【小学奥数题库系统】1-3-6 公式运用.教师版

n −1 Sn a1q 0 + a1q1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1q= 等比数列求和公式：=
a1 (q n − 1) ( q ≠ 1 )； q −1
平方差公式： a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b ) ； 完全平方公式： ( a + b ) =a 2 + 2ab + b 2 ， ( a − b ) =a 2 − 2ab + b 2 ；
其中也可以直接根据公式 1 + 3 + 5 + 7 + + ( 2n − 1) = n 2 得出 1 + 3 + 5 + + 2001 + 2003 = 10022 【答案】 2008008 【例 6】 计算： 1 × 22 + 2 × 32 + 3 × 42 + + 18 × 192 + 19 × 202 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 分拆 ( 2 − 1 ) ×22 = 23 − 22 ，( 3 − 1 ) ×32 = 33 − 32 再用公式
1 1 × 20 × 21 × 41 − × 5 × 6 × 11 6 6 = 2870 − 55 = 2815 【答案】 2815 =
16 × 17 × 33 5 × 6 × 11 − 9× 6 6
【题型】计算
=12 + 22 + 32 + + 202 − (12 + 22 + 32 + 42 + 52 )
(
) (
)
= 502 × (1012 − 2 × 512 ) = 12497500
【答案】 12497500 【例 4】 计算：
1 + 23 + 33 + ⋅ ⋅ ⋅ + 20063 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星
1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 【答案】 2013021
= (12 + 22 + 32 + + 992 ) + (1 + 2 + 3 + + 99 )
⑵
1 = × 99 × 100 × 199 + 4950 6 = 328350 + 4950= 333300 原式 = 21 + 20 + 22 + 21 + 23 + 22 + + 299 + 298
=
=
=
【答案】⑴ 333300
(2 (2 (2
0
0
+ 21 + 22 + + 298 ) + ( 21 + 22 + 23 + + 299 )
+ 21 + 22 + 298 ) × 3
99
− 1) × 3
=× 3 299 − 3 ⑵ 3 × 299 − 3
【巩固】 看规律 13 = 12 ， 13 + 23 = 32 ， 13 + 23 + 33 = 62 ……，试求 63 + 73. + + 143 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，人大附中 【解析】 原式 = 13 + 23. + + 143 − 13 + 23. + + 53 = (1 + 2 + 3 + + 14 ) − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 )
4.
111 1 × 111 1 = 123 n 321 ，其中 n ≤ 9 ．
n个1 n个1
例题精讲
一、前 n 项和
【例 1】 12 + 32 + 52 + + 192 【考点】公式法之求和公式 【难度】2 星 【解析】 12 + 32 + 52 + + 192 = (12 + 22 + 32 + + 192 ) − (22 + 42 + + 182 ) 1 = × 19 × 20 × 39 − 4 × （ 12 + 22 + + 92） 6 1 = = 2470 − × 9 × 10 × 19 2470 − 285 = 2185 6 【答案】 2185
1-3-6.公式运用.题库 教师版
【题型】计算
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【巩固】 12 + 22 + 42 + 52 + 7 2 + 82 + 102 + 112 + 132 + 142 + 162 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【解析】 原式 = (12 + 22 + + 162 ) − (32 + 62 + 92 + 122 + 152 )
【解析】 原式 =
【题型】填空
(1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 )
2
1 = 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 = × 2006 × ( 2006 + 1) = 2013021 2
【例 5】 计算： 2004 × 2003 − 2003 × 2002 + 2002 × 2001 − 2001 × 2000 + + 2 × 1 = 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空
Байду номын сангаас
【答案】 41230 【例 7】 对自然数 a 和 n ，规定 a∇n = a n + a n −1 ，例如 3∇ 2 = 32 + 3 = 12 ，那么： ⑴ 1∇ 2 + 2∇ 2 + 3∇ 2 + + 99∇ 2 = ______________； ⑵ 2∇1 + 2∇ 2 + 2∇3 + + 2∇99 = ______________． 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】填空 2 2 2 99 【解析】 ⑴ 原式 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + + 99 + 99
2
(
) (
)
2
= 1052 − 152 = (105 − 15 )(105 + 15 ) = 90 × 120 = 10800 【答案】 10800
1 1 1 1 1 1 【例 8】 计算： 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 3 3 3 3 3 3 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【解析】 法一：利用等比数列求和公式。 1 7 1 × 1 − 7 3 = 1 − 1 × 3 = 1 264 原式 = 1 729 3 2 1− 3
2 2
用文字表述为： 两数和(或差)的平方， 等于这两个数的平方和， 加上(或者减去)这两个数的积的 2 倍， 两条公式也可以合写在一起： ( a ± b ) =a 2 ± 2ab + b 2 ．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾
2
平方， 2 倍乘积在中央”．
二、常用技巧
1. 2. 3.
abcabc = abc × 1001 ； ababab = ab × 10101 ； · · · · · · 1 2 3 = 0.142857 ， = 0.285714 ， = 0.4 28571 ， 7 7 7 · · · · · · 5 6 4 = 0.571428 ， = 0.714285 ， = 0.85714 2 ； 7 7 7
=
152 × (15 + 1) 4
2
− 8 × (13 + 23 + + 73 )
57600 − 2 × 7 2 × 82 = 8128 4
【答案】 8128 【巩固】 计算： 13 + 33 + 53 + + 993 = ___________． 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【解析】 与公式 13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n ) =
(23 − 22 ) + (33 − 32 ) + ...... + (203 − 202 ) = (1 + 23 + 33 + ...... + 203 ) − (1 + 22 + 32 + ...... + 202 ) 原式 =
= 1 1 × 202 × 212 − × 20 × 21 × 41 = 41230 4 6
【题型】计算
= (12 + 22 + + 162 ) − 32 × (12 + 22 + 32 + 42 + 52 ) = = 1496 − 495 = 1001
【答案】 1001 【例 2】 计算： 36 + 49 + 64 + 81 + + 400 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 2 2 2 2 【解析】 原式 = 6 + 7 + 8 + + 20
2
【题型】填空
2
n ( n + 1)
2
4
相比， 13 + 33 + 53 + + 993 缺少偶数项，所以可以
先补上偶数项． 原式 = 13 + 23 + 33 + + 1003 − 23 + 43 + + 1003
1 = × 1002 × 1012 − 23 × (13 + 23 + + 503 ) 4 = 1 1 × 1002 × 1012 − 23 × × 502 × 512 4 4
公式法计算
知识点拨
一、常用公式
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
n × (n + 1) ； 1+ 2 + 3 + + n = 2 n × (n + 1) × (2n + 1) ； 12 + 22 + 32 + + n 2 = 6 n 2 × (n + 1)2 2 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + 3 + + n ) = ； 4 1 + 3 + 5 + 7 + + ( 2n − 1) =1 + 2 + 3 + + ( n − 1) + n + ( n − 1) + + 3 + 2 + 1 = n 2 ；
【例 3】 计算： 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【解析】 原式 =1 + 2 + 3 + 4 + + 14 + 15 − 2 + 4 + + 14
3 3 3 3 3 3 3 3
(
3
)
【题型】计算
=
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。
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【关键词】2007 年，西城实验 【解析】 原式 = 2003 × 2 + 2001 × 2 + + 3 × 2 + 1 × 2 = 2 × (1 + 3 + 5 + + 2001 + 2003)
= 2 × (1 + 2003) × 1002 ÷ 2 = 2008008
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【题型】计算
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法二：错位相减法． 1 1 1 1 1 1 设 S =+ + + + + + 1 3 32 33 34 35 36 1 1 1 1 1 1 364 ． 则 3S = 3 + 1 + + 2 + 3 + 4 + 5 ， 3S − S = 3 − 6 ，整理可得 S = 1 3 3 3 3 3 3 729 法三：本题与例 3 相比，式子中各项都是成等比数列，但是例 3 中的分子为 3，与公比 4 差 1， 所 以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项 的分子变得也都与公比差 1．由于公比为 3，要把分子变为 2，可以先将每一项都乘以 2 进行算，最 后再将所得的结果除以 2 即得到原式的值． 2 2 2 2 2 2 1 由题设， 2S = 2 + + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ，则运用“借来还去”的方法可得到 2 S + 6 = 3， 3 3 3 3 3 3 3 364 整理得到 S = 1 ． 729 364 【答案】 1 729 【例 9】 计算 27 + 26 × 3 + 25 × 32 + 24 × 33 + 23 × 34 + 22 × 35 + 2 × 36 + 37 的值。 （已知 37 = 2187 ， 38 = 6561 ， 9 10 7 8 9 10 3 = 19683 ， 3 = 59049 ， 2 = 128 ， 2 = 256 ， 2 = 512 ， 2 = 1024 ） 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数 2 的指数减少 1 ， 3 的指数增加 1. 3 3 所以每一个加数是前一个加数的 倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为 的 2 2 等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。 记 S = 27 + 26 × 3 + 25 × 32 + 24 × 33 + 23 × 34 + 22 × 35 + 2 × 36 + 37 , 3 38 S = 26 × 3 + 25 × 32 + 24 × 33 + 23 × 34 + 22 × 35 + 2 × 36 + 37 + 2 2 3 S 38 S−S = = − 27 ，那么 S = 38 − 28 = 6561 − 256 = 6305 ，即原式的值为 6305 . 2 2 2 【答案】 6305