一元二次方程的根的分布PPT课件
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一元二次方程根的分布课件
f(1)=2m-2 <0
mm1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 . 2）内
(m 3)2 4m 0
0
3
m
2
2
f (0) m 0
m
2 3
m
1
f (2) 3m 2 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
f (m ) 0
f(k1 )f(k2 )<0
f f
(n ) (p)
0 0
f ( q ) 0
• 例：若抛物线y=x2+ax+2与连接 两点M(0,1),N(2,3)的线段 (包括M,N两点)有两个相异的交点, 求a的取值范围
f
(0)
m
0
f (4) 5m4 0
m
4 5
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
一个根小于K，一个 根大于K
k
kx
k
小
结
0
b 2a
k
0
b 2a
k
f ( k ) 0 f ( k ) 0
一个根正，一个根负
f(k)<0 , f(0)<0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
高考数学复习课件：二次函数根的分布+(共13张PPT)
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根 （2）有一个根为0，一个根为正根
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根
（2）有一个根为0，一个根为正根
（3）有两个根，且都大于
1
5 4
（7）一个根在（0,1）内，一个根在（1，4）内
7 , 5 5 4
1.若方程x2 （k 2）x k 0的两根均在（-1,1）内， 求k的取值范围.
2.若一元二次方程mx2 （2m-1）x-m 2 0 的两个实根都小于1，求m的取值范围.
一元二次方程根的分布
根的正负 考虑
判别式 韦达定理
考虑
根的大小
开口方向 判别式 对称轴 特殊点的函数值
1.已知方程 x2-11x m-2 0的两实根都大于 1， 求m的取值范围. 2.已知函数f（x） ex ，关于x的方程
x
f（2 x）-2af（x） a-1 0有四个相异的实根， 则a的取值范围为
3.已知函数 f（x） x2 （1-k）x-k 恰有一个零点 在区间（2,3）内，则实数k的取值范围为
,1
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根 （2）有一个根为0，一个根为正根 （3）有两个根，且都大于 1
（4）一个根大于2，一个根小于2 ,1
求实数m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0
（1）有两个正根
（5）一个根小于2，一个根大于4
（6）有两个根，且都在（ m的取值范围，使关于x的一元二次方程
x22(m-1)x 2m 6 0 （1）有两个正根 （2）有一个根为 0，一个根为正根
不等式一元二次方程根的分布
布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。
说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。
一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。
定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。
判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。
说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。
两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。
在实数平面上表示为两个不相交的直线。
030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。
两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。
实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。
图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。
两根不等且虚根两个虚根的实部为0。
实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。
虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。
图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。
虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。
一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
一元二次方程根的分布
2
3 m 1 时，根 x 2 3,0 ，即 m 1 满足题意；当 m 时， 得出 m 1或 m 3 ，当 2 2
15 3 m 或 m 1 根 x 33,0 ，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 14 2
3.一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
2.两根有且仅有一根在(m,n)内
f m f n 0
综合结论 (不讨论 a)
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的 根相对于零的关系。比如二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比 零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布 在零的两侧。 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个 实根为x1，x2，且x1<x2。
f m 0 f n 0
已知关于 x 的方程 x2 (2m 1) x 4 2m 0 ，求满足下列条件的 m 的取值范围. （1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于 1 （4） 两个根都大于 1 2 （5）一个根大于 2，一个根小于 2 （6） 两个根都在 (0, 2) 内 （7） 两个根有且仅有一个在 (0, 2) 内 （8）一个根在 (2,0) 内，另一个根在 (1,3) 内 （9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于 2，一个根大于 4
一元二次方程根的分布
知识要点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根从几 何意义上来说就是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与 轴交点的横坐标,所以研究方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根的情况,可借助二次函数图象来研 究求解．(几何法) 若在 (- ∞ ,+ ∞)内研究方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根情况,只需考察函数 y=ax2+bx+c (a≠0)与 x轴交点个数及交点横坐标的符号,利 用韦达定理和判别式来解,由 y=ax2+bx+c (a≠0) 的系数可判断出 △,x1+x2,x1x2的符号,从而判断 出实根的情况．（代数法）
3 m 1 时，根 x 2 3,0 ，即 m 1 满足题意；当 m 时， 得出 m 1或 m 3 ，当 2 2
15 3 m 或 m 1 根 x 33,0 ，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 14 2
3.一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
2.两根有且仅有一根在(m,n)内
f m f n 0
综合结论 (不讨论 a)
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的 根相对于零的关系。比如二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比 零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布 在零的两侧。 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个 实根为x1，x2，且x1<x2。
f m 0 f n 0
已知关于 x 的方程 x2 (2m 1) x 4 2m 0 ，求满足下列条件的 m 的取值范围. （1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于 1 （4） 两个根都大于 1 2 （5）一个根大于 2，一个根小于 2 （6） 两个根都在 (0, 2) 内 （7） 两个根有且仅有一个在 (0, 2) 内 （8）一个根在 (2,0) 内，另一个根在 (1,3) 内 （9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于 2，一个根大于 4
一元二次方程根的分布
知识要点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根从几 何意义上来说就是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与 轴交点的横坐标,所以研究方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根的情况,可借助二次函数图象来研 究求解．(几何法) 若在 (- ∞ ,+ ∞)内研究方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根情况,只需考察函数 y=ax2+bx+c (a≠0)与 x轴交点个数及交点横坐标的符号,利 用韦达定理和判别式来解,由 y=ax2+bx+c (a≠0) 的系数可判断出 △,x1+x2,x1x2的符号,从而判断 出实根的情况．（代数法）
一元二次方程的根的分布PPT教学课件
y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/12/09
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的取值范围；
（4）方程x2+(m-3)x+m=0有两个
一元二次方程的根的分布Leabharlann 2020/12/091
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/12/09
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/12/09
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
2020/12/09
根都小于1，求m的取值范围；
2020/12/09
4
1. 抛物线开口方向
人教A版(2019)高中数学必修第一册课件：2.3.3一元二次方程的根的分布问题
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
0
4.方程两根都大于m (x1 m) • (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y
y
一个根小于K，一个 根大于K
y
kx
k
x
k
x
0
方程两根都大于m
0
f (m) 0
b
m
2a
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
（5） 一个根大于1，一个根小于1
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
y
f(1)=2m-2 <0
代数方法
b2 4ac 0
2 方程有两个负根 x1 x2 0
x1 • x2 0
几何方法 方程两根都小于m
（m=0)
0
f
(m)
0
b
m
2a
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.3.3 一元二 次方程 的根的 分布问 题【精 品】
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
2025年高考数学一轮复习-拓展拔高1-一元二次方程根的分布【课件】
1
(- ,1)
值范围是 2
.
−1
−1
x+
,则f(0)<0,即
<0,所以
2+1
2+1
2+1
2
2
【解析】方法一:显然2m+1≠0,令f(x)=x 1
(2m+1)(m-1)<0,解得- <m<1.
2
−1
2
方法二:设x1,x2是方程(2m+1)x -2mx+m-1=0的两个根,则x1x2=
<0,
2+1
1
解得- <m<1.
2
思维升华
当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,
可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先
判断二次项系数能否为0.
【加练备选】
为
若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围
实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.
谢谢观赏！！
1
2
解得 <m< ;
2
3
②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,
1
2
把点(0,0)代入f(x)=x +(m-2)x+2m-1,解得m= ,
2
3
3
2
此时方程为x - x=0,两根为0, ,
2
2
3
而 ∉(0,1),不合题意,舍去;
2
2
2
把点(1,0)代入f(x)=x +(m-2)x+2m-1,解得m= ,
(- ,1)
值范围是 2
.
−1
−1
x+
,则f(0)<0,即
<0,所以
2+1
2+1
2+1
2
2
【解析】方法一:显然2m+1≠0,令f(x)=x 1
(2m+1)(m-1)<0,解得- <m<1.
2
−1
2
方法二:设x1,x2是方程(2m+1)x -2mx+m-1=0的两个根,则x1x2=
<0,
2+1
1
解得- <m<1.
2
思维升华
当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,
可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先
判断二次项系数能否为0.
【加练备选】
为
若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围
实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.
谢谢观赏！！
1
2
解得 <m< ;
2
3
②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,
1
2
把点(0,0)代入f(x)=x +(m-2)x+2m-1,解得m= ,
2
3
3
2
此时方程为x - x=0,两根为0, ,
2
2
3
而 ∉(0,1),不合题意,舍去;
2
2
2
把点(1,0)代入f(x)=x +(m-2)x+2m-1,解得m= ,
一元二次方程根的分布(PPT)3-1
一、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a,b,c∈R,a≠0)的根的问题，常利用韦达 定理和判别式来解。常用结论有：1 方Leabharlann 有两个正根2 方程有两个负根
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
思考一：他们的相同点
思考二：他们不同之处
思考三：还有哪些问题？
思考四：如何解答
•
诗人；白居易：唐代大诗人：董源：五代十国南唐画家；李清照：南宋女词人；姜夔：南宋音乐家；梁楷：南宋画家；关汉卿：元代戏曲家；马致 远：元代戏曲家；赵孟俯：元代书画家；王蒙：元末画家；朱耷：清初画家；曹沾（即曹雪芹）：清代文学家；鲁迅：中国近代文学家。[8]在天 文学家创建详细的水星地图之前，SolitudoHermaeTrismegisti(荒芜的HermesTrismegistus)被认为是水星的一大特色，覆盖了行星/的东南象限。 墨丘利，是在古斯塔夫·霍尔斯；股票入门基础知识 股票入门基础知识 特的音乐，行星组曲中运动的四棱使者。“信使 ”号撞击水星美国航天局日宣布，“信使”号水星探测器燃料即将耗尽，可能将于日以撞击水星的方式结束使命。“信使”号于年8月升空，经过 约年半的飞行于年月进入绕水星运行轨道。美国航天局副局长约翰·格伦斯菲尔德对“信使”号给予高度评价，认为该任务第一次让人们真正认识 了水星。他说，尽管“信使”号的旅程即将结束，但分析其所获数据的旅程才刚刚开始，这些数据将帮助解开水星的各种谜团。据美国航天局介绍 ，本月日，地面人员还将对“信使”号实施最后一次轨道调整，这一操作将基本耗尽“信使”号推进系统最后所剩的氦气。此后“信使”号将飞向 水星表面，预计将在月日以每秒.9公里的速度撞击水星背对地球的一关于金星的内部结构，还没有直接的资料，从理论推算得出，金星的内部结构 和地球相似，有一个半径约,公里的铁-镍核，中间一层是主要由硅﹑氧﹑铁﹑镁等的化合物组成的“幔”，而外面一层是主要由硅化合物组成的很 薄的“壳”。科学家推测金星的内部构造可能和地球相似，依地球的构造推测，金星地函主要成分以橄榄石及辉石为主的矽酸盐，以及一层矽酸盐 为主的地壳，中心则是由铁镍合金所组成的核心。金星的平均密度为.g/cm，次于地球与水星，为八大行星（冥王星已于年划归为矮行星，故称八 大行星）中第三位的。一个直径千米的铁质内核，熔化的石头为地幔填充大部分的星球。厚得多。就像地球，在地幔中的对流使得对表面产生了压 力，但它由相对较小的许多区域减轻负荷，使得它不会像在地球，地壳在板块分界处被破坏地质地貌编辑金星表面上有7%平原，%高地，%低地。在 金星表面的大平原上有两个主要的大陆状高地。北边的高地叫伊师塔地（IshtarTerra），拥有金星最高的麦克斯韦山脉（大约比喜马拉雅山高出 两千米），它是根据詹姆斯·克拉克·麦克斯韦命名的。麦克斯韦山脉（MaxwellMontes）包围了拉克西米高原（La
人教版高中数学课件：1.5二次方程实根的分布法(一元二次不等式解)
的图象
x
0
x
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。 [解]：设x1,x2为方程的两根，则由题意可得：
x x 3 2 2 5m x1 x 2
1 2
9 40 m 0
1
m
9 40
2
x [错因分析]： 1 1 , x 2 1 x1 x 2 1 请同学们思考一下：这种解法错在哪里？
解该不等式组。
小结：
1、适用范围：含有参数的一元二次方程。 2、考虑要素：△、对称轴、a f ( k i ) 3、解题步骤： ①构造相应的二次函数。 ②分析题意，列出等价的不等式组。
③解此不等式组。
作业：
⒈关于x的方程x +ax+a-1=0有异号的两个实根，求a的
2
取值范围。
⒉已知方程 3 x 2 ( k 5 ) x k 0 的两根 x1 , x 2 满足
9 40 m 1
9 m 40 3 2 2 5m 3 1 0 2 2
例1.关于x的方程2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根，求 m的取值范围。 [另解]:用图象法,令 f ( x ) 2 x 对称轴为
x 3 4
0 b k1 k2 2a a f ( k1 ) 0 a f (k ) 0 2
y
0
x1
k1
k2
x2
x
y
x1
0
k1
k2
x2
x
⒌ 两个实根有且仅有一根在区间 ( k 1 , k 2 ) 内
一元二次方程根的分布
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。
2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。
3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。
一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。
判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。
在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。
它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。
求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。
因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。
二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。
牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。
在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。
人教版必修一：3.1一元二次方程根的分布(共15张PPT)
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 4m 0 3 m 2 0 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
2
2 m m 1 3
2019/1/10
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（2）有两个负根
(m 3) 4m 0 3 m 0 m 0
2
m m 9
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
一般情况
两个根都在（k1 .k2)内
y
两个根有且仅有 一个在（k1 .k 2 )内
x 1∈(m,n) x ∈ (p,q) 2k1k2x Nhomakorabeak1
k2
m
n p
q
小 结
0 b k2 k1 2a f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f ( 1 ) 2 m 2 0 f (3) 4m 0
Ø
2019/1/10
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
y
一元二次方程实根的分布
x1 n x2 n
x1 n x2
b 2 4ac 0 ( x1 n)(x2 n) 0 ( x n) ( x n) 0 2 1
f ( n) 0
b 2 4ac 0 f ( n) 0 f ( m) 0 b n m 2a
1 1 . 2 4 1
问题的延伸：
x 2 (m 2) x 3 0 的两 1、若关于x的方程
个根都大于1，则实数 是 .
m 的取值范围
2、关于x的方程 x 2 2mx (m2 1) 0 的两个 根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值 范围.
问题的解决：
一元二次方程根的分布
令
f ( x) ax2 bx c(a 0)
，
方程 在给定区间 上有实根的条件，常见的几种情况列 f ( x) ax2 bx c(a 0) 0 表讨论如下： x1 , x2 （设是方程两个不相等的实根 且， x1 x 2 而 n, m 是常数，且 ）
x 2 2mx (m2 1) 0 的两个根
所以,实数m的取值范围是 (1,3) .
问题的解决：其实,有那么复杂吗? x 2 2mx (m2 1) 0 的两 例2、关于x的方程 个根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围. 另解: 原方程的两个根分别为 m 1, m 1 而 m 1 m 1，
nm
根的分布
x1 n
x2 n
图形特征
充要条件
2 b 4ac 0 f ( n) 0 b n 2a 2 b 4ac 0 f ( n) 0 b n 2a
2025年高考数学一轮复习 第二章-素能培优(一)一元二次方程根的分布【课件】
__________
2
⋅
> 0,
< 0,
< 0,
> 0,
< 0,
> 0,
__________
___________
>0
<0
< 0,
< 0,
或ቊ
或ቊ
__________
< 0 __________
<0
续表
一根在 , 内，
根的分
布情况
两根都在 , 内
Δ>0
综合结
论（不
讨论）
两根仅有一根在 , 内（图象
另一根在
有两种情况，只画了一种）
, 内， <
<<
ቐ
⋅ > 0,
−
2
<
<
______________________
⋅ <0
（2）已知关于的方程 2 − + 2 − 3 = 0有两个不相等的实数根，且两个实数根
22
−∞, 2 ∪ 6,
都小于5，则实数的取值范围是________________.
3
= − − > ,
[解析] 若 = − + − ，则൞ < ,
_______________________
< 0,
ቊ
<0
_______________
例2 关于的方程 2 + − 1 + 2 − 2 = 0的两个实根分别为1 ,2 .
2
⋅
> 0,
< 0,
< 0,
> 0,
< 0,
> 0,
__________
___________
>0
<0
< 0,
< 0,
或ቊ
或ቊ
__________
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续表
一根在 , 内，
根的分
布情况
两根都在 , 内
Δ>0
综合结
论（不
讨论）
两根仅有一根在 , 内（图象
另一根在
有两种情况，只画了一种）
, 内， <
<<
ቐ
⋅ > 0,
−
2
<
<
______________________
⋅ <0
（2）已知关于的方程 2 − + 2 − 3 = 0有两个不相等的实数根，且两个实数根
22
−∞, 2 ∪ 6,
都小于5，则实数的取值范围是________________.
3
= − − > ,
[解析] 若 = − + − ，则൞ < ,
_______________________
< 0,
ቊ
<0
_______________
例2 关于的方程 2 + − 1 + 2 − 2 = 0的两个实根分别为1 ,2 .
一元二次方程根的分布
(x1 m) (x2 m) 0
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
；资质代办 /daiban/ 资质代办
；
替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。 祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只 和风说，它只和风窃窃私语。 落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
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；
替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。 祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只 和风说，它只和风窃窃私语。 落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁
(新课标)高考数学大一轮复习-第七章 不等式及推理与证明 7 一元二次方程根的分布专题研究课件 文
答案 0<m<1 解析 令 2x＝t 转化为关于 t 的一元二次方程有两个不同的正实 根．
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负 根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0， 依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（ （kk12） ）><00， ，或ff（ （kk12） ）<>00， ， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负 根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0， 依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（ （kk12） ）><00， ，或ff（ （kk12） ）<>00， ， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．
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7
1. 抛物线开口方向
2. 判别式△
3. 对称轴
4. 区间端点值
此类题的是关键是画图象——抛物线
2020/10/13
8
谢谢您的指导
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日 9
根都小于1，求m的取值范围；
2020/10/13
4
1. 抛物线开口方向
2. 判别式△
3. 对称轴
4. 区间端点值
2020/10/13
5
（5）方程x2+(m-3)x+m=0的一根 大于1，另一根小于1，求m的取值 范围；
（6）方程x2+(m-3)x+m=0的一根 小于2，另一根大于4，求m的取值 范围；
一元二次方程的根的分布
2020/10/13
1
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)＝0的实
数x叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系中
y=f(x)的图像与x轴的公共点是(x, 0)点.
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
2020/10/13
2
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点。
（7）方程x2+(m-3)x+m=0的一根
大于-2小于0，另一根大于0小于4，
求m的取值范围；
2020/10/13
6
（8）方程x2+(m-3)x+m=0的两根 都在(0，2)内，求m的取值范围；
（9）方程x2+(m-3)x+m=0有两根 且仅有一根在(0，2)内，求m的取 值范围；
2020/10/13
y
y
y
a
0
cb
x 0 ac
b
x 0a
bx
2020/10/13
3
例（1）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个正根，求m的取值范围；
（2）方程x2+(m-3)x+m=0有 两个负根，求m的取值范围；
（3）方程x2+(m-3)x+m=0有 一正一负根，求m的)x+m=0有两个