从平面向量到空间向量课件(北师大版选修2-1)

a，b 夹角范围是[0，π]．
[精解详析]
(1)∵正方体 ABCDA′B′C′D′，
∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.
π ∴〈 AB ， AB 〉＝0， AD ， DC 〉＝ ， AB ，C D 〉＝π. 〈 〈 2
1．空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方 向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间
内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变．它是可以
自由平移的，与起点无关．数量可以比较大小，但向量不可 以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小． 2．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要 大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长 的有向线段表示同一向量或相等向量． 3．平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线 段也不一定在同一条直线上．
(7 分) (8 分)
(10 分) (11 分)
(12 分)
[一点通]
直线的方向向量有无数个，它们之间互相
平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行 且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面 的法向量时可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该
点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．
(2)∵正方体 ABCDA′B′C′D′，∴AD∥BC.
π ∴〈 AD ， BC 〉＝〈 AD ， AD 〉＝ . 4
连接 AC，则△ACD′为等边三角形．
2π ， DC 〉＝ . ∴〈 AD 3
[一点通] 与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量 夹角时， 采取平移的方法， 把空间两向量的夹角转化为平面 内某两条相交直线的角， 进而用解三角形的知识求解． 必须 注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若
2π ∴〈 EF ， AC 〉＝ . 3 2π 答案： 3
5．在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝ 3，AA′＝1， AD＝ 6，求〈 AC ， A B 〉 ．
解：如图，连接 A′C′，BC′， ∵ AC ＝ AC ， ∴∠BA′C′的大小就等于〈 AC ， A B 〉 ． 由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中 A′B＝ AA′2＋AB2＝2，A′C′＝ AB2＋AD2＝3， BC′＝ AD2＋AA′2＝ 7. A′C′2＋A′B2－BC′2 1 ∴cos∠BA′C′＝ ＝ . 2 2· A′C′· A′B π π B 〉＝ . ∴∠BA′C′＝ .即〈 AC ， A 3 3
理解 教材新知
知识点一
知识点二 考点一
第 二 章
§ 1
把握 热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
小刚从学校大门口出发，向东行走100米，再向北行
走600米，最后乘电梯上行20米到达住处．
问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表 示．那么小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量 是三个位移所对应的向量的合成吗？ 提示：是．
AB | AB |
a 或a | a | 或 |a|
字母
(2)向量的夹角： ①定义： 过空间任意一点 O 作向量 a， 的 b OA 和 OB ，则 ∠AOB 叫作向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉 ． ②范围：[0，π] ．
相等向量
π ③当〈a，b〉＝ 时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b. 2
(2)连 B1C，则 B1C⊥BC1. 又 AB⊥面 BCC1B1，∴AB⊥B1C. ∴B1C⊥面 ABC1D1.
∴ B1C 为平面 ABC1D1 的法向量．
7.如图所示，正三棱锥 S－ABC 中，D 为 AB 中点．求证： AB 为平面 SCD 的法 向量．
证明： ∵D 为 AB 中点， 且△ABC 为正三角形， ∴CD⊥AB. 又△SAB 为等腰三角形，∴SD⊥AB. ∴AB⊥面 SCD. ∴ AB 为平面 SCD 的法向量．
π 3π 〈 AB ， AC 〉＝ ，而〈 AB ， CA 〉＝ . 4 4
4．正四面体 S－ABC 中，E、F 分别为 SB，AB 中点．则 〈 EF ， AC 〉＝________.
解析：如图所示，∵E、F 为中点， ∴EF∥SA，而△SAC 为正三角形， π ∴∠SAC＝ ， 3
[精解详析] (1)连接 EF， ∵E、F 分别是 PC、PB 的中点， 1 ∴EF 綊 BC.又 BC 綊 AD， 2 1 ∴EF 綊 AD. 2 取 AD 的中点 M，连接 MF， 则由 EF 綊 DM 知四边形 DEFM 是平行四边形， (4 分) (6 分) (3 分)
∴MF∥DE.∴ FM 就是直线 DE 的一个方向向量．
1．空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向
量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的
是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移． 2．直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的， 直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直 于该平面．
[例 1]
给出以下命题：
①若 a，b 是空间向量， 则|a|＝|b|是 a＝b 的必要不充分条件； ②若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量 m、n、p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p； ⑤在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有 AC ＝ A1C1 ； ⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确的命题序号是________．
解：(1)与 AB 相等的向量有： DC ， D1C1 ， A1 B1 .
(2)向量 AA1 的相反向量有： A1 A ， B1 B ， C1C ， D1 D .
(3)与向量 BC 的模相等的向量有： CB ， B1C1 ， C1 B1 ， A1 D1 ，
D1 A1 ， AD ， DA .
(4)与向量 A1 D1 平行的向量有：D1 A1 ，B1C1 ，C1 B1 ，BC ， ， CB
AD ， DA.
[例 2] 如图，在正方体 ABCDA′B′C′D′中， 求(1) AB ， B 〉 AD ， C 〉 AB ， D 〉 〈 ， 〈 ， 〈 ． A D C (2)〈 AD ， BC 〉〈 AD ， DC 〉 ， ． [思路点拨] 按空间向量夹角的定义求解，空间向量
于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量
可以平移到同一平面内．
答案：C
3.如图所示的长方体中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.
(1)试写出与 AB 相等的所有向量；
(2)写出向量 AA1 的相反向量；
(3)写出与向量 BC 的模相等的向量；
(4)写出与向量 A1 D1 平行的向量．
问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，
已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？
提示：用空间向量． 问题3：若设大门口向东行走100米为a，再向北行走 600米为b，最后乘电梯上行20米为c，则a，b，c夹角分 别是多少？
π 提示： . 2
空间向量
(1)空间向量及其模的表示方法：
有向线段 图示 表示 模
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1中点． (1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量； (2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量．
解：(1)如图所示，取 BC 中点 F， 连 EF，BC1，则 EF∥BC1. 又 AD1∥BC1.∴EF∥AD1， ∴ EF 为直线 AD1 的方向向量．
(2)两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； (3)若a、b、c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c； (4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A．1 C．3 B．2 D．4
解析：对于(1)：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故(1) 正确；对于(2)：共线不一定同向，故(2)错；对于(3)：正 确；对于(4)：正确，在空间任取一点，过此点引两个与 已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交
④当〈a，b〉＝ 0或π 时，向量 a 与 b 平行，记作
a∥b .
(3)特殊向量：
名称
零向量 单位向量
定义及表示
规定 长度为0 的向量叫零向量，记为0 模为1 的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度 相等 而方向 相反 的向量，记为－a
相等向量
方向 相同 且模 相等 的向量称相等向量， 同向 且
[例3]
(12分)如图，四棱锥P
－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面 ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，
E、F分别是PC、PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量； (2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量． [思路点拨] (1)只要作出过F与DE平行的直线即可．
(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．
(2)∵PD⊥平面 ABCD，∴PD⊥BC. 又 BC⊥CD，∴BC⊥平面 PCD. ∵DE 平面 PCD， ∴DE⊥BC. 又 PD＝CD，E 为 PC 中点， ∴DE⊥PC.从而 DE⊥平面 PBC. ∴ DE 是平面 PBC 的一个法向量． 由(1)可知 FM ＝ ED ， ∴ FM 就是平面 PBC 的一个法向量．
1．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些
向量的终点所构成的图形是 A．一个圆 C．一个球面 B．两个孤立的点 D．以上均不正确 ( )
解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共
同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一
个球面． 答案：C
2．下列命题中正确的个数是
(
)