4.1基矢量的导数Christoffel符号
力学中的数学方法-张量-6-2013改
4) 矢量的逆变分量和协变分量 任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
i
i ij ⎧ ⎪v = g v j ⎨ j = v g v ⎪ ij ⎩ i
i
表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。 vi称 为矢量V的协变分量； vi是矢量V的逆变分量。
k ij
⎧ g ij ,k = Γkij + Γ jki ⎪ ⎨ g jk ,i = Γkij + Γijk ⎪ ⎩ g ki , j = Γijk + Γ jki
2式+3式-1式
2Γijk = g jk ,i + g ki , j − g ij ,k
若度量张量的分量已知，可计算坐标系的克里斯托弗符号， 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。由于直角坐标系的 14 gij 是常数，所以在直角坐标系中克里斯托弗符号=0
k gi , j ⋅ g k = Γ lij g l ⋅ g k = Γ lijδ lk = Γ ij
12
2) 克里斯托弗符号的性质及其计算 a) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降(但不是张量)
Γ ijk = Γ g lk
l ij
Γ = Γ ijl g
k ij
lk
b) 克jt = δ jjδ tk − δ jk δ t j = 2δ tk ε ijk = 2δ = 6
k k
10
e
ijk
eijk = ε
ijk
三、张量演算
《弹性力学与张量分析》，郭日 修，高等教育出版社
将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变 导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的 协变导数是本节讨论的重点。
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
克里斯托弗尔符号计算
克里斯托弗尔符号（Christoffel symbols）是用于描述联络（connection）的张量，具体定义为在一个给定的黎曼流形上，给定一个自然标架运动公式，对于每一个自然标架的变动，根据联络的形式可以求得一组新的克里斯托弗尔符号。
具体来说，对于任意两个矢量场A和B，它们的克里斯托弗尔符号可表示为Christoffel符号，用指标表示即g^(a)*[e_b,e_c]A^b*e_a=0。
克里斯托弗尔符号在黎曼空间中可引入平行移动的概念，从而使所有黎曼空间同时又是仿射联络空间。
它们有时也被称为第一类克里斯托弗尔符号和第二类克里斯托弗尔符号。
第四章-曲线坐标系下张量分析
对开口曲面S1取一平面面积微元，则沿面元边界的积分 所以
然而 所以，对平面微元： 由于两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立； 而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以上式对一般的曲面成立。 设 其中 是张量
然而
所以 例：在极坐标系中
矢量
而 极坐标系下的线性应变 由于 极坐标系下质点的速度
第四章：曲线坐标系张量分析
张量场函数： 笛卡尔坐标系下 坐标线：只变化一个曲线坐标时，矢径的轨迹。 直线坐标系下，坐标线都是直线。 当，，，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基： 所以： 基矢量的导数 基矢量的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示： 其中称为第二类Christoffel符号，称为第一类Christoffel符号。Christoffel 符号是基矢量导数在协变基下的分解系数。事实上：
藜曼曲率张量描述的是空间的性质。欧式空间中我们中可以选取全局直 线坐标使Christoffel符号全部等于零，因此，欧式空间的特征是藜曼曲率 张量等于零，矢量（张量）的偏导数次序可以交换。三维空间中的曲面 可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张 曲面就可以展开成平面（曲面上一段曲线的长度等于展开后平面上直线 段的长度）。如圆柱面、锥面。 通过将R-C张量表达为度量张量的函 数，可以证明： ①关于前两个指标反对称
质点的加速度 其中
所以 相对加速度 向心加速度 切向加速度 柯氏加速度
先缩并后求导（自由指标减少2个）
4. 设 则有： 因此：
Riemann-Christoffel 张量
（二阶张量） 互换k,j指标，可得： 可以证明：
（后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）
张量与连续介质力学基本公式总结
第一章：矢量和张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅c a b b c a a c b 指标记法：哑指标求和约定 自由指标规则 协变基底和逆变基底：张量概念i i'i'i β=g g i'i'i i β=g gi'i'i i v v β= i i 'i 'iv v β= i'j'i'j'k l ij..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ= i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =⊗⊗⊗T g g g g度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v vT G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m )S U = ijk...lm T(i,j,k ,l,m )T =置换符号i i ir s t j j j ijk ijk ijkr s t rst rst rstk k kr s t e e δδδδδδεεδδδδ=== ijk j k j k jk ist s t t s st δδδδδδ=-2ijk k ijt t δδ= 6ijk ijk δ=置换张量i j k ijk ijk i j k εε=⊗⊗=⊗⊗εg g g g g gijk i j k ijk ()e ε=⋅⨯=g g gijkijki j k ()ε=⋅⨯=g g g ()::()i j k ijk ijk i j k a b a b εε⨯===⊗=⊗a b g g a b εεa b第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量1.()i i Tr T ζ==T 212i j l ml m .i .j T T ζδ= 3()det ζ=T1()()(())(())()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w标准形1. 特征值、特征向量λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 0 321230λζλζλζ-+-= 2. 实对称二阶张量标准形123112233i iλλλ=⋅⊗=⊗+⊗+⊗N N g g g g g g g g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())ϕϕϕϕ=+⊗+-+⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123μμμ=⊗-⊗=⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2μ=-=⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω 5. 正则张量极分解 =⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λςλςλςςςς-+-=⇒-+-=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012()f k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
连续介质力学读书报告材料
3.2.1质点的速度：
算子 称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变化率。
Euler 坐标基底矢量的物质导数：
物质坐标（Langrange）基底矢量的物质导数：
欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此
利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：
1.1基本假设
连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，数度，压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等。
由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一：
因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：
当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：
当我们采用空间（Euler）坐标时，相应的基矢量：
两者之间具有转换关系：
3.2物质导数
高斯定理：
设Ω 为空间有界闭区域，其边界面S是分片光滑曲面，曲面正侧记作S+，若向量函数F(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}的各分量在Ω及S+上有连续一阶偏导数，则有：
1.2研究对象
固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的刚体和可变形固体。刚体在一般力学中的刚体力学研究；连续介质力学中的固体力学则研究可变形固体在应力，应变等外界因素作用下的变化规律，主要包括弹性和塑性问题。
如何使用MATLAB作张量运算
2012年第05期吉林省教育学院学报No.05，2012第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCEVol .28（总293期）Total No .293收稿日期：2012—03—05作者简介：张明洪（1966—），男，湖北枝江人，三峡旅游职业技术学院，讲师，研究方向：计算机教育、休闲服务与管理的教学与研究。
浅论如何使用MATLAB 作张量运算张明洪（三峡旅游职业技术学院，湖北宜昌443100）摘要：本文介绍并分析了如何使用MATLAB 作张量的创建以及缩并、乘积、求导等运算的方法和步骤。
关键词：MATLAB ；张量；张量创建；张量运算中图分类号：O183文献标识码：A文章编号：1671—1580（2012）05—0054—02一、引言张量作为物理或几何的具体对象，充分反映了这些现象的物理和几何属性，是这些现象的一种数学抽象，在分析力学、固体力学、流体力学、几何学、电磁场理论和相对论等方面有着广泛的应用。
张量（tensor ）是几何与代数中的基本概念之一，从代数角度讲，张量是数量、向量、矩阵的自然推广，在为n空间中的N 阶张量有n N个分量，下面是n =2时的张量示意图：T（T 1，T 2）标量（阶N =0）矢量（阶N =1）T 11T 12T 21T ()22矩阵（阶N =2）张量（阶N =3）可见，零阶张量可用一个数表示，一阶张量可用一行数组表示，二阶张量可用矩阵表格表示，三阶张量可用“立体矩阵”表示，更高阶的张量不能用图形表示，正因为如此，关于张量的推演计算有时会很复杂繁琐。
利用MATLAB 可以使复杂繁琐的推演计算变得简单方便。
由于难以见到相关的文献，在此作简要的介绍，以方便读者学习。
二、张量运算函数命令MATLAB 是通过调用MAPLE 的张量包（ten-sor ）进行运算的，格式为：＞＞maple （‘函数名’），或者借用procread 指令把整段MAPLE 程序送往MAPLE 计算。
《矢量函数的导数》课件
总结
1 矢量函数的导数的基
本概念
回顾矢量函数的导数的定 义和几何意义。
2 矢量函数的导数的求 3 矢量函数的导数在应
导法则
用中的重要作用
总结一元和多元矢量函数 的求导法则，以及其应用。
强调矢量函数的导数在物 理、工程等领域中的重要 作用和实际应用。
参考文献
1. 文献1 2. 文献2
《矢量函数的导数》PPT 课件
矢量函数的导数是一个重要概念，本课件将详细介绍矢量函数的导数的定义 和求导法则，以及在应用中的重要作用。
概述
矢量函数的定义
介绍矢量函数和普通函数的区别，以及矢量函数 的基本特性。
导数的定义
解释导数的概念以及矢量函数的导数与普通函数 的导数的关系。
一元矢量函数的导数
1
导数定义
详细解释一元矢量函数的导数的定义，包括导数的几何意义和计算方法。
2
求导法则
介绍一元矢量函数的求导法则，包括常数倍法则、和差法则、链式法则等。
3
高阶导数
讨论一元矢量函数的高阶导数，以及高阶导数在应用中的意义。
多元矢量函数的导数
偏导数定义
解释多元矢量函数的偏导数的 定义和概念。
求导法则
介绍多元矢量函数的求导法则， 包括偏导数的计算方法和高阶 偏导数的存在性。
梯度
探讨多元矢量函数的梯度，以 及梯度的几何意义和计算方法。
应用
矢量场的切线、法线、曲率、扭ห้องสมุดไป่ตู้等
解释矢量场的切线、法线、曲率、扭率等概念，以 及这些概念在现实世界中的应用。
梯度的应用：最大值与最小值、方向导数、 梯度下降等
探讨梯度的应用，包括寻找函数的最大值与最小值、 计算方向导数和应用于梯度下降算法等。
张量分析ppt课件张量分析课件第五章5协变基底矢量导数
r2
r1
22 1
r2
22 2
3 22
r3
rr2
r2 x3
r2 z
r1
23 1
r2
23 2
3 23
r3
o
r3 x1
r3 r
r1
31 1
r2
31 2
r3
31 3
o
r3 x2
r3
r1
32 1
r2
32 2
3 32
r3
o
例11： 试求球坐标：
r3 x3
r3 z
r1
33 1
r2
33 2
r3
33 3
o
x1 r sin cos
2
x3
2 2
1
[r2 cos2 cos2 r2 cos2 sin2 r2 sin2 )2 r
1
h3
x1
2
x2
2
x3
2
2
1
(r2 sin2 sin2 r2 sin2 cos2 0)2 r sin
由(5.3-154)式得，除 1h2、 1h3、 2h3 偏导数分别为 1、sin、r cos、 外，其余的偏导数均为零。
jri ( jri ) r k rk
（5.3-3）
式中 ( jri ) r k 是矢量 j ri 在协变基矢量rk上的线性表示系数（ 或称为 rk 上的坐标）。同理， j ri 也可以在逆变基底上线性
表示为：
jri ( jri ) rk rk
（5.3-4）
定义：
k ij
k
i
3 22
h2 (h3 )2 3h2
1 33
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。
答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。
答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。
答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。
答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。
答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。
2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。
3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。
答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
张量分析课件第五章5 协变基底矢量导数
（5.3-14）
323 233 332 h 3 2 h 3
111 h 1 1 h 1
222 h 2 2 h 2
333 h 3 3 h 3
k：
ij
3 12
1 23
2 31
2 13
1 32
3 21
0
2 11
h1(h2 )2 2h1
3 11
h1(h3 )2 3h1
（5.3-15）
r3
32 3
o
r3 x3
r3 z
r1
33 1
r2
33 2
r3
33 3
o
例11：
试求球坐标： x 1 r s i n c o s ; x 2 r s i n s i n;
（式中 ）的 x1r,x2,x3
k ij
。
解：
1
∵
h1
xr1
2
xr2
2
xr3
22
x 3 r c o s
jriik jrk ; (i,j 1 ,2 ,3)
得：
r1 x1
r1 r
r1
11 1
r2
11 2
r3
11 3
o
r1 x2
r1
r1
12 1
r2
12 2
r3
21 3
1 r
r2
r1 x3
r1
r1
13 1
r2
13 2
r3
13 3
1 r r3
r2 x1
r2 r
r1
21 1
r2
21 2
;
k k
ij
ji
（5.3-9）
球面度规的联络系数
球面度规的联络系数
在球面度规中，联络系数表示了曲面的几何性质。
球面度规的联络系数可以通过计算球面度规的基矢量之间的内积来获得。
球面度规的联络系数具体表示如下：
1. 第一类联络系数（Christoffel符号）：
Γ^i_{jk} = (1/2) g^{il} (∂g_{lk}/∂x^j + ∂g_{jl}/∂x^k - ∂g_{jk}/∂x^l)
这里，i, j, k代表球面度规的坐标指标，g_{ij}代表球面度规的度规张量分量，g^{ij}代表度规张量的逆。
2. 第二类联络系数：
L_{ij}^k = g^{kl} Γ^k_{ij}
这里，L_{ij}^k表示第二类联络系数，Gamma^k_{ij}表示第一类联络系数。
通过计算球面度规的联络系数，可以了解球面度规中曲率和路径的变化情况，从而分析球面度规的几何性质。
圆柱坐标系和球坐标系的Christoffel符号计算
圆柱坐标系和球坐标系的Christoffel符号计算
盛冬发;张宁;银光球
【期刊名称】《福建工程学院学报》
【年(卷),期】2010(008)004
【摘要】系统地给出了曲线坐标系中的基矢及基矢的空间变化率,应用Christoffel 符号的定义分析了圆柱坐标系和球坐标系的Christoffel符号计算.比较了完整坐标系下和非完整坐标系下Christoffel符号计算公式.
【总页数】5页(P342-346)
【作者】盛冬发;张宁;银光球
【作者单位】福建工程学院机电及自动化工程系,福建,福州,350108;福建工程学院机电及自动化工程系,福建,福州,350108;福建工程学院机电及自动化工程系,福建,福州,350108
【正文语种】中文
【中图分类】O34
【相关文献】
1.圆柱、球坐标系下▽Φ、▽·A、▽×A和▽2的运算公式 [J], 路彦峰;刘建军;路洪艳
2.极坐标系和球坐标系几何和平衡方程统一推导方法 [J], 尹玉泽;康欢
3.空间直角坐标系与球坐标系变换研究 [J], 李宏;许文龙
4.浅谈地球坐标系及2000国家大地坐标系 [J], 刘平;罗伊;范海生
5.三维静电场球坐标系曲面边界元法仿真精度分析 [J], 王泽忠;王迪
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
4.1基矢量的导数Christoffel符号
T (r ) = T iL j kLl gi L g j g k L g l L
为在该域内定义的张量场函数 张量场函数。 则称 T(r) 为在该域内定义的张量场函数。 （2）在任意曲线坐标系中研究问题。此时，由于矢径 r 不 ）在任意曲线坐标系中研究问题。此时， 的线性函数， 是坐标 x1，x2，x3 的线性函数，协变基矢量
T iL j kLl 总 的基矢量分解，也将得到不同的分量， 的基矢量分解，也将得到不同的分量，故张量分量 L
是点的位置 r(x1，x2，x3) 的函数。 的函数。 定义 张量场函数的连续 若张量场函数 T 的分量 的实函数，在其定义域内处处连续， T iL j kLl 是 x1，x2，x3 的实函数，在其定义域内处处连续，则 L 称该张量场函数是连续函数。 称该张量场函数是连续函数。 定义 CN 阶光滑的张量场函数 张量场函数 T 的分量
g j
Γ ij , s
g s = i gj i x x
Γ ij , s
g is g s = j gi j x x
Γ ij , s
1 g is g js g s g s = j + i gi j + g j i 2 x x x x g j gi 1 g is g js = j + i gi s + g j s 2 x x x x 1 g is g js g ij = j + i s 2 x x x
j ji j ij
( = (Γ
1 1i
) ( g × g ) g + ( g × Γ
1 2 3 1
2 2i
) g ) g + ( g × g ) Γ
2 3 1 2
3 3i
g3
关于Christoffel符号的注记
关于Christoffel符号的注记
陈亚丽
【期刊名称】《江苏教育学院学报》
【年(卷),期】2005(000)003
【摘要】首先给出了曲面论中的一些记号，然后运用这些记号对张量记号之间的运算，特别是第一类和第二类Christoffel符号之间的关系给出了详细证明．【总页数】3页(P134-136)
【作者】陈亚丽
【作者单位】无锡商业职业技术学院基础部,江苏无锡214063
【正文语种】中文
【中图分类】P283.1
【相关文献】
1.圆柱坐标系和球坐标系的Christoffel符号计算 [J], 盛冬发;张宁;银光球
2.后牛顿近似下的Christoffel符号 [J], 蒋德瀚
3.图的无符号Laplace HOMO-LUMO指数的一个注记 [J], 崔江胜
4.地图符号的说明注记和数字注记识别 [J], 黄文骞;杨启和
5.架空输电线路植被包络线及符号注记自动绘制方法 [J], 李卫军
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圆柱坐标系和球坐标系的christoffel符号计算
圆柱坐标系和球坐标系的christoffel符号
计算
极坐标系中定义了一种特殊的 Christoffel 符号，称为圆柱坐标系和球坐标系的christoffel符号，推导这些符号的性质既广泛又复杂，但本文将讨论它们的主要性质。
圆柱坐标系的Christoffel符号是一类参数化的两个变量之间的函数关系，表示两个曲面常数θ和φ之间的联系，在圆柱坐标中这些符号描述了两个曲面常数θ和φ之间内插系数随环境变化而变化的有趣情况。
其中θ表示长度，φ表示宽度，而Christoffel符号定义了θ和φ之间某种变换以及其变化率。
圆柱坐标系中某种可能的Christoffel符号定义为：
γαβ = 0.5(θαθβ + φαφβ)
球坐标系的Christoffel符号表示的是空间坐标系的连续性的函数关系式，每一个Christoffel符号由三个下标来表示，表示ρ，θ和φ三个角度之间的联系。
其中ρ表示空间坐标原点的距离，θ表示扇形的角度，而φ表示扇形和另一方向的夹角。
即：
γαβ =0.5 (ραρβ + ρ2sin2θαφβ)
Christoffel符号的计算在定义特定的球形坐标系上有重要意义，它是对曲率（曲率定义了曲面上一点与另一点的距离变化）的重要表征，可以用来描述物理学中不同性质的空间。
另外，它们也可以用来表示质量是如何分配到物理空间中平面坐标系等等。
总之，圆柱坐标系和球坐标系的Christoffel符号被用于定义不同的坐标系的变换关系，以此来描述物理学中各种性质的空间，并且也可以用来表示物理中不同的曲率和质量的分布和变化。
张量中克氏符号
张量中克氏符号摘要：1.张量的概念及表示方法2.克氏符号的定义与特点3.张量中克氏符号的应用4.总结正文：1.张量的概念及表示方法张量是数学中的一个重要概念，它是一种多维数组，可以用来表示空间中的物理量，如速度、加速度、应力等。
在数学和物理学中，张量具有广泛的应用。
张量的表示方法通常使用下标，例如，一个三维张量可以表示为T_{ij}^{k}，其中i、j、k 为下标。
2.克氏符号的定义与特点克氏符号（Christoffel symbol）是一种用于表示张量的简化方法，它可以减少下标的使用，使张量的表达更加简洁。
克氏符号的定义是：设张量A 是一个n 阶张量，其元素A_{i_1 i_2...i_n}与基底矢量ε_{i_1 i_2...i_n}的内积为A_{i_1 i_2...i_n}，则克氏符号C_{i_1 i_2...i_n}^{j}定义为A_{i_1 i_2...i_n}与基底矢量ε_{j i_1 i_2...i_n}的内积除以ε_{j i_1 i_2...i_n}的模长，即：C_{i_1i_2...i_n}^{j} = A_{i_1 i_2...i_n}·ε_{j i_1 i_2...i_n} / ||ε_{j i_1 i_2...i_n}||。
克氏符号具有以下特点：（1）克氏符号是张量的分量与基底矢量的内积，因此它是一个标量；（2）克氏符号的指数和为n，与张量的阶数相同；（3）克氏符号的上标表示张量的第几个分量，下标表示对应分量的基底矢量。
3.张量中克氏符号的应用克氏符号在张量运算中具有重要作用，它可以简化张量的表达，使计算更加简便。
例如，在计算两个张量的和时，可以使用克氏符号表示每个分量的和，然后进行标量运算。
克氏符号还可以用于张量的导数计算、张量积的计算等领域。
4.总结张量是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
克氏符号是表示张量的一种简化方法，它可以减少下标的使用，使张量的表达更加简洁。
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T iL j kLl 是 x1，x2，x3 的实函数，若在其定义域 T iL j kLl（x1， 的实函数， L L
x2，x3）关于 xl (l=1，2，3) N 次连续可微，则称 T 是关于 xl ， ， 次连续可微， 关于
阶光滑的张量场函数。 的 CN 阶光滑的张量场函数。 仅满足连续性的的张量场函数称为 C0 阶光滑的张量场 函数。 函数。
g j
Γ ij , s
g s = i gj i x x
Γ ij , s
g is g s = j gi j x x
Γ ij , s
1 g is g js g s g s = j + i gi j + g j i 2 x x x x g j gi 1 g is g js = j + i gi s + g j s 2 x x x x 1 g is g js g ij = j + i s 2 x x x
4.1.1 协变基矢量的导数及第二类 Christoffel 符号
协变基矢量（对坐标） 协变基矢量（对坐标）的导数对协变基的分解式
g j x
i
k = Γ ij g k
(i, j = 1,
2, 3)
k 符号。共有27个 称 Γ ij 为第二类 Christoffel 符号。共有 个。
Q ∴
独立的 Γ
Γ ij ,k
x q x q x l 2 x p = g kl Γ lij = k x x l x p x i x j x q q 2 x p x p 2 x p = k δp i j = k i j x x x x x x
Γ ij ,k = Γ ji ,k
g ij = k k x x = i i x x x p x p 2 x p x p x p 2 x p i x x j = x i x k x j + x i x j x k = Γ ik , j + Γ jk ,i x p x p 2 x p x p x p 2 x p j x x k = x i x j x k + x j x i x k = Γ ij ,k + Γ ik , j x p x p 2 x p x p x p 2 x p i x x k = x i x j x k + x i x j x k = Γ ij ,k + Γ jk ,i
k ij
gi 2r 2r = i j = j i = j i x x x x x x k Γ ij = Γ kji
共有18个 共有 个。
g j
k Γ ij 不是张量的分量。因为若在某一坐标系中，一个张量 不是张量的分量。因为若在某一坐标系中，
的所有分量均为零， 的所有分量均为零，则在任意坐标系中该张量的分量也均为 k Γ ij 不具有这种特性。在直线坐标系中，gi 保持不变， 不具有这种特性。在直线坐标系中， 保持不变， 零。但 故
Γ
k ij
= 0
而在曲线坐标系中
Γ
k ij
≠ 0
显然 Γ
k ij
不是张量的分量。 不是张量的分量。
l l Γ ij = i g = i x x
x p x l q j ip q i x x 2 x p x l q 2 x p x l = i j q δp = i j x x x x x x p
x l ′ r 2 x p gi′ l ′ x p x p g p x q x l ′ r Γ li′′j′ = j′ g = j′ i′ g p r g = i′ j′ g p + i′ q x x x x j′ x r g x x x x x 2 x p r x l ′ x p x q x l ′ r 2 x p x l ′ = i′ j ′ δ p r + i ′ Γ pq = i′ j′ p + β i′p β jq′ β rl ′ Γ rpq x x x x x j′ x r x x x
2x p l 对于一般曲线坐标 i′ j′ ≠ 0 ， 所以 Γ ij 不服从张量分量的坐 x x
l 标转换关系， 不是张量分量。只有在直线坐标系中， 标转换关系，即 Γ ij 不是张量分量。只有在直线坐标系中，新
2x p Γ il′′j′与Γ lij 之间才满 老坐标之间的关系是线性关系， 老坐标之间的关系是线性关系， i′ j′ = 0， x x
(1) (2) (3)
g jk
g ik = j j x x
式（2）＋（3）－（1）后化简得 ） ） ）
Γ ij ,k
1 g ik g jk g ij = j + i k 2 x x x
或
g js x
i
=
(g j g s ) x i
g js
g s g s = i g s + g j i = Γ ij , s + g j i x x x
张量分析 及连续介质力学
第4章
曲线坐标张量分析
研究内容：任意曲线坐标系中张量（标量、矢量、 研究内容：任意曲线坐标系中张量（标量、矢量、任意阶张 及其分量随空间点变化的规律。 量）及其分量随空间点变化的规律。 研究对象特点：（ ：（1）张量场函数， 研究对象特点：（ ）张量场函数，其函数也是标量矢量或任 意阶张量， 意阶张量，但自变量是域内各点的矢径 r，而r 是随域内各点 ， 变化的。 的坐标 x1，x2，x3 变化的。 若空间某个域内每点（矢径为r 定义 张量场函数 若空间某个域内每点（矢径为 ） 定义有同型的张量
r gi = i x
以及与其对偶的逆变基矢量将是随点变化的局部基矢量。 以及与其对偶的逆变基矢量将是随点变化的局部基矢量。对于 场函数定义域内每一点处定义的张量， 场函数定义域内每一点处定义的张量，其分量应在该点的局部 基矢量上就地分解；从而，即使是常张量， 基矢量上就地分解；从而，即使是常张量，在不同的点对当地
T (r ) = T iL j kLl gi L g j g k L g l L
为在该域内定义的张量场函数 张量场函数。 则称 T(r) 为在该域内定义的张量场函数。 （2）在任意曲线坐标系中研究问题。此时，由于矢径 r 不 ）在任意曲线坐标系中研究问题。此时， 的线性函数， 是坐标 x1，x2，x3 的线性函数，协变基矢量
基矢量的导数， 4.1 基矢量的导数，Christoffel 符号
设曲线坐标 xk 与笛卡儿坐标
x3 x3
g2 g3 i3 O i1 i2 g1 r x1 x2
x m = ( xm ) 间的函数关系为
x =x x
k k
或
xm
( ) = x (x )
m m k
x2
x1
x gk = k i p x
p
x3 x3
g2 g3 i3
p p
x2
x l q l g = qi x
x x g kl = g k gl = k x x l
O i1
g1 r i2 x1
x2
x k x l g kl = g k g l = p x x p
x1
在笛卡儿坐标系中，协变分量与逆变分量无差别， 在笛卡儿坐标系中，协变分量与逆变分量无差别，即指标可 以自由升降，对笛卡儿坐标（ 以自由升降，对笛卡儿坐标（带“－”者）同一项中成对出 现 的相同指标（ 的相同指标（如上二式中的 p）均表示求和。 ）均表示求和。
足类似于张量分量的转换关系。 足类似于张量分量的转换关系。但在直线坐标系中
Γ = Γ rpq = 0
l′ i′j ′
类似地有
x x k k Γ ij = β ii′ β jj′ β kk′ Γ ik′j′′ + i j l ′ x x x
2 l′
g p g i i g p = g j = Γ ijp x j x g i = Γ ijp g p x j
4.1.4
Γ g 对坐标的导数， ji 的计算公式 对坐标的导数，
g = [g1 g 2 g3 ] = ( g1 × g 2 ) g3
j
g g1 g3 g 2 = i × g 2 g3 + g1 × i g3 + ( g1 × g 2 ) i i x x x x k k k = Γ1i g k × g 2 g3 + g1 × Γ 2i g k g3 + ( g1 × g 2 ) Γ 3i g k = Γ jji [( g1 × g 2 ) g3 ] = Γ jji g
Γ ij ,k = g kl Γ lij
p g kp Γ ij ,k = g kp g kl Γ lij = δ l p Γ lij = Γ ij
1 kp g ik g jk g ij Γ = g j + i k x x x 2
p ij
4.1.3 逆变基矢量的导数
i gi g p = δ p
j ji j ij
( = (Γ
1 1i
) ( g × g ) g + ( g × Γ
1 2 3 1
2 2i
) g ) g + ( g × g ) Γ
2 3 1 2
3 3i
g3
1 g ln g 1 (lng ) Γ =Γ = = = i i x 2 x i g x
(
)Байду номын сангаас
4.1.5 坐标转换时 Christoffel 符号的转换公式
T iL j kLl 总 的基矢量分解，也将得到不同的分量， 的基矢量分解，也将得到不同的分量，故张量分量 L
是点的位置 r(x1，x2，x3) 的函数。 的函数。 定义 张量场函数的连续 若张量场函数 T 的分量 的实函数，在其定义域内处处连续， T iL j kLl 是 x1，x2，x3 的实函数，在其定义域内处处连续，则 L 称该张量场函数是连续函数。 称该张量场函数是连续函数。 定义 CN 阶光滑的张量场函数 张量场函数 T 的分量