定义法判断函数的单调性

2.1定义判别法

使用函数单调性定义进行解题是一个重点，也是一个难点。关键在于对函数单调性定义的理解。掌握这一方法有利于形成解题思路。函数的单调性定义： 一般的，设函数)(x f 的定义域为I ：

1）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f <.那么就说)(x f 为D 上的增函数；

2）、如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量21,x x ，当21x x <时都有)()(21x f x f >，那么就说D x f 为)(上的减函数。

例1：已知βα、是方程)(01442R k kx x ∈=--的两个不等实根，函数1

2)(2+-=x k x x f 的定义域为[]βα，，判断函数)(x f 在定义域内的单调性，并证明。 证：令144)(2--=kx x x g ，则函数图象为开口向上的抛物线。

设βα≤<≤21x x ，则01440144222121≤--≤--kx x kx x ，

； 将上述两个式子相加得：

02)(4)(4212221≤-+-+x x k x x ，

由均值不等式，可得 2221212x x x x +≤；

02

1)(22121<-+-∴x x k x x ， 则[])

1)(1(22)()(1212)()(222121211221122212+++-+-=+--+-=-x x x x x x k x x x k x x k x x f x f 又02

12)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x k x x x x k ，

所以0)()(12>-x f x f ，故)(x f 在区间[]βα,上是增函数。

例2、求证x x x f -+=2)(在⎥⎦⎤ ⎝

⎛∞-47,上为增函数。 解：取2121212122)()()(4

7x x x x x f x f x x ---+-=-≤<，则， 分子、分母同时乘以2122x x -+-，得

2121212122)

122)(()()(x x x x x x x f x f -+---+--=-， 由2

12,212,02121≥->-<-x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ， 函数在⎥⎦⎤ ⎝

⎛∞-47，为单调递增函数。 从上面两个例子可以看出，在应用定义判别法的时候，首先取定定义域中不等两点，对其函数值作差，判断其大小。但是，在做题过程中，不乏对不等式的灵活应用，因此，需熟练掌握一些常用的不等式。

知识链接：

常用的基本不等式

（1）、设R b a ∈、 ，则0)(022≥-≥b a a ，（当且仅当b a a ==,0时取等号）。

（2）、设R b a ∈、，则2

222222,2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+b a b a ab b a （当且仅当b a =时取等号）。

（3）、设R c b a ∈、、，则ca bc ab c b a ++≥++222；

()32222c b a c b a ++≥++ （当且仅当c b a ==时取等号）。

（4）、均值不等式：

a 、设)0(∞+∈，、

b a ，则ab b a ≥+2

（当且仅当b a =时取等号）。

基本变形：2)2

(

2b a ab ab b a +≤≥+，。 b 、设)0(∞+∈，、、c b a ，则33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）。

（5）、设,0b a ≤<则b b a b a ab b a ab a ≤+≤+≤≤+≤2

2

222（当且仅当b a =时取等号）。 （6）、柯西不等式：设,,,,2121R b b a a ∈则))(()(2221222122211b b a a b a b a ++≤+。