高中物理 第一章 机械振动 2 单摆学案 教科版选修3-4

2 单摆[学习目标] 1.理解单摆模型及其振动的特点.2.理解单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.3.了解影响单摆周期的因素，会用周期公式计算周期和摆长.一、单摆的简谐运动1.单摆：忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是理想化模型.2.单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.(2)回复力的大小：在偏角很小时，F ＝－mg l x .3.单摆的运动特点小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆在偏角很小时的振动是简谐运动.二、单摆做简谐运动的周期1.单摆做简谐运动的周期T 跟摆长l 的二次方根成正比，跟重力加速度g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关.2.单摆的周期公式：T ＝2πl g. [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力.( × )(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零.( × )(3)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半.( × )(4)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期.( √ )2.一个理想的单摆，已知其周期为T .如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，则它的周期变为________. 答案 2T一、单摆及单摆的回复力[导学探究] (1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？答案(1)回复力不是合外力.单摆的运动可看做是变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和沿圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力是使摆球沿圆弧振动的回复力.(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，但合外力不为零.[知识深化] 单摆的回复力(1)单摆受力：如图1所示，受细线拉力和重力作用.图1(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力.(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sinθ提供了使摆球振动的回复力.(4)回复力的大小：在偏角很小时，摆球的回复力满足F＝－kx，此时摆球的运动可看成是简谐运动.例1图2中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )图2A.摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零C.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大D.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大答案 D解析摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大.单摆的回复力是重力在切线方向的分力，或者说是摆球所受合外力在切线方向的分力.摆球所受的合外力在摆线方向的分力提供摆球做圆周运动的向心力，所以并不是合外力完全用来提供回复力.因此摆球经过平衡位置时，只是回复力为零，而不是合外力为零(此时合外力提供摆球做圆周运动的向心力).二、单摆的周期[导学探究] 单摆的周期公式为T＝2πl g .(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？答案(1)不等于.单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和.(2)可能会.单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同.[知识深化] 单摆的周期(1)伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟.(2)单摆的周期公式：T＝2πl g .(3)对周期公式的理解①单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角小于5°时，由周期公式算出的周期和准确值相差不超过万分之五).②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球.③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定.④周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期.例2如图3所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是( )图3A.把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变短B.把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变短C.将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长D.将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T 答案 C解析根据单摆的周期公式T＝2πlg知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的2倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2πlg知，将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确.例3如图4所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(球的大小忽略不计)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)( )图4A.让小球在纸面内振动，周期T＝2πl gB.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2π3l 2gC.让小球在纸面内振动，周期T＝2π3l 2gD.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πl g答案 A解析让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2πl g ；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(34l＋l)，周期T′＝2π(34＋1)lg，A正确，B、C、D错误.例4如图5所示，光滑轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是( )图5A.C点B.C点右侧C.C点左侧D.不能确定答案 A解析由于光滑轨道的半径远远地大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆.因此周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故选项A正确.1.(对单摆回复力的理解)振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是( )A.回复力为零，合力不为零，方向指向悬点B.回复力不为零，方向沿轨迹的切线C.回复力就是合力D.回复力为零，合力也为零答案 A解析单摆的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心).2.(单摆的周期公式)一单摆的摆长为40cm，摆球在t＝0时刻正从平衡位置向右运动，若g 取10m/s2，则在1s时摆球的运动情况是( )A.正向左做减速运动，加速度正在增大B.正向左做加速运动，加速度正在减小C.正向右做减速运动，加速度正在增大D.正向右做加速运动，加速度正在减小答案 D解析 由T ＝2πl g ，代入数据得T ＝1.256s ，则1s 时，正处于第四个14T 内，由左侧最大位移向平衡位置运动，即向右做加速运动，加速度减小，D 正确.3.(单摆的周期公式)如图6所示，MN 为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A 放在MN 的圆心处，再把另一小球B 放在MN 上离最低点C 很近的一处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )图6A.A 球先到达C 点B.B 球先到达C 点C.两球同时到达C 点D.无法确定哪一个球先到达C 点答案 A解析 A 球做自由落体运动，到达C 点所需时间t A ＝2R g，R 为圆弧轨道的半径.因为圆弧轨道的半径R 很大，B 球离最低点C 又很近，所以B 球可看做沿圆弧做简谐运动，等同于摆长为R 的单摆，则运动到最低点C 所用的时间是单摆振动周期的14，即t B ＝T 4＝π2R g >t A ，所以A 球先到达C 点.4.(单摆的周期公式)有一单摆，其摆长l ＝1.02m ，摆球的质量m ＝0.10kg ，已知单摆做简谐运动，单摆30次全振动所用的时间t ＝60.8s ，试求：(1)当地的重力加速度约为多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s)，摆长应怎样改变？改变约为多少？答案 (1)9.79m/s 2 (2)缩短0.027m解析 (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T ＝2πl g ，由此可得g ＝4π2l T 2.因为T ＝t n ＝60.830 s ≈2.027 s ，所以g ＝4π2l T 2＝4×3.142×1.022.0272 m/s 2≈9.79 m/s 2. (2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有T T 0＝l l 0，故有：l 0＝T 02l T 2＝22×1.022.0272 m ≈0.993 m. 其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m.一、选择题考点一 单摆及单摆的回复力1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )A.摆线质量不计B.摆线不可伸缩C.摆球的直径比摆线长度小得多D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动答案 ABC解析 单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不可伸缩.只有在摆角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动.故正确答案为A 、B 、C.2.关于单摆，下列说法中正确的是( )A.摆球运动的回复力是它受到的合力B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是不变的C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.摆球经过平衡位置时，加速度为零答案 B解析 摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A 错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C 、D 错误；由简谐运动特点知B 正确.3.(多选)关于单摆的运动，下列说法中正确的是( )A.单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力B.单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力C.摆球做匀速圆周运动D.单摆做简谐运动的条件是最大偏角很小，如小于5°答案BD解析单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以A错误，B正确；单摆在摆动过程中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，C错误；在摆角很小时，单摆近似做简谐运动，D正确.4.单摆在振动过程中，当摆球的重力势能增大时，摆球的( )A.位移一定减小B.回复力一定减小C.速度一定减小D.加速度一定减小答案 C解析当摆球的重力势能增大时，摆球的位移增大，回复力、加速度增大，速度减小，故C 正确.考点二单摆的周期公式5.(多选)某单摆由1m长的摆线连接一个直径为2cm的铁球组成，关于单摆周期的下列说法正确的是( )A.用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变B.用大球替代小球，单摆的周期不变C.摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小D.将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变小答案AD解析用等大的铜球替代铁球，摆长不变，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期不变，故A正确；用大球替代小球，单摆摆长变长，单摆的周期变大，故B错误；在小摆角情况下，单摆做简谐运动的周期与摆角无关，摆角从5°改为3°时，单摆周期不变，故C 错误；将单摆从赤道移到北极，重力加速度g变大，单摆周期变小，故D正确.6.如图1所示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期( )图1A.不变B.先变大后变小C.先变小后变大D.逐渐变大答案 B解析 在沙摆摆动、沙子逐渐下漏的过程中，沙摆的重心逐渐下降，即摆长逐渐变大，当沙子流到一定程度后，摆的重心又重新上移，即摆长变小，由周期公式可知，沙摆的周期先变大后变小，故选B.7.做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的94倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的23，则单摆振动的( ) A.周期不变，振幅不变B.周期不变，振幅变小C.周期改变，振幅不变D.周期改变，振幅变大 答案 B解析 由单摆的周期公式T ＝2πl g可知，当摆长l 不变时，周期不变，故C 、D 错误；由能量守恒定律可知12mv 2＝mgh ，其摆动的高度与质量无关，因平衡位置的速度减小，则摆动的最大高度减小，即振幅减小，选项B 正确，A 错误.8.(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟.摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重力势能提供，运动的速率由钟摆控制.旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图2所示，下列说法正确的是( )图2A.当摆钟不准时需要调整圆盘位置B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移答案 AC解析 调整圆盘位置可改变摆长，从而达到调整周期的目的.若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长，即下移圆盘.由冬季变为夏季，摆杆由于热胀冷缩变长，应上移圆盘.从广州到北京，g 值变大，周期变小，应增加摆长，下移圆盘.综上所述，选项A 、C 正确.9.(多选)图3中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A 在两摆球所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开，各自做简谐运动，以m A 、m B 分别表示摆球A 、B 的质量，则( )图3A.如果m A ＞m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B.如果m A ＜m B ，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D.无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧答案 CD解析 A 、B 两球碰撞后，B 球一定向右摆，A 球可能向右摆，也可能向左摆，还可能停下来.由于两单摆摆长相同，因此摆动的周期相同，它们在第一次碰后半个周期回到平衡位置而发生第二次碰撞，C 、D 正确.10.如图4所示，竖直平面内有一半径为1.6m 、长为10cm 的光滑圆弧轨道，小球置于圆弧左端，t ＝0时刻起由静止释放，g ＝10m/s 2，t ＝2s 时小球正在( )图4A.向右加速运动B.向右减速运动C.向左加速运动D.向左减速运动 答案 D解析 将小球的运动等效成单摆运动，则小球的周期： T ＝2πR g ＝2π 1.610s ＝0.8πs ≈2.5s. 所以在t ＝2s ＝45T 时刻，小球在由最低点向左侧的运动过程中，所以是向左做减速运动.故D 正确.二、非选择题11.(单摆的周期公式)正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度.先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图5所示，从小球第1次通过图中的B 点开始计时，第21次通过B 点用时30s ；球在最低点B 时，球心到窗上沿的距离为1m ，当地重力加速度g 取π2m/s 2；根据以上数据可得小球运动的周期T ＝________s ；房顶到窗上沿的高度h ＝________m.图5答案 3 3解析 n ＝12×(21－1)＝10，T ＝t n＝3s ， T ＝T 12＋T 22＝12(2πl g ＋2πl ＋h g)，又l ＝1m ， 解得h ＝3m. 12.(单摆的周期公式)如图6所示，光滑的半球壳半径为R ，O 点在球心O ′的正下方，一小球甲由距O 点很近的A 点由静止释放，R ≫»AO .图6(1)若另一小球乙从球心O ′处自由落下，问两球第一次到达O 点的时间比.(2)若另一小球丙在O 点正上方某处自由落下，为使丙球与甲球在O 点相碰，丙球应由多高处自由落下？答案 (1)2π∶4 (2)(2n －1)2π2R 8(n ＝1,2,3，…) 解析 (1)小球甲沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O 点的时间为：t 1＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g.小球乙做自由落体运动，设到达O 点的时间为t 2.R ＝12gt 22，所以t 2＝2R g，t 1∶t 2＝2π∶4. (2)小球甲从A 点由静止释放运动到O 点的时间为t ＝T4(2n －1)，n ＝1,2,3，…，由O 点正上方自由落下的小球丙到达O 点的时间也为t 时两球才能在O 点相碰，所以h ＝12gt 2＝12g ·4π2R 16g(2n －1)2＝(2n －1)2π2R 8(n ＝1,2,3，…).。