4.1基矢量的导数Christoffel符号

(1) (2) (3)
g jk
g ik = j j x x
式（2）＋（3）－（1）后化简得 ） ） ）
Γ ij ,k
1 g ik g jk g ij = j + i k 2 x x x
或
g js x
i
=
(g j g s ) x i
g js
g s g s = i g s + g j i = Γ ij , s + g j i x x x
4.1.1 协变基矢量的导数及第二类 Christoffel 符号
协变基矢量（对坐标） 协变基矢量（对坐标）的导数对协变基的分解式
g j x
i
k = Γ ij g k
(i, j = 1,
2, 3)
k 符号。共有27个 称 Γ ij 为第二类 Christoffel 符号。共有 个。
Q ∴
独立的 Γ
Γ ij ,k
x q x q x l 2 x p = g kl Γ lij = k x x l x p x i x j x q q 2 x p x p 2 x p = k δp i j = k i j x x x x x x
Γ ij ,k = Γ ji ,k
g ij = k k x x = i i x x x p x p 2 x p x p x p 2 x p i x x j = x i x k x j + x i x j x k = Γ ik , j + Γ jk ,i x p x p 2 x p x p x p 2 x p j x x k = x i x j x k + x j x i x k = Γ ij ,k + Γ ik , j x p x p 2 x p x p x p 2 x p i x x k = x i x j x k + x i x j x k = Γ ij ,k + Γ jk ,i
g j
Γ ij , s
g s = i gj i x x
Γ ij , s
g is g s = j gi j x x
Γ ij , s
1 g is g js g s g s = j + i gi j + g j i 2 x x x x g j gi 1 g is g js = j + i gi s + g j s 2 x x x x 1 g is g js g ij = j + i s 2 x x x
g2 g3 i3
p p
x2
x l q l g = qi x
x x g kl = g k gl = k x x l
O i1
g1 r i2 x1
x2
x k x l g kl = g k g l = p x x p
x1
在笛卡儿坐标系中，协变分量与逆变分量无差别， 在笛卡儿坐标系中，协变分量与逆变分量无差别，即指标可 以自由升降，对笛卡儿坐标（ 以自由升降，对笛卡儿坐标（带“－”者）同一项中成对出 现 的相同指标（ 的相同指标（如上二式中的 p）均表示求和。 ）均表示求和。
足类似于张量分量的转换关系。 足类似于张量分量的转换关系。但在直线坐标系中
Γ = Γ rpq = 0
l′ i′j ′
类似地有
x x k k Γ ij = β ii′ β jj′ β kk′ Γ ik′j′′ + i j l ′ x x x
2 l′
基矢量的导数， 4.1 基矢量的导数，Christoffel 符号
设曲线坐标 xk 与笛卡儿坐标
x3 x3
g2 g3 i3 O i1 i2 g1 r x1 x2
x m = ( xm ) 间的函数关系为
x =x x
k k
或
xm
( ) = x (x )
m m k
x2
x1
x gk = k i p x
p
x3 x3
g j
4.1.2 第一类 Christoffel 符号
协变基矢量（对坐标） 协变基矢量（对坐标）的导数对逆变基的分解式
g j x i
= Γ lij g kl g k = Γ ij ,k g k
l ij
Γ ij ,k = g kl Γ ij,
称Γ
ij , k
或
Γ ij ,l =
g j x
i
gl
符号。 为第一类 Christoffel 符号。
k ij
Hale Waihona Puke Baidu
gi 2r 2r = i j = j i = j i x x x x x x k Γ ij = Γ kji
共有18个 共有 个。
g j
k Γ ij 不是张量的分量。因为若在某一坐标系中，一个张量 不是张量的分量。因为若在某一坐标系中，
的所有分量均为零， 的所有分量均为零，则在任意坐标系中该张量的分量也均为 k Γ ij 不具有这种特性。在直线坐标系中，gi 保持不变， 不具有这种特性。在直线坐标系中， 保持不变， 零。但 故
Γ
k ij
= 0
而在曲线坐标系中
Γ
k ij
≠ 0
显然 Γ
k ij
不是张量的分量。 不是张量的分量。
l l Γ ij = i g = i x x
x p x l q j ip q i x x 2 x p x l q 2 x p x l = i j q δp = i j x x x x x x p
Γ ij ,k = g kl Γ lij
p g kp Γ ij ,k = g kp g kl Γ lij = δ l p Γ lij = Γ ij
1 kp g ik g jk g ij Γ = g j + i k x x x 2
p ij
4.1.3 逆变基矢量的导数
i gi g p = δ p
g p g i i g p = g j = Γ ijp x j x g i = Γ ijp g p x j
4.1.4
Γ g 对坐标的导数， ji 的计算公式 对坐标的导数，
g = [g1 g 2 g3 ] = ( g1 × g 2 ) g3
j
g g1 g3 g 2 = i × g 2 g3 + g1 × i g3 + ( g1 × g 2 ) i i x x x x k k k = Γ1i g k × g 2 g3 + g1 × Γ 2i g k g3 + ( g1 × g 2 ) Γ 3i g k = Γ jji [( g1 × g 2 ) g3 ] = Γ jji g
j ji j ij
( = (Γ
1 1i
) ( g × g ) g + ( g × Γ
1 2 3 1
2 2i
) g ) g + ( g × g ) Γ
2 3 1 2
3 3i
g3
1 g ln g 1 (lng ) Γ =Γ = = = i i x 2 x i g x
(
)
4.1.5 坐标转换时 Christoffel 符号的转换公式
x l ′ r 2 x p gi′ l ′ x p x p g p x q x l ′ r Γ li′′j′ = j′ g = j′ i′ g p r g = i′ j′ g p + i′ q x x x x j′ x r g x x x x x 2 x p r x l ′ x p x q x l ′ r 2 x p x l ′ = i′ j ′ δ p r + i ′ Γ pq = i′ j′ p + β i′p β jq′ β rl ′ Γ rpq x x x x x j′ x r x x x
T iL j kLl 是 x1，x2，x3 的实函数，若在其定义域 T iL j kLl（x1， 的实函数， L L
x2，x3）关于 xl (l=1，2，3) N 次连续可微，则称 T 是关于 xl ， ， 次连续可微， 关于
阶光滑的张量场函数。 的 CN 阶光滑的张量场函数。 仅满足连续性的的张量场函数称为 C0 阶光滑的张量场 函数。 函数。
T iL j kLl 总 的基矢量分解，也将得到不同的分量， 的基矢量分解，也将得到不同的分量，故张量分量 L
是点的位置 r(x1，x2，x3) 的函数。 的函数。 定义 张量场函数的连续 若张量场函数 T 的分量 的实函数，在其定义域内处处连续， T iL j kLl 是 x1，x2，x3 的实函数，在其定义域内处处连续，则 L 称该张量场函数是连续函数。 称该张量场函数是连续函数。 定义 CN 阶光滑的张量场函数 张量场函数 T 的分量
2x p l 对于一般曲线坐标 i′ j′ ≠ 0 ， 所以 Γ ij 不服从张量分量的坐 x x
l 标转换关系， 不是张量分量。只有在直线坐标系中， 标转换关系，即 Γ ij 不是张量分量。只有在直线坐标系中，新
2x p Γ il′′j′与Γ lij 之间才满 老坐标之间的关系是线性关系， 老坐标之间的关系是线性关系， i′ j′ = 0， x x
T (r ) = T iL j kLl gi L g j g k L g l L
为在该域内定义的张量场函数 张量场函数。 则称 T(r) 为在该域内定义的张量场函数。 （2）在任意曲线坐标系中研究问题。此时，由于矢径 r 不 ）在任意曲线坐标系中研究问题。此时， 的线性函数， 是坐标 x1，x2，x3 的线性函数，协变基矢量
张量分析 及连续介质力学
第4章
曲线坐标张量分析
研究内容：任意曲线坐标系中张量（标量、矢量、 研究内容：任意曲线坐标系中张量（标量、矢量、任意阶张 及其分量随空间点变化的规律。 量）及其分量随空间点变化的规律。 研究对象特点：（ ：（1）张量场函数， 研究对象特点：（ ）张量场函数，其函数也是标量矢量或任 意阶张量， 意阶张量，但自变量是域内各点的矢径 r，而r 是随域内各点 ， 变化的。 的坐标 x1，x2，x3 变化的。 若空间某个域内每点（矢径为r 定义 张量场函数 若空间某个域内每点（矢径为 ） 定义有同型的张量
r gi = i x
以及与其对偶的逆变基矢量将是随点变化的局部基矢量。 以及与其对偶的逆变基矢量将是随点变化的局部基矢量。对于 场函数定义域内每一点处定义的张量， 场函数定义域内每一点处定义的张量，其分量应在该点的局部 基矢量上就地分解；从而，即使是常张量， 基矢量上就地分解；从而，即使是常张量，在不同的点对当地