初中数学乘法公式例题解析

乘法公式例题解析

新课指南

1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.

2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.

3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.

4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.

教材解读精华要义

数学与生活

如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，

(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；

(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？

(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？

思考讨论由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a2-b2)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢？

知识详解

知识点1 平方差公式及其导出

平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.

这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.

经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.

为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.

归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.

直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.

认识公式的特征至关重要.

平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.

知识规律小结（1）在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：

(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9；

(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2；

(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.

(2)在51×49中，a=

249

51+

=50，b=

249

51-

=1，

∴51×49=(50+1)(50-1)=502-12=2499.

知识点2 完全平方公式及其推导

探究交流

计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ； (2)(m+2)2= ；

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ； (4)(m-2)2= .

点拨两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.

一般地，我们有：

(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

例如：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9，

(3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16.

在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.

说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：

(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2.

同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.

由图(1)可知，(a+b)2=a2+2ab+b2，

由图(2)可知，(a-b)2=a2-2ab+b2.

知识点3 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

【说明】添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.

知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.

(x+a)(x+b)

=x2+bx+ax+ab

=x2+(a+b)x+ab.

例如：(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6，

(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2×(-3)=x2-x-6.

【注意】注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.

典例剖析师生互动

基本知识应用题

本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.