第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究（讲义）
一、 知识点睛
● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由
简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路
解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．
● 类比探究中的常见结构
平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型； 直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．
二、 精讲精练
1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如
下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若
3AF
EF
=，求CD CG 的值． （1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ， 则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数
量关系是_____________，CD
CG
的值是_________．
（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF
m EF
=（m >0）
， 则CD CG
的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出 解答过程．
图3
B
F
E C
D
A
图2
A
D
E F G
图1A
B
C
D
E F G
（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E
是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB
a CD
=，
BC
b BE
=（a >0，b >0）
，则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．
2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：
（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AM
DM
的值
为___________；
②在平移过程中，AM
DM
的值为___________（用含x 的代数 式表示）．
（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算
AM
DM
的值． （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，
原题中的其他条件保持不变，如图4
所示，请计算AM
DM
的值（用含x 的代数式表示）．
如图1，两个等腰直角三角板
ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2
．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．
图2
l
图1
图4
图3
图3
F
E
C
D
A
3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形
ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．
（1）求证：EF =EG ．
（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”， 且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求
EF
EG
的值．
E (A )
B
C
D F
G
G F
D C
B
A
E
E
A
C
D F
G (B )
图1
图2
图3
4. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，
BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．
（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．
（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________，并证明你的结论．
（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________．（写出关系式，不必证明）
三、 回顾与思考
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
D A B
图1G
C E
图2
G D F
E
C
图3
C G
B
A D F E
【参考答案】
1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；
32
（2）
2
m
；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H
2.（1）①1；②2
x
（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，
证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2
12
AM AG DM DE ===
（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，
证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2
AM AG x
DM DE ==．
3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ； （2）成立．理由如下： 证明：如图，
I H
E
A
B C
D F
G
过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ， 证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ； （3）解：如图，
M
N G (B )
F
D C
A
E
过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ， 证明△GME ∽△FNE ，所以
EF b
EG a
． 4. （1）EF =EG ．
（2）EF =1
n
EG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点N
N M
E
C F
A
G
（3）EF =
1
mn
EG ． I H C E
F D
A B
G
相似之类比探究（每日一题） 姓名_________
1． 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
（1）当11211==+AE AC 时，有22
321==
+AO AD ； （2）当11312==+AE AC 时，有22
422==
+AO AD ； （3）当11413==+AE AC 时，有22
523==
+AO AD ； （4）当11=
+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AO
AD
的一般结 论，并给出证明（其中n 是正整数）．
O
E D C
B
A
2． 在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°． （1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系． （2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ． 求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．
（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求
BD
AC
的值． A
B
D O
M N
C 12
21N
M O D B
A
2
1C N
M
O D B
A
图1
图2
图3
3． 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，
BD 交于点P ．
（1）如图1，当D 为OA 中点时，求
AP
PC 的值； （2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求AP
PC
的值；
（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当
AD :DO =1:m 时，直接写出
AP
PC
的值． A
B
C D
O
P
P
O
D
C B
A P
O
D
C B
A 图1
图2
图3
4． （1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是
AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．
（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他 条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．
（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能， 写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．
A B
C
D E
F
G H
O
O
H
G F E
D
C
B
A
图1
图2
5． 在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，
连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．
（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时， 请判断AE 与EM 的数量关系并证明．
图3
图2
图1
A
B
C
D
F
E
M A
B
C
D
F
E M
M
E F
D
C
B
A
【参考答案】
1．解：当
11=+AE AC n 时，2
=
2AO AD n
+ F
O
E
D
C
B
A
证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 1
1=
+AE AC n ∴
1
AE EC n =
∵ AF ∥BC
∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴
1AF AE BC EC n ==，AF AO
BD OD =
∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC
∴
22
1
2
AF AF AF
BD BC n
BC
===
∴
2
=
AO
OD n
，即：
2
=
2
AO
AD n+
2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD
∴AO=BD，AO⊥BD
（2）
如图2，
E
F
C
2
1
N
M
O
D
B
A
图2
过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．
∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形
∴BD=BE，AC⊥BD
∵AO=BO
∴△AOC≌△BOE，
∴AC=BE
∴AC=BD，AC⊥BD
（3）
如图3，
E
F
2
1C
N
M
O
D
B
A
图3
过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．
∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE
∴BD=BE，BE OB AC OA
=
∵OB是OA的k倍
∴BE AC
=k
∴BD
k AC
=
3．解：（1）
如图1，
E
图1
B
P
O
D
C
A
过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO
∴△ADE∽△AOC
∴
1
2 AE AD DE DE AC AO OC BC
====
又∵DE∥OB
∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP
∴
1
2 EP DE PC BC
==
∴AP PC
=2
（2）
如图2，
E
图2
O
A
D
P
B
过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC
∴
1
1
AE AD DE DE
AC AO OC BC m
====
+
，
1
AE AD
EC DO m
==
∵DE∥OB
∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP
∴
1
1 EP DE
PC BC m
==
+
∴
1
2 EP
EC m
=
+
设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =
2
mk
m + ∴ AP =AE +EP =2222
mk mk k
k m m ++=
++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴
AP PC =2
m
（3）
1
n m
+ 4．证明：（1）
如图1，Q N M
R 图1
O
H
G F
E
D C B
A
过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N
则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，
∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH
（2）GH=mEF
证明如下：如图2，
M
N
R
Q
图2
A
B C
D
E
F
G
H
O
过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q
∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME．
∴GH AD
EF AB
=m，即：GH=mEF
（3）
A E M D
H
N
C
Q
O
R
F
G
B
如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．
∴GH GN EF MF
=
∵AB⋅GN=AD⋅MF
∴GN AD FM AB
==m
∴GH
m
EF
=，即：GH=mEF
5．解：（1）AE=EM，理由如下：
如图1，G
图1
M
E F
D
C
B
A
取AB的中点G，连接GE．
∵∠AEM=90°
∴∠MEC+∠AEB=90°
∵∠B=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°
∴∠EAG=∠MEC
∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC
∵△BGE是等腰直角三角形
∴∠AGE=135°
∵CM平分∠DCF
∴∠ECM=135°
∴△AEG≌△EMC
∴AE=EM
（2）
当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：
如图2，G
图2
A
B C
D
F
E
M
在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°
∴∠AGE=∠ECM=135°
∵∠AEM=90°
∴∠MEC+∠AEB=90°
∵∠B=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°
∴∠EAG=∠MEC
∴△AEG∽△EMC
∴AE AG EM EC
=
∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC
∴AG=(2n-1)EC
∴AE AG
EM EC
==(2n-1)
∴AE=(2n-1)EM
（3）
当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：
如图3，
M
E F
D
C
B
A
图3
G
在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°
∴∠AGE=∠ECM=135°
∵∠AEM=90°
∴∠MEC+∠AEB=90°
∵∠B=90°
∴∠EAG+∠AEB=90°
∴∠EAG=∠MEC
∴△AEG∽△EMC
∴AE AG EM EC
=
∵BE=mEC
∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE
∴AG+BG=n(m+1)EC
∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC
∴AE AG
EM EC
==(mn+n-m)
∴AE=(mn+n-m)EM
相似之类比探究（随堂测试）
1． 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，
且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN
（不需证明）．当PC
P A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．
图3
B N
A
P
M
C
【参考答案】
如图2，如图3中都有结论：PN
PM ．理由略
H
G A
M
B
P
C
I Q
C M
P
A
N
B
图1
A
E
F
M
C
P
B 图2
C
P
B
M
A
相似之类比探究（作业）
2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点
F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EA
EB
的值是_____________．
（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EA
EB
的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．
（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交
AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EA
EB
的值是__________（用含a ，b
的代数式表示）．
图1
B
D F
E
A
图2
F
A
E B 图3
B
C
D E A
3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一
点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ； （2）如图2，当O 为边AC 中点，
2AC AB =时，求
OF
OE
的值； （3）如图3，当O 为边AC 中点，
AC
n AB
=时，请直接写出OF
OE
的值．
D
E
F
B
A
图2
A C
E
D F B
图3
图1
B
F D O E
C
A
4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）
△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ； （3）BC =2ED ．
D
C
A
E
B
【参考答案】
1. 原题：1
2
； （1）
1m ； （2）1
ab
；
2. 解：（1）略
（2）2OF OE
=．
提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，
证明△AOF ∽△GOE
G
D
E
O
C
F
B
A
（3）
OF
n OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。