cnzn 收敛,
n0
n0
cn z n绝对收敛 .
n0
16
(2)用反证法， 若存在z1 , z1 z0 ， cn z1n收敛， n0 由(1)知 cnz0n收敛与假设矛盾，得证 . n0
n1
n1
n1
( 3)若 n和
都发散，问
n
(n n )收敛吗？
n1
n1
n1
9
例2 下列级数是否收敛？是 否绝对收敛？
1 i
in
(1)
( n1 n
2n
);
(2)
;
n1 n
(1)n
(3) [ n1 n
i 2n
];
(8i)n
(4)
.
n0 n!
解
(1)
n1
Hale Waihona Puke 1 n发散，n1
1 2n
i 2n
]收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛 . n1 n
(4)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛 .
n0 n! n0 n!
n0 n!
11
§2 幂级数
1、 函数项级数
定义1 设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2,
fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1)
1）若z0为收敛点，则对任意点 z，只要 z z0
级数皆收敛且绝对收敛.
2）若z0为发散点，则对任意点 z，只要 z z0
级数皆发散.
y
.z0 收敛点
0
x
y
. z0发散点
0
x
15
证明
(1)
n0
cn
z0n收敛
,
则
lim
n
cn
z0n
0.
于是，存在常数 M 0, 使得
cn z0n M , n 0,1,2,(?)
收敛，
n1
1 ( n
i 2n
)发散.
(2) 1 发散， i n 不绝对收敛 .
n1 n
n1 n
10
由于
in
( 1 1 1 ) i(1 1 1 1 )
n1 n
246
357
于是
i n 条件收敛 .
n1 n
(3)
n1
(
1)n
收敛，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
[
(1)n n
任一点z, 级数(1)的和就是D内的一个函数，
记为s( z ).
即 lim n
sn ( z )
s( z )，
称为它的和函数 .
2、 幂级数
定义2 形如 cn(z z0 )n
(2)
n0
的函数项级数称为幂级数.
在(2)中令z z0 , (2)变为 cn n .
n0
13
所以，不失一般性，今 后主要讨论 cnzn . (3) n0
关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：
定理1 (----Abel定理）
⑴若级数 cn z n在 z z0 ( 0)收敛 , 则对满足
n0
z z0 的 z, 级数必绝对收敛 .
⑵若级数在 z z0发散 , 则对满足 z z0 的z, 级数必发散 .
14
所以，对于 cnz n，有 n0
于是
lim 1
i
n
0.
n 2
定理1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“”已知
lim
n
n
,
即
0, N 0,当 n N , 恒有 n . 3
n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n , bn b n ,
第四章 级 数
主 要 内 容： 1、复数项级数及其敛散性 2、幂级数 3、泰勒级数 4、洛朗级数
1
§1 复数项级数
1、 复数列的极限
定义1 设{n }(n 1,2,)为一复数列, 其中 n＝an ibn , a ib为一复常数 .
若 0, N 0,当 n N , 恒有 n ，
级数前n项的和
n
sn 1 2 n i ---级数的部分和 i 1
定义3 若部分和数列{sn }以有限数s为极限，
即
lim
n
sn
s, 则说
收敛于
n
s，s为
的和，
n
n1
n1
记作：s n .
5
n1
若部分和数列{sn }没有有限极限，则称
发散．
n
n0
根据复数项级数收敛的定义，我们有
定理2
n
0.
n1
注意经常应用定理3的逆否命题！
注意：定理3的逆命题不成立！
性质 级数
收敛
n
,
则
n
有界
.
n1
7
定理4
若
n
收敛
,
则
收敛
n
.
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2 ,
an , bn an2 bn2 an bn , (*)
再由比较法知 an , bn绝对收敛，
n1
那么称为复数列{n }当n 时的极限，
记作
lim
n
n
,或当n
时， n
,
此时，也称复数列{ n }收敛于 .
不收敛的数列称为发散数列.
2
注 : 收敛数列一定有界 ;有界数列不一定收敛 .
例1
求
lim
1
i
n
.
n 2
分析：因为 1 i 2 1, 所以 lim 1 i n 0,
2
2
n 2
n1
于是
an
,
bn收敛，从而
也收敛
n
.
n1
n1
n1
由不等式*，我们得到
定理5 级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
n1
8
定义4
若 n
收敛，则称
为绝对收敛；
n
n1
n1
若
n
发散，而
收敛，则称
n
为
n
n1
n1
n1
条件收敛 .
思考题：(1)若n收敛， n 一定收敛吗？
n1
n1
(2)若n收敛， n发散，问 (n n )收敛吗？
级数
收敛
n
an和
bn 都收敛 .
n1
n1
n1
若n收敛，则n an i bn .
n1
n1
n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.
6
常见实级数敛散性判别法：
1）比较法；2）比值法；3）根值法；
4）交错级数的莱布尼兹判别法.
定理3 级数
收敛的必要条件:
n
lim
n
-----称为复变函数项级数；
级数前n项的和
n
sn (z) f1(z) f2(z) fn (z) fk (z) k 1
-----级数的部分和；
设z0为D内一点，如果
lim
n
sn (z0
)
s(z0
)存在，
则称级数(1)在z0处收敛，s(z0 )称为它的和. 12
如果级数(1)在D内处处收敛，则对于 D内的
故
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
“”已知
lim
n
a
n
a,
lim
n
bn
b,
即
0, N
0,当 n
N , 恒有 an
a
2
，bn
b
，
2
n (an a) i(bn b)
an a bn b ,
故
lim
n
n
.
4
2、 复数项级数
定义2 设复数列 { n } {an ibn }(n 1,2,, ), n 1 2 n ---无穷级数 n1
因为 z z0 ,
所以|
z
| |
z0
|
q
1,
cn z n cn z0n
n
z Mq n , z0
由于 Mqn收敛, 由比较判别法得 cnzn 收敛,
n0
n0
cn z n绝对收敛 .
n0
16
(2)用反证法， 若存在z1 , z1 z0 ， cn z1n收敛， n0 由(1)知 cnz0n收敛与假设矛盾，得证 . n0
n1
n1
n1
( 3)若 n和
都发散，问
n
(n n )收敛吗？
n1
n1
n1
9
例2 下列级数是否收敛？是 否绝对收敛？
1 i
in
(1)
( n1 n
2n
);
(2)
;
n1 n
(1)n
(3) [ n1 n
i 2n
];
(8i)n
(4)
.
n0 n!
解
(1)
n1
Hale Waihona Puke 1 n发散，n1
1 2n
i 2n
]收敛.
又 (1)n 条件收敛，原级数非绝对收敛 . n1 n
(4)
8i n
8n 收敛，
(8i)n 绝对收敛 .
n0 n! n0 n!
n0 n!
11
§2 幂级数
1、 函数项级数
定义1 设复变函数列：{ fn(z)} z D, n 1,2,
fn (z) f1(z) f2 (z) fn (z) (1)
1）若z0为收敛点，则对任意点 z，只要 z z0
级数皆收敛且绝对收敛.
2）若z0为发散点，则对任意点 z，只要 z z0
级数皆发散.
y
.z0 收敛点
0
x
y
. z0发散点
0
x
15
证明
(1)
n0
cn
z0n收敛
,
则
lim
n
cn
z0n
0.
于是，存在常数 M 0, 使得
cn z0n M , n 0,1,2,(?)
收敛，
n1
1 ( n
i 2n
)发散.
(2) 1 发散， i n 不绝对收敛 .
n1 n
n1 n
10
由于
in
( 1 1 1 ) i(1 1 1 1 )
n1 n
246
357
于是
i n 条件收敛 .
n1 n
(3)
n1
(
1)n
收敛，
n
n1
1 2n
收敛，
n1
[
(1)n n
任一点z, 级数(1)的和就是D内的一个函数，
记为s( z ).
即 lim n
sn ( z )
s( z )，
称为它的和函数 .
2、 幂级数
定义2 形如 cn(z z0 )n
(2)
n0
的函数项级数称为幂级数.
在(2)中令z z0 , (2)变为 cn n .
n0
13
所以，不失一般性，今 后主要讨论 cnzn . (3) n0
关于幂级数的收敛性问题，我们有著名的阿贝尔定理：
定理1 (----Abel定理）
⑴若级数 cn z n在 z z0 ( 0)收敛 , 则对满足
n0
z z0 的 z, 级数必绝对收敛 .
⑵若级数在 z z0发散 , 则对满足 z z0 的z, 级数必发散 .
14
所以，对于 cnz n，有 n0
于是
lim 1
i
n
0.
n 2
定理1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“”已知
lim
n
n
,
即
0, N 0,当 n N , 恒有 n . 3
n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n , bn b n ,
第四章 级 数
主 要 内 容： 1、复数项级数及其敛散性 2、幂级数 3、泰勒级数 4、洛朗级数
1
§1 复数项级数
1、 复数列的极限
定义1 设{n }(n 1,2,)为一复数列, 其中 n＝an ibn , a ib为一复常数 .
若 0, N 0,当 n N , 恒有 n ，
级数前n项的和
n
sn 1 2 n i ---级数的部分和 i 1
定义3 若部分和数列{sn }以有限数s为极限，
即
lim
n
sn
s, 则说
收敛于
n
s，s为
的和，
n
n1
n1
记作：s n .
5
n1
若部分和数列{sn }没有有限极限，则称
发散．
n
n0
根据复数项级数收敛的定义，我们有
定理2
n
0.
n1
注意经常应用定理3的逆否命题！
注意：定理3的逆命题不成立！
性质 级数
收敛
n
,
则
n
有界
.
n1
7
定理4
若
n
收敛
,
则
收敛
n
.
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2 ,
an , bn an2 bn2 an bn , (*)
再由比较法知 an , bn绝对收敛，
n1
那么称为复数列{n }当n 时的极限，
记作
lim
n
n
,或当n
时， n
,
此时，也称复数列{ n }收敛于 .
不收敛的数列称为发散数列.
2
注 : 收敛数列一定有界 ;有界数列不一定收敛 .
例1
求
lim
1
i
n
.
n 2
分析：因为 1 i 2 1, 所以 lim 1 i n 0,
2
2
n 2
n1
于是
an
,
bn收敛，从而
也收敛
n
.
n1
n1
n1
由不等式*，我们得到
定理5 级数 n 收敛 an 和 bn 都收敛.
n1
n1
n1
8
定义4
若 n
收敛，则称
为绝对收敛；
n
n1
n1
若
n
发散，而
收敛，则称
n
为
n
n1
n1
n1
条件收敛 .
思考题：(1)若n收敛， n 一定收敛吗？
n1
n1
(2)若n收敛， n发散，问 (n n )收敛吗？
级数
收敛
n
an和
bn 都收敛 .
n1
n1
n1
若n收敛，则n an i bn .
n1
n1
n1
n1
由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.
6
常见实级数敛散性判别法：
1）比较法；2）比值法；3）根值法；
4）交错级数的莱布尼兹判别法.
定理3 级数
收敛的必要条件:
n
lim
n