第6讲 不等式及其性质(培优课程讲义例题练习含答案)
人教版数学七年级下《不等式与不等式组》培优训练题(附答案详解)
人教版数学七年级下《不等式与不等式组》培优训练题(附答案详解)1.若关于x的不等式3x-2m≥0的负整数解为-1，-2，则m的取值范围是()A。
-6≤m<-2B。
-6<-2C。
-2≤m<-3D。
-2<-3解析：将-1，-2代入不等式得到3x-2m≥0，解得m≤3/2.又因为m是负整数，所以m的取值范围为-6≤m<-2，选A。
2.已知{x+2y=4k。
2x+y=2k+1.且-1<x-y<1，则k的取值范围是()A。
-1<k<1/2B。
-1/2<k<1C。
-1<k<1/2D。
-1/2<k<1解析：将两个方程相加得到3x+3y=6k+1，即x+y=2k+1/3.将x-y-1代入得到2x>-1，即x>-1/2.将x+y=2k+1/3代入得到-2/3<k<1/3，即-1<k<1/2.选A。
3.若关于x的不等式(a-1)x<3(a-1)的解都能使不等式x<5-a 成立，则a取值范围是()A。
a<1或a≥2B。
a≤2C。
1<a≤2D。
a=2解析：将(a-1)x<3(a-1)化简得到x<3.将x<5-a代入得到a<2.综合可得a<1或a≥2，选A。
4.某校举行的足球赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场不得分，负一场倒扣2分。
一个队共进行14场比赛，且比赛中没有出现平局，如果得分不少于20分，那么该队最多只能负()A。
3场B。
4场C。
5场D。
6场解析：设该队赢了x场，则负了14-x场。
得分不少于20分，即3x-2(14-x)≥20，解得x≥7.最多只能负3场，选A。
5.已知x>y，则下列不等式成立的是()A。
-2x>-2yB。
4x>3yC。
5-x>5-yD。
x-2>y-3解析：将x>y代入选项中得到-2x>-2y，4x>3y，x-y>0，x-y>-1，只有B成立。
北师大版本八年级下册第二章不等式及其性质专题不等式性质讲义+习题(含解析)
不等式及其性质【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．重点：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．重点：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：(1)x 与-3的和是负数；(2)x 与5的和的28％不大于-6;(3)m 除以4的商加上3至多为5．【答案与解析】解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【变式】a a +的值一定是（ ）．A.大于零B.小于零C.不大于零D. 不小于零【答案】D.2.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.A.1个B.2个C.3个D. 4个【答案与解析】①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x＞10．故③正确； ④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．综上所述，正确的说法有3个．故选C ．类型二、不等式的基本性质3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．（6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确．故答案为：√、×、×、√、√、√．4.已知a ＞b ，下列关系式中一定正确的是（ ）A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b 【答案】D.【解析】解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3m”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3m ”，∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．【巩固练习】一、选择题1.在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列不等式表示正确的是( ).A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0 3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜05．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.A.a>cB.a<cC.a<bD.b<c6．下列变形中，错误的是（）.A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若213x->，则23x<-C．若115x-<，则x＞-5 D．若1115x>，则511x>二、填空题7．如果a ＜b ，则﹣3a ﹣3b （用“＞”或“＜”填空）．8．用不等式表示“x 与a 的平方差不是正数”为 ．9．在-l ，12-，0，23，2中，能使不等式5x ＞3x+3成立的x 的值是________；________是不等式-x ＞0的解．10．假设a ＞b ，请用“＞”或“＜”填空(1)a-1________b-1； (2)2a______2b ； (3)12a -_______12b -； (4)a+l________b+1． 11．已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)2a c _______2b c (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k 的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k 的取值范围是_______．（使用形如a ≤x ≤b 的类似式子填空．）三、解答题13．现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a≠0）；（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a≠0）． 14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是_______；②当a=-3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是__________；③当a=1，b=1时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是________；④根据上述数学实验你猜想a 2+b 2与2ab 的大小关系_______；⑤用a 、b 的其他值检验你的猜想______．15．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小．(1)8x-3和8y-3； (2)516x -+和516y -+； (3) x-2和y-1．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ；【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a 是等式，x 2﹣2x 是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y 是不等式．不等式共有4个．故选C.2. 【答案】D ；【解析】a 不是负数应表示为a ≥0，故A 错误； x 不大于5应表示为x ≤5，故B 错误；x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。
高三数学不等式的性质试题答案及解析
高三数学不等式的性质试题答案及解析1.若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又.选D【考点】不等式的基本性质.2.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小不确定【答案】C【解析】a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋，所以a<b，故选C.3.已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时比较c n与a n＋b n的大小．【答案】a n＋b n<c n.【解析】解：∵a，b，c∈{正实数}，∴a n，b n，c n>0，而＝()n＋()n.∵a2＋b2＝c2，则()2＋()2＝1，∴0<<1,0<<1.∵n∈N，n>2，∴()n<()2，()n<()2，∴＝()n＋()n<＝1，∴a n＋b n<c n.4.若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】A: ，∴，∴A错误；B：∵，∴，∴B错误；C：，∴C正确；D：，∴D错误.【考点】不等式的性质、作差比较大小.5. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.6. (2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是()A．B．C．(3,+∞)D．(4,+∞)【答案】B【解析】不等式f(x)≥g(x),即x2≥-m,因此m≥-x2.令h(x)=-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是.7.已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤并指明等号何时成立.【答案】见解析【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.所以由(1)(2)知原不等式成立.8.已知，则a,b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解析】，∴a＜b＜c．9.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.10.若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣3【答案】C【解析】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选C11.若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。
不等式-基本不等式辅导讲义(含详细解答)
例题1证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xzy ＞0， x z ＋y z ≥2 xyz ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥ 8 yz ·xz ·xyxyz＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．训练1解：∵x ，y 都是正数 ∴yx ＞0，x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0(1)xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233y x ＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.例题2解析 (1)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3. 又x ，y ，z 为正实数，∴x y ＋4yx ≥4， 当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y ＝ 4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥4＋4x y ·yx ＝8.当且仅当x y ＝yx ，即x ＝y ＝4时取等号． 答案 (1)B (2)D训练2解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x＝1，y＝12时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.(2)由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案(1)C(2)C解析由32＋x＋32＋y＝1可化为xy＝8＋x＋y，∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.答案 D课堂练习1、解析因为ab＞0，即ba＞0，ab＞0，所以ba＋ab≥2ba×ab＝2.答案 C2、解析由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案 C3、解析y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C4、解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b ＝2时取等号．答案9解析 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即当x ＝32，y＝2时取等号． 答案 3解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n 的最小值为4. 答案 4课后作业1、答案 C2、答案 A解析 由题意知，a <0，b a ＝－56，－1a ＝16，∴a ＝－6，b ＝5.∴x 2－5x ＋6<0的解是(2,3)．3、答案 C解析 作出可行域如图所示 .由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2、－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10,20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.4、答案 A解析 x －1x ≥2⇔x －1x －2≥0⇔－x －1x≥0⇔x ＋1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)≤0x ≠0⇔－1≤x <0. 5、答案 A解析 ∵ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，∴(a ＋b 2)2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)． ∴a ＋b 有最小值2(2＋1)．又∵ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，∴ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1，或ab ≤1－2(舍去)， ∴ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2.6、答案 A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256(a ＝b＝65时取等号)．7、答案 [－1,0]解析 由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R .可知2x 2－2ax －a ≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立，则Δ＝4a 2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.8答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，将其代入y 2xz，得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”，∴y 2xz的最小值为3.。
高三数学不等式的性质试题答案及解析
高三数学不等式的性质试题答案及解析1.已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】D【解析】∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.∴ab>ab2>a.也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.故应选D.2.已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，则(a－b)c2的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】依题意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.3.已知实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围为________．【答案】(－∞，－1)【解析】若a<0，则b2<1<b，产生矛盾，所以a>0，则b2>1>b，解得b∈(－∞，－1)．4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|【答案】C【解析】因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由，可得xy>xz，故选C.5. [2014·西安模拟]设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是()A．(0，)B．(－，)C．(0，π)D．(－，π)【答案】D【解析】由题设得0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.6.(2014·十堰模拟)若不等式-a<x-1<a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是________.【答案】a≥3【解析】设A={x|-a<x-1<a}={x|1-a<x<1+a},B={x|0<x<4},依题意知B⊆A,因此解得a≥3. 7.已知a>b>1，c<0，给出下列四个结论：①>；②a c<b c；③logb (a－c)>loga(b－c)；④b a－c>a b－c．其中所有正确结论的序号是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解析】a>b>1⇒，又c<0，故>，故①正确；由c<0知，y＝x c在(0，＋∞)上是减函数，故a c<b c．故②正确．由已知得a－c>b－c>1．故logb (a－c)>logb(b－c)．由a>b>1得0<loga (b－c)<logb(b－c)，故logb (a－c)>loga(b－c)．故③正确．8.若P=+,Q=+(a≥0),则P、Q的大小关系是() A．P>Q B．P=QC．P<Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】要证P<Q,只需证P2<Q2,即证2a+7+2<2a+7+2,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.9.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.10.>1的一个充分不必要条件是()A．x>y B．x>y>0C．x<y D．y<x<0【答案】B【解析】若x>y>0时>1,但>1时>0,不一定有x>y>0.故选B.11.观察下列不等式：1＋>1，1＋＋…＋>，1＋＋…＋>2，1＋＋…＋>，…，照此规律，第6个不等式_________________．【答案】1＋＋…＋>【解析】观察不等式：1＋＋>1＝；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；1＋＋…＋>；……所以由此猜测第6个不等式为1＋＋…＋>.12.设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．【答案】27【解析】根据不等式的基本性质求解. 2∈[16,81]，∈，＝2·∈[2,27]，的最大值是27.13.已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．【答案】①②③【解析】因为a＞b＞0⇒a2＞b2，故①正确；a＞b＞0⇒a＞b－1⇒2a＞2b－1，故②正确；因为a＞b＞0⇒ab＞b2＞0⇒＞b＞0，而()2－(－)2＝a－b－a－b＋2 ＝2(－b)＞0，所以③正确；因为当a＝3，b＝2时，a3＋b3＝35＜2a2b＝36，故④不正确．14.已知函数.（Ⅰ）若，使得不等式成立，求的取值范围；（Ⅱ）求使得等式成立的的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）根据=求出的最小值，从而求得得不等式成立的的取值范围．（Ⅱ）由=，可知当且仅当时有，从而成立.解不等式由此求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由= 3分使得不等式成立的的取值范围是 5分（Ⅱ）由= 7分所以，当且仅当时取等 9分所以的取值范围是 10分【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．15.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．16.设，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D，事实上由于函数是增函数，故是正确的．【考点】不等式的性质．17.设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则无意义，则A不正确；当时，，当时，，故B不正确；令，则，故C不正确；时，则，故D正确.【考点】不等式的运算.18.已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）最小值为3；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生的分析问题的能力和转化能力.第一问，用基本不等式分别对和进行计算，利用不等式的可乘性，将两个式子乘在一起，得到所求的表达式的范围，注意等号成立的条件必须一致；第二问，先用基本不等式将，，变形，再把它们加在一起，得出已知中出现的，从而求出最小值，而所求证的式子的右边，须作差比较大小，只需证出差值小于0即可.试题解析：（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以．【考点】1.基本不等式；2.不等式的性质；3.作差比较大小.19.设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力以及计算能力.第一问，利用不等式的性质，得出的最小值，列出等式，解出的值；第二问，解含参绝对值不等式，用零点分段法去掉绝对值，由于已知中有和4的大小，所以直接解不等式即可，最后综合上述所得不等式的解集.试题解析：⑴因为因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求. 4分⑵不等式即不等式，①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.③当时，原不等式可化为即由于时所以，当时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式的解集为 10分【考点】1.不等式的性质；2.绝对值不等式的解法.20.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是( )A．,B．,C．,D．,【答案】B【解析】从集合的定义，可三个不等式，也可得三个不等式，组合之后可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是不一定成立，也不一定成立，故A，C，D都不能选，只能选B．【考点】不等关系．21.已知且，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】只有当时，选项A，B正确；要使，必须，所以选项C错误；当时，，所以D正确，故选D．【考点】不等式的性质．22.已知x、y、z∈R,且，则的最小值为 .【答案】【解析】由柯西不等式，，因为.所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.【考点】柯西不等式23.若是任意实数，，则下列不等式成立的是( )A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】当时，，可排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ．【考点】不等式性质．24.若a，b R＋，a＋b＝1，则ab＋的最小值为 .【答案】【解析】由a，b R＋，a＋b＝1得 ab，a=b时取等号，ab＋=ab+=ab+=ab+=2+ab4+ab4+=，a=b时取等号.【考点】基本不等式的性质的应用.25.当时，则下列大小关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】取得，，故，故选Ｃ．【考点】比较大小．26.已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】不等式基本性质.27.设为正实数，满足，则的最小值是．【答案】3【解析】由已知得，∵，∴，即，两边同时平方得，.【考点】1、不等式的性质；2、基本不等式.28.已知正数满足则的取值范围是 .【答案】【解析】.由得：.所以，当时取等号.又当时，，所以.【考点】不等式的应用.29.已知函数（1）试求使等式成立的x的取值范围；（2）若关于x的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设=，利用零点分段法，将和写成分段函数的形式，然后观察=时自变量的取值范围即可；（2）这是不等式的有解问题，利用绝对值三角不等式求的最小值，.试题解析：（1）由=，又=，故使等式成立的x的取值范围为；（2）.【考点】1、零点分段法去绝对号；2、绝对值三角不等式；3、不等式有解问题.30.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处【答案】A【解析】设仓库到车站的距离是千米，那么有，，将，，分别代入两个式子，可得，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处.【考点】基本不等式及其应用31.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.选B.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.32.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由题意，，令，令，则，，，所以，所以.【考点】1.不等式的性质； 2.恒成立问题.33.设为实数，若，则的最大值是。
第六讲 不等式性质及证明
第六讲 不等式性质及证明一、知识整合：1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。
定理1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
定理2：若a b >，且b c >，则a c >。
说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。
定理3：若a b >，则a c b c +>+。
说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法； （3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。
定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。
推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。
说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。
高中数学--不等式的基本性质-习题(含答案)
高中数学 不等式的基本性质 习题1．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，则必有( )．A ．a ≤0 B．a ＞0 C ．b ＝0 D ．c ＞02．若a ＜1，b ＞1，那么下列命题中正确的是( )．A ．11a b >B ．1b a> C ．a 2＜b 2 D ．ab ＜a ＋b －13．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )．A ．11a b <B ．11a b> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 4．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，则3a －2b 的取值范围是( )．A ．B ．C ．D ．5．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( )．A ．2a a a b b >> B ．2a a a b b >> C ． 2a a a b b >> D ．2a a a b b>> 6．已知－3＜b ＜a ＜－1，－2＜c ＜－1，则(a －b )c 2的取值范围是__________． 7．若a ，b ∈R ，且a 2b 2＋a 2＋5＞2ab ＋4a ，则a ，b 应满足的条件是__________．8．设a ＞b ＞c ＞0，x =y =，z =x ，y ，z 之间的大小关系是__________．9．某次数学测验，共有16道题，答对一题得6分，答错一题倒扣2分，不答则不扣分，某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上？列出其中的不等关系．10．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，试比较33S a 与55S a 的大小．参考答案1. 答案：B 解析：由a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0知3a ＞0，故a ＞0.2. 答案：D 解析：由a ＜1，b ＞1得a －1＜0，b －1＞0，所以(a －1)(b －1)＜0，展开整理即得ab ＜a ＋b －1.3. 答案：C 解析：取a ＝2，b ＝12-，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b>，故A 错；取a ＝2，13b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但11a b <，故B 错；取54a =，56b =，满足a ＞1＞b ＞－1，但a 2＜2b ，故D 错，只有C 正确.4. 答案：D 解析：令3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，，所以125.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3， 所以115()222a b ≤+≤，5515()222a b -≤-≤， 故－2≤3a －2b ≤10. 5. 答案：C 解析：∵a ＜0，b ＜－1，则0a b >，b ＜－1，则b 2＞1，∴211b <. 又∵a ＜0，∴0＞2a b＞a .∴2a a a b b >>.故选C. 6. 答案：(0,8) 解析：依题意0＜a －b ＜2,1＜c 2＜4，所以0＜(a －b )c 2＜8. 7. 答案：a ≠2或b ≠12 解析：原不等式可化为(ab －1)2＋(a －2)2＞0.故a ≠2或b ≠12. 8. 答案：x ＜y ＜z 解析：x 2－y 2＝a 2＋(b ＋c )2－b 2－(c ＋a )2＝2c (b －a )＜0，所以x ＜y ，同理可得y ＜z ，故x ，y ，z 之间的大小关系是x ＜y ＜z .9. 答案：解：设至少答对x 题，则6x －2(15－x )≥60.10. 答案：解：当q ＝1时，333S a =，555S a =，所以3535S S a a <； 当q ＞0且q ≠1时，353511243511(1)(1)(1)(1)S S a q a q a a a q q a q q ---=---＝23544(1)(1)10(1)q q q q q q q -----=<-， 所以有3535S S a a <.综上可知有3535S S a a <.。
不等式的性质练习及答案
《不等式的性质》同步练习题知识点：1、不等式的性质1：不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变，用式子表示：如果a>b ，那么a ±c>b ±c．2、不等式的性质2：不等式的两边乘以(或除以)同一正数，不等号的方向不变，3、不等式的性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，用式子表示：a>b ，c<0，那么，ac < bc 或 a c < b c． 同步练习： 一、选择题（每题4分，共24分）1.2x ﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ）A.x ≤ 4B.x ≥ -5C.x ≤ -6D.x ≥ -73.不等式 -21x > 1 的解集是 （ ） A.x>-21 B.x>-2 C.x<-2 D.x< -21 4.已知x<y ，下列不等式成立的有 （ ）①x-3<y-3 ②-5x < -6y ③-3x+2 <-3y +2 ④-3x+2 > -3y +2A.①②B.①③C.①④D.②③5.若不等式（m-2）x > n 的解集为x > 1,则m ，n 满足的条件是 （ ）A.m = n -2 且 m >2B. m = n- 2 且 m < 2C.n = m -2 且 m >2D. n = m -2且 m < 26.在二元一次方程12x+y= 8中，当 y<0 时，x 的取值范围是 （ ）A. x < 32B. x >- 32C. x > 32D. x <- 32 二、填空题（每题4分，共12分）7.不等式5(x – 1)< 3x + 1 的解集是8.若关于x 的方程kx – 1 = 2x 的解为正实数，则k 的取值范围是9.已知关于x 的不等式x – m <1的解集为x <3，则m 的值为三、解答题 （共64分）10.解下列不等式：（1） 21-x < 354-x （2）- 31+x > 3 (3)2 - 24+x ≥ 31x - (4)1- 23-y > 3 + 4y (5)21-x - 312+x < 6x (6)25+x - 1 < 223+x 11.已知不等式5x -2 < 6x +1的最小正整数解是方程 3x -23ax = 6的解，求 a 的值。
2019版数学(文)培优增分一轮全国经典版培优讲义：第6章 不等式 第1讲不等关系与不等式 含答案
第1讲不等关系与不等式板块一知识梳理·自主学习［必备知识]考点1比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a〉b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.另外,若b>0,则有错误!>1⇔a>b；错误!＝1⇔a＝b；错误!<1⇔a〈b。
考点2不等式的性质1．对称性:a>b⇔b〈a；2．传递性：a>b，b>c⇒a〉c；3．可加性：a>b⇔a＋c〉b＋c;a>b，c〉d⇒a＋c〉b＋d；4．可乘性：a>b,c>0⇒ac>bc；a〉b，c<0⇒ac<bc;a〉b>0，c>d>0⇒ac>bd；5．可乘方性：a〉b>0⇒a n〉b n(n∈N,n≥2）;6．可开方性：a〉b>0⇒错误!>错误!（n∈N，n≥2）．[必会结论］1．a>b,ab〉0⇒错误!〈错误!.2．a<0〈b⇒错误!<错误!.3．a>b>0,0〈c<d⇒错误!>错误!.4．0<a〈x<b或a<x<b〈0⇒错误!<错误!〈错误!。
5．若a〉b〉0，m>0，则错误!〈错误!；错误!>错误!(b－m>0)；错误!〉错误!；错误!<错误!（b－m>0)．［考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”,错误的打“×”)(1）两个实数a，b之间，有且只有a〉b,a＝b,a〈b三种关系中的一种．（)(2)若错误!〉1,则a>b。
()（3）一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()（4）一个非零实数越大，则其倒数就越小．()（5)a>b>0，c〉d〉0⇒错误!>错误!.(）（6）若ab〉0，则a>b⇔错误!<错误!.(）答案（1）√(2）×（3)×（4)×(5）√(6）√2．[课本改编]设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(）A．M〉N B．M＝N C．M<N D．与x有关答案A解析M－N＝x2＋x＋1＝错误!2＋错误!>0,所以M〉N。
不等式基本性质练习题及答案
不等式基本性质练习题及答案一、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”1.不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。
2.如果a＞b，那么3－2a＞3－2b。
3.如果a是有理数，那么－8a＞－5a。
4.如果a＜b，那么a2＜b2。
5.如果a为有理数，则a＞－a。
6.如果a＞b，那么ac2＞bc2。
7.如果－x＞８，那么x＞－8。
8.若a＜b，则a＋c＜b＋c。
二、选择题：1．若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为A．a＞０ B．ａ＜０ C．ａ≥0 D．a≤02．若m＜ｎ，则下列各式中正确的是A．m－3＞ｎ－B.3m＞3n C.－3m＞－3n D.m3?1?n3?13．若a＜0，则下列不等关系错误的是A．a＋5＜a＋B.5a＞7a C.5－a＜7－a D.aa5?74．下列各题中，结论正确的是A．若a＞0，b＜0，则ba＞0; B．若a＞b，则a－b＞0C．若a＜0，b＜0，则ab＜0; D．若a＞b，a＜0，则ba＜05．下列变形不正确的是A．若a＞b，则b＜a; B．－a＞－b，得b＞aC．由－2x＞a，得x＞?a2; D．由x2＞－y，得x＞－2y6．有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b 恒成立，则a得取值范围是A．a＞b B．ab＞0 C．ab＜0 D．－a＞－b8．绝对值不大于2的整数的个数有A．3个 B．4个 C．5个 D．6个- 1 -）三、填空：9．若a＜0，则－a?bb____－;2ab____.310．设a＜b，用“＞”或“＜”填空： a－1____b－1， a＋3____b＋3，－2a____－2b， 11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a－b____0， a＋b____0，ab____0，a2____b2，12．若a＜b＜0，则11____，︱a︱____︱b︱. ab1____0.四、解答题：13.根据不等式的性质，把下列不等式表示为x＞a或x＜a的形式：10x－１＞9x; x＋2＜3; －6x≥214.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件。
不等式的基础知识点与习题(含答案)
不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加)(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
(新人教版)七年级数学下册：《不等式的性质》表格式教案及习题(含答案)
9.1.2 不等式的性质（2）1、会依据“不等式性质1 " 解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集；2、学会运用类比思想来解不等式，培育学生察看、剖析和归纳的能力；教课目的3、在踊跃参加数学活动的过程中，培育学生勇敢猜想、勇于讲话与合作沟通的意识和脚踏实地的态度以及独立思虑的习惯．教课难点 依据“不等式性质 1”正确地解一元一次不等式。
知识要点依据“不等式性质 1”正确地解一元一次不等式。
教课过程（师生活动）设计理念小希就读的学校上午第一节课上课时间是8 点开始． 小希家距学设里一个学生很熟 校有 2 千米，而他的步行速度为每小时 10 千米．那么，小希上午几悉的问题情境， 能增点从家里出发才能保证不迟到？强亲和力．经历由具1、 若设小希上午 x 点从家里出发才能不迟到，则x 应知足如何的关体的实例成立不等系式？式模型的过程， 既可 提出问题让学生感觉不等式 2、 你会解这个不等式吗？请谈谈解的过程． 3、 你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？在实质生活中的应 用，又特别自然地引入新课．1、 分组商讨：对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思虑而后组内沟通，作出记录，最后各组派代表发主。
2、 在学生充足议论的基础上，师生共同归纳得出：培育学生主动参加、 （ 1） x 应知足的关系是：x1合作沟通的意识， 提≤ 851，得： x主同学生的察看、 分 （ 2） 依据“不等式性质1” , 在不等式的两边减去析、归纳和抽象能力重申“≤” 与“<” ＋ 1 － 1≤ 8－ 1 ，即 x ≤ 745在乎义上和数轴表（ 3） 55 5 5示上的差别。
这个不等式的解集在数轴上表示以下：研究新知我们在表示 74的点上画实心圆点， 意思是取值范围包含这个数。
53、 例题解以下不等式，并在数轴上表示解集： （ 1）3x < 2x ＋ 1（2） 3－ 5x ≥ 4 － 6x 师生共同商讨后得出：上述求解过程相当于由3x<2x+1，得 3x-2x < 1 ；由 3－ 5x ≥ 4－ 6x ，得－ 5x+6x ≥ 4-3. 这近似于解方程中的“移项” ．可见，解不等式也能够“移项” ，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．最后由教师完好地板书解题过程．稳固新知1、解以下不等式，并在数轴上表示解集：类比解方程的方法，让学生初步感觉不等式与方程的关系。
《不等式的基本性质》典型例题及解析
《不等式的基本性质》典型例题及解析典型例题一例题01 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．解答（1）根据不等式的性质，不等式的两边都加5，不等号的方向不变，所以，∴．（2）根据不等式的性质，两边都减去，不等号的方向不变，所以，∴．（3）根据不等式的性质，两边都乘以4，不等号的方向不变，所以，∴．（4）根据不等式的性质，两边都除以－5，不等号的方向改变，所以，∴．例题02 若，用“＜”或“＞”来填空：（1）；（2）．分析由于，不等式两边都减去5，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以－5，不等号的方向改变．解答（1）＜，（2）＞．例题03 用“”或“”号填空若且则：（1） _____；（2） _____；（3） _____；（4） _____；（5） _____；（6） _____；（7） _____；（8） _____．解答（1）因为，根据不等式的性质1，有；（2）因为，根据不等式的性质1，有；（3）因为，根据不等式的性质2，有；（4）因为，根据不等式的性质3，有，再由不等式性质1，有；（5）因为，由不等式的性质1，；（6）因为，由不等式的性质1，；（7）因为且，由不等式性质2知；（8）因为且，由不等式性质3，有说明解这类题应先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了什么样的变形得来的，弄清楚了，再对照不等式的性质，决定是否要改变不等号的方向．例题04 判断下列各题的结论是否正确，并说明理由．（1）如果，，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，且，那么．解答（1）不正确．因为当或时，不成立；（2）正确．因为成立，必有且，根据不等式基本性质2，得；（3）正确．根据不等式基本性质1，由，两边都加上，得；（4）不正确．因为，那么有可能大于0，也有可能小于0，当时，根据不等式基本性质3，两边同除以得．说明①注意成立则隐含着这个条件且；②要注意（4）小题中的条件“”的讨论，因为代表有理数，所以可能取正，也可能取负数．例题05 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）；（2）；（3）；（4）解答（l）根据不等式基本性质1，不等式两边都加上5，不等号的方向不改变，所以，即（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去，不等式不改变方向，所以，即（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同除以（或乘以），不等号不改变方，所以，即（4）根据不等式基本性质3，不等式两边同乘以－2（或除以－）；不等号改变方向，所以，即说明在运用不等式基本性质3时，一定不要忘记改变不等号的方向．典型例题二1．有理数a，b在数轴上的位置如图，在下列各题中表示错误的是( )A．a−b>0 B．ab> 0 C．c−a<c−b D．>答案：D说明：不难看出a>b>0，所以A、B中表示的显然正确；由a>b可得−a<−b，两边同时加上c，则有c−a<c−b成立；只有D中的表示错误，因为a>b>0，所以将a>b两边同时除以ab，不等号方向不改变，即此时有>成立，所以答案为D．2．有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )①b+c>0 ②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>acA．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C说明：由图中所给a、b、c三个数在数轴上点的位置，可以得到：①b>0，c<0且|b|<|c|，从而b+c<0；②b>c，不等式两边都加上a，得a+b>a+c；③a>b，不等式两边同乘以c(c<0)，得ac<bc，即bc>ac；④b>c，不等式两边同乘以a(a>0)，得ab>ac；所以②③④正确，答案为C．判断正误：①如果−a>−b，则a>b ( )错；−a>−b两边同乘以−1，不等号方向改变，得a<b②如果 2a>−2b，则a>−b ( )对； 2a>−2b两边同除以2，不等号方向不变，得a>−b③如果ab>ac，则b>c ( )错；当a≤0时，由ab>ac无法得出b>c④若x>，则x>1 ( )错；取x = −，则x>成立，但此时x>1不成立⑤若a−5>b−5，则a>b ( )对；a−5>b−5两边同加5即a>b⑥若a>b，则a2>b2 ( )错；取a = −1，b = −2，此时a>b成立，但a2<b2⑦若>，则a<b ( )错；取a = 1，b = −1，此时>成立，但a>b⑧若a>b，c>d，则ac>bd ( )错；取a = 1，b = 0，c = −1，d = −2，此时a>b，c>d都成立，但ac<bd。
(新教材)新人教A版必修第一册培优练习：(6)等式性质与不等式性质 Word版含答案
精英同步卷（6）等式性质与不等式性质1、若110a b<<,则下列结论中不正确的是( ) A.22a b < B.2ab b < C.0a b +<D.a b a b +>+2、下列不等式中,成立的是( ) A.若,a b c d >>,则a c b d +>+ B.若a b >,则a c b c +<+ C.若,a b c d >>,则ac bd > D.若,a b c d >>,则a b c d> 3、若110a b<<,则下列结论不正确的是( ) A.22a b <B.2ab b <C.2b a a b+> D.a b a b -=-4、已知0a b >>,则下列不等式成立的是( ) A.33a b >B.11a b> C.a b < D.22a b <5、已知1201,01a a <<<<,记1212,1M a a N a a ==+-,则M 与N 的大小关系是( ) A.M N <B.M N >C.M N =D.无法确定6、已知12,(1,)a a ∈+∞,设1212111,1P Q a a a a =+=+,则P 与Q 的大小关系为( ) A.P Q >B.P Q <C.P Q =D.不确定7、若0a b >>,则下列不等关系中不一定成立的是( ) A.a c b c +>+B.ac bc >C.22a b >>8、若0,0a b c d >><<,则一定有( ) A.a bc d> B.a b c d< C.a b d c> D.a b d c< 9、已知a b c >>,且0a b c ++=,则下列不等式恒成立的是( ) A.ab bc > B.ac bc > C.ab ac >D.a b b c >10、已知2R,(1)(3),(2)a p a a q a ∈=--=-,则p 与q 的大小关系为( ) A.p q >B.p q ≥C.p q <D.p q ≤11、已知2b a b <<-,则ab的取值范围是__________. 12、已知,αβ满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩,则3αβ+的取值范围是_________.13、若实数,a b 满足02,01a b <<<<,则a b -的取值范围是_________.14、对于实数,,a b c ,有下列命题:①若a b >,则ac bc <;②若22ac bc >,则a b >;③若0a b <<,则22a ab b >>;④若0c a b >>>,则a b c a c b >--;⑤若11,a b a b>>,则0,0a b ><.其中正确的是_________.(填写序号)15、已知ABC △的三边,,a b c 满足2,2b c a c a b +≤+≤,则ba的取值范围是___________.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：∵110a b<<,∴0b a <<,∴222,,0b a ab b a b ><+<,∴A,B,C 均正确,∵0b a <<,∴a b a b +=+,故D 错误,故选D.2答案及解析： 答案：A解析：由性质5知A 选项正确; 由不等式性质3知B 错. 设3,1a b ==,1,2c d =-=-,则,a bac bd c d<<,所以C 、D 错,故选A.3答案及解析： 答案：D解析：由110a b <<,不妨令1,2a b =-=-,可得22a b <,故A 正确;2ab b <,故B 正确;1222b a a b +=+>,故C 正确;1,1a b a b -=--=,故D 不正确.故选D.4答案及解析：答案：A解析：由0a b >>,可得2211,,a b a b a b>><,故选项B,C,D 均不成立.∵0a b >>,∴330a b >>.故选A.5答案及解析： 答案：B解析：∵1201,01a a <<<<,∴12110,110a a -<-<-<-<,∴12121212(1)1M N a a a a a a a a -=-+-=--+12212(1)(1)(1)(1)0a a a a a =---=-->,∴M N >,故选B.6答案及解析：答案：B解析：12121211212121212121211(1)(1)(1)1111a a a a a a a a a P Q a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++-+----=+-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12,(1,)a a ∈+∞,所以121210,10,0a a a a ->-<>, 所以1212(1)(1)0a a P Q a a ---=<,所以P Q <.故选B.7答案及解析： 答案：B解析：因为0a b >>,由不等式的性质3,可得A 正确;由不等式的性质7,可得C 正确;由不等式的可开方性,可得D 正确;根据不等式的性质4,在不等式两边同乘c ,当0c <时,ac bc <,所以B 不一定成立,故选B.8答案及解析： 答案：D解析：已知0,0a b c d >><<,所以110d c ->->,所以a b d c->-,故a bd c <,故选D.9答案及解析： 答案：C解析：因为a b c >>,且0a b c ++=,所以0,0a c ><,所以ab ac >.10答案及解析： 答案：C解析：222(1)(3)(2)43(44)10p q a a a a a a a -=----=-+--+=-<，所以p q <,故选C.11答案及解析： 答案：12ab-<< 解析：因为2b a b <<-,所以2b b <-,所以0b <,所以10b <,所以2b a b b b b -<<,即12a b-<<.12答案及解析：答案：设3()(2)()(2)v v v αβλαβαβλαλβ+=+++=+++.比较,αβ的系数,得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩,解得12v λ=-⎧⎨=⎩,由题意,得11αβ-≤--≤①,2246αβ≤+≤②,①+②得137αβ≤+≤. 解析：13答案及解析： 答案：12a b -<-<解析：∵01b <<,∴10b -<-<.∵02a <<,∴12a b -<-<.14答案及解析： 答案：②③④⑤解析：对于①,当0c =时,可得ac bc =,故①为假命题;对于②,由22ac bc >,得0c ≠,故20c >,所以可得a b >,故②为真命题;对于③,若0a b <<,则2a ab >,且2ab b >,所以22a ab b >>,故③为真命题;对于④,若0c a b >>>,则c c a b <,则c a c b a b --<,则a bc a c b>--,故④为真命题;对于⑤,若a b >,11a b >,则b aab ab>,故0ab <,所以0,0a b ><,故⑤为真命题.综上可得②③④⑤为真命题.15答案及解析：答案：2332b a <<解析：∵2,2b c a c a b +≤+≤,且,c a b c b a >->-,∴22a b c b a c c a b c b a -<⎧⎪-<⎪⎨≤-⎪⎪≤-⎩∴2222a b a b a b b a b a a b b a b a-<-⎧⎪-<-⎪⎨-<-⎪⎪-<-⎩∴2332b a <<.。
(2021年整理)不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)
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理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1）|a＋b｜≤|a|＋|b｜(a，b∈R）．（2）|a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜(a，b∈R）.2。
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b｜≤c，|ax＋b|≥c,｜x－c｜＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)｜f（x）｜>a（a〉0)⇔f(x)〉a或f（x)〈－a；(2）|f（x）|<a（a〉0）⇔－a〈f（x）〈a;（3）对形如｜x－a|＋｜x－b｜≤c，｜x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a｜－|b｜≤|a±b|≤｜a|＋｜b｜.问题探究:不等式｜a｜－|b|≤｜a±b｜≤|a|＋|b｜中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式｜a｜－｜b|≤｜a＋b｜≤|a｜＋｜b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝"成立的条件是ab≤0且|a|≥|b｜；不等式｜a|－｜b|≤|a－b｜≤｜a|＋｜b｜，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且｜a|≥|b｜.3．基本不等式定理1：设a，b∈R,则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a＝b时，等号成立．定理3:如果a、b、c为正数，则错误!≥错误!,当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数,则a1＋a2＋…＋a nn≥错误!，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式:设a，b,c，d为实数，则（a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i,b i(i∈N＊）为实数，则（错误!错误!)（错误!错误!）≥（错误!i b i）2，当且仅当b i＝0（i＝1,2，…,n）或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时,等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量,则|α｜·｜β|≥｜α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×"）(1）对|a＋b｜≥｜a|－|b｜当且仅当a>b>0时等号成立．（）(2)对|a－b｜≤|a｜＋｜b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )(3)|ax＋b｜≤c（c>0）的解等价于－c≤ax＋b≤c.（）（4）不等式|x－1｜＋｜x＋2｜〈2的解集为Ø.（)（5)若实数x、y适合不等式xy〉1，x＋y>－2，则x〉0，y>0.( )[答案] (1)×(2）√(3）√（4）√(5)√2．不等式｜2x－1｜－x〈1的解集是( ）A．｛x｜0〈x<2｝B．{x｜1〈x〈2}C．{x|0〈x<1} D．{x｜1<x<3｝［解析] 解法一：x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.解法二：令f(x)＝错误!则f(x)<1的解集为｛x|0〈x〈2｝．［答案］A3．设|a｜〈1,|b｜<1，则｜a＋b|＋|a－b｜与2的大小关系是（) A．｜a＋b|＋｜a－b｜〉2 B．|a＋b｜＋｜a－b|〈2C．|a＋b|＋｜a－b｜＝2 D．不能比较大小[解析］|a＋b|＋｜a－b｜≤|2a|〈2.[答案] B4．若a，b，c∈（0，＋∞）,且a＋b＋c＝1,则a＋错误!＋错误!的最大值为（）A．1 B．错误!C。
不等式性质与解不等式(有答案)
高一期末——复习不等式性质与解不等式(1)a>b c a ±⇒ > c b ± (2)a>b ，c>0⇒ac > bc 或a b cc>(3)a>b ，c<0⇒ac < bc 或a b cc <(4)⇔>0baab > 0⇔a 、b 同 号 (5)⇔<0baab < 0⇔a 、b 异 号 (6)a > b ，c > d ⇒a + c > b + d 二、两个实数大小的比较a –b > 0⇔ a>b ； a – b = 0⇔ a=b ； a – b < 0⇔ a<b ； 三、一元一次不等式的一般形式为ax > b ，它的解的情况如下：(1) 如果a > 0，那么解集为b x a >；如果a < 0，那么解集为b x a<。
(2) 当a = 0时，① 如果b ≥ 0，那么不等式ax > b 的解集为φ。
② 如果b < 0，那么不等式ax > b 的解集为R 。
四、一元二次不等式的解法： 图象解法：即利用二次函数的图象与一元二次方程的根及一元二次不等式的关系来解，规律如下表(a>0)五、解分式不等式： 1、最高次项系数化正；2、从最大零点的右上方开始穿线；3、奇穿偶不穿；4、注意零点的处理。
一、选择题：1、下列结论正确的是( C )A 、若a > b ，则| a | > | b |B 、若a > b ，则ac > bcC 、若a + c > b + c ，则a > bD 、若1<ba，则a < b2、已知：a > b ，c ∈R ，则下列不等式成立的是( D )A 、a + c > b – cB 、ac > bcC 、ac 2 > bc 2D 、a·2c > b·2c3、不等式－2x >－6的解集为(D )A 、{x |x >3}B 、{x |x >－3}C 、{x |x <－3}D 、{x |x <3}4、不等式x 2 – 2x – 3 > 0的解集为( B )A 、{x | x < - 3 或 x > 1}B 、{x | x < - 1 或 x > 3}C 、{x | - 1 < x < 3}D 、{x | - 3 < x < 1}5、不等式x 2 – x +41> 0的解集为( C ) A 、{x | x >21} B 、{x | x >21}C 、{x | x ≠21} D 、R6、不等式(x 2 – 4)(x – 6)2 ≤0的解集为( C ) A 、[- 2，2] ∪{6} B 、(-∞，-2]∪[2，+∞) C 、[- 2，2] D 、[2，+∞) 解题过程：原不等式转化为(x+2)(x-2)(x-6)20≤ 用穿根法求解，如图所示：图中阴影部分即为所要求的解集，故答案为C7、一元二次不等式ax 2 + bx + 2 > 0的解集为(21-，31)，则a – b 是( C ) A 、- 14 B 、14C 、-10D 、10解题过程： 由题意可知，112311223b aa⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩ 解得，a=-12，b=-2, 所以a-b=-10，答案为C8、方程mx 2 – 2x + m = 0有两相异实根，则m 的取值范围是( D )A 、(- 1，0)∪(0，1)B 、(-∞，1)C 、(- 1，1)D 、(-∞，-1)∪(1，+∞)△=(-2)2-4m 2=4-4m 2<0 解得m>1或m<-1 故答案为D9、不等式(a – 2)x 2 + 2(a – 2)x – 4 > 0的解集是空集，则a 的取值范围是：（ ）A 、(-∞，-2)∪(2，+∞)B 、(-∞，-2]∪[2，+∞)C 、(- 2，2)D 、[- 2，2]①当a-2=0，即a=2时，原不等式转化为-4>0，此时解集为空集，符合题意 ②当a≠2时，此时原不等式为一元二次不等式，解集为空集的条件为()()220421620a a a -<⎧⎪⎨=-+-≤⎪⎩ 解得22a -≤<综上①②所述，可知a 的取值范围是22a -≤≤ 故答案为D （1）()()()3221603x x x x -++≤+ （2）0232≤-+-ax x x(1) 222123123604424x x x x x ⎛⎫++=+++=++> ⎪⎝⎭ ()230x +≥所以原式转化为()()321030x x -≤+≠且 解得1x ≤且-3x ≠故不等式的解集为}{1-3x x x ≤≠且（2）()()210x x x a--≤-下面对a 进行讨论①当2a ≥时，穿根法可得解得12x x a ≤≤<或②当12a <<时，穿根法可得解得12x a x ≤<≤或 ③当1a ≤时，穿根法可得解得12x a x <≤≤或不等式性质与解不等式课后检测一、 选择1、已知a > 0，b < 0，则下列各式成立的是( C ) A 、ab > 0 B 、0>abC 、a – b > 0D 、a + b > 02、关于x 的不等式ax-b > 0的解集(1，+∞)，关于x 的不等式(ax -b)(x -2) >0的解集是( D )A 、(-∞，– 1)∪(2，+∞)B 、(– 1，2)C 、(1，2)D 、(-∞，1)∪(2，+∞)3、不等式 | x |·(1 – 2x) > 0的解集为( B )A 、(-∞，21) B 、(-∞，0) ∪(0，21) C 、(21，+∞) D 、(0，21)4、已知不等式|f(x )|>a(a>0)的解集为(－∞，1)∪(3，+∞)，则不等式|f(x )|<a 的解集为( C )A 、(－∞，1)∪(3，+∞)B 、[1，3]C 、(1，3)D 、无法确定 5、已知|x – a| < b 的解集是{x | – 2 < x < 6}，则a ，b 分别是( B )A 、– 2，– 4B 、2， 4C 、– 2， 4D 、2，– 4二、解下列一元二次不等式或一次不等式（组） (1) －2x 2－x +30≤2x 2+x -30≤ (2x+3)(x -1)0≤解得312x -≤≤ (2) 4x 2+4x +1>0(2x +1)2>02x +10≠ 解得12x ≠-（3）|53|220x x ->⎧⎨-≥⎩①②解①式，2532x -<-<713x ⇔<< 解②式，2x ≥两式的解集取交集，可解不等式组为723x ≤<（4）3≤|2x －5|<9原不等式可转化为9253x -<-≤ 解得24x -<≤三、解答题1、已知-2 < a < 3，-5 < b < -1，求2a – 5b 的取值范围. 解：由题意可知，426a -<< 5525b <-<所以12531a b <-<2、当x 取任意实数时，总有x 2 – mx + 4恒取正数，求m 的取值范围。
新教材高中数学微专题培优练六第二章等式性质与不等式性质课时练习课件新人教A版必修第一册ppt
＝bac－b ＋(a－c)＝1a (c－a)(b－a)>0，所以 A>B. 答案：A>B
6．(1)“x1>0 且 x2>0”是“x1＋x2>0 且 x1x2>0”的________条件；(2)“x1>2 且 x2>2” 是“x1＋x2>4 且 x1x2>4”的________条件．
(2)令 5a＋b＝λ(2a＋b)＋μ(a－b)＝(2λ＋μ)a＋(λ－μ)b.
所以2λλ＋－μμ＝＝51，， 解得λμ＝＝2，1，
所以 5a＋b＝2(2a＋b)＋(a－b).
因为－1<2a＋b<2， 所以－2<2(2a＋b)<4. 又 3<a－b<4， 所以 1<2(2a＋b)＋(a－b)<8. 故 5a＋b 的取值范围为{x|1<x<8}．
(2)根据不等式性质可得“x1>2 且 x2>2”⇒“x1＋x2>4 且 x1x2>4”，
所以“x1>2 且 x2>2”是“x1＋x2>4 且 x1x2>4”的充分条件； 例如：x1＝1，x2＝5，满足“x1＋x2>4 且 x1x2>4”，但是不满足“x1>2 且 x2>2”．“x1 ＋x2>4 且 x1x2>4”不能推出“x1>2 且 x2>2”． 所以“x1>2 且 x2>2”是“x1＋x2>4 且 x1x2>4”的非必要条件． 所以“x1>2 且 x2>2”是“x1＋x2>4 且 x1x2>4”的充分非必要条件． 答案：(1)充要 (2)充分非必要
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不等式及其性质（提高）知识讲解【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的． 【答案】D. 【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于163克．故A 选项错；两个糖果的重量小于3221033=克故B 选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C 选项错，四个糖果的重量小于16641421333⨯==克故D 选项对．【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式． 举一反三：【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.A ．■、●、▲B ．▲、■、●C ．■、▲、●D ．●、▲、■ 【答案】C.类型二、不等式的基本性质2.下面四个命题：（1）22ac bc >,则a b >；（2）a b >，则a c b c >；（3）若a b >，则1ba<；（4）若0a >，则b a b -<.其中正确的个数是（ ）. A. 1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B.【解析】(1)由22ac bc >得0c ≠，因为2c >0,所以a b >，正确； （2）因为a b >，当0c =时，a c b c =，所以错误；（3）因为a b >，当0a =时，b a 没有意义，而当0a <时，1ba>，所以错误； （4）因为0a >，所以0a -<，b a b -<，正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数. 举一反三：【变式1】a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2；B ．若a 2＞b 2，则a ＞b C ．若a ≠b ，则｜a ｜≠|b| D ．若｜a ｜≠|b|，则a ≠b【答案】D.【变式2】若点P （1﹣m ，m ）在第一象限，则（m ﹣1）x ＞1﹣m 的解集为 ． 【答案】x ＜﹣1.解：∵点P （1﹣m ，m ）在第一象限，∴1﹣m ＞0， 即m ﹣1＜0；∴不等式（m ﹣1）x ＞1﹣m ， ∴（m ﹣1）x ＞﹣（m ﹣1），不等式两边同时除以m ﹣1，得： x ＜﹣1，故答案为：x ＜﹣1．3.设a ＞0＞b ＞c ，且a+b+c=-1，若M ＝b c a +，N ＝a c b +，P ＝bc， 试比较M 、N 、P 的大小． 【答案与解析】∵a+b+c=-1， ∴b+c=-1-a ，∴M=1a a --=−1−1a， 同理可得N=−1−1b ，P=−1−1c；又∵a ＞0＞b ＞c ， ∴1a＞0＞1c ＞1b ，∴−1−1a＜−1＜−1−1c＜−1−1b即M＜P＜N．【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系．4.（春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【答案与解析】解：∵x﹣y=﹣3，∴x=y﹣3．又∵x＜﹣1，∴y﹣3＜﹣1，∴y＜2．又∵y＞1，∴1＜y＜2，…①同理得﹣2＜x＜﹣1…②由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1．∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1．【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式及其性质（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列不等式中，一定成立的有( ).①5＞-2；②21a >；③x+3＞2；④a +1≥1；⑤22(1)(1)0a b ++>．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2.若a+b ＞0，且b ＜0，则a ，b ，-a ，-b 的大小关系为（ ）.A ．-a ＜-b ＜b ＜aB ．-a ＜b ＜-b ＜aC ．-a ＜b ＜a ＜-bD ．b ＜-a ＜-b ＜a 3．若a ＜b ，则下列不等式：①111122a b -+<-+；②5151a b -+<-+； ③22a b --<--．其中成立的有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．若0＜x ＜1，则x ，1x，x 2的大小关系是( ). A ．21x x << B ．21x x << C ．21x x << D ．21x x <<A. ①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．（春•丰台区期末）下列不等式变形正确的是（ ） A ．由a ＞b ，得a ﹣2＜b ﹣2B ．由a ＞b ，得﹣a ＜﹣bC ．由a ＞b ，得D ．由a ＞b ，得ac ＞bc二、填空题7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m ，则用不等式表示图中标志的意义为________．8．(1)若22a bc c<，则a_________b ； (2)若m ＜0，ma ＜mb ，则a_________b ．9．已知2|312|(2)0x x y m -+--=，若y ＜0，则m________．10．已知关于x 的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a 的取值范围是________． 11．（春•济南校级期末）下列判断中，正确的序号为 ．①若﹣a ＞b ＞0，则ab ＜0；②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；③若a ＞b ，c≠0，则ac ＞bc ；④若a ＞b ，c≠0，则ac 2＞bc 2；⑤若a ＞b ，c≠0，则﹣a ﹣c ＜﹣b ﹣c ．12．如果不等式3x-m ≤0的正整数解有且只有3个，那么m 的取值范围是________．三、解答题13．用不等式表示：(1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x 个，请写出满足条件的x 的关系式；(2)今年，小明x 岁、小强y 岁、爷爷m 岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄．14．若a ＞b ，讨论ac 与bc 的大小关系．15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B ＞0，则A ＞B ；若A-B ＝0，则A ＝B ；若A-B ＜0，则A ＜B ．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题．(1)比较3a 2-2b+1与5+3a 2-2b+b 2的大小； (2)比较a+b 与a-b 的大小； (3)比较3a+2b 与2a+3b 的大小．【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B ；【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3. 【答案】A ；【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立. 4. 【答案】C ；【解析】∵0＜x ＜1，∴ x 2≤x ≤1x. 5.【答案】A ； 【解析】∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴ac+ad ＜ac+bc ，即a （c+d ）＜c （a+b ），∴a ca b c d <++，所以①正确，②不正确； ∵a b <cd，a 、b 、c 、d 都是正实数， ∴ad ＜bc ，∴bd+ad ＜bd+bc ，即d （a+b ）＜b （d+c ）， ∴d bc d a b<++，所以③正确，④不正确． 故选A ． 6.【答案】B ．【解析】A 、a ＞b ，得a ﹣2＞b ﹣2，错误； B 、a ＞b ，得﹣a ＜﹣b ，正确； C 、a ＞b ，得，错误；D 、当c 为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B. 二、填空题7. 【答案】x ≤4；8. 【答案】(1)＜， (2)＞；【解析】（1）两边同乘以2c （20c ≠）；（2）两边同除以(0)m m <. 9. 【答案】＞8；【解析】由已知可得：x ＝4，y ＝2x-m ＝8-m ＜0，所以m ＞8. 10．【答案】35a >-. 11.【答案】①④⑤【解析】解：∵﹣a ＞b ＞0，∴a ＜0，b ＞0，∴ab ＜0，①正确； ∵ab ＞0，∴a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，②错误；∵a ＞b ，c≠0，∴c ＞0时，ac ＞bc ；c ＜0时，ac ＜bc ；③错误； ∵a ＞b ，c≠0，∴c 2＞0，∴ac 2＞bc 2，④正确；∵a ＞b ，c≠0，∴﹣a ＜﹣b ，∴﹣a ﹣c ＜﹣b ﹣c ，⑤正确． 综上，可得正确的序号为：①④⑤． 12.【答案】9≤m ＜12； 【解析】3x-m ≤0，x ≤3m ，3≤3m＜4，∴ 9≤m ＜12. 三、解答题13.【解析】解：(1)16×6+(31-16-3)x ＞198; (2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1. 14.【解析】 解：a ＞b ，当c ＞0时，ac ＞bc ， 当c=0时，ac=bc ， 当c ＜0时，ac ＜bc ． 15.【解析】解：(1)222232153240a b a b b b -+--+-=--<． ∴ 222321532a b a b b -+<+-+．(2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b ＝2b ，当b ＞0时，a+b-(a-b)＝2b ＞0，a+b ＞a-b ；当b ＝0时，a+b-(a-b)＝2b ＝0，a+b=a-b ； 当b ＜0时，a+b-(a-b)＝2b ＜0，a+b ＜a-b ．(3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a ＞b 时，3a+2b ＞2a+3b ；当a ＝b 时，3a+2b ＝2a+3b ； 当a ＜b ，3a+2b ＜2a+3b ．。