2019届湖南省百所重点名校大联考高三高考冲刺数学(文)试题(带答案解析)

2019届湖南省百所重点名校大联考高三高考冲刺
数学(文)试题
1．全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{
|B y y ==
，则
()U A B ⋂=ð（ ）
A ．[]1,2
B ．[)1,2
C ．(]1,2
D ．()1,2
2．x ，y 互为共轭复数，且()2
3i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．4
3．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()2
1
f x x x
=+
,则()1f -= ( ) A ．-2 B ．0 C ．1
D ．2
4．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）
A ．第一季度
B ．第二季度
C ．第三季度
D ．第四季度
5．下列四个命题：
1p ：任意 20x x R ，∈>；2p ：存在2 10x R x x ∈++<，；3p ：任意 sin 2x x R x ∈<，；4p ：存在x ∈R ，2cos 1x x x >++.
其中的真命题是（ ）
A ．12 p p ，
B ．23 p p ，
C ．34 p p ，
D ．14
p p ， 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）
A ．4
B ．
43
C ．83
D ．2
7．已知函数(
)3f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，以下结论错误的是（ ）
A ．函数()y f x =的图象关于直线6x π
=
对称
B ．函数()y f x =的图象关于点203
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
对称 C ．函数()y f x π=+在区间5,
6
6ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．在直线1y =与曲线()y f x =的交点中，两交点间距离的最小值为
2
π
8．记不等式组2020360x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
，表示的平面区域为D .下面给出的四个命题：
1:(,),0P x y D x y ∀∈+…
；2:(,),210P V x y D x y ∈-+„ ；31
:(,),
41
y P Z x y D x +∈--„ ；242:(,),2P x y D x y ∃∈+…
其中真命题的是： A ．12PP
B ．23,P P
C ．24,P P
D ．34,P P
9．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P
为平面内一点，且CP =u u u v
()
PC PA PB ⋅+u u u v u u u v u u u v
的取值范围是（ ）
A ．[]0,12
B ．30,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,6
D ．[]0,3
10．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，()()2log 2f x x x b =+++，则
()3f x >的解集为（ ）
A ．()(),22,-∞-+∞U
B ．()(),44,-∞-+∞U
C ．()
2,2-
D ．()4,4-
11．直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若
sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是（ ）
A B C ．1
D
12．已知函数()2ln x
z e f x k x kx x
=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k
的取值范围是（ ）
A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(]0,2
D ．[
)2,+∞ 13．执行下面的程序框图，若p =
1516
，则输出n 的值为______.
14．已知P 为抛物线C ：2y x =上一动点，直线l ：24y x =-与x 轴、y 轴交于M ，N
两点，点()2,4A -且AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r
，则λμ+的最小值为______.
15．锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，1BC =，则ABC V 面积的取值范围为______.
16．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且AB AC AD ===，
BC BD ==8CD =.若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最
大值为______.
17．已知数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n-a n ，（n=1，2，3，…） （Ⅰ）求证：数列{a n -1}是等比数列；
（Ⅱ）令b n =（2-n ）（a n -1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N *，都有b n +1
4t≤t 2，求实数t 的取值范围．
18．如图，在三棱锥V ABC -中，45ABC ∠=︒，2VB =，VC =
1BC =，
AB =V 在平面ABC 上的射影D 在线段AB 上．
（Ⅰ）求证：DC BC ⊥；
（Ⅱ）设二面角V AC B --为θ，求θ的余弦值．
19．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：
（I ）根据散点图判断在推广期内，y=a+b?
x 与x
y c d =⋅（c ，d 为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（I ）的判断结果求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据：
其中lg i i v y =，7
1
17i i v v ==∑
附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆv
a u β=+的斜率和
截距的最小二乘估计分别为：1
221
ˆn
i i i n
i i u v nuv
u nu β
==-=-∑∑，ˆˆa
v u β=-。

20．已知抛物线2
:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为
1
2
，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点
D .
（1）若D 的坐标为(0,2)，求a 的值；
（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为(0,)a -，过(0,2)M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，求PQ MG
的取值范
围.
21．已知函数1()ln a
f x a x x x
-=-++. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设2
2
()23x
g x e mx e =+--，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在
2[1,)x ∈+∞，使21()()g x f x ≤，求实数m 的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是2cos {
sin x y θ
θ
==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，和(20)，
，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求
22
11
||||OA OB +的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x =
（1）求()(4)f x f ≥的解集；
（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
先求出集合A 、B 的等价条件，结合集合交集、补集的定义进行计算即可． 【详解】
解：(){}{
}{}
2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，
{
{
}
2B y y y y ====
≥，
则{}
2U B x x =<ð，
则(){
}
12U A B x x ⋂=<<ð， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2．C 【解析】 【分析】
利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入
()
2
3i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模.
【详解】
设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()
2
22
23i 46i a a b -+=-，
所以()2
24a =，()
22
36a b +=，解得1=a ，1=b ，所以x y +=故选：C 【点睛】
此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题. 3．A 【解析】
因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A.
4．B 【解析】
方差最小的数据最稳定,所以选B. 5．D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：对于 20x x R ，∈>，1p 为真命题；2
2
1
3
1()024
x x x ++=++
>，2p 为假命题；3
23 sin()122ππ--=>，3p 为假命题；12x =-时2cos cos 162
x x x π>=>++，4p 为真
命题；选D. 考点：命题真假 【方法点睛】
判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题. 6．B 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥P ABC -，其中C 点为中点，该几何体的体积为：ABC 11142223323V S h ⎛⎫
=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
V . 本题选择B 选项.
7．C 【解析】
对于函数()3f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，令x=6π，求得f （x ）为函数的最大值，可得它的
图象关于直线6
x π
=
，故A 正确；
令x=
23π，求得f （x ）=0，可得它的图象关于点203π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
对称故B 正确；
函数y=f （x+π）3x ππ⎛
⎫
++
= ⎪⎝
⎭3x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，在区间5,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上，x+3π,22ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，故f （x+π）单调递减，故C 错误；
令f （x ）=1，求得sin 3x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
=
2
，∴x+3π=2kπ+4π，或x+3π=2kπ+34π，k ∈Z ，
故在直线y=1与曲线y=f （x ）的交点中，两交点间距离的最小值为2
π
，故D 正确； 故选C. 8．C
【解析】【分析】
由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解z=x+y，z1＝2x﹣y，z2
1
1
y
x
+
=
-
，z3
＝x2+y2，的范围，判断命题的真假即可．【详解】
实数x，y满足
20
2
360
x y
y x
x y
+-≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪-+≥
⎩
，由约束条件作出可行域为D，如图阴影部分，
A（﹣2，0），B（0，2），C（﹣1，3），z=x+y经过可行域的点A及直线BC时分别取得最值，可得：z∈[﹣2，2]，所以1P错误；
z1＝2x﹣y经过可行域的B、C时分别取得最值，可得：z1∈[﹣5，﹣2]，所以2P正确；
z2
1
1
y
x
+
=
-
，它的几何意义是可行域内的点与（1，﹣1）连线的斜率，
可得：DA的斜率是最大值为：
1
3 -；
BD的斜率取得最小值为：3-；z2∈[3-，
1
3
-]；所以
3
P错误；
z3＝x2+y2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，
最小值为原点到直线y=x+2的距离的平方：
）22
=，最大值为OC的平方：（﹣1﹣
0）2+（3﹣0）2＝10，z3∈[2，10]．所以4P正确；故选：C．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 9．A
【解析】
以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴，过点B 与BC 垂直的直线为y 轴，建立平面直角
坐标系，则()00B ，
、(1A 、()20C ， 设() P x y ，
因为CP =u u u v P 点轨迹为 ()2223x y -+=
令2x y θθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩
则()1PA θθ=-u u u v
(
)2,PB θθ=-u u u v
()PC θθ=u u u v 则(
)
16666cos 26PC PA PB sin πθθθ⎫⎛⎫⋅+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝
⎭ 故选A
点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点P 点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点．
10．A
【解析】
【分析】
由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，利用()00f =求出b 的值.然后解()3f x >这个不等式，求得x 的取值范围.
【详解】
由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，故()20log 2010f b b =++=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()()2log 21f x x x =++-，这是一个增函数，且()00f =，所以()0f x ≥，故()()33f x f x >⇔>，注意到()23f =，故2x >.根据奇函数图像关于原点对称可知，当2x <-时，()3f x <-，()3f x >.综上所述，()(),22,x ∈-∞-⋃+∞.故选A.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.
11．B
【解析】
分析：由正弦定理将sin 2sin ABF BAF ∠=∠角化边可得2AF BF =，结合抛物线的性质可知B 为PA 的中点，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出B 点坐标，即可求出k 的值．
详解：分别过A ，B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N ，则AF AM =，BF BN =.
设直线()2(0)y k x k =+>与x 轴交于点P ，则(2,0)P -.
∵抛物线的方程为28y x =
∴抛物线的准线方程为2x =-，即点P 在准线上.
∵sin 2sin ABF BAF ∠=∠
∴根据正弦定理可得2AF BF =
∴2AM BN = ∴12
PB BN PA AM ==，即B 为PA 的中点. 联立方程组2(2)8y k x y x =+⎧⎨=⎩
，消去x 可得：28160y y k -+=. 设211(,)8y A y ，222(,)8
y B y ，则1216y y =. ∵B 为PA 的中点
∴122y y =，即(1,B .
∵(2,0)P -
∴直线AB 故选B. 点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质的应用，对于直线与圆锥曲线的问题，通常通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用韦达定理，进而求解问题，故解答本题的关键是证出B 为PA 的中点.
12．A
【解析】
【分析】
由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【详解】
解：∵函数f x （）的定义域是0（，）
+∞ ∴()
()
()233222'x x e kx x e x k f x k x x x ---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点
∴2x =是导函数'0f x =（
）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）
+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2x
e g x x
=， 因为()
32'x e x g x x （）-=，
所以g x （）在02（，）
上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224
e g =（）， 所以必须2
4
e k ≤， 故选：A ．
【点睛】
本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．
13．5
【解析】
【分析】
根据框图，逐次循环即可求出答案.
【详解】
循环依次为S =0+12=12，n =2；
S =12+12=34，n =3；
S =34+18=78，n =4；
S =78+116=1516，n =5；
结束循环，输出n =5.
【点睛】
本题主要考查了框图，属于中档题.
14．74
【解析】
【分析】
根据直线l ：24y x =-与x 轴、y 轴交于M ,N 两点可得()()2,0,0,4M N -,再根据向量的坐标计算求得λμ+关于,x y 的表达式,再根据24y x =-换元,利用二次函数的最值求解即可.
【详解】
由题意得()()2,0,0,4M N -,设(,)P x y ，
由AP AM AN λμ=+u u u v u u u u v u u u v
得()()()2,40,42,0,x y λμ-+=+-
22,44x y μλ∴-=-+= 因此2242177242422244
y x x x x λμ+-⎛⎫+=-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭. 故答案为：
74 【点睛】
本题主要考查了平面向量的坐标计算,同时也考查了利用二次函数的性质求解最值的问题,属于中档题.
15．1424⎛+ ⎝⎦
【解析】
【分析】
由正弦定理可求出,AB AC ，代入三角形面积公式化简得1sin 223S c π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭根据
C ,62ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
可求出其范围. 【详解】
∵A 30∠=︒，BC 1=，可得：2sin sin AB AC C B
==∴AB 2sin C =，
AC 2sin B ==()12sin 150C 2cos cos 22C C C C ⎛⎫︒-=+= ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴ABC 1S 2AB AC ∆=⋅111sin 2sin (cos )sin 222234A C C C c π⎛⎫⋅=⨯⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭ ∵C ,62ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得：2C 3π-∈20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 2C (0,1]3π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，
可得：11sin 2232c π⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎝⎦
则ABC V 面积的取值范围为12⎝⎦
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，正弦型函数的值域，属于中档题.
16．8
【解析】
【分析】
如图，设CD 的中点为O ，则O 为BCD V 的外心，且外接圆半径4r =，连接AO ，BO ，确定球心1O 在直线AO 上，计算5R =，当球2O 直径最大时，球2O 与平面BCD 相切，且与球1O 内切，计算得到答案.
【详解】
由题意，得222BC BD CD =＋，所以BC BD ⊥，所以BCD V 为等腰直角三角形. 如图，设CD 的中点为O ，则O 为BCD V 的外心，且外接圆半径4r =.
连接AO ，BO ，因为AC AD ==AO CD ⊥，
2AO =，又4BO =，所以222AO BO AB =＋，所以AO BO ⊥，所以AO ⊥平面BCD ，
所以球心1O 在直线AO 上.
设球1O 的半径为R ，则有2221r OO R =＋，即()2
2162R R +-=，解得5R =. 当球2O 直径最大时，球2O 与平面BCD 相切，且与球1O 内切，
此时A ，O ，1O ，2O 四点共线，所以球2O 直径的最大值为18R OO +=.
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
17．（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）(−∞,−14]∪[12,+∞).
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用a 1+a 2+a 3+…+a n ＝n ﹣a n ，再写一式，两式相减，整理可得数列{a n -1}是等比数列；（Ⅱ）先确定b n =
n−22n ，再利用b n +1﹣b n ，确定b n 有最大值b 3＝b 4=18，从而对任意n ∈N *，都有b n +14t ≤t 2，等价于对任意n ∈N *，都有18≤t 2−14t 成立，由此可求实数t 的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）由题可知：a 1+a 2+a 3+...+a n =n −a n ，①
a 1+a 2+a 3+...+a n+1=n +1−a n+1，②
②-①可得2a n+1−a n =1.
即：a n+1−1=12(a n −1)，又a 1−1=−12.
所以数列{a n −1}是以−12为首项，以12为公比的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n =1−(12
)n ， ∴b n =(2−n )(a n −1)=
n−22n . 由b n+1−b n =n+1−2
2n+1−n−22n =3−n
2n+1>0可得n <3， 由b n+1−b n <0可得n >3.
所以b 1<b 2<b 3=b 4，b 4>b 5>...>b n >...，
故b n 有最大值b 3=b 4=18.
所以，对任意n ∈N ∗，都有b n +14t ≤t 2，等价于对任意n ∈N ∗，都有18≤t 2−14t 成立. 所以t 2−14t −18≥0，
解得t ≥12或t ≤−14.
所以，实数t 的取值范围是(−∞,−14]∪[12,+∞).
【点睛】
本题考查了由数列递推式推导等比数列的证明，考查恒成立问题及数列的最大项问题，考查了数列的单调性的判断，是中档题．
18．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
11【解析】
试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证；因为V 在平面ABC 上的射影D 在线段AB 上，所以VD ABC VD BC ⊥⇒⊥平面，又根据勾股定理可得BC VC ⊥，因此BC VCD DC BC ⊥⇒⊥平面（Ⅱ）求二面角，一般方法为利用空间向量，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量之间相等或互补的关系求二面角
试题解析：（Ⅰ）证明：2VB =，VC =1BC BC VC =⇒⊥，
VD ABC VD BC ⊥⇒⊥平面，
VD VC V ⋂=，BC VCD DC BC ∴⊥⇒⊥平面．
（Ⅱ）解：（法一）作DE AC ⊥垂足为E ，连接VE ，
则VED ∠为二面角V AC B --的平面角．
在BCD ∆中，45DBC ∠=︒，DC BC ⊥，1BC =，
1CD =∴
，BD =，45BDC ∠=︒，
在ADC ∆中，135ADC ∠=︒
，AD AB BD =-=
AC ∴=
DE ∴=VD ABC ⊥平面，VD CD ∴⊥
，又VC =
VD ∴=，
cos 11VE VED ∴=
⇒∠=．
（法二）在BCD ∆中，45DBC ∠=︒，DC BC ⊥，1BC =，
1CD =∴
，BD =，45BDC ∠=︒，
在ADC ∆中，135ADC ∠=︒
，AD AB BD =-=
又VD ABC ⊥平面，VD CD ∴⊥
，又VC =
VD ∴=，
如图建立直角坐标系， ()1,0,0D ，()0,1,0B ，()2,1,0A -
，(V ，
平面ABC 的法向量为()10,0,1e =，
平面VAC
的法向量为()
2e =-，
1212·cos 11
e e e e θ==．
考点：线面垂直性质定理，利用空间向量求二面角
【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
19．（I ）x y cd =适合（Ⅱ）0.540.25ˆ10x y
+=， 预测第8天人次347. 【解析】
【分析】
（I ）通过散点图，判断x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型（Ⅱ）通过对数运算法则，利用回归直线方程相关系数，求出回归直线方程，然后求解第8天使用扫码支付的人次.
【详解】
（I ）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.
（Ⅱ）因为x y c d =⋅，两边取常用对数得：()1111x gy g c d gc gd x =⋅=+⋅,
设lg ,lg lg y v v c d x =∴=+⋅
Q 7
214, 1.55,140i i x v x ====∑,
∴ 7172
21750.1274 1.547lg 0.2514074228
7i i
i i i x v x d x
x -==--⨯⨯====-⨯-∑∑， 把样本数据中心点(4,1.54)代入lg lg v c d x =+⋅得：lg 0.54c =，
ˆ0.540.25v
x ∴=+，
则10.540.25gy x =+
所以y 关于x 的回归方程为0.540.25ˆ10x
y +=，
把8x =代入上式得：0.540.258
ˆ10347y
+⨯==，
故活动推出第8天使用扫码支付的人次为347. 【点睛】
本题主要考查了线性回归方程的求法及应用，数学期望的应用，考查计算能力，是中档题．
20．（1）2a =-（2）(0,3
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为
1
2可得12
p =，从而得到抛物线的方程，然
后设出切线切线AD 的方程为2y kx =+，由0∆=求得k =±，由切点在抛物线上可
得到2a =-，即为所求．（2）由（1）得到以线段ND 为直径的圆为圆222
:O x y a +=．由
题意只需考虑斜率为正数的直线l '即可，根据几何知识得l k '=l '的方程为
2y a =+，由弦长公式可得PQ =MG =，所以
PQ MG =
==
，最后根据1a <-可得
0,3PQ
MG ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
． 试题解析：
（1）由抛物线2
:2(0)C x px p =->的焦点到准线的距离为1
2，得12
p =， 则抛物线C 的方程为2
x y =-.
设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2
x y =-得220x kx ++=，
由280k ∆=-=得k =±，
当k =A 的横坐标为2
k
-=
则(2
2a =-=-，
当k =-时，同理可得2a =-. 综上得2a =-．
（2）由（1）知，()()0,,0,N a D a -，
所以以线段ND 为直径的圆为圆222
:O x y a +=，
根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l '即可， 因为G 为直线l '与圆O 的切点， 所以OG MG ⊥，1cos 22
a MOG a
∠==
， 所以3
MOG π
∠=
，
所以,l MG k '=，
所以直线l '的方程为2y a =
+，
由22y a x y
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩消去y 整理得220x a ++=， 因为直线与抛物线相交，所以380a ∆=->．
设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122,x x x x a +==，
所以PQ ==
所以
PQ MG
=
==
， 设1
t a
=-
，因为1a <-，所以()0,1t ∈， 所以()2
380,11t t +∈，
所以
PQ
MG ⎛== ⎝⎭
. 点睛：
（1）求抛物线的切线和弦长问题可用代数法求解，注意联立消元后判别式在解题中的应
用．另外，解决解析几何问题还要注意平面几何知识的应用．
（2）圆锥曲线中的范围问题，解决时可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用基本不等式求出参数的取值范围； ③利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21．(1)见解析. (2)2(,]e e -∞-. 【解析】
分析：（1）先求一阶导函数()x 0f '=的根，求解()x 0f '>或()x 0f '<的解集，写出单调区间．
（2）当21a e =+时，求出()f x 的最小值，存在[
)21,x ∈+∞，使()()2g x f x ≤的最小值， 再分离变量构建函数()p x ，解()max m p x ≤． 详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 又()()()22
111'1x x a a a f x x x x
--+-=-
++=， 令()'0f x =，得1x =或1x a =-.
当1a ≤，则10a -≤，由()'0f x <得01x <<，由()'0f x >得1x >， 函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当12a <<，则011a <-<，由()'0f x <得11a x -<<， 由()'0f x >得01x a <<-或1x >，
函数()f x 在()1,1a -上单调递减，在()0,1a -和()1,+∞上单调递增. 当2a =，则11a -=，可得()'0f x ≥， 此时函数()f x 在()0,+∞上单调递增.
当2a >时，则11a ->，由()'0f x <得11x a <<-，
由()'0f x >得01x <<或1x a >-，
函数()f x 在()1,1a -上单调递减，在()0,1和()1,a -+∞上单调递增. （2）当21a e =+时，由（1）得函数()f x 在(
)2
1,e 上单调递减，
在()0,1和()
2
,e +∞上单调递增，
从而()f x 在[
)1,+∞上的最小值为()2
2
3f e e
=--.
对任意[
)11,x ∈+∞，存在[
)21,x ∈+∞，使()()21g x f x ≤，
即存在[
)21,x ∈+∞，()2g x 函数值不超过()f x 在区间[
)1,+∞上的最小值23e --.
由2
2
2
233x
e mx e e +--≤--得2
2
x
e mx e +≤，22
x
e e m x -≤.
记()22
x
e e p x x
-=，则当[)1,x ∈+∞时，()max m p x ≤. ()()
()
222
2
2'x x e x e e x
p x x ---=
(
)23
2x x
e x e e x +-=-
，当[]1,2x ∈，显然有
()
220x x e x e e +->，
当()2,x ∈+∞，(
)2
220x
x
x
x
e x e e
e x e
+->->，
故()p x 在区间[
)1,+∞上单调递减，得()()2
max 1p x p e e ==-， 从而m 的取值范围为(
2
,e e ⎤-∞-⎦.
点睛：先求一阶导函数()x 0f '=的根，求解()x 0f '>或()x 0f '<的解集，写出单调区间．对于双元双函数的恒成立问题，要分开讨论．
22．（1）线1C 的普通方程为2214
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；
（2）22115
||||4
OA OB +=. 【解析】
试题分析：（1）（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1，即可曲线C 1的参数方程化为普通方程，进而
利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩
即可化为极坐标方程，同理可得曲线C 2的直角坐标方程；
（2）由12M M 过()2
211x y +-=的圆心，得OP OQ ⊥得OA OB ⊥，设()1A ρθ，
，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222
121111||||OA OB ρρ+=+代入2222cos sin 14
ρθρθ+=中即可得解. 试题解析：
（1）曲线1C 的普通方程为22
14
x y +=，化成极坐标方程为2
222cos sin 14ρθρθ+=
曲线2C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=
（2）在直角坐标系下，()101M ，
，()220M ，，12:220M M x y +-= 恰好过()2
211x y +-=的圆心，
∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2
214
x y +=上的两点，
在极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入2
22211cos sin 14
ρθρθ+=中， 有
222211cos sin 14
ρθ
ρθ+=和
2
222
22cos 2sin 1
4
2πρθπρθ⎛
⎫
+
⎪⎛⎫⎝⎭
++= ⎪⎝
⎭ ∴22
211
cos sin 4θθρ=
+，22221sin cos 4
θθρ=+ 则
2
2
12
1
1
54ρρ+
=
，即22115
||||4
OA OB +=
23．（1）{|54}x x x -或≤≥；（2）12k -<≤. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）化简()
34f x x x =-++，即解即349x x -++≥，去绝对值求解即可；
（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-图象的上方，作出
函数图象，而()()3g x k x =-图象为恒过定点()30P ，
，且斜率k 的变化的一条直线，右图可得范围. 试题解析： （1） (
)
34f x x x =
=
=-++
∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，
∴4349x x x ≤-⎧⎨
---≥⎩，①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩，②或3349x x x ≥⎧
⎨-++≥⎩
，③
解得不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥ 所以()()4f x f ≥的解集为{|54}x x x -或≤≥
（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-图象的上方，
可以作出()21434743213x x f x x x x x x --≤-⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪+≥⎩
，
，，
，，的图象，
而()()3g x k x =-图象为恒过定点()30P ，，且斜率k 的变化的一条直线，作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，
其中2PB k =，()47A -，
，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，实数k 的取值范围应该为
12k -<≤.。