正交回归
回归正交试验设计
－1
－1
1
1
1
1/3
1/3
5
1
0
0
1
0
1/3
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0
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0
0
1
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1/3
9
0
0
0
0
0
－2/3
－2/3
二元二次回归正交组合设计编码表
因素水平编码
01
试验因素的水平被编为－γ，－1，0，1，γ
02
变化间距：Δj＝上水平－零水平＝零水平－下水平
第8章 回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
演讲人姓名
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案 回归正交设计（orthogonal regression design） ： 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3
二次项偏回归平方和：
一次项偏回归平方和：
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
第七章 回归正交设计
y 26. 9 28. 3 28. 7 28. 9 29. 6 30. 0 30. 4
y2 723. 61 800. 89 823. 69 835. 21 876. 16 900. 00 924. 16
l iy
k
2
(k ) yk
14.8 28 0. 5286 7.823 1
y 202 .8
(1 )
z 16 2
ˆ (2) y ˆ (1) b 2 2 ( x ) y ˆ (1 ) 0 . 04762 ( x 2 8 x 12 ) y
0 . 04762 z 16 2 z 16 12 8 2 2
根据表 7. 2. 2 的计算，得回归计算 ˆ (1 ) b 0 b1 1 ( x ) 28 . 971 0 . 5286 ( x 4 ) y
26 . 857 0 . 525 x 26 . 857 0 . 525
=22. 628+0. 2625z. 或 =
ˆ y
方差分析
方差来源
平方和
自由度
平均平方和 7. 823 0. 190 0. 135 0. 131 0. 0175
F
显著性 **
一次 二次 回归 三次 四次
7 . 716 Q1 0 . 190 Q2 8 . 279 Q3 0 . 135 Q4 0 . 137
其中 k (x) x a1k x 是l 次待定系数多项式
k k 1
a 2k
k 2
a k 1,k x a kk , (k 1,2,p)
y b0 b1 φ (x) b2φ (x) bpφ 1 2 p(x)
回归正交
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4
称z ( z1 , z2 ,, z p ) 的可能取值的空间为因子空间。我们的 0 使E(y) 0( z10 , z 2 ,, z 0 任务便是从因子空间中寻找一个点z p) 满足质量要求。 当f 的函数形式已知时，可以通过最优化的方法去寻找z0 。 在许多情况下f 的形式并不知道，这时常常用一个多项式去 逼近它，即假定：
b0 b j z j b jj z 2 y j bij zi z j
j j i j
为y关于 z1 , z 2 ,, z p 的多项式回归方程。
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5
在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶 与二阶模型）：
ˆ b0 b j z j y
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2
§7.1 回归设计的基本概念 回归设计（也称为响应曲面设计） 目的是寻找试验指标与各因子间的定量规律， 考察的因子都是定量的 。 它是在多元线性回归的基础上用主动收集数据的 方法获得具有较好性质的回归方程的一种试验设计 方法。 本章主要介绍 Box 的回归设计方法及其应用，并 假定读者已具有多元线性回归分析的基础知识。为 了符号上的统一 ，在7.1.2中列出了回归分析中的主 要公式。
Cov(bi , bj ) cij 2
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3．对回归方程的显著性检验 对回归方程的显著性检验是指检验如下假设： 1 2 p 0 H0 ： 1 , 2 ,, p 不全为0 HA： 检验方法是作方差分析。 ˆ i b0 b1 xi1 bp xip，i 1,2,, n 记 y 则有平方和分解式 n n n
第七章 回归设计
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5 回归设计的基本概念 一次回归正交设计 二次回归的中心组合设计 二次回归正交设计 二次回归旋转设计
7回归正交设计
X2
X3
X1X2 X1X3 X2X3 y
1
11
1
1
1 11
y1
2
1•(2) 回1 归方程1及偏回归-1系数的1显著性检-1验 -1
y2
3
•在1 一次回1 归正交设-1计下， 1
-1 1 -1 y3
4
1 1 -1 -1 -1 -1 1 y4
5
•因1 素项回-1归平方和1
1
-1 -1 1
y5
6
1 -1 1
•在一次回归正交设计下，由于偏回归系数两两相互独立， •回归平方和等于各偏回归平方和之 和 •回归自由度为各偏回归自由度之和
•剩余（误差）平方和 •剩余（误差）自由度
•(2) 回归方程及偏回归系数的显著性检验
•由上面的计算可知，各项偏回归平方和分别与 或 的平方成正比。这说 明在由回归正交设计所求得的回归方程中，偏回归系数绝对值的大小表示了 对应变量（因素或互作）作用的大小，其符号反映了这种作用的性质。
-1
-1
1
y5
6
1
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-1
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-1
y6
7
1
-1
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1
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8
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1
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9
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0
0
0
0
0
0
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0
0
0
0
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0
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0
0
0
0
0
0
y11
Bi
[资料]正交回归（正交多项式回归）
![[资料]正交回归（正交多项式回归）](https://img.taocdn.com/s3/m/29b98fe1bb0d4a7302768e9951e79b896802683c.png)
正交回归（正交多项式回归）多项式回归虽然是一种有效的统计方法，但这种方法存在着两个缺点：一是计算量较大，特别是当自变量个数较多，或者自变量幂较高时，计算量迅速增加；二是回归系数间存在着相关性，从而剔除一个变量后还必须重新计算求出回归系数。
当自变量x的取值是等间隔时，我们可以利用正交性原理有效地克服上述缺点。
这种多项式回归方法就是本节将要介绍的正交多项式回归。
一、正交多项式回归的数学模型设变量y和x的n组观测数据服从以下k次多项式(2-4-17)令(2-4-18)…分别是x的一次、二次,…k次多项式，a ij是一些适当选择的常数，如何选择将在下面讨论(i=1,2,…，n)。
将(2-4-18)式代入(2-4-17)式，则有(2-4-19)比较(2-4-19)和(2-4-17)式可知，二者系数间存在简单的函数关系，只要求出，就可以求出。
若把…看作新的自变量，则(2-4-19)式就成为一个k元线性模型，其结构矩阵为(2-4-20)正规方程为(2-4-21)(2-4-22)其中在上节中我们遇到的困难是解正规方程系数矩阵的工作量太大，如果我们有办法使其对角线上的元素不为零，而其余元素均为零，那么计算就大大简化了，而且同时消去了系数间的相关性。
对于…我们可以通过选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使得(2-4-23)（2-4-24）从而使则正规方程组为(2-4-29)回归系数为(2-4-30)满足(2-4-23)和(2-4-24)式的多项式组…我们称之为正交多项式。
显然这里关键的问题是如何找出一组正交多项式。
换言之，就是如何选择系数a10,a21,a20,…,a k,k-i,…,a k0使(2-4-23)和(2-4-24)式成立。
在正交多项式回归中自变量的选择是等间隔的，设间隔为h,x0=a, 则(2-4-31)若令(2-4-32)则(2-4-33)由此可见，是1至n的正整数。
只要我们用代替x作为自变量，问题就变得简单了。
正交回归设计(2)
2．检验一次方程的合适性 为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效 应，在中心点进行了m=5次试验，结果为： 40.3，40.5，40.7，40.2，40.6 5 其平均值为 y 0 40.46 ，偏差平方和为 S0 ( y0i y0 ) 2 0.172 ， i 1 其自由度=4。 采用方法1中的检验统计量t作检验。 ˆ 0 40.425， y 0 40.46 ， 现在 y
最后再将编码式
2 206 .23 14 .338 x 2 21 .818 x12 35.868 x 2
x1
F 250 A 3.5 ，x2 109 1.74
代入，即可得y关于F，A的二次回归方程： ˆ 86.5547 1.0497 F 0.0018 F 2 82.9291 A 11.8470 A 2 y 为延长寿命，可以将回归方程对F与A分别求导，并令 其为零以解出最佳水平组合为F=291.58，A=3.50，在该水 平组合下，平均寿命的估计是211.6。
2 2
0 0 0 0
0 0
这里mc=4，2p=4，则n=mc+2p+m0=8+m0，再记
h 4 2 2
f 4 2 4
那么
n 0 0 X X 0 h h 0 0 h 0 0 h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h 0 0 0 f mc h 0 0 0 mc f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计在统计学和机器学习领域中，回归分析是一种重要的建模方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。
而正交回归是一种特殊的回归方法，它可以解决自变量之间共线性的问题，提高模型的稳定性和可解释性。
本文将介绍三元二次正交回归旋转通用设计方法，以及其在实际应用中的意义和优势。
一、三元二次正交回归在传统的回归分析中，如果自变量之间存在较强的相关性，会导致模型的方差变大，降低模型的预测能力。
而正交回归通过将自变量进行正交化处理，消除它们之间的相关性，从而提高模型的稳定性。
在三元二次正交回归中，通常会将自变量进行二次展开，以更好地捕捉自变量之间的非线性关系。
二、回归旋转回归旋转是一种将原始自变量进行旋转变换的技术，旨在提高模型的解释能力和预测准确性。
通过回归旋转，可以将原始的自变量空间转换为一个新的正交空间，从而使模型更容易解释和理解。
在三元二次正交回归中，回归旋转可以进一步优化模型的设计，提高模型的拟合效果和泛化能力。
三、通用设计三元二次正交回归旋转通用设计是一种灵活而有效的建模方法，适用于各种类型的数据分析和预测问题。
通过将正交回归和回归旋转相结合，可以充分挖掘数据中隐藏的非线性关系，提高模型的拟合效果和预测准确性。
同时，通用设计的特点使得模型具有较强的适应能力，可以应用于不同领域和不同类型的数据集。
四、应用意义三元二次正交回归旋转通用设计在实际应用中具有重要的意义和应用价值。
首先，它可以帮助研究人员更好地理解数据中的复杂关系，揭示隐藏在数据背后的规律和模式。
其次，通过建立高效稳健的模型，可以为决策者提供可靠的决策支持，帮助他们更好地制定策略和规划。
最后，三元二次正交回归旋转通用设计还可以为学术研究和工程实践提供有力的工具和方法，推动科学技术的发展和创新。
三元二次正交回归旋转通用设计是一种强大而灵活的建模方法，具有广泛的应用前景和深远的意义。
通过合理运用这一方法，可以更好地理解和利用数据，为决策和创新提供有力支持，推动社会经济的持续发展。
正交回归
正交回归
正交回归用于检验两个连续变量之间的线性关系：一个响应 (Y) 和一个预测变量 (X)。
正交回归经常在您希望知道临床化学和实验室设置中的两种设备或两种方法是否测量相同的内容时使用。
与简单线性回归不同，正交回归中的响应和预测变量均包含测量误差。
在简单回归中，只有响应变量包含测量误差。
如果在 X 和 Y 都包含测量误差时使用最小二乘回归分析数据，斜率可能会出现偏倚，从而影响结果的有效性。
正交回归提供与数据“最佳”拟合的线。
然后可将这条线用于：
·确定两种检验方法是否等价
·检验响应变量如何随预测变量的变化而变化
·针对预测变量 (X) 预测响应变量 (Y) 的值
在正交回归中，最佳拟合线就是最小化标绘点与直线之间的加权正交距离的线。
如果误差方差比为 1，加权距离为 Euclidean 距离。
在正交回归中，必须满足以下假定：
·预测变量和响应分别包含一个表示为 x 和 y 的固定未知数量以及一个误差分量。
·误差项为独立的项。
·误差项的均值为零而且包含恒定方差。
·预测变量和响应呈线性相关。
odr 正交距离回归 matlab
正交距离回归（ODR）是一种常用的多元统计分析方法，它在数据分析和建模中具有广泛的应用。
通过使用MATLAB软件进行ODR分析，可以更加方便和高效地进行数据处理和模型拟合。
本文将针对ODR正交距离回归在MATLAB中的应用进行详细介绍和分析，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、ODR正交距离回归简介1.1 ODR的原理和特点ODR正交距离回归是一种针对多元变量之间关系进行建模的方法，其核心思想是通过最小化因变量与自变量之间的正交距离来拟合模型，从而得到更加可靠的回归结果。
与传统的最小二乘法不同，ODR能够有效处理自变量之间存在相关性的情况，具有更高的鲁棒性和稳健性。
1.2 ODR在数据分析中的应用ODR方法广泛应用于统计数据分析、回归分析、参数估计等领域，特别适用于数据存在多重共线性、异方差性等问题的情况。
在实际应用中，ODR可以用于工程建模、市场预测、科学研究等方面，为研究人员和决策者提供数据分析和决策支持。
二、MATLAB中ODR的实现2.1 MATLAB工具箱MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具箱和函数库，方便用户进行数据处理、统计分析、数值计算等操作。
其中，MATLAB Statistics and Machine Learning Toolbox中包含了ODR 正交距离回归相关的函数和工具，可以实现对ODR方法的快速应用和实现。
2.2 MATLAB中ODR的调用在MATLAB中，可以通过调用ODR的相关函数和工具箱来进行数据分析和建模。
用户可以首先准备好需要进行分析的数据集，并在MATLAB命令窗口中使用相关函数进行ODR分析，得到模型的拟合结果和参数估计。
2.3 MATLAB中ODR的参数设置在进行ODR分析时，用户可以设置一些参数和选项来控制模型的拟合过程和结果的输出。
可以指定ODR方法的算法类型、拟合的约束条件、残差的权重设置等内容，来满足不同分析需求和模型假设。
回归正交实验设计
归正交试验设计前面介绍的正交试验设计一种很实用的试验设计方法，它能? I」用较少的试验次数获得较好的试验结果，但是通过正交设计所得至啲优方案只能限制在已走的水平上，而不是一定试验范围内的最优方案；回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确立的回归方程，可以对试验结果进行预测和优化，但回归分析往往只能对试验数据进行被动的处理和分析,不涉及对试验设计的要求。
如果能将两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型,这正是我们所期望的。
回归正交设计(orthogonal regression design)就是这样一种试验设计方法，它可以在因素的试验范围内选择适当的试验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归方程，并能解决试验优化问题。
一次回归正交试验设计及结果分析—次回归正交设计就是利用回归正交设计原理,建立试验指标(y)与m个试验因素xi, X2 ..................................... x m ,之间的一元回归方程:y = a ++ /?2x2 + • • • 4- b m x m(8 - 1)或者my = a + Yj h j x j+ X b kj x k x j k=l, 2 , f m -1 (j#k ) (8 - 2)7-1 k{j8.1.1 —次回归正交设计的基本方法(1) 确走因素的变化范围根据试验指标y ,选择需要考察的m个因素Xj (j二1,2，…，m),并确走每个因素的取值范围。
设因素％的变化范围为凶1 , X j2],分别称Xji和X R为因素％的下水平和上水平，并将它们的算术平均值称作因素Xj的零水平，用XjO。
表示。
11勺度艾上水平与零水平之差称为因素为的变化间距，用勺表示r 即：(8-4)x n△十七丄 (8-5)(2) 因素水平的编码编码(coding)是将Xj 的0水平进行线性变换，即:(8-6)式(8—6)中可就是因素为的编码，两者是一一对应的。
3-回归正交组合试验设计
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … N
3.2 一次回归正交设计及统计分析
表3-2 3元一次回归正交设计试验方案
1 x1 (Z1)
1 (17)
1 (17)
1 (17)
2 x2 ( Z2 )
1 (22.6)
1 (22.6)
-1 (9.4)
4 x3 ( Z3 )
1 (45.7)
-1 (24.3)
x1m1x1m
x2 m1 x2 m
xNm1xNm
3.2 一次回归正交设计及统计分析
记： Y=(y1,y2,…,yN)′ β=[β0,β1, β2,… , βm , β12 , β13 , …， β(m-1)m]′ ε=(ε1,ε2,…,εN )′
则(3-4)的矩阵形式为：
Y = X β +ε
… 0 (12)
x2 ( Z2 )
1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 1 (22.6) 1 (22.6) -1 (9.4) -1 (9.4) 0 (16)
… 0 (16)
x3 ( Z3 )
1 (45.7) -1 (24.3) 1 (45.7) -1 (24.3) 1 (45.7) -1 (24.3) 1 (45.7) -1 (24.3)
③ 原正交表经过上述代换，其交互作用列可以直接从表中相应 几列对应元素相乘而得到。因此原正交表的交互作用列表也就不用 了，这一点较原正交表使用更为方便。
④ 在具体进行设计时，首先将各因素分别安排在所选正交表相应 列上，然后将每个因素的各个水平填入相应的编码值中，就得到了 一次回归正交设计方案。
3.2 一次回归正交设计及统计分析
3 回归正交组合试验设计
正交试验结果分析的回归分析方法
正交试验结果分析的回归分析方法方法简述本节的题目表明，本方法仅仅是对正交试验结果进行分析的一种方法。
在对正交试验结果进行分析之前，如何明确试验指标、因素和水平，如何选择正交表，如何进行表头设计，如何做实验等，与本章所讲的常规的正交试验设计方法是完全相同的。
本方法实际上是用正交表来设计试验方案，再用逐步回归方法来处理正交试验的实验数据。
用正交表来设计试验方案，目的是使数据点的分布均匀合理；用逐步回归方法来处理实验数据，目的是为了得到有多种用途的数学回归式。
回归模型和回归方法正交试验设计方法特别适合于解决多因素试验问题。
化工上，大多数的实际问题都是多因素的问题，而且多数问题都是非线性的问题。
一个适用于多元线性和非线性回归的回归模型，是下式所示的多元二次多项式：（以4个自变量为例）（4-7）可见，在4个自变量时，若包括b0则待求的回归系数就多达15个。
为此实验的次数至少应16次，而且求回归系数的过程和应用回归式求y的计算过程都很长，舍入误差较大。
实际上，如同在方差分析时有些列在F检验中会不显著一样，在按式（4-7）进行回归分析时有些项在F检验中也会不显著。
若只让F检验显著的项进入和保留在回归式中，则所得的回归式肯定会比式（4-7）简化许多。
为此，我们推荐使用逐步回归方法来进行多元二次多项式的回归。
逐步回归方法见本书的第3章3.5.5。
在这种回归方法中，用每次选入时至多选入一项，每次剔除时至多剔除一项，选入、剔除交替进行的办法来进行回归操作。
该选入时，从当前尚在回归式之外的众“项”中选择F值最大且F检验显著的一项，送入回归式。
该剔除时，从当前已在回归式之中的众“项”中选择F值最小且F检验不显著的一项，从回归式剔除出去。
由此可知，在最后所得的回归式中，每一项回归系数的F检验都是显著的。
上面说到每次选入时至多选入一项，其中的“项”指的是式（4-7）中用“+”隔开的项，如x3, 或x1x2，或等，选择正交表时即使不考虑交互作用x2×x3，进行回归分析最后所得的回归式中也可能含有x2x3一项。
三元二次正交回归旋转通用设计
三元二次正交回归旋转通用设计创作说明在工程领域，每个设计必须经过多次修正来优化其性能。
而三元二次正交回归旋转通用设计便是一种方法，可有效减少这些周期，提高工程效率。
本文将从三元二次正交、正交回归设计、正交设计旋转、通用设计四个方面详细地介绍该方法。
一、三元二次正交三元二次正交是指当设计需要涉及三个变量时，采用三元二次正交设计方法来减少试验次数。
首先将每个变量设为正交系列，进行阶段试验。
然后根据结果分析、确定关键的变量和因素组合，再进行二次设计试验。
二、正交回归设计正交回归设计是一种常用的试验设计方法。
首先将所研究的变量进行正交分组，然后设计正交表，并根据表中的结果确定主要的变量和因素组合。
接着利用回归方法，对组合进行分析和优化。
三、正交设计旋转正交设计旋转是正交试验设计的一种应用，可以对正交表的后续设计进行优化。
在这种方法中，先采用和正交表相同的原始设计方案，然后对因素进行旋转。
旋转后，可以得到一组新的因素组合，也就是新的试验设计方案。
如此重复，直到得出最好的设计方案为止。
四、通用设计在实际工程应用中，可能涉及到多个设计平台。
由于每个平台需要的设计方案都不相同，因此需要一种通用设计方法。
通用设计方法建立在正交设计和正交设计旋转的基础之上。
利用正交试验设计中的随机因素、响应曲面和偏差方案，可以创建一种通用的实验计划，以应用于不同的平台和工程项目。
综上所述，三元二次正交回归旋转通用设计方法是一种高效的工程设计方法，可大幅缩短设计周期、提高工程效率。
对于需要应用多个平台的工程项目来说，这种设计方法更是一种不可少的工具。
回归正交试验设计
规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：
二次正交回归试验设计
二次正交回归试验设计二次正交回归试验设计，这个名字听起来挺复杂对吧？感觉像是数学课上的一堆公式堆积在一起，听得人一头雾水。
别急，咱们慢慢聊，搞清楚这玩意儿到底是个啥。
简单来说，二次正交回归试验设计就是一种聪明的实验方法，用来找出那些对结果有最大影响的因素。
你想呀，咱们做实验不就是想知道：到底什么东西能帮我们搞出最好的结果？这就像你做饭，想知道是盐多点好，还是油多点好。
然后，你一开始根本不知道哪个因素最重要，所以你就得试试看，试了几次后，你就能总结出哪几个东西一变，结果就差得远，哪几个因素是关键。
好啦，接下来咱们说说正交回归的“正交”俩字。
它其实很简单，就是把几个因素按特定的组合方式安排，让实验的结果能最有效地帮助你找出最佳的操作方式。
就像打麻将，四个玩家各有不同的牌，正交设计就像把这些牌按特定规则摆开，保证每个人的牌都有机会碰到关键的“胡牌点”，从而找到最合适的做法。
你可能会问：为什么不直接搞个试验，把所有可能的组合都做一遍？那样不就得了嘛！但问题来了，如果你尝试所有的组合，得花多少钱啊！时间也得浪费，精力也得花费。
比如，你要搞个烤面包的实验，试试不同的温度、时间、酵母量，这得试多少次？估计都能烤出一整车的面包来。
正交回归的聪明之处就在于它帮你减少了不必要的试验次数，给你最有效的提示，告诉你哪个因素最关键，哪个因素影响不大，直接省事儿。
那具体咋做呢？我们先选几个可能的影响因素，然后通过一定的设计方式安排它们的组合。
比如说，你在研究做面包时，可能考虑的因素就有面粉的种类、发酵的时间、温度和湿度等等。
然后你就按照正交设计的规律，安排这些因素的组合，反复试几次，你就能得出一个最佳方案，不至于迷失在海量的数据中。
说到这里，大家是不是觉得挺神奇的？对！正交回归就是这么有趣，简洁高效地帮你减少试验次数，节省时间、金钱和脑细胞。
不过，有人可能会说了：“这不就是实验吗？试试、改改，然后结果出来了呗。
”但它更像是一个聪明的助手，总能在你试探的过程中，给你一些深刻的见解。
因子正交 回归取残差
因子正交回归取残差因子正交回归取残差是一种常用的统计分析方法，用于解决多元回归模型中存在的多重共线性问题。
在多重共线性存在的情况下，回归模型的解释能力和稳定性都会受到严重的影响，因此需要采取特殊的方法来应对这一问题。
多重共线性是指解释变量之间存在高度相关性的现象。
当多个解释变量之间存在强相关关系时，解释变量之间就会互相影响，使得估计出来的回归系数不准确。
这样一来，模型的预测效果就会下降，并且对于单一解释变量的影响难以把握，从而降低了模型的解释能力。
因子正交回归取残差的核心思想是通过引入正交因子来降低解释变量之间的相关性。
正交因子可以看作是一种无关的综合指标，将原有解释变量进行组合，使其在一定程度上消除了相关性。
通过使用正交因子代替原始解释变量，可以得到更可靠的回归系数估计。
具体来说，因子正交回归取残差的步骤如下：首先，我们需要对原始解释变量进行主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），得到一组正交因子。
主成分分析是一种常用的数据降维方法，可以将原始解释变量转化为一组无关的综合指标，即主成分。
这些主成分具有一定的解释能力，能够反映原始变量的大部分信息。
然后，我们利用这些主成分来替代原始解释变量，进行回归分析。
由于主成分之间是无关的，因此不存在多重共线性问题。
通过回归分析，我们可以得到回归系数的估计值。
最后，我们需要对回归结果进行残差分析。
在正交因子回归中，我们需要关注的是残差，即模型预测值与实际观测值之间的差异。
通过对残差进行进一步的检验和分析，我们可以评估模型的拟合效果和解释能力。
因子正交回归取残差方法的优势在于能够有效解决多重共线性问题。
通过引入正交因子，可以降低解释变量之间的相关性，并提高模型的稳定性和解释能力。
此外，因子正交回归取残差还能够提取主成分的信息，简化模型，减少解释变量的数量，有利于分析和解释模型的结果。
然而，因子正交回归取残差也存在一些限制。
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正交回归
正交回归用于检验两个连续变量之间的线性关系：一个响应 (Y) 和一个预测变量 (X)。
正交回归经常在您希望知道临床化学和实验室设置中的两种设备或两种方法是否测量相同的内容时使用。
与简单线性回归不同，正交回归中的响应和预测变量均包含测量误差。
在简单回归中，只有响应变量包含测量误差。
如果在 X 和 Y 都包含测量误差时使用最小二乘回归分析数据，斜率可能会出现偏倚，从而影响结果的有效性。
正交回归提供与数据“最佳”拟合的线。
然后可将这条线用于：
·确定两种检验方法是否等价
·检验响应变量如何随预测变量的变化而变化
·针对预测变量 (X) 预测响应变量 (Y) 的值
在正交回归中，最佳拟合线就是最小化标绘点与直线之间的加权正交距离的线。
如果误差方差比为 1，加权距离为 Euclidean 距离。
在正交回归中，必须满足以下假定：
·预测变量和响应分别包含一个表示为 x 和 y 的固定未知数量以及一个误差分量。
·误差项为独立的项。
·误差项的均值为零而且包含恒定方差。
·预测变量和响应呈线性相关。