椭圆长轴及焦点弦端点连线性质证明

1.已知椭圆

22

22

1

x y

a b

+=（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

(,0)

P x, 则

2222

a b a b

x

a a

--

-<<.

∙证法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则线段AB的垂直平分线方程为

y－=－(x－).

令y=0,得x=x0=+=. (*)

又

=1,

①

=1,

②

②－①得=－,代入(*)得

x0=·.

由－a≤x1≤a,－a≤x2≤a,x1≠x2,

知－a＜＜a.又＞0,

∴－＜·＜,

即－＜x0＜.

证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),

故|PA|=|PB|,即(x1－x0)2+y12=(x2－x0)2+y22. ①

∵A、B在椭圆上,

∴=1, =1,代入①得2(x2－x1)x0=(x22－x12)·,

即x0=· (下同证法一).

2.已知椭圆

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1

x y

a b

+=（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC x

∥轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

∙证明一：依题设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F(1，0)，右准线方程为x=2，点E的坐标为(2,0)，EF的中点为N(，0).

若AB垂直于x轴，则A(1，y1)，B(1，－y1)，C(2，－y1)，

所以AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N.

若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为

y=k(x－1)，k≠0.记A(x1，y1)和B(x2，y2)，则C(2，y2)且x1，x2满足二次方程＋k2(x－1)2=1, 即(1+2k2)x2－4k2x+2(k2－1)=0,

所以x1+ x2=, x1x2=.

又x12=2－2y12<2，得x1－≠0，故直线AN，CN的斜率分别为

k1==,

k2==2k(x2－1).

所以k1－k2＝2k·

因为(x1－1)－(x2－1)(2x1－3)

＝3(x1+x2)－2x1x2－4

＝［12k2－4(k2－1)－4(1＋2k2)］

＝0，

所以k1－k2=0，即k1＝k2，故A、C、N三点共线.

所以，直线AC经过线段EF的中点N.

证明二：如图，记直线AC与x轴的交点为N，过A作AD⊥l，D是垂足.因为F是椭圆的右焦点，l是右准线，

BC∥x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得：＝＝e(e是椭圆的离心率)，

因为AD∥FE∥BC，

所以＝＝，＝，

即得|EN|== e·==|FN|，

所以N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N.