第6讲 不等式及其性质(培优课程讲义例题练习含答案)

不等式及其性质（提高）知识讲解

【学习目标】

1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.

2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.

【要点梳理】

知识点一、不等式的概念

一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

要点诠释：

(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．

(2)五种不等号的读法及其意义：

(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．

知识点二、不等式的基本性质

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b

c c >)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b

c c <)．

要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：

(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．

(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】

类型一、不等式的概念

1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).

【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的． 【答案】D. 【解析】

解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即

每一个糖果的重量小于

16

3

克．故A 选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B 选项错；

三个糖果的重量大于15克小于16克故C 选项错，四个糖果的重量小于16641

421333

⨯==克

故D 选项对．

【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式． 举一反三：

【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.

A ．■、●、▲

B ．▲、■、●

C ．■、▲、●

D ．●、▲、■ 【答案】C.

类型二、不等式的基本性质

2.下面四个命题：（1）2

2

ac bc >,则a b >；（2）a b >，则a c b c >；（3）若a b >，

则

1b

a

<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B.

【解析】(1)由2

2

ac bc >得0c ≠，因为2

c >0,所以a b >，正确； （2）因为a b >，当0c =时，a c b c =，所以错误；

（3）因为a b >，当0a =时，

b a 没有意义，而当0a <时，1b

a

>，所以错误； （4）因为0a >，所以0a -<，b a b -<，正确.

【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数. 举一反三：

【变式1】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．

A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；

B ．若a 2＞b 2

，则a ＞b C ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b| D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b

【答案】D.

【变式2】若点P （1﹣m ，m ）在第一象限，则（m ﹣1）x ＞1﹣m 的解集为 ． 【答案】x ＜﹣1.

解：∵点P （1﹣m ，m ）在第一象限，

∴1﹣m ＞0， 即m ﹣1＜0；

∴不等式（m ﹣1）x ＞1﹣m ， ∴（m ﹣1）x ＞﹣（m ﹣1），

不等式两边同时除以m ﹣1，得： x ＜﹣1，

故答案为：x ＜﹣1．

3.设a ＞0＞b ＞c ，且a+b+c=-1，若M ＝b c a +，N ＝a c b +，P ＝b

c

， 试比较M 、N 、P 的大小． 【答案与解析】∵a+b+c=-1， ∴b+c=-1-a ，

∴M=

1a a --=−1−1

a

， 同理可得N=−1−1b ，P=−1−1

c

；

又∵a ＞0＞b ＞c ， ∴

1

a

＞0＞1c ＞1b ，