九年级数学相似图形的性质同步练习

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人教版九年级数学下册 27.1图形的相似同步练习有答案

27.1图形的相似一选择题1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是()A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，32．下列四组图形中，一定相似的是()A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．两个菱形D．两个正五边形3．下列图形是相似图形的是()A．两张孪生兄弟的照片B．一个三角板的内、外三角形C．行书中的“美”与楷书中的“美”D．在同一棵树上摘下的两片树叶4．如图所示的两个四边形相似，则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°5．一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为()A．6 B．8 C．10 D．126．用放大镜看四边形ABCD.若四边形的边长被放大为原来的10倍，则下列结论正确的是()A．放大后的∠B是原来的10倍B．两个四边形的对应边相等C．两个四边形的对应角相等D．以上选项都不正确7．下列各选项中的两个图形是相似图形的是()8．宽与长的比是215(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图27－1－7，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F 为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则下列矩形是黄金矩形的是()A．矩形ABFE B．矩形EFCDC．矩形EFGH D．矩形DCGH二填空题1.如图，要使ΔABC∽ΔACD，需补充的条件是__________．（只要写出一种）2.如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE，他量得AD＝2m，BD＝3m，CE＝9m，则河宽DE为___________3.一公园占地面积约为800000m2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为_________m2．4.如图，点P是RtΔABC斜边AB上的任意一点（A、B两点除外）过点P作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC相似，这样的直线可以作___________条．三解答题1.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．2.如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．3.已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF 是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．4.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P 的位置,使得以P,A,D 为顶点的三角形与以P,B,C 为顶点的三角形相似.参考答案一选择题BDBCBCDD二填空题1.∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB 或AD ：AC=AC ：AB ；2.6m ；3.0.2；4.3三解答题1.梯子长为440cm2.CO=103.35cm DO=55.65cm3.周长之比=3:2:5 面积之比=9:4:254.点P 的位置有三处,即在线段AB 距离点A 1、514、6 处.。

人教版九年级数学下册图形的相似同步练习【新审】

图 27.1－6
6.如图 27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中 .
图 27.1－7 7.如图 27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边度数 .
x、 y、z 的长度和∠ α、∠β的
图 27.1－8
二、综合 ?应用达标 8.矩形相框如图 27.1－9 所示，图中两个矩形是否相似 ?
思路解析：要解决此类问题 ,应先统一单位 (当四条线段的长度单位不相同时 )，把它们按从小到大 ( 或从大到小 )的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例 . 解： (1)四条线段按从小大的顺序排列为 3，4，5，7. ∵ 3×7≠4×，５即 3∶ 4≠５∶7， ∴ 3 cm,4 cm,5 cm,7 cm这四条线段不成比例 . (2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为 12，15， 40，50. ∵ 12×50=15×40，即 12∶15=40∶50， ∴ 12 mm,5 cm,15 mm,4 cm这四条线段成比例 . (3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线段按从小大的顺序排列为 5，10， 10，20. ∵ 5×20=10×10，即 5∶ 10=10∶20， ∴ 5 mm,1 cm,10 mm,2 cm这四条线段成比例 . 10.试将一个正方形纸片 (如图 27.1－10)分割为 8 个相似的小正方形 .
图乙
图 1(1 阶)
图 2(2 阶)
图 3(3 阶)
思路解析：本题是阅读理解题， n 阶分割实际是把原三角形分为 4n 个相同的小三角

初中数学图形的相似练习题及参考答案

初中数学图形的相似练习题及参考答案相似是初中数学中的一个重要概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在这篇文章中，我们将介绍几道关于相似图形的练习题，并提供参考答案供大家参考。

题目一：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且比例系数为3：4。

若AB=6cm，BC=8cm，DE=12cm，求EF的长度。

解答一：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边长之比相等。

即AB/DE=BC/EF。

代入已知条件，得到以下等式：6/12=8/EF通过交叉乘法可以求解EF的长度：6*EF=12*8EF=16cm所以，EF的长度为16cm。

题目二：如果一个正方形的边长为6cm，那么和它相似的另一个正方形的边长是多少？解答二：由于两个正方形相似，所以它们的对应边长之比相等。

设另一个正方形的边长为x，则根据相似三角形的性质得到以下等式：x/6=6/6通过交叉乘法可以求解x的长度：x=6cm所以，和给定正方形相似的另一个正方形的边长也是6cm。

题目三：已知一个矩形的长为10cm，宽为5cm。

如果和它相似的另一个矩形的长为15cm，求这个矩形的宽。

解答三：根据相似矩形的性质，两个矩形的边长比相等。

设相似矩形的宽为x，则根据已知条件可以得到以下等式：10/x=15/5通过交叉乘法可以求解x的长度：10*5=15*x50=15*xx=50/15x=10/3 cm所以，这个矩形的宽为10/3 cm。

题目四：如果一个三角形的三边分别为3cm，4cm和5cm，那么和它相似的另一个三角形的三边分别是多少？解答四：根据相似三角形的性质，两个三角形的边长比相等。

设相似三角形的三边分别为x、y、z，则根据已知条件可以得到以下等式：x/3=y/4=z/5通过交叉乘法可以求解x、y、z的长度：x=3*(4/5)=12/5 cmy=4*(4/5)=16/5 cmz=5*(4/5)=20/5 cm所以，和给定三角形相似的另一个三角形的三边分别是：12/5 cm、16/5 cm和20/5 cm。

北师大版九年级上册数学 4.7相似三角形的性质同步练习(含答案)

4.7相似三角形的性质同步练习一．选择题1．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍3．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（）A．36°B．117°C．143°D．153°4．已知两个相似三角形的面积之比为4：9，则这两个相似三角形的对应边之比是（）A．16：81 B．4：9 C．9：4 D．2：35．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝90°，点D在△ABC内，且DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，过点D作直线PQ，分别交AB、AC于点P、Q，若△APQ与△ABC相似，则线段PQ的长为（）A．5 B．C．5或D．66．两个相似三角形的对应边上的高之比是3：5，周长之和是24，那么这两个三角形的周长分别为（）A．10和14 B．9和15 C．8和16 D．11和137．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，6cm，另一个三角形的最短边长为4cm，则它的最长边长为（）A．B．8cm C．D．12cm8．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝4，D为AB边上一点，且AD＝2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE＝（）A．2 B．C．3或D．3或9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC和BC的中点，则△DEC和△ABC的周长之比为（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：410．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8二．填空题11．两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是．12．△ABC与△DEF相似，其面积比为1：4，则它们的相似比为．13．如图，△ADE∽△ABC，AD＝6，AE＝8，BE＝10，CA的长为．14．如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，若△OMN∽△BOC，点M的对应点是O，则CM＝．15．如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC 的面积为．三．解答题16．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，求：（1）AO的长；（2）求S△BOD17．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．18．定义：在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，若△DEF∽△ABC （点D、E、F的对应点分别为点A、B、C），则称△DEF是△ABC的子三角形，如图．（1）已知：如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上动点，且AD＝BE＝CF．求证：△DEF是△ABC的子三角形．（2）已知：如图2，△DEF是△ABC的子三角形，且AB＝AC，∠A＝90°，若BE＝，求CF和AD的长．参考答案1．A2．A3．D4．D5．B6．B7．B8．D9．A10．B11．16或112．1：213．2414．15．1016．解：（1）∵△OBD∽△OAC，∴＝＝，∵BO＝6，∴AO＝10；（2）∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18．17．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，∴AC＝AD+CD＝12，∴AE＝4，AB＝9，∴BE＝AB﹣AE＝5．18．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE，∴△DAF≌△EBD≌△FCE，∴DE＝EF＝DF，∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝∠EDF＝∠B＝∠A＝60°，∴△DEF∽△ABC．∴△DEF是△ABC的子三角形．（2）如图2中，作EH⊥AB于H．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵△DEF是△ABC的子三角形，∴△DEF∽△ABC，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF+∠EDH＝90°，∴∠EDH＝∠AFD，∵∠DHE＝∠A＝90°，∴△DEH≌△DF A，∴AD＝HE，∵△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝×＝1，∴AD＝1，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE，∵∠B＝∠DEF＝45°，∴△BDE∽△CEF，∴＝＝，∴CF＝2．。

北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质与判定》同步练习(含答案)

相似三角形的性质与判定一、填空题1.如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B 43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为．2.如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．二、解答题3.已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=4.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+．5.已知：AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线，M 为DE的中点，求证：4321EAD BCFDCBAD CB A22AB BMAC CM=6.已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．7.如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY于P 、Q . ⑴证明：11OP OQ+是定值；⑵求2211OP OQ +的最小值8.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：2BP PE PF =⋅．9.如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和MD MED CBADCBA4321F EDCB A QPYXOAF PEDCBABC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=．10.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ．求证：AC FABC FD=．11.如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=12.如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．PEDCBA321FD E C BAD CB ADOECB A相似三角形的性质与判定答案解析一、填空题1.10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥ ∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．2.3:5;过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．二、解答题3.过C 作CE AD ∥交直线AB 于EHFCBD AE∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BDAE CD=，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． 4.解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB的平行线，由于所给120BAC ∠=︒平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证．解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段CD ADBC BM=和BD ADBC CN=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证．（本题只给出第一种解法的步骤）．【解析】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E . ∵120BAC ∠=︒，BAD CAD ∠=∠，EDCBANMDCBAF 4321EDCB A∴60BAD CAD ∠=∠=︒ ∵DE AB ∥， ∴60ADE BAD ∠=∠=︒ ∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ⇒=∥，AE BDAC BC=∴1DE AE CD BDAB AC BC BC+=+= 等式两边同除以AD ，则有：111AB AC AD +=5.连接AM ，由已知条件可知90DAE ∠=︒，ACM CAD ADC BAD DAC CAM BAM ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠，又∵AMC AMB ∠=∠ ∴AMC BMA ∆∆∽， ∴AB BM AC AM =，AB AMAC CM=∴22AB BM AC CM=． 6.在ABC ∆外作ABE ADB ∠=∠交DA 的延长线于点E ，∵23∠=∠，34∠=∠， ∴24∠=∠，又∵1BDE ∠=∠， ∴AEB ADC ∆∆∽ ∴AE ABAC AD=，即AE AD AB AC ⋅=⋅，① 由AEB ADC ∆∆∽可得：ACD E ∠=∠，又∵ADC BDE ∠=∠， ∴DAC DBE ∆∆∽， ∴DA DE DC DB ⋅=⋅，②-②①得：DA DE AE AD DC DB AB AC ⋅⋅⋅-⋅-=∴()AD DE AD DC DB AB AC -=⋅-⋅，即2AD BD CD AB AC =⋅-⋅ 7.⑴ 方法一：过点A 作OA 的垂线，分别交OX 、OY 于点F 、E ，过点P 作OY 的平行线交EF的延长线于点K .∵XOA YOA ∠=∠，EF OA OE OF ⊥⇒=KP PA KP OY QE AQ ⇒=∥，KP PFOE OF =∴KP PF =，KP PF PAQE QE AQ==∵PA OPXOA YOA AQ OQ∠=∠⇒=∴PF OP PF QEQE OQ OP OQ=⇒=∵1OF OP OF PFOP OP OP --==，1OE OE OQ EQ OQ OQ OQ --== ∴112OF OE OF OEOP OQ OP OQ-=-⇒+= ∴112OP OQ OE+=因为A 点为定点，故E 、F 均为定点，OE 为定值，所以11OP OQ+是定值. 方法二：过A 作AM OY ∥，交OX 于M ，易证得：AM OM =设AM OM a ==，∵AM OY ∥ ∴a PMOQ OP=，即a OP a OQ OP -=，整理得：111OQ OP a+=， KQ FE P YXOAa aYX M PQOA∵已知A 是XOY ∠的平分线上的定点， ∴a 为定值. ∴11OQ OP+为定值. ⑵ 因为222111111()2OP OQ OP OQ OP OQ +=+-⋅，其中11OP OQ+为定值，要使2211OP OQ + 的值最小，则必须使OP OQ ⋅的值最小. 而()()OP OQ OF PF OE EQ ⋅=+⋅-2OE =+()OE EQ PF OE EQ -⋅-⋅ 又PF OPEQ OQ=， ∴()()0OE EQ PF OE EQ OE PF OP EQ OE OQ PF -⋅-⋅=⋅-⋅=-⋅≥ 当且仅当OP OF =，即点P 处于点F 处时OP OQ ⋅有最小值2OE . 此时2211OP OQ +有最小值22OE 本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换. 8.连接CP ，由CF AB ∥， ∴1F ∠=∠，再证明APB APC ∆∆≌可得12∠=∠（也可以由AB AC PB PC ==，，于是ABC ACB PBC PCB ∠=∠∠=∠，，等量减等量便可得12∠=∠）又∵CPE FPC ∠=∠， ∴CPE FPC ∆∆∽， ∴2PC PE PF =⋅，又∵PC PB =， ∴2PB PE PF =⋅．9.过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽，21F P EDC BA∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠，又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．10.∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =， ∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴13∠=∠，又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFD CD=，又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，， ∴ABC ACD ∆∆∽， ∴AD ACCD BC =， ∴AC FABC FD=． 11.过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥，4321MPE D CBA∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．12.∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=，又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OAOA OC =， ∴OD OA OB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥．321ED CBA。

北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测试题带答案

北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.两个相似三角形的对应边之比为3∶4,那么它们对应高线的比为()A.√3∶4B.3∶4C.√3∶2D.2∶√32.已知△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为()A.2B.3C.6D.543.已知两个相似三角形的相似比为2∶3,则它们的面积比为()A.2∶3B.4∶9C.3∶2D.√2∶√34.如图,△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是()A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶25.若相似三角形对应角平分线的比为3∶2,则它们对应中线的比为.6.已知△ABC的三边长分别为√2,√6,2,△A'B'C'的两边长分别是1和√3,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是√2.7.两个相似三角形的面积之比为1∶2,则相似比为√2.【能力巩固】8.如图,△AOB∽△COD,OA∶OC=9∶7,∠A=x°,∠C=y°,△AOB与△COD的面积分别是S1和S2,△AOB与△COD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()A.BO=9CDB.7x=9yC.7S1=9S2D.7C1=9C29.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点的值为.上.设△ABC的面积为S1,△DEF的面积为S2,则S1S210.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,M是DE的中点,CM的延长线交边AB于点的值为.N,那么S△DMNS四边形DBCM11.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D为x轴上一点.若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的D点有()A.2个B.3个C.4个D.5个12.已知△ABC∽△A'B'C',它们的周长之差为20,面积比为4∶1,求△ABC和△A'B'C'的周长.【素养拓展】13.如图,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.(1)求证:△OCP∽△PDA.(2)若△OCP与△PDA的周长之比为1∶2,求边AB的长.参考答案【基础达标】1.B2.C3.B4.B5.3∶26.√27.1∶√2【能力巩固】8.D9.1210.11511.C12.解:∵△ABC∽△A'B'C',面积比为4∶1∴相似比为2∶1,周长比为2∶1.∵周长比相差1,而周长之差为20∴每份周长为20∴△ABC的周长是2×20=40,△A'B'C'的周长是1×20=20.【素养拓展】13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B∴∠APO=90°,∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C,∠APD=∠POC∴△OCP∽△PDA.(2)∵△OCP与△PDA的周长之比为1∶2∴OPPA =CPDA=12,∴DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,CB=8.设OP=x,则OB=x,CO=8-x.在Rt△PCO中,∠C=90°,CP=4,OP=x 则OB=x,CO=8-x∴x2=(8-x)2+42,解得x=5.∵OPPA =12,∴AB=AP=2OP=10∴边AB的长为10.。

人教版九年级数学下册 27.2.2 相似三角形的性质同步测试及答案【新】

相似三角形的性质1. 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( D )A ．4∶3B ．3∶4C ．16∶9D ．9∶162. 如图27－2－41，AB ∥CD ，AO OD ＝23，则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D )图27－2－41A.25B.32C.49D.233．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( A )A ．48 cmB ．54 cmC ．56 cmD ．64 cm4．如图27－2－42，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABCC.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∴AD AE ＝AB AC，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误．5．如图27－2－43，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．6 3【解析】作DF ⊥BC 于F ，∵边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，∴DE ＝2，BD ＝2，∠B ＝60°，∴BF ＝1，DF ＝BD 2－BF 2＝22－12＝3，∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12×3×(2＋4)＝3 3.故选B. 6．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为( A )A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．4，6【解析】 ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∴AB DE ＝AC DF＝2，又∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为2，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2，面积比为4，又∵△ABC 的周长为16，面积为12，∴△DEF 的周长为16×12＝8，△DEF 的面积为12×14＝3. 7. 如图27－2－44，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )图27－2－44A ．1∶ 3 B. 1∶2C. 1∶3D. 1∶48．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3∶4，若△ABC 的周长为6，则△A ′B ′C ′的周长为__8__.【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4，∵△ABC 的周长为6，∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43＝8. 9．已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__．【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1，的面积之比为9∶1.10．如图27－2－45，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB ，AC 于D ，E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为__1∶9__．11．一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响，如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A 看到坑底S (甲同学的视线起点C 与点A 、点S 三点共线)．经测量：AB ＝1.2米，BC ＝1.6米． (圆锥的高)．(π取3.14，结果精确到0.1米)解：如图，取圆锥底面圆圆心O ，连接OS ，OA ，则∠O ＝∠ABC ＝90°，OS ∥BC ，∴∠ACB ＝∠ASO ，∴△SOA ∽△CBA ，∴OS BC ＝OA AB ，即OS ＝OA ·BC AB. ∵OA ＝34.542π≈5.5，BC ＝1.6，AB ＝1.2， ∴OS ≈5.5×1.61.2≈7.3， ∴“圆锥形坑”的深度约为7.3米．12. 已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm 2. (1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积．解：(1)∵DE AB ＝23， ∴△DEF 的周长＝12×23＝8(cm)； (2)∵DE AB ＝23， ∴△DEF 的面积＝30×(23)2＝1313(cm 2)．13．如图27－2－47，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于O ，AD ＝1，BC ＝4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于( D )图27－2－47A.12B.14C.18D.11614．如图27－2－48，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若△ABD 的面积是6，求四边形BDFE 的面积．【解析】 (1)证明EF 为△ABD 的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．解：(1)证明：∵DC ＝AC ，∴△ACD 为等腰三角形．∵CF 平分∠ACD ，∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC .(2)由(1)得EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABD . ∵EF BD ＝12，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4， ∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝ 3∶4.∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92. 15．[2013·泰安]如图27－2－49，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．图27－2－49(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；(2)求证：CE ∥AD ； (3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB. ∴AC 2＝AB ·AD .(2)证明：∵E 为AB 的中点， ∴CE ＝12AB ＝AE ， ∠EAC ＝∠ECA .∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAD ＝∠CAB .∴∠DAC ＝∠ECA .∴CE ∥AD .(3)∵CE ∥AD ，∴∠DAF ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠CEF ，∴△AFD ∽△CFE ，∴AD CE ＝AF CF.∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×6＝3. 又∵AD ＝4，由AD CE ＝AF CF 得43＝AF CF， ∴AF AC ＝47. ∴AC AF ＝74.16. 已知：如图27－2－50，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F .求证：BP 2＝PE ·PF .图27－2－50证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴．∴PC ＝PB ，∠PCE ＝∠ABP .∵CF ∥AB ，∴∠PFC ＝∠ABP (两直线平行，内错角相等)，∴∠PCE ＝∠PFC .又∵∠CPE ＝∠EPC ，∴△EPC ∽△CPF . ∴PC PE ＝PF PC(相似三角形的对应边成比例)．∴PC 2＝PE ·PF .∵PC ＝BP ，∴BP 2＝PE ·PF .17. 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图1)，连结AO 并延长交BC 于D ，证明：AO AD ＝23； (2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图2)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB ，AC 相交于G ，H (均不与△ABC 的顶点重合)(如图3)，S 四边形BCHG .S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究S 四边形BCHG S △AGH的最大值．图27－2－51解：(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点E ，连接DE ，则DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴△EDO ≌△BAO ，∴DO AO ＝DE AB ＝12，∴AO AD ＝23.(2)是，证明：连接BO 并延长交AC 于点E ，过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ，则△AOE ∽△ADF ， ∴AE AF ＝AO AD ＝23，∴AE ＝2EF ，又∵△CDF ∽△CBE ，∴CF CE ＝CD CB ＝12， ∴EF ＝FC ，∴AE ＝CE ，即点E 为AC 中点，∴点O 为△ABC 的重心．(3)54.。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长；（2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5；（2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°．（2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

人教版九年级数学下册图形的相似同步练习 (含答案)

人教版九年级数学下册图形的相似同步练习一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下面几对图形中，相似的是( )2．下列图形是相似图形的是( )A ．两张孪生兄弟的照片B ．三角板的内、外三角形C ．行书中的“美”与楷书中的“美”D ．同一棵树上摘下的两片树叶3．下列各线段的长度成比例的是( )A ．2 cm ，5 cm ，6 cm ，8 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cmD ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm4．两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm ，4.5 cm ，那么它们的相似比为( ) A.23 B.32 C.49 D.945．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )A ．6B ．8C ．12D ．106．下列四组图形中，一定相似的是( )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形7. 如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A ．87°B ．60°C ．75°D ．120°8. 若y x ＝34，则x ＋y x的值为( ) A ．1 B.47 C.54 D.749. 用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为( )A ．150°B ．105°C ．15°D ．无法确定大小10. 如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB AD等于( ) A ．0.618 B.22 C. 2 D ．2二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝6 cm ，则线段d ＝____cm.12. 在比例尺1∶1000000的地图上，A ，B 两地的图上距离为2.4厘米，则A ，B 两地的实际距离为________千米．13．如图，在长8 cm ，宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为________cm 2.14. 已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 的比为_________.15. 已知线段a ＝4，b ＝16，线段c 是线段a ，b 的比例中项(即a c ＝c b)，那么c 等于________. 16. 已知a b ＝23，则a+b b等于_________. 17.如果x y ＝25，那么y －x y ＋x＝________. 18. 有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m ，在图纸上，这条边的长为5 cm ，其他两条边的长都为4 cm ，则其他两条边的实际长度都是________m.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 已知图中的两个梯形相似，求未知边x ，y ，z 的长度和∠α，∠β的度数．20．(6分)试判断如图所示的两个矩形是否相似？并简单说明理由．21．(6分) 如图，在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F.(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．(2)若AB ＝10，DE ＝2.5，BF ＝5，求BC 的长．22．(6分) 如图，在△ABC 中，AB ＝24，AE ＝6，EC ＝10，AD BD ＝AE EC. (1)求AD 的长；(2)试说明AB BD ＝AC EC.23．(6分) 已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，且AB∶BC∶CD∶AD＝7∶8∶11∶14，若四边形EFGH的周长为80，求四边形EFGH各边的长．24.(8分)如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．25．(8分)如图，矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．参考答案：1-5 CBDAB 6-10 DADCB11. 18512. 2413. 814．3∶415．816. 5317. 3718. 2019. 解：∵两个梯形相似，∴x 2＝y 4＝4.5z ＝4.83.2， ∴解得x ＝3，y ＝6，z ＝3.∵相似多边形的对应角相等，∴∠α＝∠D ＝180°－∠A ＝180°－62°＝118°，∠β＝∠B′＝180°－∠C′＝180°－110°＝70°20. 解：这两个矩形的角都是直角，因而对应角相等，小矩形的长是20－5－5＝10，宽是12－3－3＝6，∵1020＝612，即两个矩形的对应边的比相等，∴这两个矩形相似21. 解：(1)AB ，BC ，BF ，DE 这四条线段成比例．∵在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥AD ，∴S ▱ABCD ＝AB·DE ＝AD·BF.∵BC ＝AD ，∴AB·DE ＝BC·BF ，即AB BC ＝BF DE. (2)∵AB·DE ＝BC·BF ，∴10×2.5＝5BC ，解得BC ＝5.22. 解：(1)设AD ＝x ，则BD ＝24－x ，由AD BD ＝AE EC 得x 24－x ＝610，解得x ＝9.∴AD ＝9. (2)由AB ＝24，AD ＝9得BD ＝15，∵ABBD＝2415＝85，ACEC＝6＋1010＝85，∴ABBD＝ACEC.23. 解：∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，∴AB∶BC∶CD∶AD＝EF∶FG∶GH∶EH＝7∶8∶11∶14.设EF＝7x，FG＝8x，GH＝11x，EH＝14x，则7x＋8x＋11x＋14x＝80，∴x＝2，∴EF＝14，FG＝16，GH＝22，EH＝2824. 解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG，∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE为正方形，∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC，∴四边形AFGE与四边形ABCD相似25. 解：由题意易知四边形ABEF为正方形，设AD＝x，∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴FEFD＝ADAB，即1x－1＝x1，整理得x2－x－1＝0，解得x1＝5＋12，x2＝1－52(不合题意，舍去)，经检验x1＝5＋12是原方程的解，∴AD＝5＋12。

4.7 相似三角形的性质数学北师大版九年级上册同步测试(含答案)

《相似三角形的性质》同步测试1. 下列说法中正确的是( )A. 位似图形可以通过平移而相互得到B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等2. 如下图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（）A.∠APB ＝∠EPC B. ∠APE ＝90° C. P 是BC 的中点 D. BP ︰BC ＝2︰33. 如下图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3，AC =4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（）A.B.C.D.4. 如图，在内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A.B.C.D.5. 如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为。

6. 已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm 。

（结果保留根号）7. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝。

8. 已知：如图，ΔABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，且∠BDE=∠CDF 。

求证：S ΔBDF =S ΔCDE 。

9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)。

(1)以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点的坐标；(2)若点D(a ，b)在线段AB 上，请直接写出经过(1)的变化后点D 的对应点D 1的坐标。

人教版数学九年级下册 27.2.2相似三角形的性质同步练习(包含答案)

A. 2 B. 3 C. 6 D. 54
3.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（）
A. AB2=BC•BD B. AB2=AC•BD C. AB•AD=BD•BC D. AB•AD=AD•CD
4.已知△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD长4cm，△ABC的周长20cm，则△A′B′C′的周长和A′B′边上的中线C′D′分别长（）
它们的面积比为：4：9，
设此两个三角形的面积分别为，，
它们的面积之差为，
，
解得：，
它们的面积之和是：．
故答案为：B．
【分析】根据两个相似三角形的周长比等于相似比、等于面积的比的平方即可求解。
二、填空题
10.【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4
∴S△ABC：S△DEF=9：16
∴ = = ，即 = = ，
∴ABC=8+5+6=19，
即△ABC的周长为19
【解析】【分析】通过相似三角形的对应边成比例，求得边长和周长。
18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∠ABE=90°．
∴∠DAF=∠AEB．
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°
∴此两个三角形的相似比为：3：4，
∴对应中线长的比为：3：4．
故答案为：A．
【分析】两个相似三角形对应中线比等于三角形的相似比。
6.【答案】C
【解析】【解答】解：因为面积扩大了5倍，
所以边长扩大了倍，边长扩大5倍，则面积扩大25倍．
故答案为：C
【分析】根据两个相似三角形的面积比为边长比的平方进行求解即可。

九年级数学图形的相似同步练习(3)

图形的相似同步练习（3）1.在比例尺为1∶40 000的工程示意图上，于年9月1日正式通车的南京地铁一号线(奥体中心至迈皋桥段)的长度约为54.3 cm ，它的实际长度约为( )A.0.217 2 kmB.2.172 kmC.21.72 kmD.217.2 km2如图27.3－4，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 与BC 的比是( )图27.1－4 图27.1－5A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.2∶33.(1)若5.0===f e d c b a ，则fd be c a +-+-2323=__________； (2)若k x y z x z y z y x =+=+=+,则k=__________. 4.如图27.1－5，在同一时刻，小明测得他的影长为1米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5米，已知小明的身高为1.5米，则这棵槟榔树的高是__________米.5.图27.1－6中，两组图形是否是相似图形?图27.1－66.如图27.1－7，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图27.1－77.如图27.1－8，已知图中的两个梯形相似，求出未知边x、y、z的长度和∠α、∠β的度数.图27.1－88.矩形相框如图27.1－9所示，图中两个矩形是否相似?图27.1－9 9.判断下列各组线段是否成比例?(1)3 cm； 5 cm；7 cm； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.10.试将一个正方形纸片(如图27.1－10)分割为8个相似的小正方形.图27.1－1011.在如图27.1－11所示的相似四边形中，α比β大15°，求未知边x、y的长度和角度α、β的大小.图27.1－1112.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形:①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)如图甲，已知△ABC中，∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把△DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割(如图1)；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割(如图2)，…依次规则操作下去，n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n为正整数)，设此时小三角形的面积为S n.①若△DEF的面积为10 000，当n为何值时，2<S n<3?(请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程)②当n>1时，请写出一个反映S n－1，S n，S n+1之间关系的等式(不必证明)图乙图1(1阶) 图2(2阶) 图3(3阶)。

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质同步练习新版新人教版

九年级数学下册第二十七章相像 27.2 相像三角形相像三角形的性质同步练习新版新人教版《27.2.2 相像三角形的性质》分层练习一．基础题AC 31. 已知△ ABC ∽△ A ′B ′ C ′， BD 和 B ′ D ′是它们的对应中线，且 A C = 2 ， B ′ D ′=4，则 BD 的长为。

2. 已知△ ABC ∽△ A ′ B ′C ′ ,AD 和 A ′ D ′是它们的对应角均分线，且 AD=8 cm, A ′D ′ =3cm.，则△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′对应高的比为。

3. 两个相像三角形的相像比为2 ∶ 3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为。

14. 把一个三角形改做成和它相像的三角形，假如面积减小到本来的 2倍，那么边长应减小到本来的 ________倍。

5. 已知 △ ABC 与 △ DEF 相像且面积比为 4∶ 25，则 △ ABC 与 △DEF 的相像比为。

6. 已知 △ABC ∽△AB C 且S△ABC: S△ABC1:2，则 AB:AB =。

7. 在 △ABC 和 △DEF 中， AB 2DE ， AC 2DF ， AD ，假如 △ ABC 的周长是 16，面积是 12，那么 △DEF 的周长、面积挨次为（）A ．8，3B ．8，6C ．4， 3D ．4，6AO8. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，AF ⊥ DE 于点 O ，则 DO等于（）2 5121A ．3B ． 3C． 3D ． 29. 已知△ ABC ∽△ DEF ，且 AB ：DE=1： 2，则△ ABC 的面积与△ DEF 的面积之比为（）A.1 ： 2B.1 ：4C.2 ：1D.4 ： 110. 两相像三角形的对应边的比为4：5，周长和为 360cm ，这两个三角形的周长分别是多少？二．能力题11. 若△ ABC ∽△ A ′ B ′C ′， AB=4， BC=5， AC=6，△ A ′ B ′ C ′的最大边长为15，那么它们的相像比是 ________, △ A′ B′ C′的周长是 ________。

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谢谢！】相似专项训练专训 1 证比例式或等积式的技巧点拨：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ ABC 中，D 为AB 的中点， DF 交AC 于点 E ，交BC 的延长线于点 F ，求证：AE ·CF ＝BF ·E C.2．如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有一点 E ，且 AD ＝CE ， DE 交 AC 于点 F ，试证明： AB ·DF ＝BC ·EF.三点找三角形相似法3．如图，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点， DE 交BC 于 F.DC ＝CF .AE ＝AD .4．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， M 为BC 的中点， DM ⊥BC 交CA 的延长线于 D ，交 AB 于 E.求证： AM 2＝MD ·ME.等比过渡法6．如图，在△ ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点 F 在边 AC 上， DF 与 BE 相交于点 G ，且∠ EDF ＝∠ ABE.求证： (1) △DEF ∽△ BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7．如图， CE 是 Rt △ABC 斜边上的高，在 EC 的延长线上任取一点 P ，连接 AP ，作 BG⊥AP 于点 G ，交 CE 于点 D.求证：CE 2＝DE ·P E. （第 7题）两次相似法8．如图，在 Rt △ABC AD 是斜边 BC 上的高，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E ，交 AD 于构造相似三角形法5．如图，在等边三角形 ABC中， AC 于点 M，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN. 点 P 是 BC 边上任意一点， AP的垂直平分线分别交 AB ，（第 5题）（第 6题）BF ＝AB .BE ＝BC .9．如图，在 ?ABCD 中， AM ⊥BC ， AN ⊥CD ，垂足分别为 M ，N.求证：(1) △AMB ∽△ AND ；AM ＝MN(2) AB ＝ AC .等积代换法10．如图，在△ ABC 中，AD ⊥ BC 于 D ，DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥AC 于 F.等线段代换法11．如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点 D ，点 P 是 AD 上一点，CF ∥AB ，延长 BP 交 AC 于点 E ，交 CF 于点 F ，求证： BP 2＝PE ·PF.F.求证： AE ＝AC .AF ＝AB .(第 8题)(第 10题)12．已知：如图，AD平分∠ BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC.（第12题）专训 2 巧用“基本图形”探索相似条件点拨几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1. 平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ ABC 中，BE 平分∠ ABC 交AC 于点 E ，过点 E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1) 求证： AE ·BC ＝BD ·AC ；(2) 如果 S △ADE ＝ 3， S △BDE ＝2，DE ＝ 6，求 BC 的长．相交线型△ ADE 与△ ABC 相似吗？请说明理由．2．如图，点 D ，E 分别为△ ABC 的边 AC ，AB 上的点， BD ，CE 交于点 O ，且 E B O O ＝D CO O ，试问子母型3．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90 ， AD ⊥ BC 于点 D ，E 为 AC 的中点， ED 的延长线交AB的延长线于点 F.求证： AB＝DFAC ＝AF .(第 1题)(第 2题)旋转型4．如图，已知∠ DAB ＝∠EAC ，∠ ADE ＝∠ ABC. 求证： (1) △ADE ∽△ ABC ；AD BD (2) AE ＝ CE .(第 4题)专训 3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系点拨判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点 O ，直线 AO 与BC 边交于点 M ，与 DE 交于点 N.求证： BM ＝MC.2．如图，一直线和△ ABC 的边 AB ，AC 分别交于点 D ，E ，和 BC 的延长线交于点 F ，且 AE CE ＝ BF CF.求证： AD ＝DB.类型2：证明两线段的倍分关系1 3．如图，在△ ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠ A＝60°，求证：DE＝BC.24．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE.证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥ CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.6．在△ ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE 和AD，分别交DF，EF 于点N，M.(1) 如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2) 如图②，若 E 不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．类型2：证明两线垂直7．如图，在△ ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AC 2＝AB ·AD ， BC 2＝BA ·BD ，求证： CD ⊥AB.8．如图，已知矩形 ABCD ，AD ＝13AB ，点 E ，F 把AB 三等分， DF 交AC 于点 G ，求证： EG ⊥专训 4 相似三角形与函数的综合应用点拨解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝－x ＋3与 x 轴交于点 C ，与直线 AD 交于点，1）．（1）求直线 AD 的解析式；（2）直线AD 与x 轴交于点 B ，若点 E 是直线AD 上一动点（不与点 B 重合），当△1 求 k 的值及点 E 的坐标；DF.（第 6题）（第 7题）（第 8题），35 ，点 D 的坐标为（0BOD与△ BCE 相似时，求点E 的坐标．相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3 交x 轴于点A，交y 轴于点B，抛物线y＝ax1 2＋bx＋ c 经过A，B，C(1，0)三点．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 若点D的坐标为( －1，0)，在直线y＝－x＋3 上有一点P，使△ ABO与△ ADP相似，求出点P 的坐标．(第2题)3．如图，直线y＝2x＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，把△ AOB沿y 轴翻折，点A2落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c 与直线BC交于点D(3，－4) ．(1) 求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2) 在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x 轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△ BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x 轴和y 轴上，点B的坐标为(2 ，3) ，双曲线y k＝x(x>0) 经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(2)若点F是OC边上一点，且△ FBC∽△ DEB，求直线FB对应的函数解析式．专训 5 全章热门考点整合应用点拨本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为： 3 个概念、 2 个性质、 1 个判定、 2 个应用、 1 个作图、 1 个技巧．3 个概念概念1：成比例线段有一块三角形的草地，它的一条边长为 25 m ，在图纸上，这条边的长为 5 cm ，其他两条边的长都为 4 cm ，则其他两边的实际长度都是 _____________ m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠ 1′＝∠ 1，∠2′＝∠ 2，∠3′＝∠ 3，∠4′＝∠4，∠D ′＝∠ D ，试判断四边形 A ′B ′C ′D ′与四边形 ABCD 是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4．如图，在△ ABC 中，A ，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（－1，0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形，并把△ ABC 的边放大到原来的 2 倍，记所得的像是△A ′B ′C.设点 B 的对应点 B ′的坐标是（a ，b ），求点 B 的坐标． A．3 cm， 6 cm ， 7 cm ， cm B ． 2 cm，5 cm ， 0.6 dm ， 8 cm C ． 3 cm ，9 cm ， 1.8 dm ， 6 cm D ． 1 cm ， 2 cm ，3 cm ， cm （第 4题）1． 2．列各组线段，是成比例线段的是（）2 个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在 Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8，AC ＝6.若动点 D 从点 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为止，运动速度为每秒 2个单位长度．过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，设动点 D 运动的时间为 x 秒， AE 的长为 y.(1) 求出 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；(2) 当 x 为何值时，△ BDE 的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6．如图，已知 D 是 BC 边上的中点，且 AD ＝AC ，DE ⊥ BC ，DE 与 BA 相交于点 E ，EC 与 AD 相交于点 F.(1) 求证：△ ABC ∽△ FCD ；(2) 若 S △FCD ＝ 5， BC ＝10，求 DE 的长．1 个判定——相似三角形的判定7．如图，△ ACB 为等腰直角三角形，点 D 为斜边 AB 上一点，连接 CD ，DE ⊥ CD ，DE ＝CD ，连接 AE ，过 C 作 CO ⊥AB 于 O.求证：△ ACE ∽△ OCD.(第 7题)(第 5题)8.如图，在⊙ O的内接△ ABC中，∠ ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l 交⊙O于另一点D，垂足为点 E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l 于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1) 求证：△ PAC∽△ PDF；(2) 若AB＝5，＝，求PD的长．2 个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻， 1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为 2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为 2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．（第 10题）1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中 (每个小方格的边长都是 1个单位长度)有一点 O 和△ ABC.请以点 O 为位似中心，把△ ABC 缩小为原来的一半 ( 不改变方向 ) ，画出△ ABC 的位似图形．1 个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ ABC ，∠ BAC 的平分线与∠ DAC 的平分线分别交BC 及 BC的延长线于点 P ，Q.(1) 求∠ PAQ 的度数；(2) 若点 M 为 PQ 的中点，求证： PM 2＝CM ·BM.1．证明：如图，过点 C 作CM ∥AB 交DF 于点 M.∵CM ∥AB ，∴△ CMF ∽△BDF.专训1答案（第 11题）（第 12题）2．证明：过点 D 作DG ∥BC ，交 AC 于点 G ， ∴△ DGF ∽△ ECF ，△ ADG ∽△ ABC.EF ＝CE ，AB ＝AD .DF ＝DG ，BC ＝DG .CE AD AB EF∵AD ＝CE ，∴ DG ＝ DG . ∴BC ＝DF ，即 AB ·DF ＝ BC ·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“ A ”型或“ X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形．∴AE ∥DC ，∠ A ＝∠ C.∴∠ CDF ＝∠ E ，4．证明：∵ DM ⊥BC ，∠ BAC ＝90°，∴∠ B ＋∠ BEM ＝90°，∠ D ＋∠ DEA ＝90°. ∵∠ BEM ＝∠ DEA ，∴∠ B ＝∠D. 又∵M 为 BC 的中点，∠ BAC ＝90°，∴ BM ＝AM. ∴∠ B ＝∠ BAM.∴∠ BAM ＝∠ D. 又∵∠ AME ＝∠ DMA ∴. △ AME ∽△ DMA.AM ME 2 ∴MD ＝AM . ∴AM ＝MD ·ME.5．证明：如图，连接 PM ，PN. ∵MN 是 AP的垂直平分线， ∴MA ＝MP ，NA ＝NP. ∴∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4.BF ＝BD .CF ＝CM .又∵ CM ∥AD ， ∴△ ADE ∽△ CME ∴. AE ＝AD EC ＝CM .∵D 为 AB 的中点， ∴BD ＝AD . ∴BF ＝AE ，∴CM ＝CM . ∴CF ＝EC ，即 AE · CF ＝ BF · EC.∴△ DAE ∽△ FCD ，DC ＝CF . AE ＝AD .（第 5题）又∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ B ＝∠ C ＝∠ 1＋∠ 3＝60°.∴∠ 2＋∠ 4＝60°.∴∠ 5＋∠ 6＝120°.又∵∠ 6＋∠ 7＝180°－∠ C ＝120° ∴∠5＝∠7. ∴△ BPM ∽△ CNP.6．证明： (1) ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，∠ ACB ＋ ∠CED ＝180°，∴∠ CED ＝∠ BDE.又∵∠ EDF ＝∠ ABE ，∴△ DEF ∽△BDE.∴DE 3＝DB ·EF.又由△ DEF ∽△ BDE ，得∠ BED ＝∠ DFE.∵DG DE 2∠GDE ＝∠EDF ，∴△ GDE ∽△EDF.∴DE ＝DF ，∴DE 2＝DG ·DF ，∴DG ·DF ＝DB ·EF.7．证明：∵ BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠ AEP ＝∠ BED ＝∠ AGB ＝90°.∴∠ P ＋∠ PAB ＝90°，∠ PAB ＋∠ ABG ＝90°.∴∠ P ＝∠ ABG.∴△ AEP ∽△ DEB.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°，∴∠ CAB ＋∠ ACE ＝90 又∵∠ ACB ＝90°，∴∠ CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ ACE ＝∠ CBE.∴△ AEC ∽△ CEB. 8．证明：易得∠ BAC ＝∠ BDF ＝90°∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝∠DBF ，∵∠ BAC ＝∠ BDA ＝90°，∠ ABC ＝∠DBA.9．证明： (1) ∵四边形 ABCD 为平行四边形．∴∠ B ＝∠D. ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°， ∴△ AMB ∽△ AND.3 由△ AMB ∽△AND 得A AN M ＝A AB D ，∴BP ＝BM ， ∴CN ＝CP ，即 BP ·CP ＝ BM ·CN.(2) 由△DEF ∽△ BDE 得B D D E ＝E D F E ， AE ＝PE ， DE ＝BE ，即 AE ·BE ＝ PE ·DE. AE ＝CE， CE ＝BE ，即 CE 2＝AE ·BE.∴ CE 2＝DE ·PE. BD BF∴△ BDF ∽△ BAE ，得AB BE∴△ ABC ∽△ DBA ，得 AB ＝BD ，∴BF ＝AB . BC ＝AB ，∴BE ＝BC . ∠ BAM ＝∠ DAN.AM AB又 AD ＝BC ，∴ AN ＝ BC .∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MAD ＝90°.∴∠ B ＋∠ BAM ＝∠ MAN ＋∠ NAD ＝90°，∴∠ B ＝∠ MAN.AM MN∴△ AMN ∽△ BAC ，∴ AB ＝AC .10．证明：∵ AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴∠ ADB ＝∠ AED ＝90°.又∵∠ BAD ＝∠ DAE ，∴△ ADE ∽△ ABD ，得 AD 2 ＝AE ·AB ，同理可得 AD 2＝AF ·AC ，∴ AE ACAE ·AB ＝AF ·AC ，∴ AF ＝AB .11．证明：连接 PC ，如图．∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分 BC ，∠ABC ＝∠ ACB ，∴BP ＝ CP ，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ ABC －∠1＝∠ ACB －∠2，即∠ 3＝∠4. ∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F ，∴∠CP PF 2 24＝∠ F.又∵∠ CPF ＝∠ CPE ，∴△ CPF ∽△EPC ，∴ PE ＝ CP ，即 CP 2＝PF ·PE.∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE ·PF.（第 12题） 12．证明：如图，连接 PA ，则 PA ＝PD ，∴∠ PDA ＝∠PAD. ∴∠ B ＋∠ BAD ＝∠ DAC ＋∠ CAP. 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ DAC.∴∠ B ＝∠ CAP.又∵∠ APC ＝∠ BPA ，∴△ PAC ∽△PBA ，即 PA 2＝PB ·PC ，∴ PD 2＝PB ·PC. PA ＝PC ，PB ＝PA ，专训2∵BE 平分∠ ABC ，∴∠ DBE ＝∠EBC. ∵ED ∥BC ，∴∠ DEB ＝∠ EBC.AE BD∴∠ DBE ＝∠DEB.∴DE ＝BD.∴ ＝，AC BC即 AE ·BC ＝ BD ·AC.(2) 解：设 h △ADE 表示△ ADE 中 DE 边上的高， h △BD E 表示△ BDE 中 DE 边上的高， h △AB C 表示△ ABC 中 BC 边上的高．S △ ADE h △ ADE 3 S △ADE ＝3，S △BDE ＝ 2，∴ ＝＝S △ BDE h △ BDE 2h △ ADE 3h △ ABC 5∵DE ＝6，∴BC ＝10.COD ，△ DOE ∽△ COB 所. 以∠ EBO ＝∠ DCO ，∠ DEO ＝∠ CBO.因为∠ ADE ＝∠ DCO ＋∠ DEO ，∠ ABC ＝ ∠EBO ＋∠CBO.所以∠ADE ＝∠ABC.又因为∠ A ＝∠ A ，所以△ ADE ∽△ ABC.3．证明：∵∠ BAC ＝90°， AD ⊥BC 于点 D ，∴∠ BAC ＝∠ ADB ＝90°.又∵∠ CBA ＝∠ ABD(公共角 ) ，AB DB∴△ABC ∽△DBA.∴A AB C ＝D D A B ，∠BAD ＝∠C.∵AD ⊥BC 于点 D ， E 为 AC 的中点，∴ DE ＝EC. ∴∠ BDF ＝∠ CDE ＝∠ C.∴∠ BDF ＝∠ BAD. 又∵∠ F ＝∠F ，DB DF AB DF∴△DBF ∽△ADF.∴AD ＝AF.∴AC ＝AF.(第 3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又1．(1) 证明：∵ ED ∥BC ， AE DE △ADE ∽△ABC.∴AC ＝BC .∵△ ADE ∽△ ABC ， DE ＝h △ADE ＝3BC h △ ABC 52．解：相似．理由如下：因为 EO ＝ DO ，BO ＝ CO ， ∠ BOE ＝∠ COD ，∠ DOE ＝∠ COB ，所以△BOE ∽△不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1) ∵∠ DAB＝∠ EAC，∴∠ DAE＝∠ BAC.又∵∠ ADE＝∠ ABC，∴△ ADE∽△ ABC.(2) ∵△ADE∽△ABC，∴ A A E D＝A A B C.∵∠ DAB＝∠EAC，∴△ ADB∽△ AEC.∴AAED＝B C D E.专训3NE ON1．证明：∵ DE∥BC.∴△NEO∽△ MBO∴. MB＝OM.DN ON DN NE DN MC 同理可得＝. ∴ ＝. ∴ ＝.MC OM MC BM NE BM∴△ ANE∽△ AMC∴. AN＝NE.AM MCAN DN DN NE DN BM 同理可得AM＝BM，∴BM＝MC.∴NE＝MC.2．证明：如图，过C作CG∥AB交DF于G点．AD＝AE，BD＝BF，CG＝CE，CG＝CF，AE＝BF，∴AD＝BD，CE＝CF，∴CG＝CG，∵DE∥BC，∴MC＝BM∴∴BM＝MC. ∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.∵CG∥AB，(第2题)∴AD ＝BD.AD AE DE AD 1 1AB ＝AC . 又∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴BC ＝AB ＝2，∴DE ＝2BC.4．证明：如图，延长 CE ，交 AM 的延长线于 F. ∵ AB ∥CF ，∴∠ BAM ＝∠ F ，△ BDM ∽△BAC ，∴∠ BAM ＝∠ CAM ，∴∠ CAM ＝∠F ，∴AC ＝CF ，∴AC ＝2CE.（第 5题）5．证明：如图，过点 C 作CO ⊥AB 于点 O.∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ，∴∠ ECD ＝∠ CED ＝45°. ∵△ ABC 是等腰直角三角形，∴∠ CAB ＝∠ B ＝45°. ∴∠ CAB ＝∠又∵∠ ACE ＋∠ ECO ＝∠OCD ＋∠ ECO ＝45°，∴∠ ACE ＝∠OCD ∴. △ ACE ∽△ OCD ∴. ∠CAE ＝ ∠COD ＝90°.又∵∠ ACB ＝90°，∴∠ CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.6．解：(1)MN ∥AC ∥ED.证明如下：∵ EF ∥BC ，∴△ AEM ∽△ ABD ，△ AMF ∽△ ADC ，∴ EM ＝BDA ADM ＝D M C F .∵E 为AB 的中点，EF ∥BC ，∴F 为 AC 的中点．又∵ DF ∥AB ，∴D 为BC 的中点，∴EM＝MF.∵F 为AC 的中点， FN ∥AE ，∴ N 为EC 的中点，从而 MN ∥AC.又∵D 为 BC 的中点， E 为AB 的中点，∴ ED ∥AC ，∴ MN ∥AC ∥ED.3．证明：∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∠A ＝60°，∠ ABD ＝∠ ACE ＝30 AD ＝1，AB ＝2，AE 1AC ＝2，BD BM BA BMCEM ，△BAM ∽△CFM ，∴B C D E ＝B M M C ，B C A F ＝B M MC ， BD BA∴ B C D E ＝B C A F .又∵BA ＝2BD ，∴ CF ＝2CE.又 AM 平分∠CED.又∵∠ AOC ＝∠ EDC ＝90 AC EC∴△ ACO ∽△ECD.∴A C CO(2)MN ∥AC.证明如下：∵ EF ∥BC ，∴△ AEM ∽△ ABD ，△ AMF ∽△ ADC ，∴B E D M ＝A ADM ＝D M C F ，BD AD DCEM BD BD EN EM EN EM EN＝ . 又∵ DF ∥AB ，∴ ＝，∴ ＝，∴ ＝ . 又∵∠ MEN ＝∠ FEC ， MF＝DC . 又∵DF ∥AB ，∴DC ＝NC ，∴MF ＝NC ，∴EF ＝EC. 又∵∠ MEN ＝∠ FEC ，∴∠ EMN ＝∠ EFC.∴ MN ∥AC.AC AB7．证明：∵ AC 2＝AB ·AD ，∴ AD ＝AC . 又∵∠ A ＝∠A ，∴△ ACD ∽△ ABC.∴∠ ADC ＝∠ ACB.2BC BA又∵BC 2＝BA ·BD ，∴BD ＝BC . 又∵∠ B ＝∠ B ，∴△ BCD ∽△ BAC.∴∠ BDC ＝∠ BCA. ∴∠ ADC ＝∠ BDC.∵∠ BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.18．证明：∵ AD ＝3AB ，点 E ，F 把 AB 三等分，∴设 AE ＝ EF ＝FB ＝AD ＝k ，则 AB ＝CD ＝3k.∵CD ∥AB ，∴∠ DCG ＝∠ FAG ，∠ CDG ＝∠ AFG.FG AF 2∴△AFG ∽△CDG ，∴F D G G ＝A C F D ＝23.设 FG ＝2m ，则 DG ＝3m ，∴ DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在 Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴ DF ＝ 5k.又∠ AFD ＝∠ GFE ，∴△ AFD ∽△ GFE.∴∠ EGF ＝∠ DAF ＝90°. ∴ EG ⊥ DF.专训41．解： (1)设直线 AD 的解析式为 y ＝kx ＋b(k ≠0) 将 D(0，1) A 43， 35 代入解析式得：∴5m ＝ 5k.AF 2k∴F A G F ＝252k 5k ＝ 5，DF 5k AF DF EF ＝ k ＝ 5. ∴FG ＝EF .∴△ MEN ∽△ FEC.b ＝ 1b ＝ 15＝4k ＋b 解得k ＝11∴直线 AD 的解析式为 y ＝ 2x ＋1.1（2）直线 AD 的解析式为 y ＝2x ＋1.令 y ＝0，得 x ＝－2.得 B （－2，0），即 OB ＝2. 直线 AC 为 y ＝－ x ＋3. 令 y ＝ 0，得∴ x ＝3. 得 C （3，0），即 BC ＝51设 E x ， 2x ＋1①当 E 1C ⊥BC 时，如图，∠ BOD ＝∠ BCE 1＝90°，∠ DBO ＝∠ E 1BC.∴△ BOD ∽△ BCE 1. 此时点 C 和点 E 1 的横坐标相同．15将 x ＝ 3 代入 y ＝2x ＋1，解得 y ＝2.∴E 1 3， 2②当 CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠ DBO ＝∠CBE 2， ∴△ BOD ∽△ BE 2C.过点 E 2作 EF ⊥x 轴于点 F ，则∠ E 2FC ＝∠ BFE 2＝90 又∵∠ E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠ E 2BF ＝∠ CE 2F.E 2F CF∴△ E 2BF ∽△ CE 2F ，则＝ .BF E 2F解得： x 1＝2，x 2＝－ 2（舍去） ∴E 2（2，2）当∠ EBC ＝90°时，此情况不存在．5综上所述： E 1 3，2 或 E 2（2，2）．即 E 2F 2＝CF ·BF. 12x ＋ 1 2＝（3 －x ）（x ＋2）（第 1题）（第 2题）2．解：（1）由题意得 A （3，0），B （0，3），∵抛物线经过 A ，B ，C 三点，∴把 A（3，0）， 9a ＋3b ＋c ＝ 0， B （0， 3）， C （1，0）三点的坐标分别代入 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，得方程组 c ＝3，解得 a ＋ b ＋ c ＝0， a ＝1， b ＝－ 4，∴抛物线对应的函数解析式为 y ＝x 2－4x ＋3. c ＝3，（2）如图，由题意可得△ ABO 为等腰直角三角形．若△ ABO ∽△ AP 1D ，则 A A D O ＝D O P B，∴ DP 1＝ AD DP 1AD ＝4，∴P 1（－1，4）；若△ ABO ∽△ ADP 2，过点 P 2作 P 2M ⊥x 轴于 M ，∵△ ABO 为等腰直角三角形，∴△ ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得 DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点 M 与点 C 重合，∴ P 2（1 ，2），∴点 P 的坐标为（－1，4）或（1，2）． 3．解：（1）易得A （－1，0），B （0，2），C （1，0）．设直线 BD 对应的函数解析式为 y ＝kx ＋ m. 把 B （0，2），C （1，0）的坐标分别代入 y ＝kx ＋m ， m ＝2 k ＋m ＝0， k ＝－2 解得 m ＝2. ∴直线 BD 对应的函数解析式为 y ＝－ 2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为 y ＝－ x 2＋bx ＋c. 2∴把 B （0，2），D （3，－4）的坐标分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ， c －＝92＋，3b ＋c ＝－4，解得－9＋3b ＋ c ＝－ 4，b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为 y ＝－ x 2＋x ＋2.（2）存在，①如图①，当△ MON ∽△ BCO 时， C O O N ＝B M O N ，即O 1N ＝M 2N ，∴ MN ＝2ON.设 ON ＝a ，则2M （a ， 2a ），∴－ a 2＋a ＋2＝2a ，解得 a 1＝－ 2（不合题意，舍去），a 2＝1，∴ M （1，2）；②如图4．解：（1）在矩形 OABC 中，∵点 B 的坐标为（2 ， 3），∴ BC 边的中点 D 的坐标为（1 ， k k 33）．∵双曲线 y ＝x 经过点 D （1， 3），∴ 3＝1，∴ k ＝ 3，∴ y ＝x . ∵点 E 在 AB 上，∴点 E 的横坐3 3 3 标为 2.又∵双曲线 y ＝x 经过点 E ，∴点 E 的纵坐标为 y ＝2，∴点 E 的坐标为 2，2.33 BD BE 1 2 4（2）易得 BD ＝1，BE ＝2，CB ＝2. ∵△FBC ∽△DEB ，∴CF ＝CB ，即CF ＝2，∴CF ＝3，∴OF 55＝3，即点 F 的坐标为 0，3 .设直线FB 对应的函数解析式为 y ＝k 1x ＋b ，而直线 FB 经过B （2，25∴ k 1＝3，b ＝3，∴直线 FB 对应的函数解析式为②，当△ MON ∽△ CBO 时，ON＝MN ，即ON ＝MN ， BO CO 2 1 ∴－ n 2＋ n＋2＝2，解得 n 1＝ 4 （不合题意，舍去），n 2＝ 4 ，∴M(1＋ 33，1＋ 338）．∴存在3)，F 0，53 ，25 y ＝3x ＋3.∴ MN ＝12ON.设 ON ＝n ，则 2n，这样的点 M （1，2）或1．C3．解：四边形 ABCD 与四边形 A ′B ′C ′D ′ 相似．由已知条件知，∠DAB ＝∠ AB BC CD D ′A ′B ′，∠ B ＝∠B ′，∠ BCD ＝∠B ′C ′D ′，∠ D ＝∠D ′，且 A ′B ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝DA 5＝，所以四边形 ABCD 与四边形 A ′ B ′C ′D ′相似．D ′ A ′ 6 4．解：如图，过点 B 作 BM ⊥x 轴于点 M ，过点 B ′作 B ′N ⊥x 轴于点 N ，则△CBM ∽△CB ′N.所以 MC NC ＝BM B ′N ＝BC B ′C.又由已知条件知 NC ＝a ＋1，B ′N ＝－ b ， BC 1bB ′C ＝1 2，所以 MC （a ＋1）＝BM （－b ）＝1 2.所以 MC ＝2（a ＋1）， BM ＝－ 2. 所以MO ＝ 1 a ＋ 32（a ＋ 1）＋1＝ 2 .所以点 B 的坐标为1 1 3 3 2(2) ∵S △BDE ＝2·2x ·y ＝2·2x · 6－2x ＝－2(x －2) ＋6，∴当 x ＝2时，最大值为 6.6．（1）证明：如图，∵ D 是 BC 边上的中点， DE ⊥BC ， ∴EB ＝EC ，∴∠ B ＝∠1. 又∵ AD ＝AC ，∴∠ ACD ＝∠ 2，∴△ ABC ∽△FCD. （2）解：如图，过点 A 作AM ⊥CB 于点 M. ∵D 是 BC 边上的中点，∴ BC ＝2CD.1 2S △ ABC 2× 20∵S △ABC ＝2BC ·AM ，∴AM ＝ BC ＝ 10 ＝4.∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，∴DE ∥AM ，a ＋ 3，2，b －2. 5．解： (1) ∵DE ∥ BC ，AD ＝AE，AB ＝AC ，8－ 2x y 3∴ －8 ＝6，∴ y ＝－2x ＋6(0≤x ≤4)．S △BDE 有最大值，由(1) 知△ ABC ∽△ FCD ，S △ABCS △FCDBC2＝4. CD ＝1.又∵ S △FCD ＝5，∴ S △ABC ＝20. （第 4题）由 AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知 DM ＝21CD ＝ 41BC ＝25.点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．7．证明：∵△ ACB 为等腰直角三角形， AB 为斜边， ∴∠ CAB ＝45°. ∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠ CED ＝45°，∠ CDE ＝90 ∴∠ CAO ＝∠ CED ，∠ AOC ＝∠ EDC. AC CE∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，CO ＝CD .∴∠ ACE ＝∠ OCD ∴. △ACE ∽△ OCD.8．(1) 证明：由四边形 APCB 内接于圆 O ，得∠ FPC ＝∠ B. 又∠ B ＝∠ ACE ＝90°－∠ BCE ，∠ ACE ＝∠ APD ，所以∠ APD ＝∠ FPC ，所以∠ APD ＋∠ DPC ＝∠ FPC ＋∠ DPC ，即∠ APC ＝∠ FPD. 又∠ PAC ＝∠ PDC ，所以△ PAC ∽△ PDF.(2) 解：由(1) 知△ PAC ∽△ PDF ，所以∠ PCA ＝∠ PFD. 又∠ PAC ＝∠ CAF ，所以△ PAC ∽△ CAF ，所以△ CAF ∽△PDF ，由 AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ ACB ＝90°，知 BC ＝ 5，AC ＝2 5. 由 OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知 CB 2＝BE ·AB ， CE ＝DE.CB 2 5所以 BE ＝ AB ＝5＝1.所以 AE ＝ 4，CE ＝ CB －BE ＝ 5－1＝2，∴△ BDE ∽△BMA.∴DE ＝BD . AM ＝BM .DE 55 5＋52∴DE ＝83.所以P A D C ＝A D F F ，则 PD · AF ＝ AC · DF.所以DE＝ 2.又＝，∠ AFD＝∠ PCA，所以∠ AFD＝∠ PCA＝45 所以FE＝AE＝4，AF＝4 2，所以PD＝AC A·F DF＝2 5×4（42＋2）＝3210.9．解：（方法一：作延长线）延长AD，与地面交于点M，如图① .（第9题）由AM∥FH知∠ AMB＝∠FHG.又因为AB⊥BG，FG⊥BG，DC⊥BG，因为CD＝ 2 m，FG＝1.2 m，GH＝ 2 m，2 1.2 10 所以CM＝2，解得CM＝3m.所以BM＝BC＋CM＝4＋130＝232（m）．33故这棵树的高度是 4.4 m.（方法二：作垂线）过点D作DM⊥AB于点M，如图② .所以A D M M＝F G G H.而DM＝BC＝4 m，AM＝AB－CD＝AB－2（m），FG＝1.2 m，GH＝2 m，故这棵树的高度是 4.4 m.10．解：如图，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，并延长交BC于点G. ∵DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC.AF DE 30 24∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AG⊥BC，∴A AF G＝B D C E，∴3A0G＝2640解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.所以AB－241.22 解得AB＝4.4 m.所以△ ABM∽△ DCM∽△ FGH，所以AB＝CD＝FG.BM＝CM＝GH.因为BC＝ 4 m，所以2A2B＝1.2解得AB＝4.4 m.(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，1可确定C′O＝2CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△ A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1) 由角平分线的定义及∠ BAD 为平角直接可得．(2) 由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ ACM与△ ABM相似即可．1(1) 解：∵ AP平分∠ BAC，∴∠ PAC＝2∠BAC.1又∵ AQ平分∠ CAD，∴∠CAQ＝2∠CAD.111∴∠PAC＋∠CAQ＝2∠BAC＋2∠CAD＝2(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠ BAC＋∠ CAD＝180°，∴∠ PAC＋∠ CAQ＝90°，即∠ PAQ＝90°. (2) 证明：由(1) 知∠ PAQ＝90°，又∵ M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠ APM＝∠ PAM.∵∠ APM＝∠ B＋∠ BAP，∠ PAM＝∠ CAM＋∠ PAC，∠BAP＝∠ PAC，∴∠ B ＝∠ CAM.又∵∠ AMC＝∠ BMA，∴△ ACM∽△ BAM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．CM ＝AM ， AM ＝BM ， ∴ AM 2＝CM ·BM ，即 PM 2＝CM ·BM.。

人教版数学九年级下册第27章相似相似三角形相似三角形同步训练含答案

人教版数学九年级下册第27章相似相似三角形相似三角形同步训练含答案1. 如下图，△ABC 与△A′B′C′相似，那么以下记法中正确的选项是( ) A ．△ACB∽△A′B′C′ B ．△BAC∽△C′B′A′ C ．△BCA∽△B′C′A′D ．△ABC∽△C′A′B′2．△ABC ∽△A 1B 1C 1，且∠A ＝60°，∠B ＝95°，那么∠C 1的度数为( ) A ．60° B ．95° C.25° D ．15°3．如图，在△ABC 中，点D 、E 区分在AB 、AC 上，DE ∥BC ，假定BD ＝2AD ，那么( )A.AD AB ＝12 B ．AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D ．DE BC ＝124. 如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2.假定BC ＝1，那么EF 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，BC ＝12，那么DE 的长是( )A ．3B ．4 C.5 D ．6 6. 以下命题不正确的选项是( ) A ．相似三角形一定全等 B ．两个等腰直角三角形相似C ．两个全等三角形一定相似D ．在△ABC ∽△A′B′C′，那么∠A ＝∠A′，∠B ＝∠B′7. 如图，在△ABC 中，D 、E 区分为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，衔接AF 交DE 于点G ，那么以下结论中一定正确的选项是( ) A.AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BD C.BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝AC EC8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，那么DE 的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．129. 假定△ABC ∽△A 1B 1C 1，AB ＝2，A 1B 1＝3；那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比为 .10. 如图，点F 是▱ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延伸线于点E ，那么以下结论错误的选项是( )A.ED EA ＝DF AB B ．DE BC ＝EF FB C.BC DE ＝BF BE D ．BF BE ＝BC AE11．如图，在△ABC 中，点D 、E 区分在AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD AB ＝13，AD ＋DE ＋AE AB ＋BC ＋AC ＝ .12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，在BA 的延伸线上取一点E ，衔接OE 交AD 于点F.假定CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，那么AF ＝ .13. 如下图，△ABC 是等边三角形，P 是BC 上一点，且△ABP ∽△PCD.求∠APD 的度数．14. 在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．衔接AE. (1)假定AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；(2)假定点E 为BC 的中点，衔接BD ，交AE 于F ，求EF ∶FA 的值．15．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，DF 与AB 的延伸线交于点G. (1)求证：△CDF ∽△BGF ；(2)当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，假定AB ＝6cm ，EF ＝4cm ，求CD 的长．参考答案：1---8 CCBDB ACC 9. 3∶2 10. C11. 1312. 16913. 解：△ABP ∽△PCD ，∴∠BAP ＝∠CPD.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴∠BAP ＋∠BPA ＝180°－60°＝120°，∴∠BPA ＋∠CPD ＝120°，∴∠APD ＝180°－(∠BPA ＋∠CPD)＝180°－120°＝60°.14. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EAD ，又∵AE ＝AB ，∴∠B ＝∠AEB ，∴∠B ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠D ； (2)∵AD ∥BC ，∴∠FAD ＝∠FEB ，∠ADF ＝∠EBF ，∴△ADF ∽△EBF ，∴EF ∶FA ＝BE ∶AD ＝BE ∶BC ＝1∶2.15. 解：(1)证明：∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，即CD ∥BG ，∴△CDF ∽△BGF ； (2)由(1)得△CDF ∽△BGF ，且F 是BC 中点，∴DF ＝FG ，CD ＝BG.又∵EF ∥CD ，AB ∥CD ，∴EF ∥AG ，∴△DEF ∽△DAG.∴EF AG ＝DF DG ＝12，∴AG ＝8cm ，∴CD ＝BG ＝AG－AB ＝2cm.。

九年级数学上册4.2 相似图形的性质同步练习

24.2 相似图形的性质同步练习1、请看下图；并回答下面的问题：（1）在图（1）中；两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？（2）在图（2）中；两个正方形物体的形状相同吗？2、生活中存在大量的形状相同的图形；试举出几例。

3、在实际生活和数学学习中；我们常常会看到许多开头相同的图形；下图形状相同的图形分别是、、、、（填序号）4、如右图；放大镜中的三角形与原三角形具有怎样的关系？5、提高：在直角坐标系中描出点O (0；0)、A (1；2)、B (2； 4)、C (3；2)、D (4；0).先用线段顺次连接点O ； A 、B ；C ； D ；然后再用线段连结A 、C 两点．（1）你得到了一个什么图形？（2）填写表1；在直角坐标系中描出点O ；、1A 、1B 、1C 、1D ；并按同样的方式连结各点．你得到一个什么图形？填写表2；你又得到一个什么图形？填写表3呢？（3）在上述的图个图形中；哪两个图形的形状相同？6、下列每组图形状是否相同？若相同；它们的对应用有怎样的关系？对应边呢？（1）正三角形ABC 与正三角形DEF ；（2）正方形ABCD 与正方形EFGH 。

7、（1）观察下面两组图形；图（1）中的两个图形相似吗？为什么？图（2）中的两个图形呢？与同伴交流。

（2）如果两个多边形不相似；那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？8、如图；35'''===BC BC AC AC AB AB ；且AB=8cm ；BC=10cm ；AC=7cm ；则△A ''C B 的周长= cm ．9、如图；D 、E 分别在AB 、AC 上；则21==EC AE DB AD ；则=AB BD ；ACCE = ； AB AD = ；ACAE = 。

10、已知；如图；EC AE DB AD =；且AE=8；AC=10；AD=12；求BD 、AB 的长。

11、如图；D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上；且43===AB DE AC CE CB DC ；△DEC 的周长为18cm ；求△ABC 的周长。

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24.2 相似图形的性质同步练习
1、请看下图，并回答下面的问题：
（1）在图（1）中，两个足球的形状相同吗？它们的大小呢？
（2）在图（2）中，两个正方形物体的形状相同吗？
2、生活中存在大量的形状相同的图形，试举出几例。

3、在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多开头相同的图形，下图形状相同的图形分别是、、、、（填序号）
4、如右图，放大镜中的三角形与原三角形具有怎样的关系？
5、提高：在直角坐标系中描出点O (0，0)、A (1，2)、B (2， 4)、C (3，2)、D (4，0).先用线段顺次连接点O, A 、B,C, D ，然后再用线段连结A 、C 两点．（1）你得到了一个什么图形？
（2）填写表1，在直角坐标系中描出点O,、1A 、1B 、1C 、1D ，并按同样的方式连结各点．你
得到一个什么图形？
填写表2，你又得到一个什么图形？
填写表3呢？
（3）在上述的图个图形中，哪两个图形的形状相同？
6、下列每组图形状是否相同？若相同，它们的对应用有怎样的关系？对应边呢？
（1）正三角形ABC 与正三角形DEF ；（2）正方形ABCD 与正方形EFGH 。

7、（1）观察下面两组图形，图（1）中的两个图形相似吗？为什么？图（2）中的两个图形呢？与同伴交流。

（2）如果两个多边形不相似，那么它们的对应角可能都相等吗？对应边可能都成比例吗？
8、如图，3
5'
'
'
=
=
=
BC
BC AC
AC AB
AB ,且AB=8cm ，BC=10cm ，AC=7cm ，则△A '
'C B 的周长=
cm ．
9、如图,D 、E 分别在AB 、AC 上，则
2
1==EC
AE DB
AD ，则
=AB
BD ，
AC
CE = ，
AB
AD = ,
AC
AE = 。

10、已知，如图，EC
AE DB
AD =，且AE=8，AC=10，AD=12，求BD 、AB 的长。

11、如图，D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，且4
3=
=
=
AB
DE AC
CE CB
DC ，△DEC 的周长为18cm ，
求△ABC 的周长。

7、课后提高：
（1）下面有两个短形相似，求它们的对应边的比。

（2）如图，两个正六边形的边长分别为a 和b ，它们相似吗？为什么？
（3）如图，短形草坪长20m ，宽10m ，沿草坪四周有1m 宽容环形小路，小路内外边缘所
的矩形相似吗？。