圆与圆、圆与正多边形的关系

专题七圆

第三讲圆与圆、圆与正多边形的关系

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考点时间出处题号题型分值展示两圆的位置关系2013 云南八地 6 选择题 3

圆与圆的位置关系2011 云南保山15 选择题 3

圆与圆的位置关系2012云南玉溪14 填空题8

考点解读

考点目标解读

两圆的位置关系了解两圆的位置关系：相离、

相切（内切与外切）相交，了

解正多边形的概念及正多边

形与圆的关系。

两圆的位置关系的判定关键是计算两半径

的和与差，用计算的结果和圆心距相比较，

根据圆与圆的数量关系来判定位置关系. 正

多边形的性质一般的在综合题目中出现。

正多边形与圆的关系。

考点互动

考点一圆与圆的位置关系

【必记必背】

圆与圆的位置关系：当两个圆的圆心之间的距离大于两圆半径之和的时候，两圆外离；当两个圆的圆心之间的距离等于两圆半径之和的时候，两圆外切.当两个圆的圆心之间的距离大于大圆半径与小

圆半径之差，并且，小于两圆半径之和的时候，两圆相交.当两个圆的圆心之间的距离等于大圆半径

与小圆半径之差的时候，两圆内切.当两个圆的圆心之间的距离小于大圆半径与小圆半径之差的时候，两圆内含.

【活学活用】

两圆的位置关系的判定关键是计算两半径的和与差，用计算的结果和圆心距相比较，根据圆与圆的数量关系来判定位置关系.一般常出的题目是判断相交.内切或外切.

例1 （2013，云南八地）已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是（）

A．相离B．外切C．相交D．内切

【考点】圆与圆的位置关系；估算无理数的大小【解析】由⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．

解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=cm，又∵3+2=5＞，3﹣2=1，

∴两圆的位置关系是相交．

故选C．

【命题立意】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．

练习1 （2011，云南保山）如图，已知⊙B与△ABD 的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（）

A、2

B、7

C、2或5

D、2或8

【考点】圆与圆的位置关系；勾股定理。

【专题】分类讨论。

【解析】根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．

解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，∴BC=3，AB=5，

∵⊙A与⊙B相切，

∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，

当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．

故选D．

【命题立意】本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．

考点二

【必记必背】

1.正多边形与圆 （1）正多边形的中心与半径：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.

（2）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正几边

形的每个中心角都等于360

n

2.正多边形的边心距:内切圆的半径叫做正多边形

的边心距.

3.正多边形的性质：正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比

都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

【活学活用】

例2 （2013，云南昭通模拟）正六边形的边心距与

边长之比为（ ）

A ． ：3

B ． ：2

C ． 1：2

D ． ：2

【考点】 正多边形和圆．

【解析】 首先根据题意画出图形，然后设六边形

的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而

求得答案．

解：如图：设六边形的边长是a ，

则半径长也是a ；

经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，

则AC=AB=a ， ∴OC=

=

a ，

∴正六边形的边心距与边长之比为：

a ：a=

：

2．

故选B ．

【命题立意】 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 练习2（2013，云南保山模拟）如图，点O 是正六

边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O （使该角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7

【考点】 正多边形和圆．

【解析】 根据圆内接正多边形的性质可知，只要

把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以

30的倍数就可以解决问题．

解：360÷30=12；

360÷60=6；

360÷90=4；

360÷120=3；

360÷180=2．

因此n 的所有可能的值共五种情况，

故选B ．

【命题立意】 本题考查了正多边形和圆，只需让

周角除以30°的倍数即可．

考点激活

1.（2013，云南红河模拟）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ） A ． 正六边形 B ． 正八边形 C ． 正十边形 D ． 正十二边形 【解析】 利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数． 解：360÷36=10． 故选C ．

2.（2013，云南曲靖模拟）已知⊙O 1与⊙O 2的半径

分别是方程x 2﹣4x+3=0的两根，且O 1O 2=t+2，若

这两个圆相切，则t= 2或0 ．

解：∵⊙O 1、⊙O 2的半径分别是方程x 2﹣4x+3=0的两根，解得⊙O 1、⊙O 2的半径分别是1和3． ①当两圆外切时，圆心距O 1O 2=t+2=1+3=4，解得t=2； ②当两圆内切时，圆心距O 1O 2=t+2=3﹣1=2，解得t=0． ∴t 为2或0． 故答案为：2或0． 3.(2012，云南玉溪)如图，在△ABC 中，∠C=120°，AB=4cm ，两等圆⊙A 与⊙B 外切，则图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 cm 2．（结果保留π）． 答案：23 4.（2013，贵州毕节模拟）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是a ，b ，且a 、b 满足，圆心距O 1O 2=5，则两圆的位置关系是 外切 ．

【解析】 解：∵，