自主招生 数学 不等式 第二讲
不等式讲义
.
5. 已知关于 x 的不等式组
5 2 x 1 无解，则 a 的取值范围是 x a 0
.
6. 如 图 ， 一 次 函 数 y1 k1 x b , 不等式 1与 y2 k2 x b2 的 图 像 相 交 于 点 A( 3, 2 )则
(k2 k1 ) x b 的预计二期工程完成后每月将产生不少于 1300 吨污水. ．．．
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案； （3）若两种设备的使用年限都为 10 年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案 的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）
2.
a 1 时，化简
a 2 2a 1 a 1
.
3. 已知方程组
x 2 y 1 m 的解满足条件 x y 0 ，则 m 的取值范围为 2 x y 2
.
4. 如果关于 x 的不等式 m x 6 0 的正整数解为 1, 2,3, 则 m 的取值范围为
x 1 0 (4) 解不等式组 并写出该不等式组的最大整数解. x2 x 2 3
x 3 3 x 1 (5) 解不等式组 2 并写出该不等式组的整数解. 1 3( x 1) 8 x
1
初中数学讲义 2012-2013 下学期
不等式 B 卷填空题练习 1. 若由 x y 得到 a 2 x a 2 y ，则 a 的取值范围是 .
10 ，那么关于 x 的不等式 7
mx n(m 0) 的解集为
13. 关于 x, y 的方程组 A. m 2
.
x y m 3 的解满足 x y 0 ，则 m 的取值范围是 2 x y 5m
2016年竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)
n
得最大值和最小
值．重 重
。来源:学科网上
竞赛题目精
2013 江
重
1 ≤ b ≤ 1 . 证明： 2(b − a) ≤ cos π a − cos π b ． 2
竞赛 13. 设实数 a ， b 满足 0 ≤ a ≤
证明：设 f (x) = 2x+cosπx，欲证 等式转化为 f (b) ≤ f (a). 由于 f ′(x) = 2-πsinπx，f ″(x) = - π2cosπx . 当 x∈(0,
4.排序
等式
又
排序 定理
重
b1，b2， ⋯，bn ． 如 果 a1 ≤ a2 ≤ ⋯ ≤ an
重重重重给 定 两
⋯，an 实 数 a1，a2，
b1 ≤ b2 ≤ ⋯ ≤ bn ．那
重重重重
重重重重 a1bn +a2bn −1 + ⋯ +an b1 ≤ a1bi1 +a2bi2 + ⋯ +an bin ≤ a1b1 +a2b2 + ⋯ +an bn 重 重重重重重重重重 重 反序和 重重重重重重重重重重重重 乱序和 重重重重重重重重重重重重 同序和 重
⋯⋯，in 是 1，， 2 ⋯⋯，n 的一个排列．重 中 i1，i2，
高中数学试题研究群 群号码 545423319 ，汇聚全国数学教师 教研员，共同教研学习， word 资源共享 建群目的资源共享，共同教研，愉快撸题 欢迎各位有志向提高解题能力， 提高教研水平的老师加入
该
等式所表达的意
是和式 ∑ a j bi j 在同序和反序时分别
An =
等式
设 a1 , a2 , a3 ,⋯ an 是 n 个
自主招生第二讲韦达定理与方程根的分布-学生版
匚^饰朋源于名校，成就所托第一部分 韦达定理一、韦达定理元二次方程的 根与系数的关系，通常也称为 韦达定理，这是因为该定理是由 数学家韦达发现的。
若一元二次方程 ax 2 bx c = 0(a = 0)有两个实数根所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果ax 2 bx 飞=0心=0)的两根分别是X |, X 2,那么bc x 1 x 2= _ _,片 x 2= _aa这一关系也被称为韦达定理.2特别地，对于二次项系数为 1的一元二次方程x px ^0 ,若x 1, x 2是其两根，由韦达定理可知x 1 x^ - p, x 1 x 2 二 q即p _ -捲 x 2, q = X r x 2所以，方程x 2 px ^0可化为x^(X 1 X 2) X 1 x^0 ,由于x 1,x 2是一元二次方程 2 2x px 0的两根，所以X 1, X 2也是一元二次方程 X -(X 1 X 2)■ X 1 x^0因此，由已知两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1 )的方程可以表示为2X -(x 1 X 2) X 1 x 2 = 0。
注意：在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 △是否大于或等于零•因为，韦达定理成立的前提条件是方程有实数根.16世纪法国最杰出的则有- b r b 2 - 4ac x1二 2a-b - . b 2 -4acX 2 :2ax 1 x 2-b .. b 2 -4ac -b - b 2 -4ac " 2^2a -2b"27X 1X 2 口 -b …J b 2 -4ac -b 7b 2 -4ac b 2 -(b 2 -4ac) 4ac2a 2a 4a 24a 2二、韦达定理的应用韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
第2部分 专题7 第2讲 不等式选讲 课件(共47张PPT)
考点2 不等式的证明
02
高考串讲·找规律
考题变迁·提素养
1．(2020·全国卷Ⅲ)设 a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1. (1)证明：ab＋bc＋ca<0； (2)用 max{a，b，c}表示 a，b，c 的最大值，证明：max{a，b， c}≥3 4.
[证明] (1)由题设可知，a，b，c 均不为零，所以 ab＋bc＋ca＝12[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)] ＝－12(a2＋b2＋c2)＜0.
(2)由 f(x)≤g(x)，得 a≥|2x＋1|－|x|. 令 h(x)＝|2x＋1|－|x|，
－x－1，x≤－12， 则 h(x)＝3x＋1，－12＜x＜0，
x＋1，x≥0. 由分段函数图象可知 h(x)min＝h－12＝－21， 从而所求实数 a 的取值范围为－12，＋∞.
2．[与集合交汇]已知函数 f(x)＝|2x－a|＋|2x－1|(a∈R)． (1)当 a＝－1 时，求 f(x)≤2 的解集； (2)若 f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合12，1，求实数 a 的取值范围．
由①＋②＋③得，ab2＋bc2＋ca2＋1b＋1c＋1a≥21a＋b1＋1c， ∴ab2＋bc2＋ca2≥1a＋1b＋1c＝1，得证．
2．[不等式的证明与恒成立问题]已知函数 f(x)＝|x＋a|＋x－1a. (1)证明：f(x)≥2；
(2)当 a＝12时，f(x)≥x＋b，求 b 的取值范围．
[解] (1)证明：f(x)＝|x＋a|＋x－1a≥a＋1a＝|a|＋1a≥2 ＝2.
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥43，当且仅当 x＝53，y＝－ 13，z＝－13时等号成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2 的最小值为43.
第二讲___三个重要的不等式
《第二讲 三个不重要的不等式》
主编：贾广素
2 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 3x 3 x 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2
log b a log c b log a c 9 + + )≥ . abc ab bc ca
例 4．设 x1 , x2 , , xn 为正数，求证： 证明： 同理，
x x x x x x2 x3 x n 1 ( 1 ) n ( 2 ) n ( n 1 ) n ( n ) n . x1 x2 xn 1 xn x2 x3 xn x1
i 1 i 1 n i 1 n i 1 j 1 n i 1 j 1
n
n
n
n
n
n
n
1 2 2 ( ai2 b 2 j a j bi 2 ai bi b j a j ) 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
n n n
1 n n 2 2 (ai b j 2ai b j a j bi a 2j bi2 ) 2 i 1 j 1 1 n n (ai b j a j bi )2 0. 2 i 1 j 1
（8）对实数 a, x ，有 x 2 2ax a 2 ;
1 b2 （9）对实数 a, b 及 0 ，有 ab ( 2 a 2 2 ). 2
其中第（3）已在上一讲例 3 中用过. 例 1.（2007 年广西预赛）若点 P（x，y）在直线 x+3y=3 上移动，则函数 f（x，y）= 3 9
i 1
n
高三数学自主招生辅导课件第二讲_三角函数
≠
即-2<a<-
或
－ <a<2时，sint= 有相异两根t1、t2，原方程有相异 两根α、β，并且 。 当-2<a<- 时，t1+t2=(α＋ ）+（β+ )=π，α+β= 当<a<2时，t1+t2=(α+ )+(β+ )=3π，α+β=
【例11】求cos420°+cos440°+cos480°的值。
商丘市一高奥赛+自主招生+保送生培训专题
第二部分 三角函数
cherdy
主要内容提炼
同角三角函数的基本关系 诱导公式 定义 单位圆与三角函数线 图象性质
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象 y=asinα+bcosα的 最值 Cα±β Sα±β、T α±β 积化和差公式 和差化积公式
正弦定理、 余弦定理、 面积公式
想两边平方或和差化积 8、见a sinα +b cosα ，想化为
a 2 b 2 sin( α φ )形式
9、见cosα ²cosβ ²cosθ ²²²²，先 sin2α 若不行，则化和差 运 用cosα
10、见cosα +cos(α +β )
2 sin α
+cos(α +2 β )²²²²，
【例10】方程 sinx+ cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、 β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。
解：∵
t∈(
sinx+cosx+a=0，∴sin (x+
)=-
。令t= x+
自主招生不等式(附答案)
第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。
高校自主招生数学讲义 等式与不等式
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。
上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第2讲 不等式(1).doc
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式的证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大试题中，不等式部分通常占1%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广：需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、柯西不等式的证明2121212,,2((112111n n n na b R a b a bn a a a a na a n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②分析：证明：柯西不等式的推论一柯西不等式的推论二柯西不等式的应用，a a a A n 22221+++= 设nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b xb b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤,即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤ 22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n na a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++柯西不等式练习1、 2.已知21x y +=,求22x y +的最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+的最小值．第三部分 真题精析：证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即 2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例222,sin cos 1sin cos ,sin cos ,2y y x x t x x t x x t y t y t ==++-⎡+==∈⎣=+令则且显然，关于是单调递增的（，复旦）（，同济）关键步骤提示：=<=<=。
(自主招生培训)第二讲：直线与圆
第二讲：直线与圆第一部分：相关结论一、直线中的相关结论1．线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12PP的比为λ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+(1)λ≠-．2．两直线的到角公式与夹角公式:(1)．到角公式：1l 到2l 的到角为θ（简称到角），则2112tan 1k k k k θ-=+(0θπ≤<)；(2)．夹角公式：1l 与2l 的夹角为θ（简称夹角），则2112tan 1k k k k θ-=+(02πθ≤≤).3．直线的参数方程：(1)．参数方程:00cos (sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，α为倾斜角，t 表示点(,)x y 与00(,)x y 之间的距离)；(2)．参数方程:00x x at y y bt=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，tan bk a α==，t 表示点(,)x y 与00(,)x y 之间的距离)4．由直线生成二次曲线：①、已知ABC ∆三边方程为i l ：0(1,2,3)i i i A x B y C i ++==，则ABC ∆的外接曲线系方程为：1223130l l l l l l λμ++=；②、已知四边形ABCD 四边方程为i l ：0(1,2,3,4)i i i A x B y C i ++==，则四边形ABCD 的外接曲线系方程为：13240l l l l λ+=，其中1l 与3l 、2l 与4l 是四边形ABCD 的两组对边；③、与直线1l 、2l 分别切于点1M 、2M 的曲线系方程为21230l l l λ+=，其中3l 是12M M 所在直线方程． 5．点P 是MON ∠（MON θ∠=，θ为定值，且(0,)θπ∈）内一定点，过点P 的直线与射线OM 、ON分别交于A 、B ，则ABC S ∆最小的充要条件是点P 为AB 的中点．【例1】（1）求直线1l ：10x y +-=关于直线l ：220x y -+=对称的直线2l 的方程；（2）已知ABC ∆的三边AB 、BC 、AC 所在直线方程分别是20x y +-=、220x y -+=、480x y +-=，求A 、B 和C 的大小．【例2】在直线l ：5x y +-上找一点(,)P x y ，使得点P 对(1,0)A 、(3,0)B 的视角APB ∠最大．【例3】过点P 的直线l与直线3y x =和y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值以及此时直线l 的方程；【例4】点D 是ABC ∆的边BC 上的任意一点，点P 在线段AD 上，过点D 作直线与AB 、PB 交于点M 、E ，与AC 、PC 的延长线交于点F 、N ，如果DE DF =，求证：DM DN =．【例5】四条直线1l ：3150x y +-=，2l ：60kx y --=，3l ：50x y +=，4l ：0y =围成一个四边形，若这个四边形有外接圆，求k 的值．二、线性规划6．二元一次不等式表示平面区域点00(,)P x y ，直线l ：0(0)Ax By C B ++=>点P 在l 上⇔000Ax By C ++=；点P 在l 的上方⇔000Ax By C ++>； 点P 在l 的下方⇔000Ax By C ++<；AB C DPM E F N7．直线l ：0Ax By C ++=，点11(,)P x y 、22(,)Q x y ， 点P 、Q 在l 的异侧⇔1122()()0Ax By C Ax By C ++++<； 点P 、Q 在l 的同侧⇔1122()()0Ax By C Ax By C ++++>；【例6】已知实数x 、y 满足5030x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，若24z x y =+的最小值为6-，则常数k = ．三、圆中的相关结论8．圆的参数方程参数方程: cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩，其中圆心为(,)a b ，半径为R ，θ是参数.9．圆系方程①、同心圆系：222()()x a y b r -+-=（a 、b 为常数，r 为变量）或220x y Dx Ey λ++++=； ②、过定点(,)a b 的圆系方程：22()()()()0x a y b x a y b λμ-+-+-+-=； ③、过直线与圆的公共点的圆系方程：22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=；④、过两圆公共点的曲线系方程：2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=；当1λ=-时，该方程表示两圆的公共弦所在直线方程，且该直线垂直两圆的连心线；不管两圆是否有公共点，当1λ=-时，该方程表示一条直线，该直线叫两圆的根轴，且过根轴上位于两圆外的任意一点作两圆的切线，切线长相等．⑤、已知圆C 和圆上一点(,)M m n ，则方程22[()()]0C x m y n λ+-+-=表示与圆C 切于点M 的圆系． 10．已知点00(,)P x y 、圆C ：222()()x a y b r -+-=和直线l ：200()()()()x a x a y b y b r --+--=．（当圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=时，直线l 为0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=） 当点P 在圆C 上时，直线l 是圆C 在点P 处的切线；当点P 在圆C 外时，从点P 作圆的两条切线，则直线l 是两切点所在的直线方程，直线l 与圆C 相交； 当点P 在圆C 内时，过点P 的直线（不过圆心）与圆C 交于两点A 、B ，则圆C 在点A 、B 处的切线的交点的轨迹为直线l ，直线l 与圆C 相离；11．从圆C ：220x y Dx Ey F ++++=外一点00(,)P x y 引圆的切线，切线长L =过点00(,)P x y 的直线l 与圆C ：220x y Dx Ey F ++++=交于A 、B 两点，则220000PA PB x y Dx Ey F =++++ 为定值，这个定值叫点P 关于圆C 的圆幂，这个性质叫做圆幂定理． 12．已知曲线1C ：(,)0f x y =，2C ：(,)0g x y =，则经过1C 和2C 公共点的曲线系为(,)(,)0f x y g x y λ+=． 【例7】已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出l 的方程；若不存在，说明理由．【例8】证明：两曲线222x y a -=、22231x y b +=+的四个交点共圆．【例9】已知三圆两两相交，证明所得的三条公共弦所在直线或交于一点，或两两平行．【例10】已知圆222x y r +=，过点(,0)A a 的直线与圆交于点B 、C ，求证：AB AC为定值．四．解题思想与方法导引1．函数与方程思想 2．数形结合思想. 3．分类讨论思想. 4．参数法. 5．整体处理第二部分：练习题一、选择题1．在平面直角坐标系中，方程1(,22x y x y a b ab+-+=为相异正数)所表示的曲线是（ ）A ．三角形B ．正方形C ．非正方形的长方形D ．非正方形的菱形 2．平面上整点(坐标为整数的点)到直线5435y x =+的距离中的最小值是（ ）A ．120 D ．1303．（2009华南理工）已知圆O ：222x y r +=，点(,)(0)P a b ab ≠是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2bx ay r -=，那么（ ）A ．1l ∥2l ，且2l 与圆O 相交B ．1l ⊥2l ，且2l 与圆O 相切C ．1l ∥2l ，且2l 与圆O 相离D ．1l ⊥2l ，且2l 与圆O 相离4．（2010复旦）已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、*P 在以O 为起点的射线上，并且满足*2OP OP r = ，则称P 、*P 关于圆周对称．那么，双曲线221x y -=上的点00(,)P x y 关于单位圆周C ：221x y +=的对称点*P 所满足的方程是（ ）A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+ 5．（2007武大）如果直线10ax by -+=（a 、b R ∈）平分圆C ：222410x y x y ++-+=的圆周，那么ab 的取值范围是（ ）A ．1(,]4-∞ B ．1(,]8-∞ C ．1(0,]4 D ．1(0,]86．（2008武大）直线l ：2y x m =+和圆C ：221x y +=相交于A 、B 两点，且0120AOB ∠=，O 为坐标原点，则常数m =（ ）A B ． D ． 7．（2008武大）圆C ：22(1)(2)9x y -++=上的点到坐标原点O 的最小距离为（ ）A ．1B ．1C ．3D ．1) 8．（2010复旦）将同时满足不等式20x ky --≤、2360x y +-≥、6100x y +-≤（0k >）的点(,)x y 组成的集合D 称为可行域，将函数1y x+称为目标函数，所谓线性规划问题就是求解可行域中的点(,)x y 使目标函数达到可行域上的最值．如果这个线性规划问题取最小值时有无穷多组解(,)x y ，则k 的取值范围为（ ）A ．1k ≥B ．2k ≤C ．2k =D ．1k = 9．（2008复旦）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下A ．58B ．60C ．62D ．6410．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件51122239211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1010z x y =+的最大值是（ ）A ．80B ．85C ．90D ．95 二、填空题11．点11(,)A x y 、22(,)B x y 分别在直线1l ：7x y +=和直线2l ：5x y +=上，则AB 的中点到坐标原点的最小距离是 .12．点11(,)A x y 在直线(,)0f x y =上，点22(,)B x y 不在直线(,)0f x y =上，则直线(,)0f x y =与直线1122(,)(,)(,)0f x y f x y f x y ++=的位置关系为 .13．给定点(2,3)P -、(3,2)Q ，已知直线20ax y ++=与线段PQ (包括P 、Q 在内)有公共点，则a 的取值范围是 .14．设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则123z x y =+的最大值为 ；2211x y z x +-=+的取值范围是 ；223z x y =+的取值范围是 ；若目标函数4z ax y =-取最大值时的最优解有无数个，则a = ；若目标函数5z ax y =-仅在点(3,4)A 处取得最小值，则a 的取值范围是 ．15．（2009华南理工）已知22102660x x y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+--+≤⎩，则2x y +的最大值为 .16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为 . 17．（交大2000联读）已知x 、y 为整数，n 为非负整数，如果x y n +≤，则整点(,)x y 的个数为 .18．一圆与直线3260x y +-=切于点(8,6)A ，且经过点(2,4)B --，此圆的方程为 . 19．（2010同济）若圆2244100x y x y +--+=上至少存在三个不同的点到直线l ：1ax by +=的距离为l 的斜率的取值范围是 .20．（2008南大）过直线230x y -+=和圆222410x y x y ++-+=的交点且面积最小的圆的方程为 .21．（2007武大）如果直线1x my =-与圆C ：220x y mx ny p ++++=相交，且两个交点关于直线y x=对称，那么实数p 的取值范围为 .22．二元函数22(,)(53cos )(3sin )f s t s t s t =+++-（,s t R ∈）的值域是 . 23．关于x 的方程22222(6)2410x a b b x a b a b -+-+++-+=的两根1x 、2x 满足1201x x ≤≤≤，则2244a b a +++的取值范围是 .三、解答题24．已知点(1,1)P -、点(2,2)Q 和直线l ：0x my m ++=．（Ⅰ）若直线l 与线段PQ 有公共点，求m 的取值范围；（Ⅱ）若直线l 与线段PQ 没有公共点，求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 与PQ 的延长线有公共点，求m 的取值范围；25．直线l 过点(2,1)P 且与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点．（Ⅰ）求PA PB 的最小值以及此时直线l 的方程；（Ⅱ）求AOB S ∆的最小值以及此时直线l 的方程；26．求由三条直线220x y ++=、260x y --=、260x y -+=所构成三角形外接圆的方程．27．已知(AOB θθ∠=为常数且02πθ<<)，动点P 、Q 分别在射线OA 、OB 上，且使36POQ S ∆=，设POQ ∆的重心为G ，点M 在射线OG 上，且满足32OM OG =. （Ⅰ）求OG 的最小值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程.28．求不等式112x y -+-≤表示的平面区域的面积．29．（清华2006自招冬令营）（Ⅰ）求三条直线60x y +=、12y x =、0y =所围成三角形上的整点个数；（Ⅱ）求方程组202060x y x y x y ->⎧⎪-<⎨⎪+=⎩的整数解的个数．30．（2012卓越联盟）如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于H ，且10AB =，8CD =，4DE =，EF是圆O 的切线，BF 交HD 与G ． （Ⅰ）求GH ；（Ⅱ）连接FD ，判断FD 与AB 的关系，并加以证明． 31．（2011北约）已知圆1C 和圆2C 是平面上的两个定圆，另有一个动圆C 与圆1C 和圆2C 都相切，问圆心C 的轨迹是何种曲线？请说明理由.32．已知直线230x y +-=与圆2260x y x y F ++-+=交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，问F 为何值时OP ⊥OQ ？33．（2009上海交大）点P 、Q 分别是圆C ：22(3)1x y +-=和2y x =上的动点，求PQ 的最小值．34．（2012北约）已知点(2,0)A -、(0,2)B ，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，求ABC ∆的面积的最小．。
【精品】2016年自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)
b)2 ，当且仅当
a x. x
b
，即 x
1 x. 1 x
a 时， a b
取得最小值。 ► 解法二：用平均值不等式
a b (x 1 x)(a b ) a b a(1 x) bx a b 2 ab ， 同 时
x 1 x
x 1 x
x 1 x
a12 a22 an2 a1 a2 an ，此即上面提到的平方平均 算术平均。
n
n
（2）当 bi
1 ai
（i
1, 2,
n ）时，有 (a12 a22
an
2
)(
1 a12
1 a22
1 an 2
)
n2
。
（3）当
ai ,bi R
（
i 1, 2, n
b(a b) b a b a
2
2
► 解： b(a b) a 1 4 2 b(a b) a2
a2 1 a 2 4 4 ，因此 a2 1 的最小值是 4．
b(a b)
a2
b(a b)
a 2
当
b
时取得最小值．
2
2
► 说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等 式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式．
x 1 x
a12、a22 ，如再能出现 b12、b22 ，则可用，注意到1 x x 1.
► 解法一：用柯西不等式
a b (x 1 x)(a b ) ( x. a 1 x. b )2 ( a b)2 ，
2023年自主招生数学专题讲义不等式
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式旳证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数波及到不等式旳证明；交大试题中，不等式部分一般占10%-15%，其中波及到某些考纲之外旳特殊不等式 常用不等式及其推广：需要合适补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、 2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥柯西不等式旳证明分析：，a a a A n 22221+++= 设证明：柯西不等式旳推论一柯西不等式旳推论二nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则柯西不等式旳应用柯西不等式练习1、2.已知21x y +=,求22x y +旳最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+旳最小值．第三部分 真题精析：例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例22sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,22x x y y x x x xt x x t x x t ==++-⎡+==∈⎣令令则且（，复旦）（，同济）关键环节提醒：2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-。
中考数学复习讲义课件 重点中学自主招生试题分类专题 题型二 方程与不等式
18．已知关于x的方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0. (1)若这个方程有实数根，求k的取值范围； (2)若以方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0的两个根 为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y＝m/x的图 象上，求满足条件的m的最小值．
用水加满，这时容器内纯酒精与水之比为13，则容
器的容积为()
9．满足等式 x y＋y x－ 2021x－ 2021y＋ 2021xy＝2021 的
正整数对的个数是( B)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由 x y＋y x－ 2021x－ 2021y＋ 2021xy＝2021，得 ( xy－ 2021)( x＋ y＋ 2021)＝0. ∵ x＋ y＋ 2021＞0，∴ xy－ 2021＝0， ∴ xy＝ 2021，故 xy＝2021. 又 2021 是质数，且 x，y 都为正整数，
题型精讲
C
[归纳总结] 求代数式的值是经典题目，方法很多 很灵活，但基本思路要么变换已知，要么变换未知， 要么已知未知一起变，直到能代入求值．其中整体 思想的运用不容忽视，因为很多方程不需解，只需 变换成可以整体代入的形式即可求值． [易错分析] 解答本题时容易忽略题目中的隐含条 件，即二次根式有意义的条件，误将x＝4和x＝5代 入式子错选D答案．
m＋1＝1，2，3，6， m＝0，1，2，5，
即
m－1＝1，3，
m＝2，4，
S△ABC＝12×2 3× （2＋ 2）2－（ 3）2＝ 9＋12 2. 综上，△ABC 的面积为 1 或 9＋12 2.
初升高自主招生——方程与不等式(含答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、一元一次方程、一元二次方程（1）含字母讨论（特别注意：一切实数解与无解的应用）（2）判别式与配方法（3）韦达定理（判别式前提、变形）（4）构造求参2、其他方程（分式方程、无理方程、高次方程、方程组等）（1）思想：降次、消元（2）换元法（整体思想、换元检验）（3）因式分解（猜、凑、待、除、添、拆）（4）技巧：对称换元、主元转换、特殊赋值3、绝对值相关（1）分类讨论（2）公式展开（3）平方法4、不等式问题（1）一元二次不等式（2）均值不等式5、其他（1）整数根问题（韦达定理、初等数论、区间长度等）（2）新定义问题【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+ 【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________． 【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______. 【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p +-=的根12,x x 满足44122x x +≤，则p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
中考自招数学--中考自招数学专题二《不等式与高斯函数》
中考自招专题二 不等式与高斯函数【知识框架】1 绝对值的定义与性质2 均值不等式若,a b2112a b a b，当且仅当a b 时等号成立； 若,,a b c31113a b c a b c，当且仅当a b c 时等号成立；． 若,1,2,,i a i n 均为正实数，1111n i n i i i n a n a ，当且仅当i j a a ,1,2,,i j n 时等号成立．【考点精炼】例一 不等式的性质1. 【2011华二自招10】定义 min ,,a b c 表示实数,,a b c 中的最小值，若,x y 是任意正实数，则11min ,,M x y yx 的最大值是 ．2. 【2012复附自招08】实数12,,,n a a a 满足：①120n a a a ；②121n a a a ，求证：k 个数（1,2,,k n ），1212k a a a3. 【2016曹二自招08】函数121y x x x 的最小值是 ．4. 【2016交附自招23】若x 是实数，则122334455y x x x x x 的最小值为 ．5. 【2014上中自招08】若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n 有唯一的整数解的n 的最大值为 ．6. 【2013上中自招10】已知0a ，且不等式12ax 恰有三个正整数解，则当不等式23ax 含有最多的整数解时，正数a 的取值范围是 ．7. 【2019华二自招10】 *,1,,,,,,xx f x q q x p q p q q p pp N 若为无理数若且互质，求 f x 在78,89 区间内最大值．例二 均值不等式8. 【2017华二自招02】关于实数x y z 、、的方程组：269x y z xy的解 ,,x y z 的个数为（ ）个． （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （E ）09. 方程组 212212232223123212121x x x x x x x x x 的解为 ．10. 【2018上中自招12】已知实数a 、b 满足221a ab b ，22t ab a b ，则t 的取值范围是 ．11. 【2019交附自招10】设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ，则当乘积abc 最大时，△ABC的面积为 ．例三 高斯函数12. 【2019复附浦东分校自招15】已知[]x 为不超过x 的最大整数，解方程2[]3x x ．13. 【2018交附自招附加题04】The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）Compute 2018!2015!2017!2016!． B ）Let real numbers 12,,,n x x x be the solutions of the equation 23[]40x x ，find the value of22212n x x x ． C ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc ，[]4a b c ，and []5ab c ．。
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自主招生学案：不等式第二讲
(2013年12月18日枣庄八中陈文)
考点二：不等式的求解。
一、考点分析：不等式的求解方法有的比较固定，有的需要很高的技巧，要结合放缩法、函数法、线性规划等多种方法。
二．不等式求解的常见题型：
1、线性规划求最优解。
2．求不等式或不等式组的解集。
3．借助不等式求最值问题。
4．不等式的综合问题。
三、例题详解及梯度训练：
例1．（1）求三直线x+y=60，
1
2
y x
=，y=0所围成的三角形上的整点个数.
(2)求方程组
2
1
2
60
y x
y x
x y
<
⎧
⎪⎪
>
⎨
⎪
+≤
⎪⎩
的整数解的个数.
(2008年清华大学)
梯度训练：
1.如果直线y=kx+1与圆22
40x y kx my ++++=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x-y=0对称，动点P （a ，b ）在不等式组2000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域内部及其边界
上运动，则点
A （1,2）与点P 连线斜率的取值范围是（ ）
A ．（2，+∞） B.(- ∞，-2] C.[-2,2] D.(- ∞,2]∪[2,+ ∞)
例2．设点A ，B ，C 分别在边长为1的正三角形的边上，求222
AB BC AC ++的最小值。
梯度训练：
已知实数x 满足3232
11x x x x +
=+求。
例3.已知a ,b 为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值。
（2006年清华大学）
梯度训练：已知正数a 、b 、c 满足：2
6a ab ac bc +++=+，则3a+b+2c 的最小值是多少？（2008年南开大学）。