广义相对论入门02-广义相对论的数学基础(上)20160506
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(1)光线在引力场中弯曲，以及引力红移现象都是在 引力场很强的情况下产生的效应. (2)光在同一种均匀介质中沿直线传播的现象在我们的日常生 活中仍然成立.
【典例2】在适当的时候，通过仪器可以观察到太阳后面的恒 星，这说明星体发出的光( ) A.经太阳时发生了衍射 B.可以穿透太阳及其他障碍物 C.在太阳引力场作用下发生了弯曲 D.经过太阳外的大气层时发生了折射
1 (v)2 c
Ek
m0c2 1 (v)2
m0c2.
c
当v c时，1 ( v)2 1 1 ( v)2，代入上式得：
c
2c
Ek
m0c2
m0c2
1 2
m0c2
(
v c
)2
1 1 (v)2
1 2
m0
v
2
.
2c
2.如果质量发生了变化，其能量也相应发生变化ΔE=Δmc2， 这个方程常应用在核能的开发和利用上.如果系统的质量亏损 为Δm，就意味着有ΔE的能量释放.
5.下列说法中正确的是( ) A.物体的引力使光线弯曲 B.光线弯曲的原因是介质不均匀而非引力作用 C.在强引力的星球附近，时间进程会变慢 D.广义相对论可以解释引力红移现象 【解析】选A、C、D.根据广义相对论的几个结论可知，选项 A、C、D正确，B错误.
6.下列说法中正确的是( ) A.在任何参考系中，物理规律都是相同的,这就是广义相对性 原理 B.在不同的参考系中，物理规律都是不同的，例如牛顿定律 仅适用于惯性参考系 C.一个均匀的引力场与一个做匀速运动的参考系等价，这就 是著名的等效原理 D.一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价，这 就是著名的等效原理
【解题指导】依据广义相对论中的引力场中的光线弯曲考 虑.
广义相对论的简介.doc
广义相对论的简介广义相对论简介generaltheoryofrelativity,1,广义相对论简介generaltheoryofrelativity,爱因斯坦的思考1、非惯性系与惯性系平权?2、时空与物质有关?突破(对惯性和引力的思考),在引力场中，一个自由降落的参考系中，人们无法感觉引力的存在！,2,§1广义相对论的基本原理一、等效原理1、惯性质量与引力质量,,,实验表明,定义,称该场点的引力强度,,3,2、惯性力与引力,自由空间加速电梯,引力场中静止的电梯,,,考察相对观察者静止的物体的运动,,,但各自分析的原因不同,,惯性力,引力,,4,,引力场中某一时空点自由下降电梯,远离引力场的自由空间匀速运动的电梯,惯性力可以“抵消”引力,结论：,,,5,在引力场中的某一时空点自由下落的参考系和惯性系等效,在这样两个参考系中得到的力学规律相同局域等效等效并非等同,,6,3、广义相对论的等效原理局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效或说：在任何引力场中任一时空点，人们总可以建立一个自由下落的局域参考系，在这一参考系中狭义相对论所确立的物理规律全部有效。
4、广义相对论的局域惯性系狭义相对论成立的参考系或引力为0的参考系,5、广义相对论的惯性定律在局惯系内,物体不受力,则维持原状态。
牛力的惯性定律与广义的惯性定律表述相同但含义不同在引力场中每个时空点的邻域可以建立若干个局惯系同一点各局惯系作匀速运动(相互间可用洛仑兹变换)不同时空点的局惯系间有相对加速度牛力：惯性系是区域性的各惯性系间无相对加速度,8,,,引力场源,r,,以该点的引力场强自由降落可有多个相对匀速运动可用洛仑兹变换,图示局惯系,9,二、广义相对性原理principleofgeneralcovariance(广义协变性原理)物理规律在一切参考系中形式相同小结广义相对论基本原理1)等效原理2)相对性原理3)马赫原理Machprinciple时空性质由物质及其运动所决定,10,2)引力作用几何化,时空的几何结构,的启示,本课介绍：广义相对论的理论框架1)物理规律中引入引力作用等效原理加速度引力弱引力场,牛顿,11,§2引力场的时空弯曲,一、弯曲空间的概念,,平面是二维平直空间,测地线是弧线,由测量判定空间,测地线是直线,球面是二维弯曲空间,12,测地线,圆周率圆周率二、引力场的空间弯曲以爱因斯坦转盘为例说明,,,在此，我们涉及两个惯性系：,系：即实验室系,研究的问题：测量一段弧的长度及圆周长,14,根据等效原理转动参考系等效为引力场引力场强是,注意到,由洛仑兹变换可得,,,愈强弯曲愈烈,15,三、史瓦西场中固有时与真实距离Schwarcchildfield,1、场的特征,,相对静止的球对称分布的物质球外部的场,2、某处的固有时由静止在该处的标准钟测得的时间间隔某处真实距离由静止在该处的标准尺测得的空间间隔,刚性微分尺,16,在无引力的地方有一系列的走时完全一样的钟然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准钟,3、标准时间标准长度无引力影响的时间和长度,标准钟,在无引力的地方有一系列的完全一样的刚性微分尺然后把它们分别放到引力场中的各个时空点称各地的标准尺,17,远离引力场处,,,,,,,,18,4、引力场中的固有时与真实距离,S系--史瓦西场系--瞬时静止在S系中确定时空点的局惯系S0系--飞来局惯系由无限远处沿径向自由飞到史瓦西场确定的时空点系中的一只标准钟,S0系中先后与相遇的两只钟,系的确定时空点处的标准钟测得的是原时,设,同样在确定的时空点的标准尺测的是原长,轻？,引力场愈强钟愈慢,3)空间弯曲,引力场愈强尺缩愈烈,22,四、史瓦西场和黑洞如果引力源质量M 很大对应有关值,例,,视界半径,Blackhole,无限缓慢,,23,§3广义相对论的可观测效应一、光的引力频移,处发光频率为,处接收到的频率为,频移,设,24,若太阳发光,引力红移gravitationalredshift,,频移,25,二、光线的引力偏折引力的作用1)空间弯曲2)光线偏离测地线,1919年5月29日测,三、行星(水星)近日点的旋进雷达回波延迟效应,26,。
广义相对论的基础知识
广义相对论的基础知识广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论。
在这个理论中，引力并不是一个力，而是由物质所引起的时空弯曲。
广义相对论对于我们理解宇宙的运行规律以及黑洞、时空弯曲等重要现象都有非常重要的意义。
本文将从广义相对论的基本概念、数学表示以及实验验证等方面来介绍广义相对论的基础知识。
基本概念广义相对论认为，质量能量会影响周围的时空结构，也就是所谓的时空弯曲。
而这种弯曲会影响物质的运动轨迹。
其中，引力是由时空的弯曲所产生的，这也就是我们通常所说的引力不是一种力而是一种几何效应的看法。
在广义相对论中，物质和能量决定了时空如何弯曲，而弯曲后的时空又指导物质和能量如何运动。
这种相互影响的关系非常复杂，但可以用数学公式来描述。
广义相对论用爱因斯坦场方程来描述时空受到物质能量分布影响的方式，并且预言了许多重要的现象，比如光线会被引力场偏折、时间会随着引力场的不同而有所拉长或者缩短等。
数学表示广义相对论使用了爱因斯坦张量和度规张量等数学工具来描述时空结构和物质之间的关系。
爱因斯坦张量可以用来表示时空的弯曲程度，而度规张量则可以用来定义时空间距离。
爱因斯坦场方程则建立了时空弯曲和物质能量分布之间的关系，它是广义相对论理论框架中最核心的方程之一。
除此之外，广义相对论还涉及到测地线方程、黎曼张量、克里斯托夫符号等一系列数学概念，这些内容构成了广义相对论数学表示体系的核心部分。
实验验证广义相对论作为一种科学理论，必须经过实验证实其有效性。
迄今为止，已经有许多实验证实了广义相对论的预言。
其中最著名的实验之一就是1919年英国天文学家阿瑟·埃丁顿组织的日全食观测活动。
通过观测日全食期间背景星星光线被太阳引力偏折，他们发现了背景星星位置发生了变化，这与广义相对论预言的光线偏折效应完全吻合。
此外，还有很多其它实验证据也证明了广义相对论在描述星际空间和引力场方面具有高度精确性。
比如利用卫星测量引力场、探测脉冲星双星系统辐射引力波等实验都为广义相对论提供了有力支持。
广义相对论_ppt02
2.2 张量的运算
由于决定张量变换行为的矩阵是随不同点而不同的，所有必须在同一 点上的两个张量进行运算。 张量的加减法定义为相应分量的相加或相减。因此这两个张量必须同 阶。如 张量的乘法：张量的乘法叫外乘。如
混合张量的缩并（或“降阶”）：任何一个混合张量，当把它的一个 协变性的指标同一个逆变性的指标相当，并对这个指标累加起来，这 样就构成一个比原来的张量低两阶的张量。如
2010-4-24 广义相对论_数学基础 5
仿射空间
为何引入仿射空间？
仿射空间是数学中的几何结构, 这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿 射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是 点与点之间不可以做加法。（维基百科） 向量空间的对象是向量。这里的关键在于，向量空间有一个原点，所以向量空 间中连点也可以看成一个向量（从原点出发指向该点的矢量）。 “在仿射空间里，点和向量是基本的概念，无需用逻辑方法再定义。当然，这 不是说点和向量没有实在的内容。例如向量就可理解为速度和力等。考察一个点和 向量的集合，它满足以下公理（1）至少存在一个点。（2）任意给定一对有顺序的 点A和B，对应一个且仅对应一个向量。通常记此向量为AB。... （略）” 可见，点在仿射空间中有独立的地位，即便是存在点和矢量的对应也得是两个 有序点。之所以是这样，是因为仿射空间里没有原点。 举个例子，某空间中有两个点，如果是在向量空间，则我们可以对两个点加减， 即两个点对应与原点相连的矢量按照平行四边形法则加减，从而得到第三个点。然 而在仿射空间中，两个点的加减是没有意义的，但两点之间的距离可以计算，距离 是个不变量，独立于坐标系。 引入仿射空间的原因是要对独立于坐标系的不变量进行描述，它实际上放宽了 向量空间的要求，从而促使人们在更一般的空间上研究某些不变的性质。这就像欧 氏空间的假设被放宽后使得我们开始研究更一般的非欧几何一样。仿射空间是张量 代数和张量分析的基础。
广义相对论
第一&二章1. 设想有一光子火箭，相对于地球以速率v=0.95c 飞行，若以火箭为参考系测得火箭长度为15 m ，问以地球为参考系，此火箭有多长 ？解 ：固有长度,2. 一长为 1 m 的棒静止地放在 O ’x ’y ’平面内，在S ’系的观察者测得此棒与O ’x ’轴成45°角，试问从 S 系的观察者来看，此棒的长度以及棒与 Ox 轴的夹角是多少？设想S ’系相对S 系的运动速度4.68ml ==第三章1.简述狭义相对论与广义相对论的基本原理。
P9、15、2*①狭义相对论：所有的基本物理规律都在任一惯性系中具有相同的形式。
这就叫狭义相对性原理。
相对性原理：一切惯性参照系等效，即物理规律在所有的惯性系中都具有完全相同的形式。
光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动状态无关，即不依赖于惯性系的选择。
②广义相对论：一切参照系都是平权的。
或者说，客观的物理规律应在任意坐标变换下保持形式不变。
等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。
广义相对性原理：一切参考系都是平权的或客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变，即广义协变性。
2.什么是广义相对论的等效原理？强等效原理与弱等效原理有何区别？等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。
3.在牛顿力学中是否能够定义惯性参照系？什么是局部惯性系？P12、29引力与惯性力有何异同？定义不同：惯性力的度量是惯性质量写为F=ma，而引力的度量是引力质量，由万有引力定律写成(1)(2)2g gm mF Gr，从物理本质上是不同的。
相同：二者的实验量值是相等的，根据等效原理引力与惯性力的任何物理效果都是等效的4.弯曲时空是用什么几何量来描述的？什么是引力场的几何化？P35处于形变的四维时空区域，从物理上说可以认为是有引力存在的时空区域。
所以，表示时空弯曲的几何量，同时也表示了引力场的状态。
引力场中的物理问题便等价于弯曲时空的几何问题，这种看法就称为引力场的几何化。
广义相对论知识点
广义相对论知识点广义相对论是由爱因斯坦在20世纪提出的一种物理理论。
它是一种描述引力作用的理论，通过改变空间和时间的几何结构来描述物质和能量的运动。
广义相对论是现代物理学的基石之一，具有重要的理论和实际应用价值。
本文将介绍广义相对论的基本概念、重要原理和理论预测等知识点。
一、引力与时空弯曲在广义相对论中，引力被理解为时空的弯曲。
爱因斯坦认为物质和能量会使时空产生弯曲，其他物体在这个弯曲的时空中运动时会受到引力的作用。
这与牛顿的引力观念有所不同，牛顿认为引力是物体之间的相互作用力。
二、等效原理等效原理是广义相对论的基础之一。
等效原理指出，在任何加速的参考系中，物体的运动与无重力的自由下落是等效的。
这就意味着，物体在引力场中的运动可以等效为在加速的非引力场中运动。
三、黎曼几何和度规张量广义相对论使用了黎曼几何和度规张量的概念。
黎曼几何是一种研究曲线和曲面的几何学，用于描述时空的弯曲。
度规张量用于描述时空中的长度和角度的度量方式，它描述了时空的几何结构。
四、爱因斯坦场方程爱因斯坦场方程是广义相对论的核心方程，它描述了时空的几何结构与物质分布之间的关系。
爱因斯坦场方程将时空的弯曲程度与能量动量的分布相联系，通过求解这些方程可以得到时空的几何结构和物质的运动。
五、引力波广义相对论预言了引力波的存在，并在2015年被直接探测到，这也是爱因斯坦的一个伟大预测。
引力波是一种由物质和能量产生的扰动，在时空中传播。
它们传播的速度等于光速，但与电磁波不同，引力波对物质的相互作用非常弱。
六、黑洞广义相对论预言了黑洞的存在，并对黑洞的性质进行了描述。
黑洞是由引力塌缩而成的天体，它具有非常强大的引力场，连光都无法逃离它的吸引。
黑洞具有奇点、事件视界等特殊的性质，对宇宙的演化和结构具有重要作用。
七、宇宙膨胀广义相对论对宇宙的演化提供了一种理论框架。
根据广义相对论的预测，宇宙可能是在大爆炸后经历了膨胀的过程，即所谓的宇宙大爆炸理论。
《广义相对论》课件
等效原理表明，在任何小的时空区域内，我们无法通过任何可预见的实验区分均匀引力场和加速参照系。这意味 着在局部范围内，我们无法区分引力和加速参照系引起的效应。这一原理在广义相对论中扮演着重要的角色，为 引力场的描述和性质提供了基础。
广义协变原理
总结词
广义协变原理是广义相对论的另一个基本原理，它要求物理定律在任何参照系中 都保持形式不变。
05
广义相对论的应用
黑洞与宇宙学
黑洞的形成与演化
广义相对论预测了黑洞的存在，并描 述了其形成和演化的过程，如恒星坍 缩、吸积盘等。
宇宙学模型
广义相对论为宇宙学提供了理论基础 ，如大爆炸理论、宇宙膨胀等，解释 了宇宙起源和演化的过程。
Байду номын сангаас 宇宙的起源与演化
宇宙起源
广义相对论提供了宇宙起源的理论框 架，解释了宇宙从大爆炸开始的一系 列演化过程。
牛顿力学与狭义相对 论无法同时成立，需 要一种新的理论来统 一。
狭义相对论解决了牛 顿力学在高速领域的 矛盾，但无法解释引 力问题。
爱因斯坦与广义相对论的创立
爱因斯坦受到物理学家马赫的 启发，开始探索引力问题。
爱因斯坦提出了等效原理和光 速不变原理，作为广义相对论 的基本假设。
广义相对论成功地解释了引力 作用，并将其与空间-时间结构 联系起来。
暗物质与暗能量的研究
深入探索暗物质和暗能量的本质，揭示它们在宇宙中的 作用和相互关系，进一步完善宇宙学模型。
预测了更为精确的进动值。
光线在引力场中的弯曲
要点一
总结词
光线在引力场中的弯曲是广义相对论的另一个重要实验验 证，它证实了爱因斯坦关于引力透镜的预测。
要点二
详细描述
广义相对论简介
*广义相对论简介 2、等效原理和广义相对性原理
物理学教程 （第二版）
等效原理：在一个相当小的时空范围内，不可能不可 能通过实验来区分引力与惯性力，它们是等效的。 弱等效原理：只限于力学实验中引力和惯性力等效， 这种等效性较弱。 强等效原理：只不仅限于力学实验，还要求任何物理 实验，如电磁实验、光学实验等等都不能区分引力和 惯性力，这种等效性很强。
物理学教程 （第二版）
假设：在一个与外界隔绝的宇宙飞船中的密封舱内
实验：宇航员放开手中小球。
结果：小球以g加速下落。 判断:(1)由于密封舱在太空（无引力作用）以a=g 加速向上所致。
（2）由于密封舱停在地面，小球受引力所致。
等效原理：一个均匀的引力场与一个匀加速运动的 非惯性系等效。
第十五章 狭义 相对论
广义相对理论： 太阳附近的时空连续系统的弯曲性质， 必然引起水星轨道产生进动。 广义相对论理论预言水星进动每世纪有43.03"
第十五章 狭义 相对论
*广义相对论简介 雷达回波延迟 用雷达向水星和金星发射电磁波
物理学教程 （第二版）
1、雷达波经过太阳附近时测往返时间t1
2、雷达波不经过太阳附近时测往返时间t2
引力场中光速变慢
引力红移 物质光谱周期变长，频率发生变化
第十五章 狭义 相对论
*广义相对论简介
物理学教程 （第二版）
3、水星近日点进动 牛顿理论：行星的轨道是严格闭合的椭圆 观测表明：行星的椭圆轨道存在进动现象，
即椭圆的长轴也缓慢转动。
牛顿力学预言水星进动5557.62" 水星进动实际观测值5600.73"
*广义相对论简介 一、等效原理和局域惯性系 1、惯性质量与引力质量
广义相对论入门04-广义相对论的数学基础(下)20160508
−1 2
∂gαβ ∂xν
x&α x& β
( ) ∂L
∂x&ν
1 =
2
gαβ x&α x& β
1 −
2
gαβ
⎜⎜⎛ ⎝
∂x&α ∂x&ν
x& β
+ x&α
∂x& β ∂x&ν
⎟⎟⎞ ⎠
( ) ( ) = 1 2
gαβ x&α x& β
g − 1 2 αβ
δνα x& β
+ δνβ x&α
( ) ( ) 1
= 2
gαβ x&α x& β
1 −
2
gνβ x& β + gαν x&α
将其带入拉格朗日方程，得
1 gαβ x&α x& β
∂gαβ ∂xν
x&α x&β
−
2
d dλ
⎛ ⎜ ⎜
⎝
gαν x&α gαβ x&α x& β
⎞
⎟ ⎟
=
0
⎠
选择参数λ为线长 s，则
gαβ x&α x& β
= gαβ
dxα ds
由于长度不变，因此 gµν Aµ Aν 与点无关。将右边展开式中第二项指标μ与α对换，第三项中
将ν与α对换、将ρ换作λ，则
( ) − gαν Γµαλ − gµα Γναλ + gµν ,λ Aµ Aν dxλ = 0
所以
gµν ,λ − gαν Γµαλ − gµα Γναλ = gµν ;λ = 0
第三章 广义相对论的基本原理 广义相对论基础课件
改进伽利略变换或麦克斯韦方程组。
Liaoning University
爱因斯坦从光速不变原理导出了一个新的时空
关系（Lorentz变换）：
x'
x vt
1
v2 c2
y' y
z' z
t'
t
xv c2
1
v2 c2
在v<<c时，它还原为伽利略变换。爱因斯坦证
§3.ity
1. 相对性原理 众所周知，牛顿力学仅限于惯性系中成立，
而两个相对作匀速直线运动的惯性系之间的时空 关系可有伽利略变换表示：
x' x vt
y' y
z' z
t' t
Liaoning University
容易验证，若牛顿力学规律对其中 任何一个参照系成立，那么对另一个参 照系也成立。这叫做牛顿力学规律对伽 利略时空变换的协变性，也称为力学的 相对论原理。它告诉我们，虽然惯性系 有无限多个，但不同的惯性系对力学问 题是完全等价的。
用类比，惯性质量为mi的电荷q，在电场中所
Liaoning University
上述原因使爱因斯坦突破了惯性系的局限性， 将狭义相对论原理推广为广义相对论原理：
一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理 规律应在任意坐标变换下保持形式不变。
Liaoning University
在狭义相对论中，用四维正交矢量或张量 表示物理量或物理公式，从一个惯性系向另一 个惯性系变换时，经过洛仑兹变换，公式的形 式保持不变，这叫洛仑兹协变性。
太阳又在绕银河中心转动，其加速度约为 3.0×10－10m/s2，所以太阳也不是严格的惯性系， 尽管它比地面参照系更接近惯性系。
广义相对论的基础知识
广义相对论的基础知识广义相对论是爱因斯坦于1915年提出的一种描述引力的理论，是现代物理学中的基石之一。
它建立在狭义相对论的基础上，描述了引力是时空弯曲的结果，从而揭示了宇宙的结构和演化规律。
在广义相对论中，引力被解释为时空的弯曲，物质和能量决定了时空的几何结构，而物质和能量又受到时空结构的影响，形成了一个统一的动力学系统。
下面将介绍广义相对论的基础知识，包括引力场方程、时空弯曲、黑洞等内容。
引力场方程是广义相对论的核心方程之一，描述了引力场如何影响时空的几何结构。
在爱因斯坦场方程中，引力场由时空的度规张量表示，方程的左边描述了时空的几何性质，右边描述了物质和能量的分布。
具体形式为：\[G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\]其中，\(G_{\mu\nu}\)是爱因斯坦张量，描述了时空的曲率；\(\Lambda\)是宇宙学常数，描述了宇宙的膨胀；\(g_{\mu\nu}\)是度规张量，描述了时空的几何结构；\(T_{\mu\nu}\)是能动量张量，描述了物质和能量的分布；\(G\)是引力常数；\(c\)是光速。
时空弯曲是广义相对论的核心概念之一，描述了物质和能量如何影响时空的几何结构。
根据广义相对论，物质和能量会使时空产生弯曲，其他物体沿着弯曲的时空轨迹运动。
这种弯曲效应导致了引力的产生，即物体之间的相互吸引。
例如，地球围绕太阳运动是由于太阳在时空中产生了弯曲，地球沿着这个弯曲的轨迹运动。
黑洞是广义相对论的一个重要预言，是一种引力极强的天体，其引力场强大到连光都无法逃逸。
黑洞的形成是由于恒星在耗尽燃料后发生坍缩，形成极高密度的天体。
在黑洞的视界半径内，引力场非常强大，甚至连光都无法逃逸，因此黑洞是不可见的。
黑洞的质量和视界半径之间存在一个简单的关系，即视界半径正比于质量，这就是所谓的“事件视界”。
广义相对论还预言了引力波的存在，这是一种由引力场振荡产生的波动，类似于电磁波。
广义相对论的数学和物理基础
广义相对论的数学和物理基础广义相对论被认为是现代物理学的基石，它提供了解释黑洞、宇宙加速膨胀等宇宙学现象的框架。
然而，广义相对论的理论基础是由一系列数学和物理知识构成的，下面将重点探讨这些知识。
首先，为了理解广义相对论，需要掌握爱因斯坦场方程。
这个方程描述了物质如何影响时空几何，以及时空几何如何反过来影响物质。
它的右侧是能量-动量张量，它描述了物质在给定的坐标系下的分布与运动；它的左侧是爱因斯坦张量，它描述了时空的曲率。
但是涉及到四维的曲率张量的计算并不容易，需要使用克氏符号和黎曼曲率张量等数学工具。
其次，广义相对论中使用的度规张量是时空的关键属性。
度规顾名思义可以理解为度量长度和角度的工具。
在广义相对论中，时空被视为一个四维的对象，度规张量则描述了其中每个点相邻点之间的距离和角度之间的关系。
度规张量本身又可以看作是一个矩阵，是物理测量和计算的重要工具，也是描述基于物质分布的引力作用的必要元素。
与度规张量相关的是测地线和黎曼联络。
测地线是与宇宙中物体运动相关的重要量，它是一种不能被引力控制的运动，例如行星运动中的椭圆轨道。
黎曼联络是度规上的一种附加结构，它提供了一种沿着测地线传播的方法。
因此，黎曼联络和测地线的计算是描述万有引力定律、曲率和物质分布关系的关键工具。
最后，广义相对论涉及到一些基础的物理量的定义和理解。
例如坐标系、动量、能量等。
广义相对论中的坐标系通常被选为任意的、连续可微的四维空间坐标系，符合洛伦兹群的变换。
在此基础上，能量和动量的定义与牛顿力学中的不同，它们由物质分布和时空的内禀属性（例如度规、曲率）共同决定。
总之，广义相对论的理论基础需要涵盖数学和物理的多个方面。
在此基础上，我们可以理解宇宙中的种种现象，例如时间延迟、黑洞、引力波等。
同时，广义相对论的研究推动了数学和物理学在较高层次上的交叉应用，成为一种具有重要物理学和数学学科背景的科学方法。
广义相对论的基础
广义相对论的基础
广义相对论的基础
（+）
广义相对论是一种科学理论，由黑格尔提出，由爱因斯坦具体制定，是现代物理学中最重要的和最有影响力的理论之一。
它指空间和时间不可单独被看作绝对客观，是相互联系和相互关联的，它们不存在绝对性和绝对物理结构上的不变性。
爱因斯坦和黑格尔的基础是光速定律，这是广义相对论推导的基础，GDBR定律解释了相互移动的观察者看到的光速是一致的，这种观点完全破坏了物理学早期本体学的原则。
这表明航行的观察者看到的光速是一致的，这意味着他们的位置和时间的测量是相对的，而不是绝对的，只有这样才能保持光速一致。
在这个理论的基础上，它揭示了物理现象的本质，把新的实质性的原因和因果联系引进了物理学。
譬如，E=mc2公式，用来表达能量和物质之间的联系，显示了物质和能量之间实质性的关系，是由于时空的相对性才得以发现的。
广义相对论的影响，不仅出现在物理学上，也被应用于天文学，以解释银河系的结构和衰变子的起源，以及大角度的行星运动。
它也被应用于量子力学，提供了可以解释原子内部结构的理论，它解释了微观世界与宏观世界有着根本不同的物理规律。
千百年来，物理学主要探索实体、实体和实体之间的联系，从本体论的角度来看，事物存在着本质性的绝对性。
而广义相对论打破了这种假设，空间和时间相互联系，是一个相对的实体，它给物理学带来了一个新的理论观点，改变了我们对物理现象的认识。
广义相对论入门03-广义相对论的数学基础(中)20160507
Q 点，再平移至 P 点，再平移至 Q'点，最后平移至 O 点，得到 A′µ 。那么， A′µ 与 Aµ 存在
一个夹角
δAµ
=
A′µ
−
Aµ
=
−
R
µ λνγ
Aλδxν dxγ
曲率的几何意义是：当时空存在曲率时，矢量平移一圈后回到原位，必须附加一个转 动，才能与原矢量重合。该附加转动为时空弯曲产生的几何效应。
3、协变微商满足莱布尼茨法则，即
( ) ( ) (AB);µ = A;µ B + A B;µ
据此可以定义 n 阶张量的协变微商。 4、逆变矢量场的协变微商
由于 Aµ Bµ 是一个标量，利用标量场的协变微商等于其普通微商以及莱布尼茨法则，得
到逆变矢量场的协变微商为
A;νµ = A,νµ + Γλµν Aλ
dλ
⎤ ⎥⎦
Aµ
(P
→
Q)
由于 dλ=0 时，P 与 Q 重合，故 F(λ)=1。令 dF = f (λ )，则
dλ
Aµ (Q) = [1+ f (λ )⋅ dλ]Aµ (P → Q)
将 Aµ (Q)在 P 点展开：
Aµ (Q) =
Aµ (P)+ dAµ (P) =
dx µ dλ
+
d dλ
⎛ ⎜⎜⎝
挠率张量不为零的空间是扭曲的。爱因斯坦广义相对论中时空挠率为零。
五、协变微商
1、标量场的协变微商
标量场的普通微商定义为
U,µ
≡
∂U (X
∂x µ
)
标量场的普通微商是一个矢量。该矢量的变换规律为
2.6.广义相对论初步
§2、6、广义相对论初步狭义相对论在惯性系里研究物理规律,不能处理引力问题， 1915年,爱因斯坦在数学家的协助下,把相对性原理从惯性系推广到任意参照系,发表了广义相对论，由于这个理论过于抽象,数学运算过于复杂,这里只做个大概描述，2．6．1、 非惯性系与惯性力 牛顿运动定律在惯性系里才成立,在相对惯性系做加速运动的参照系（称非惯性系）里,会出现什么情况呢？例如,在一列以加速度1a 做直线运动的车厢里,有一个质量为m 的小球,小球保持静止状态,小球所受合外力为零,符合牛顿运动定律，相对于非惯性系的车厢来观测,小球以加速度-1a 向后运动,而小球没有受到其他物体力的作用,牛顿运动定律不再成立，不过,车厢里的人可以认为小球受到一向后的力,把牛顿运动定律写为1ma f -=惯，这样的力不是其他物体的作用,而是由参照系是非惯性系所引起的,称为惯性力，如果一非惯性系以加速度1a 相对惯性系而运动,则在此非惯性里,任一质量为m 的物体受到一惯性力1ma -,把惯性力1ma -计入在内,在非惯性里也可以应用牛顿定律，当汽车拐弯做圆周运动时,相对于地面出现向心加速度1a ,相对于车厢人感觉向外倾倒,常说受到了离心力,正确地说应是惯性离心力,这就是非惯性系中出现的惯性力，2．6．2、 惯性质量和引力质量 根据牛顿运动定律,力一定时,物体的加速度与质量成反比,牛顿定律中的质量度量了物体的惯性,称为惯性质量,以惯m 为符号,有am F 惯=根据万有引力定律,两物体（质点）间的引力和它们的质量乘积成正比，万有引力定律中的质量,类似于库仑定律中的电荷,称为引力质量,以引m 为符号，惯性质量和引力质量是两个不同的概念,没有必然相等的逻辑关系,它们是否相等,应由实验来检验，本世纪初,匈牙利物理学家厄缶应用扭秤证明,只要单位选择恰当,惯性质量和引力质量相等,实验精度达810-，后来,人们又把两者相等的实验精度提高到1210-， 设一物体在地面上做自由落体运动,此物体的惯性质量和引力质量分别为惯m 和引m ,以引M 代表地球的引力质量,根据万有引力定律和牛顿第二定律,有gm Rm M G惯引引=⋅2,式中G 为万有引力常量,R 为地球半径,g 为物体下落的加速度，因为惯引m m =,所以2/R GM g 引=,与物体的质量无关，这就是伽利略自由落体实验的结论，既然惯性质量与引力质量相等,就可以简单地应用质量一词,并应用相同的单位，质量也度量了物质的多少，2．6．3、 广义相对论的基本原理 爱因斯坦提出广义相对论,主要依据就是引力质量和惯性质量相等的实验事实，既然引力质量和惯性相等,就无法把加速坐标系中的惯性力和引力区分开来，比如,在地面上,物体以28.9秒米=g 的加速度向下运动，这是地球引力作用的结果，设想在没有引力的太空,一个飞船以28.9秒米=a 做直线运动（现在可以做到）,宇航员感受到惯性力,力的方向与a 的方向相反,这时他完全可以认为是受到引力的作用，匀加速的参照系与均匀引力场等效,这是爱因斯坦提出的等效原理的特殊形式，因为引力质量和惯性质量相等,所以,在均匀引力场中,不同的物体以相同的加速度运动，这也是伽利略自由落体实验的结果，它可一般叙述为：在引力场中,如无其他力作用,任何质量的质点的运动规律都相同，这是等效原理的另一种表述，由于等效原理,相对于做加速运动的参照系来观测,任一质点的运动规律都是引力作用的结果,具有相同的规律形式，爱因斯坦进一步假设,相对任何一种坐标系,物理学的基本规律都具有相同的形式，这个原理表明,一切参照系都是平等的,所以又称为广义协变性原理，等效性原理和广义协变性原理是广义相对论的基本原理，2．6．4、 广义相对论的实验验证 在广义相对论的基本原理下,应建立新的引力理论和运动定律,爱因斯坦完成了这个任务，这样,牛顿运动定律和万有引力定律成为一定条件下广义相对论的近似规律，根据广义相对论得出的许多重要结论,有一些已得到实验证实，下面介绍几例，1、日点的进动 按照牛顿引力理论,水星绕日作椭圆运动,轨道不是严格封闭的,轨道离太阳最近的点（近日点）也在做旋转运动,称为水星近日点的进动,如图2-6-1所示，理论计算和实验观测的水星轨道长轴的转动速率有差异，牛顿的引力理论不能正确地给予解释,而广义相对论的计算结果与观测值符合，爱因斯坦当年给朋友写信说：“方程给出了进动的正确数字,你可以想象我有多高兴,有好些天,我高兴得不知怎样才好，”2、光线的引力偏折 在没有引力存在的空间,光沿直线行进，在引力作用下,光线不再沿直线传播，比如,星光经过太阳附近时,光线向太阳一侧偏折,如图2-6-2所示，这已在几次日蚀测量中得到了证实,证明广义相对论的计算偏折角与观测值相符合，3、光谱线的引力红移 按照广义相对论,在引力场强的地方,钟走得慢,在引力场弱的地方,钟走得快，原子发光的频率或波长，可视为钟的节奏，引力场存在的地方,原子谱线的波长加大,引力场越强,波长增加的量越大,称这个效应为引力红移，引力红移早已为恒星图 2-6-1的光谱测量所证实，20世纪60年代,由于大大提高了时间测量的精度,即使在地面上几十米高的地方由引力场强的差别所造成的微小引力红移,也已经精确地测量出来，这再一次肯定了广义相对论的正确性，4、引力波的存在广义相对论预言,与电磁波相似,引力场的传播形成引力波，星体作激烈的加速运动时,发射引力波，引力波也以光的速度传播，虽然还没有直接的实验证据,但后来对双星系统的观测,给出了引力波存在的间接证据，广义相对论建立的初期并未引起人们的足够重视,后来在天体物理中发现了许多广义相对论对天体物理的预言,如脉冲星、致密X射线源、类星体等新奇天象的发现以及微波背景辐射的发现等，这些发现一方面证实了广义相对论的正确性,另一方面也大大促进了相对论的进一步发展，本章典型例题例1、放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子，在实验室中测出每个电子的速率为0.6c,c是光速，今以一个电子为参照物,另一个电子的速率是多大？（1）用伽利略变换进行计算；（2）用洛仑兹变换进行计算，并指出哪个不合理，解: （1）设向右运动的电子为S'系,则按伽利略变换,在S'系中看另一电子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c,这与光速不变的实验事实相矛盾,所以是不合理的，（2）设实验室为参照系S,一个电子参照系为S',则S'相对于S系的速度是0.6c,另一个电子相对于S系的速度为-0.6c,按洛仑兹变换,另一个电子相对于S'系的速度是x u ',则x 图2-6-3xx x v c v vv u 21--='=)(12v c vvv ----=2212c v v +-c 88.0-≈这就是说,以一个电子为参照物看另一个电子的速度是0.88c ＜c,即小于光速,与实验相符合,是合理的，例2、有一条河宽为l,其河水流速是v,船相对河水的速度为u ',且v u >'，今有船A 和B 分别沿图2-6-4（a ）中所示路径往返一次,求各需要时间多少？哪条船需时长些？解 本题是经典力学问题,用力伽利略变换处和即可，设岸的坐标系为S,河水的坐标系为S ',如图2-6-4（b ）所示,若船相对岸的速度为u,则对于A 船j u i u u y x ''+''=',ju i u u y x += , 0=x u .由伽利略变换知:v u u x x -'=,则v u x ='.而x '图2-6-4(a)S yvxx 'u 'O ' S 'y ˊ(b)2122)(x y y u u u u '-'='==2122)(v u -'=21221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'u v u所以A 船往返一次所需时间为2122)1(22u v u l u l t y A '-'==对于B 船,相对于岸的往返速度x u 分别为v u +'和v u -',所以其往反一次所需要的时间为)1(222u v u lv u l v u l t B '-'=-'++'=因为u u >',所以1<'v .按21)1(--x 和1)1(--x 展为幂级数的公式有2122)1(2-'-'=u v u lt A=)83211(24422Λ+'⋅+'⋅+'u v u v u l 122)1(2-'-'=v u lt B=)1(24422Λ+'+'+'u v u v u l所以 0)8521(24422>+'⋅+'⋅='=-Λu v u v u l t t A B ,故A B t t >,即B 往返一次的时间比A 船往返一次的时间要长， 例3、一个中微子在惯性系S 中沿+y 方向以光速c 运S 'y 'vO ˊx ˊ图2-6-5动,求对S 系以速度v 沿+x 方向运动的观察者所观测到的中微子的速度和方向怎样？解: 设运动观察者为S '系,他所看到的中微子的速度分量为x u ', y u ',z u ',则按洛仑兹变换x u '=x x u c v vu )(12--=),0(=-x u v Θx yyu c v u u )(1)1(2212-⋅-='β （令c v=β）=)()1(2122c u c c v y =⋅-Θ),0(0)(1)1(2212==-⋅-='z xzz u u c v u u Θβ因此, 21222)(z y xu u u u '+'+'='[],)1(212222c c c v v =⋅-+=即运动中的观测者测得中微子的速度仍是c,中微子的运动方向是,1211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=''=--c v tgu u tg a y x β即中微子运动方向与y O '轴的夹角，例4、试证明：物体的相对论能量E 与相对论动量P 的量值之间有如下关系： 证明：E 2- p 2c 2=(mc2)2-(mvc)2=m 2c 2( c 2- v 2)=222201c v v m -( c 2- v 2) =(22420v c cm - c 2 - v 2)= m 20c 4=E 2∴E 2=p 2c 2+ E 2读者可试为之,从E 2- E 20入手证明它等于p 2c 2，例5、一个静止质量为m 0的粒子以速率 v=c54运动,它和一个同类的静止粒子进行完全非弹性碰撞，求：（1）复合粒子的速率， （2）复合粒子的静止质量，解: 在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒，故有v m v m ''=0γ ① 22020c m c m c m '=+γ ②35)54(1/1)(1/122=-=-=c cc v γ ③将③代入②得： 02202038,35m m c m c m c m =''=+ ④ ③与④代入①得：.334,)(1/.2,385435002000m m c v m m c v v m c m =''-'='=''=⋅故可得而即复合粒子的速率为2c ,静止质量为m334，例6、求证：在伽利略变换下,质点动量定理具有不变性，证明：在S 系中, )(,)(v m d dt F dt v m d dt v d m a m F ρρρρρρ=∑===∑两边同时作定积分得： ⎰⎰⎰-=∑=∑2121,)(2112v v t tv m v m dt F v m d dt F t t ρρρρρρρ即这就是S 系中质点的动能定理的数学公式，在S '系中)(,)(,v m d t d F t d v m t d v d m F a m F ρρρρρρρρ'=''∑''='=∑'=∑ 两边同时作定积分可得： ⎰⎰⎰'-'='∑'='∑212121,12t t v v t tv m v m t d F v dm t d F ρρρρρρρ这就是S '系中的质点动量定理的数学公式，为回避高等数学,可设一质量为m 的质点沿x 轴正方向,在平行于x 轴的恒定的合外力F 作用下作匀加速直线运动，经过时间t,速度从1v 增大到2v ,根据牛顿第二定律在S 系中有t v v m ma F 12-'⋅==整理得： 12mv mv Ft -= 这就是S 系中的质点动量定理，在S '系中,t t v v u v u v v v F F ='-=---='-'=',)()(,121212即 12v m v m t F '-'='' 此即S '系中的质点动量定理，例7、一个静止质量为M 的物体静止在实验室中,裂变为静止质量为1m 和2m 的两部分,试求裂变产物的相对论动能1K E 和2K E ，解：根据相对论能量守恒有 2222112C m C m MC γγ+=化简得：[]22111m M m γγ-=①根据相对论动量守恒有 222111v m v m O γγ-= ②但,1,)(1/122-=-=γγγcv cv将12111-=γγcv 和12222-=γγcv代入②式化简得:11222211-=-γγm m ③由①、③两式可解得：12212212/)(Mm m m M r -+= ,21222222/)(Mm m m M r -+=, [];2/)()1(222122111M m m M C C m E k --⋅=-=γ[].2/)()1(122222222M m m M C C m E k --=-=γ例8、爱因斯坦的“等效原理”指出,在不十分大的空间范围和时间间隔内,惯性系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律是相同的，现在研究以下问题，（1）试从光量子的观点出发,讨论在地面附近的重力场中,由地面向离地面的距离为L 处的接收器发射频率为0v 的激光与接收器接收到的频率v 之间的关系，（2）假设地球物体没有引力作用,现在一以加速度a 沿直线做匀加速运动的箱子中做一假想实验，在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器,两者间的距离为L,现从发射器向接收器发射周期为0T 的激光，试从地面参考系的观点出发,求出位于箱头处的接收器所到的激光周期T ，（3）要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的，则问题（2）中的箱子的加速度的大小和方向应如何？解: （1）对于能量为0hv 的光子,其质量20c hv m =,在重力场中,当该光子从地面到达接收器时,增加的重力势能为mgh ，由能量守恒得gL c hv hv mgl hv hv ⋅+=+=20得)1(20c gL v v +=)1(20c gL v v -=（2）设t=0时刻,箱子从静止开始加速,同时,激光光波的某一振动状态从发射器发出,任何时刻t,发射器和接收器的位置分别为221at x =221at L x += 所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期0T 的振动状态的位置分别为：x=ct)(21020T t c aT x -+=设所考察的振动状态在1t 时刻到达接收器,则有21121at L ct +=解得)211(21c aL a c t --=比所考察的振动状态晚一个周期0T 发出的振动状态到达接收器的时刻为2t ,则有22022021)(21at L T t c aT +=-+解得 )2211(2202022c T a c aT c aL a c t +---=接收器接收到的激光的周期为T=t 2-t 1=a c()221212202022c T a c aT c aL c aL +---- )21211(2122c aL c aT caL a c ---⋅-≈⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅--⋅-≈)2111(1)1(202c aL c aT c aL a c⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈)21()1(202c aL c aT c aL a c)22(3023*******c T L a c LT a c LT a c aT a c --+⋅= )(3020c LT a c aT a c +⋅≈ )1(20c aL T +=（3）)1(20c gL T T +=比较上述两式得a=g,即“箱子”的加速度a=g 方向竖直向上，例9、考虑不用发射到绕太阳运动的轨道上办法,要在太阳系建立一个质量为m 的静止空间站，这个空间站有一个面向太阳的大反射面（反射系数为1）,来自太阳的辐射功率L 产生的辐射压力使空间站受到一个背离太阳的力,此力与质量为s M 的太阳对空间站的万有引力方向相反,大小相等,因而空间站处于平衡状态，忽略行星对该站的作用力,求：（1）此空间站反射面的面积A ，（2）平衡条件和太阳与空间站之间的距离是否有关？（3）设反射面是边长为d 的正方形,空间站的质量为610千克,确定d 之值，已知太阳的辐射功率是261077.3⨯瓦，太阳质量为301099.1⨯千克，解: （1）设空间站与太阳的距离为r,则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内的功率即光强24r Lπ=Φ,太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果,这一光压为c r Lc P 222π=Φ=于是反射面受到的辐射压力A c r LPA F 22π==辐射太阳对空间站的万有引力为2r m M GF s =引力式中G 为万有引力常数,在空间站处于平衡状态时,辐射引力F F =,即,222A c r Lr m M GS π=这就得到,反射面的面积.2L mcGM A S π=（2）由上面的讨论可知,由于辐射压力和太阳引力都与2r 成反比,因而平衡条件与太阳和空间站的距离r 无关，（3）若A=2d ，并以题给数据代入前式得到L mcGM d S π2=瓦秒米千克千克千克米牛26863022111077.3)1000.3)(10)(1099.1)(1067.6(2⨯⨯⨯⋅⨯=-π41058.2⨯=米，。
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dx′µ
=
∂x′µ ∂xα
dxα
∂x′µ
若
∂xα
≠ 0或∞ ，则有逆变换
并且有
dxα
=
∂xα ∂x′µ
dx′µ
克罗内克尔符号为
∂x′µ ∂xα ∂xα ⋅ ∂x′ν
∂x′µ = ∂x′ν
= δνµ
δνµ
=
⎧1 ⎩⎨0
µ =ν µ ≠ν
2、广义相对论中的张量 （1）标量：在坐标变换下不变的量。， （2）矢量（一阶张量）：在坐标变换下，与坐标微元具有相同变换的量。
广义相对论的数学基础主要为张量分析和微分几何中的黎曼几何。 张量的重要性在于其和坐标变换相联系。张量方程与坐标系的选取无关。
一、狭义相对论中的张量
狭义相对论都是在仿射空间中进行讨论。仿射空间是数学中的几何结构，这种结构是欧
式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法
dxµ′ ⋅ dx′µ = (dx1′)2 + (dx2′ (dx4′ )2
= aµα dxα ⋅ aµβ dxβ = aµα aµβ dxα dxβ
根据光速不变原理，以光信号联系的两个事件的四维时空间隔不变，即
dxµ′ ⋅ dxµ′ = dxα ⋅ dxα
则
aµα aµβ = δαβ
二阶张量： Tµ′ν = aµα aνβTαβ ；
n 阶张量： Tµ′νLλ = aµα aνβ Laλσ TαβLσ
n 阶张量的分量个数为维度的 n 次方。
二、广义相对论中的张量：即非线性、也非正交 1、广义坐标变换
( ) x′µ = x′µ xν
其中μ、ν=1、2、3、4 或μ、ν=0、1、2、3，一般 x0=ct，x4=ict。注意区分指标和指数。取 微分，得
⎞ ⎟ ⎟
a34 a44
⎟⎟⎠⎜⎜⎝
x3 x4
⎟⎟ ⎠
式中 amn（m、n=1、2、3、4）均为常数；x4=ict，i 为虚数单位，c 为真空光速。该式可简写
为
4
∑ x′µ = aµν xν
ν =1
引入爱因斯坦求和约定：重复的指标代表求和。则进一步简写为
两边取微分，得
x′µ = aµν xν
逆变换即为 其中
dx1 dx2 dx3 dx4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
（1）标量（不变量、零阶张量）：在坐标变换下不变的量，即U ′(X ′) = U (X )，它只有
一个分量。不变量未必是常数，亦可是函数，只需在坐标变换下保持不变即可 。 （2）矢量（一阶张量）：在坐标变换下，与坐标微元具有相同变换的量。 （3）张量：在坐标变换下，按以下规律变换的量
④克罗内克尔符号：一类特殊的(1,1)阶混合张量
∂x′µ ∂xα
∂x β ∂x′ν
δ
α β
∂x′µ = ∂xα
∂xα ∂x′ν
= δν′µ
写在上标的指标称为逆变指标，写在下标的指标称为协变指标，分母上的上标视为下标。 代表求和的指标必为一个上标和一个下标，称为傀儡指标（简称傀标）或哑指标。
三、张量代数 广义相对论中的张量是逐点定义的，张量的加、减、乘必须在同一点进行。 1、张量的加减：只有同阶张量才能进行加减运算，例如
一般矩阵乘法不满足乘法的交换律；但在张量代数中，相乘的因子是张量的元素，故乘法 交换律仍成立。
5、张量的对称性（以协变张量为例，逆变张量同理）
（1）对于二阶张量：若 Tµν = Tνµ ，则该张量对称；若 Tµν + Tνµ = 0 ，则该张量反对称。
（2）对于高阶张量：若 Tαβγρ = Tγβαρ ，则称指标α和指标γ对称；若 Tαβγρ + Tγβαρ = 0 ，
则称指标α和指标γ反对称。
（3）任何一个张量都可以写成一个对称张量和一个反对称张量之和 ，即
( ) ( ) Tµν
=1 2
Tµν + Tνµ
+1 2
Tµν − Tνµ
( ) （4）对称指标可用圆括号表示，反对称指标可用方括号表示，例如： T(µν )
=
1 2
Tµν
+ Tνµ
( ) 1
表 示 指 标 μ 和 指 标 ν 对 称 ； T[µ|ν |λ ]τ = 2 Tµνλτ − Tλνµτ 表 示 指 标 μ 和 指 标 λ 反 对 称 ；
+
C 2ν ρ 2λ
+L
(p,q)阶张量经过一次缩并得到(p-1,q-1)阶张量。在保证每一项中各个指标符号至多有一个协 变指标和一个逆变指标的情况下，傀标可以用任何其它符号替代 ，即
C µν ρµλ
=
Cτν ρτλ
=
C αν ραλ
4、矢量的标积（内积）：结果是一个标量
C = Aµ Bµ = Bµ Aµ
将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。
1、洛仑兹变换——线性、正交变换
（1）线性
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
x1′ x′2 x3′ x′4
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a11 a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24
⎞⎛ ⎟⎜ ⎟⎜
x1 x2
aαTµ aµβ = δαβ
所以 a 是正交矩阵。 （3）洛仑兹变换 令
β=u c
1
1
γ=
=
u2 1− c2
1− β 2
则 2、张量的定义
⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
dx1′ dx2′ dx3′ dx4′
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−
γ
0 0 iβγ
0
1 0 0
0
0 1 0
iβγ
0 0 γ
⎟⎞⎜⎛ ⎟⎜ ⎟⎠⎜⎜⎝
dxµ′ = aµα ⋅ dxα
( ) dxα = a−1 αµ ⋅ dxµ′
( )a−1
a αµ µβ
= δαβ
=
⎧1 ⎩⎨0
α =β α ≠β
( ) aµα
a −1
αν
= δ µν
=
⎧1 ⎩⎨0
µ =ν µ ≠ν
（2）正交 光速不变原理要求洛仑兹变换矩阵为正交矩阵。其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵称为 证件矩阵。
Aµν αβγ
+
B µν αβγ
=
C µν αβγ
2、张量的乘法：例如
Aαµβ Bγν
=
C µν αβγ
一般反之不成立，即一个(p,q)阶张量一般不能分解为一个(p-m,q-n)阶张量和一个(m,n)阶张量 的乘积。
3、张量的缩并：一个逆变指标和一个协变指标相同，则
C µν ρµλ
=
C1ν ρ 1λ
Tµ′ν
=
∂xα ∂x′µ
∂x β ∂x′ν
Tαβ
③(p,q)阶混合张量
T ′µ1µ2Lµ p ν1ν 2Lν q
∂x′µ1 = ∂xα1
∂x′µ2 L ∂x′µ p ∂xα2 ∂xα p
∂x β1 ∂x′ν1
∂xβ2 L ∂xβq ∂x′ν 2 ∂x′νq
T α1α2Lα p β1β 2 Lβ q
dx′µ = ∂x′µ dxα ∂xα
①逆变矢量：写在上标的指标称为逆变指标
V ′µ
=
∂x′µ ∂xα
Vα
②协变矢量：写在下标的指标称为协变指标
Vµ′
=
∂xα ∂x′µ
Vα
（3）张量：在坐标变换下，按以下规律变换的量 ①二阶逆变张量
②二阶协变张量
T ′µν = ∂x′µ ∂x′ν T αβ ∂xα ∂xβ
( ) 1
T[µνλ ]τ
= 3
Tµνλτ
+ Tµνλµτ
+ Tλµντ
表示指标μ、指标ν和指标λ循环对称。