最新届高考数学最值问题复习
课时规范练75 最值与范围问题--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
由弦长公式可得|AB|= 2 ·
点 O 到直线 l 的距离
所以
1
4
1
S△OAB=
2
= ×
=
2
2
×
+ 12 ≤
2
2
×|m|×
2
2
×
12-32
3
,
2
当且仅当 m =2,即 m=± 2时,等号成立,所以△ABC
2
此时直线 l 的方程为 y=x± 2.
1 2 3 4 5 6
12-32 ,
| |
d= 2 ,
1 2 3 4 5 6
=
3 2 +1
.
2
3 +4
1
3u+ >4,则
3
0<r< .
4
5.(2021·全国乙,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.
1 2 3 4 5 6
(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范
围.
1 2 3 4 5 6
解 (1)设双曲线 C
2
的方程为 2
−
2
=1(a>0,b>0),
2
由已知条件可知 a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1,
故双曲线 C
2 2
的方程为 3 -y =1.
6.已知 P 是平面上的动点,且点 P 与 F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为
2 2.设点 P 的轨迹为曲线 E.
2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)
专题15 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。
解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】 题型一：周长问题例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin cos()6a C c A π=-．(1)求A ；(2)从三个条件：①ABCb =a =ABC 周长的取值范围．例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．题型二：面积问题例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求C 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，记2Sm a =，求m 的取值范围.例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；(2)若点D 满足34AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，32,2cos cos2()2AD C A B =-+=． (1)求角C ；(2)求ABC 面积的取值范围．例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.题型三：长度问题例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．(1)求角C 的大小；(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，4c =，a b +=．(1)求ABCS ；(2)求11a b-的取值范围．例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC的面积S . (1)求边c ；(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()()cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a =22b c +的取值范围.例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；②π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例14．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，②23cos cos cos 24A C A C --=tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围．例16．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，角B 是钝角，则2()a c ab -的取值范围是________.例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin c b A =，则2()a b ab+的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[4,6]C ．[4,2D ．[4,2题型四：转化为角范围问题例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明； (2)若a b ，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例22．（2022·浙江温州·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==. (1)若π4B ∠=，求角A 的大小； (2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数()223sin 4sin cos cos f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最大值；(2)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足224B c af a π++⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin sin sin A B C ⋅⋅的取值范围．例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos )c a b C =-. (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，求22sin sin A C +的取值范围.例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，且1,cos cos 1a b A B =-=，若,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是______例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角ABC 中，π3A =，角A 的角平分线交BC 于点M ，2AM = ,,则BM CM ⋅ 的取值范围为_________.例27．（2022·辽宁·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =，且B 为钝角，则B A -=______，sin sin A C +的取值范围是______．例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则角B 的范围是________，556sin tan tan A B A-+的取值范围为__________.例31．（2022·新疆喀什·一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A+的最小值为（ ）A．1 B ．3 C ．2 D ．4例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则bb c+的取值范围是（ ） A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，2BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．题型五： 倍角问题例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则c b的取值范围为______.例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______.例36．（2020·全国·高二单元测试）已知ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是,,A B C 的对边.若2A B =，则ab ba+的取值范围是_________.例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围为______例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．例40．（2022•芜湖模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2()b ac b+最小值是 ．例41．（2022•道里区校级一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为 ．题型六： 角平分线问题例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.(1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. (1)求角C 的大小；(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.题型七： 中线问题例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.(1)求角A ；(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值.例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,cos sin a b c B a B =+.(1)若8,a ABC =的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度； (2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．例47．（2022·山东滨州·二模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2sin cos C a A B =．(1)求A ；(2)若2b =，D 为AB 的中点，求CD 的取值范围．例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①3(cos )sin b c A C-，②1tan (1)2tan a Cb B =+，③πsin cos()6c B b C =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________． (1)求C ；(2)若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有：（ ） A ．3AB AC ⋅= B ．2210b c +=C ．3cos 15A ≤<D ．∠BAD 的最大值为60°题型八： 四心问题例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是ABC 的外心，cos 3||||AO AB AO AC a C AB AC π⋅⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围，例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC sin sin cos sin B CC C A++=.(1)求A ；(2)若 ABC 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O 是三角形ABC 的外心，若2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．34B ．35C ．23D ．12例54．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ） A ．3 B ．35C ．75D ．32例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a （B 4π+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ）A 1BC 1D例56．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的周长为9，若cos 2sin 22A B C-=，则ABC 的内切圆半径的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．45⎡⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36题型九： 坐标法例59．（2022·全国·模拟预测（文））在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为 ．例61．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为 ．例62．（2022•江苏模拟）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是 ．例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y=-++++++-的最小值为()A．2B．3C．23-D．23+例64．（2022•唐山二模）在等边ABC∆中，M为ABC∆内一动点，120BMC∠=︒，则MAMC的最小值是()A．1B．34C．32D．33例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是( ) A ．1(2，6)3B ．1(2，1)C ．4[5，6)3D ．4[5，1)例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( ) A ．334B ．43C ．534D ．3例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O 的面积为3，则ABC ∆的周长的取值范围为 ．题型十： 隐圆问题例68．（2022•盐城二模）若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．例69．（2022•江苏三模）在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，2AB =，1AD =，若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为 ．例70．（2022•涪城区校级开学）若ABC ∆满足条件4AB =，2AC BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．例71．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，42AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是 ．例72．（2022•合肥模拟）锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为( ) A ．3[2，5]3B ．4[5，6)3C ．6[5，)+∞D ．5[6，5]3例73．（2022•江汉区校级模拟）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( )A ．2233B ．52316C ．354D ．33516例74．（2022•上城区校级模拟）设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2|||c a a b +=，则||c b -的最大值为() A ．2 B ．1 C ．3 D ．2例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27 B ．16 C ．10 D ．25例76．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，(22C ，)a ，(22D ，2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞题型十一：两边夹问题例77．（2022•合肥一模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例78．（2022•静安区二模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且1cos()cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例79．（2022•常德一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c ab =，且3cos()cos 2A B C -+=． （Ⅰ）求角C ；（Ⅰ）延长BC 至D ，使得4BD =，求ACD ∆面积的最大值．例80．在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A +=，且ABC ∆的周长为12． （1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）求ABC ∆面积的最大值．题型十二：与正切有关的最值问题例81．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B C b a B +=．求： (1)A ；(2)a c b-的取值范围．例82．（2022·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（ ）A ．()B ．()8,9C ．4,9⎫⎪⎪⎝⎭D ．()4,9 例83．（2022·山西吕梁·二模（文））锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则ac b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．⎝D ．⎝例84．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．D ． 例86．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc 的取值范围为（ ） A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十三：最大角问题例87．（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大”．如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点(1,2)M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是( )A．7-B．1或7-C．2或7-D．1例88．（2022秋•青羊区校级期中）（理科）E、F是椭圆22142x y+=的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，EPF∠的最大值是()A．60︒B．30︒C．90︒D．45︒例89．（2022春•辽宁期末）设ABC∆的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3 cos cos5a Bb A c-=，则tan()A B-的最大值为()A．35B．13C．38D．34例90．（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面()c c b<米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大．例91．如图，足球门框的长AB 为2(1 3.66)dw dw m =，设足球为一点P ，足球与A ，B 连线所成的角为(090)αα︒<<︒．（1）若队员射门训练时，射门角度30α=︒，求足球所在弧线的方程；（2）已知点D 到直线AB 的距离为3dw ，到直线AB 的垂直平分线的距离为2dw ，若教练员要求队员，当足球运至距离点D 为2dw 处的一点时射门，问射门角度α最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 例92．（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．23-B ．23+C ．31-D ．31+例93．（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为 ．例94．（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P 为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．例95．（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于半径为6的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．例96．（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．题型十五：托勒密定理及旋转相似例97．（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=，③(1cos2)FC r α=-，④2(2)DC r r AB =-其中正确的是( )A．②③B．②④C．①③④D．②③④例98．（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，42BD=，且ACD∆为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A．8B．16C．83D．163例99．（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180︒的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB=，31BC=，AC CD∠变化时，对角线BD的最大值为()⊥，AC CD=，当ABCA ．3B ．4C ．61+D ．723+例100．（2022•冀州市校级模拟）在ABC ∆中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形(ABD B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4例101．（2022•日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为( )A．232+B．312+C．322+D．31+题型十六：三角形中的平方问题例102．（2021秋•河南期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23Bπ=，23b=，2223b c a bc+-=．若BAC∠的平分线与BC交于点E，则(AE=) A．6B．7C．22D．3例103．（2022•洛阳二模）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．55B ．255C ．355D ．53例104．（2022春•张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a b c S a b +-=-，其中a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos B A C =且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为( )A ．55 B ．235 C ．1 D ．255例105．（2022•晋城一模）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( ) A ．2B ．2C ．1D ．22例106．（2022•秦淮区模拟）在锐角三角形ABC 中，已知2224sin sin 4sin A B C +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ．例107．（2022•浙江三模）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是 ．例108．（2022春•鼓楼区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则cos cos ()A B c a b +的最小值为 ．例109．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22224121741213b bc c b bc c -+-+的取值范围为（ ）． A ．973,537⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2819,1815⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦例110．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.题型十七：等面积法、张角定理例111．（2022秋•厦门校级期中）给定平面上四点A ，B ，C ，D ，满足2AB =，4AC =，6AD =，4AB AC =，则DBC ∆面积的最大值为 ．例112．（2022春•奎屯市校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．7例113．（2022•云南一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC ∆的面积的最小值为( ) A ．33B ．43C ．53D ．63例114．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则23a c +的最小值为( )A ．25B ．526+C ．5D ．342+。
2025年高考数学一轮复习-数列中的最值、范围及奇偶项问题-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-数列中的最值、范围及奇偶项问题-专项训练一、基本技能练1.已知等差数列{a n }与数列{b n }满足a 2＝1，b 1＝a 3≠0，且数列{a n ·b n }的前n 项和S n ＝(n －2)·2n ＋1＋4，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，若T n >20222023，求n 的最小值.2.已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .3.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.二、创新拓展练4.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋3(n ∈N *).(1){a n }的通项公式；(2)已知数列{b n }满足b n ＝n （3n －1）2na n .①求数列{b n }的前n 项和T n ；②若不等式(－1)n λ<T n ＋n 2n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案与解析一、基本技能练1.解(1)a 1·b 1＝S 1＝0，且b 1≠0，所以a 1＝0，又a 2＝1，所以{a n }的公差为1，所以a n ＝n －1(n ∈N *).n ≥2时，a n ·b n ＝S n －S n －1＝(n －1)×2n ，此时b n ＝2n (n ≥2)，又b 1＝a 3＝2，满足b n ＝2n ，所以b n ＝2n (n ∈N *).(2)b n a b n ·a b n ＋1＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1>20222023，得2n ＋1－1>2023，所以n 的最小值为10.2.解(1)∵等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S n ＝na 1＋n (n －1)，(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)可得b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －当n 为偶数时，T n …1－12n ＋1＝2n 2n ＋1；当n 为奇数时，T n …1＋12n＋1＝2n＋2 2n＋1.∴T nn为偶数，n为奇数.3.解(1)设等比数列{a n}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{a n}不是递减数列且a1＝3 2，所以q＝－1 2 .故等比数列{a n}的通项公式为a n＝32×－1＝(－1)n－1×32n(n∈N*).(2)由(1)得S n＝1＋12n，n为奇数，－12n，n为偶数.当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以1＜S n≤S1＝3 2，故0＜S n－1S n≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以34＝S2≤S n＜1，故0＞S n－1S n≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤S n－1S n≤56.所以数列{T n}最大项的值为56，最小项的值为－712.二、创新拓展练4.(1)证明因为a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n＋2，所以1a n ＋1＋1＝又1a 1＋1＝3，3为首项，3为公比的等比数列，故1a n＋1＝3×3n －1＝3n ，则a n ＝13n －1(n ∈N *).(2)解①由(1)知b n ＝n 2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，所以12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减，得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝121n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，所以T n ＝2－n ＋22n.②由①得(－1)n λ<2－n ＋22n ＋n 2n ＝2－22n ，设c n ＝2－22n ，则数列{c n }是递增数列.当n 为偶数时，λ<2－22n 恒成立，又c2＝32，所以λ<32；当n为奇数时，－λ<2－22n恒成立，又c1＝1，所以－λ<1，所以λ>－1.综上所述，λ1。
考点18导数与函数的极值、最值(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
考点18导数与函数的极值、最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．【知识点】1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件【核心题型】题型一 利用导数求解函数的极值问题根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．命题点1 根据函数图象判断极值【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数()()1e xf x ax =+，给出下列4个图象：其中，可以作为函数()f x 的大致图象的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数()y f x =的导函数()y f x ¢=的图象，下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数4211()f x x x =-的大致图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率小于零B ．函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增C ．函数f （x ）在x ＝1处取得极大值D ．函数f （x ）在区间（－3，3）内至多有两个零点命题点2 求已知函数的极值【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数()2()2e xf x x ax =--在2x =-处取得极大值，则()f x 的极小值为（ ）A ．26e -B ．4e-C ．22e -D ．e-【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数()2tan πf x x x =--在区间ππ,22æö-ç÷èø的极大值、极小值分别为（ ）A ．π12+，π12-+B ．π12-+，3π12-+C ．3π12-，π12-+D ．π12--，3π12-+【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知2e ,0,()41,0,xx f x x x x x ì>ï=íï---£î则方程2()(3)()30f x k f x k -++=可能有（ ）个解.A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模）()2e xf x x -=的极大值为 ．命题点3 已知极值(点)求参数【例题3】（2024·全国·模拟预测）设12,x x 为函数()()()2f x x x x a =--（其中0a >）的两个不同的极值点，若不等式()()120f x f x +³成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4B ．(]0,4C ．()0,1D ．()4,+¥【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数()()21ln 02f x ax x b x a =-+¹有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（）A ．0,0a b ><B ．0,0a b <>C ．14ab <D ．0ab >【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于 ．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln 2f x x x ax a =-+-ÎR ．(1)若()f x 的极值为－2，求a 的值；(2)若m ，n 是()f x 的两个不同的零点，求证：()0f m n m n ¢+++<．题型二 利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．命题点1 不含参函数的最值【例题4】（2024·陕西·模拟预测）[]1,2x "Î，有22ln a x x x ³-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)e,+¥B ．[)1,+¥C ．e ,2éö+¥÷êëøD ．[)2e,+¥【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ()()22ln f x x x a x x =-+-，若存在(]0,e 0x Î，使得()00f x £成立，则实数a 的取值范围是.【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ^，则OAP △面积的取值范围是 .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x =．(1)求函数()()f xg x x=的最值．(2)证明：()2431e 3e e 044xx x x f x ---->（其中e 为自然对数的底数）．命题点2 含参函数的最值【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--Î+，没有极值点，则1ba +的最大值为（ ）A B ．e 2C ．eD ．2e 2【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln b a>B ．ln b a<C ．0a <D ．e ab >【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数()()()2ln 1f x x x ax =++-只有3个零点1x ，2x ，3x ()1233x x x <<<，则2a x +的取值范围是 ．【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+Î+¥存在最大值，求a 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·广西·模拟预测）函数()3f x x ax =+在1x =处取得极小值，则极小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x =¢的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A ．函数()e xy f x =×的最大值为1B ．函数()e xy f x =×的最小值为1C ．函数()exf x y =的最大值为1D ．函数()e xf x y =的最小值为14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()2e e 2x xf x a b x =++有2个极值点，则（ ）A ．2016b a <<B ．0b >C ．4a b <D ．2b a>5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos e xa f x x x x +=+在()0,π上恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π4e æöç÷ç÷èøB ．()π,e-¥C ．()π0,eD ．π4e ,ö÷÷ø+¥二、多选题6．（2024·全国·模拟预测）已知函数()e xbf x a x=+在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）A ．0ab > B ．24e b a £C ．24e 0a b ->D ．对于任意非零实数a ，总存在实数b 满足题意7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n na S a =+，则下列结论正确的是（ ）A ．当()*m n m n >ÎN ，时，m na a >B ．212n n n S S S +++<C ．数列{}2n S 是等差数列D ．1ln n nS n S -³三、填空题8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ÐODF Ð均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2023·江西赣州·模拟预测）当0x =时，函数()e x f x a bx -=+取得极小值1，则a b +=.四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数()211122f x x x =++．(1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程；(2)求()f x 在1,22éùêúëû上的值域．11．（2024·上海静安·二模）已知R k Î，记()x x f x a k a -=+×（0a >且1a ¹）．(1)当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值；(2)试讨论函数()y f x =的奇偶性；(3)拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）综合提升练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）若函数()()1ln 1f x x x ax =+-+是()0,¥+上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2ln 2-¥B ．(]0,2ln 2C ．(],2-¥D ．(]0,22．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数()e x f x x a =+在区间[]0,1上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．13．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数()ln f x x x ax =-有极值e -，则=a （ ）A ．1B ．2C ．eD ．34．（2024·广东佛山·二模）若函数()24ln bf x a x x x =++（0a ¹）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）A ．a<0B ．0b <C ．1ab >-D ．0a b +>5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（ ）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ³D ．21x x ³6．（2024·全国·模拟预测）记函数()y f x =的导函数为y ¢，y ¢的导函数为y ¢¢，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ¢¢=éù+ëû¢．则曲线ln y x =的曲率的极值点为（ ）ABCD7．（2024·北京朝阳·一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ×××，对任意()1,2,,i x i n =×××，存在2i y ³满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++×××+£成立的最大正整数n 为（ ）A ．14B ．16C ．21D ．238．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，且()()()22e ,00x f x f x x f ¢-==，则()f x （ ）A ．有一个极小值点，一个极大值点B ．有两个极小值点，一个极大值点C ．最多有一个极小值点，无极大值点D ．最多有一个极大值点，无极小值点二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）对函数()f x ，()g x 公共定义域内的任意x ，若存在常数M ÎR ，使得()()f x g x M -£恒成立，则称()f x 和()g x 是M -伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）A ．存在常数M ÎR ，使得()()2log 5f x x =与()125log g x x=是M -伴侣函数B ．存在常数M ÎR ，使得()13x f x +=与()13x g x -=是M -伴侣函数C ．()ln f x x =与()2g x x =+是1-伴侣函数D ．若()()f x g x ¢¢=，则存在常数M ÎR ，使得()f x 与()g x 是M -伴侣函数10．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e =++xf x ax bx c 的极小值点为0，极大值点为()0m m >，且极大值为0，则（ ）A ．2m =B ．4b a=C ．存在0x ÎR ，使得()00f x >D ．直线3y a =与曲线()y f x =有3个交点11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln e e x f x a b a x =+-，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．若()f x 为减函数，则()00f <B ．若()f x 存在极值，则e 1b a >C ．若()10f =，则ln2b >D ．若()0f x ³，则b a³三、填空题12．（2022·广西·模拟预测）已知函数()21xx x f x e++=，则()f x 的极小值为 .13．（2023·广东汕头·一模）函数()36f x ax x =-的一个极值点为1，则()f x 的极大值是 ．14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的12x x ÎR 、，且20x >，不等式1122e ln x x x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围为 .四、解答题15．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x ¢=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.16．（2024·海南·模拟预测）已知函数()2ln 1,f x x a x a =-+ÎR .(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()f x 有最小值2，求a 的值.17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数ln 1()ex f x x =-．(1)求()f x 的最大值；(2)证明：当0x >时，()e x f x x <．18．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21e 2e 22xx f x a ax =+--．(1)若曲线()y f x =在30,2a æö-ç÷èø处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．(2)若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．(3)当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线()(0)kf x k x=<与()e x g x =有三条公切线，则k 的取值范围为（ ）A ．1,0e æö-ç÷èøB ．1,eæö-¥-ç÷èøC ．2,0e æö-ç÷èøD ．2,e æö-¥-ç÷èø2．（2023·河南·三模）已知函数2()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在=x 12e -B ．()f x 在x =e2C ．()f x 在=x 12e -D ．()f x 在x =e 23．（2023·湖北·模拟预测）设函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d 满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2æùçúèûB ．1,12éùêúëûC ．æçèD ．ùúû4．（2024·湖北·二模）已知函数()1e e e x x xaxf x x +=++（e 为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．若函数()f x 在()()0,0P f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2e 2e 2-，则1a =C ．当1a =时，()f x m =可能有三个零点D ．当1a =时，函数的极小值大于极大值二、多选题5．（2023·安徽·一模）已知函数()()3R f x x x x =-Î，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的单调递增区间为,æ-¥ççè和ö¥÷÷ø+C ．()f xD ．()f x 的极值点为,æççè6．（2024·浙江杭州·二模）过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ^交AB 于点M ，则（ ）A ．直线NB 与抛物线C 有2个公共点B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=¹D ．3MN AB的最小值为三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）函数()()2ln ln f x x k x x k =-++在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .四、解答题9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()()21e x f x x ax =--，R a Î.(1)当e2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()0f x a +=有三个不同的实根，求a 的取值范围．10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数()()2ln 20a f x a x x a x =--¹.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间(]0,1上的最大值.。
2023届全国高考数学复习：专题(函数的最值)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（函数的最值）重点讲解与练习考点一 求已知函数的最值 【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． 【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________． (2)函数f (x )＝12x 2＋x －2ln x 的最小值为 ．(3)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为 ．(4)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________． (5)设正实数x ，则f (x )＝ln 2 xx ln x 的值域为________．(6)已知函数f (x )＝eln x 和g (x )＝x ＋1的图象与直线y ＝m 的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1－x 2的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ (7)已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________． (8)(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1 D ．f (x )的最小值为－1e ＋1 [例2] 已知函数f (x )＝e x cos x －x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．[例3] (2017ꞏ浙江)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝⎛⎭⎫x ≥12． (1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围．[例4] (2021ꞏ北京)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a． (1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值．[例5] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．【对点训练】1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．1eB ．2e 2C ．0D ．12e2．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对4．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的值域为( )A ．⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3B ．⎣⎡⎦0，4π3－3C ．⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2πD ．[0，2π] 5．设0<x <π，则函数y ＝2－cos xsin x 的最小值是________．6．若曲线y ＝x e x ＋mx ＋1(x <－1)存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为________．7．已知实数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则2x ＋1＋3y＋1的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝ln x －ax ，其中x ∈[)1，＋∞，若不等式f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[)1，＋∞B ．⎝⎛－∞，⎦⎤1－1e C ．⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ D ．[)0，＋∞ 9．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．010．(多选)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝x e －x ，若存在x 1∈(0，＋∞)，x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)成立，则下列结论正确的是( )A ．ln x 1＝x 2B ．ln(－x 2)＝－x 1C ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为4e 2D ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为1e 2 11．设函数f (x )＝x 2＋1－ln x ．(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．13．(2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．考点二 已知函数的最值求参数的值(范围) 【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________． (2)若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )A ．2B ．1C ．233 D ．0 (3)函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是________． (4)已知函数f (x )＝ln x －ax 存在最大值0，则a ＝________．(5)(多选)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a ＜0)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，则a 的取值可能为( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3(6)设函数f (x )＝e x －cos x －2a ，g (x )＝x ，若存在x 1，x 2∈[0，π]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则x 2－x 1的最小值为1时，实数a ＝( )A ．－1B ．－12 C ．12 D ．1 【对点训练】1．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2，2]上有最小值－37，则a 的值为____________， f (x )在[－2，2]上的最大值为________．2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92，则m 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．522．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k ，2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3] 3．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)4．已知函数f (x )＝ln x －mx (m ∈R )在区间[1，e]上取得最小值4，则m ＝________． 5．已知函数f (x )＝x x 2＋aa >0)在[1，＋∞)上的最大值为3，则a 的值为( ) A ．3－1 B ．34 C ．43 D ．3＋1参考答案【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________．答案 －1 解析 f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0．∴当x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＝－1．(2)函数f (x )＝12x 2＋x －2ln x 的最小值为 ．答案 32 解析 因为f ′(x )＝x ＋1－2x ＝(x ＋2)(x －1)x (x ＞0)，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝12＋1＝32．(3)已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为 ．答案 －2e 解析 由题意可得f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ，∵f ′(x )为偶函数，∴m ＝0，故 f (x )＝13x 3＋nx ＋2，∵f (1)＝13＋n ＋2＝－23，∴n ＝－3．∴f (x )＝13x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝x 2－3．故g (x )＝e x (x 2－3)，则g ′(x )＝e x (x 2－3＋2x )＝e x (x －1)ꞏ(x ＋3)，据此可知函数g (x )在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，故函数g (x )的极小值，即最小值为g (1)＝e 1ꞏ(12－3)＝－2e ．(4)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，则f (x )的最小值是________．答案 －332 解析 ∵f (x )的最小正周期T ＝2π，∴求f (x )的最小值相当于求f (x )在[0，2π]上的最小值．f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1)＝4cos 2x ＋2cos x －2＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．令f ′(x )＝0，解得cos x ＝12或cos x ＝－1，x ∈[0，2π]．∴由cos x ＝－1，得x ＝π；由cos x ＝12，得x ＝53π或x ＝π3．∵函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f (π)＝2sinπ＋sin2π＝0，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＋sin 2π3＝332，f ⎝⎛⎭⎫53π＝－332，f (0)＝0，f (2π)＝0，∴f (x )的最小值为－332．(5)设正实数x ，则f (x )＝ln 2 xx ln x 的值域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，1e 解析 令ln x ＝t ，则x ＝e t ，∴g (t )＝t 2e t 2，令t 2＝m ，m ≥0，∴h (m )＝m e m ，∴h ′(m )＝e m (1－m )e 2m ，令h ′(m )＝0，解得m ＝1，当0≤m <1时，h ′(m )>0，函数h (m )单调递增，当m ≥1时，h ′(m )<0，函数h (m )单调递减，∴h (m )max ＝h (1)＝1e ，∵f (0)＝0，当m →＋∞时，h (m )→0，∴f (x )＝ln 2xx ln x 的值域为⎣⎡⎦⎤0，1e ． (6)已知函数f (x )＝eln x 和g (x )＝x ＋1的图象与直线y ＝m 的交点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1－x 2的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 A 解析 由题意知f (x 1)＝g (x 2)，所以eln x 1＝x 2＋1，即x 2＝eln x 1－1，则x 1－x 2＝x 1－eln x 1＋1，x 1>0．令h (x )＝x －eln x ＋1(x >0)，则h ′(x )＝1－e x ＝x －ex ．当x >e 时，h ′(x )>0，当0<x <e 时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝1．又当x → 0＋时，h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞，所以h (x )在(0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，所以x 1－x 2的取值范围为[1，＋∞)．(7)已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．答案 e －1 解析 ∀x ∈(0，＋∞)，不等式e x－1≥kx ＋ln x 恒成立，等价于∀x ∈(0，＋∞)，k ≤e x －1－ln xx恒成立，令φ(x )＝e x －1－ln x x (x >0)，则φ′(x )＝e x (x －1)＋ln x x 2，当x ∈(0，1)时，φ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝e －1，∴k ≤e －1．(8)(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1 D ．f (x )的最小值为－1e ＋1答案 BCD 解析 f (x )＝x e |x |＋1，不满足f (－x )＝－f (x )，故A 项错误；令g (x )＝xe |x |，则g (－x )＝－x e |－x |＝－x e|x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 项正确；设f (x )＝xe |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1，当x ＞0时，g (x )＝xe x ，所以g ′(x )＝1－xe x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以当0＜x ＜1时，g (x )单调递增，当x ＞1时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值为g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N ＝－1e ＋1，故C 、D 项正确．故选B 、C 、D ．[例2] 已知函数f (x )＝e x cos x －x ．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0． 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1．(2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0．所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2． [例3] (2017ꞏ浙江)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x ⎝⎛⎭⎫x ≥12． (1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝(x －2x －1)′e －x ＋(x －2x －1)(e －x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1e －x －(x －2x －1)e －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x －1－x ＋2x －1e －x ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ⎝⎛⎭⎫x ＞12． (2)令f ′(x )＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x ＝0，解得x ＝1或52． 当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：又f ⎝⎛⎭⎫12＝12e －12，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫52＝12e －52，则f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最大值为12e －12 又f (x )＝(x －2x －1)e －x ＝12(2x －1－1)2e －x ≥0． 综上，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12e －12． [例4] (2021ꞏ北京)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a． (1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值． 解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2ꞏ(－2)－(3－2x )ꞏ2x x 4＝2x －6x 3． 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4，故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－4(x －1)，整理得4x ＋y －5＝0． (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝(x 2＋a )ꞏ(－2)－(3－2x )ꞏ2x (x 2＋a )2＝2(x 2－3x －a )(x 2＋a )2．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，则f ′(－1)＝0，即2(4－a )(a ＋1)2＝0，解得a ＝4．经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意． 此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2(x －4)(x ＋1)(x 2＋4)2， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4．f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，4) 4 (4，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(4，＋∞)，单调递减区间为(－1，4)． 由上表知f (x )的极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14． 又因为x <32时，f (x )>0；x >32f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1，最小值为f (4)＝－14．[例5] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解析 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0当x ＝23时，函数f (x )取到极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫23＝427．(2)①当－1≤x <1时，根据(1)知，函数f (x )在[－1，0)和⎝⎛⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1，1)上的最大值为2． ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增．则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a ． 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2． 【对点训练】1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( )A ．1e B ．2e 2 C ．0 D ．12e1．答案 A 解析 易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0，2]，令y ′＞0，得0≤x ＜1，令y ′＜0，得1＜x ≤2，所以函数y＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是y max ＝1e ，故选A ． 2．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．2．答案 1＋ln 2 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x ，当0<x <12时，f ′(x )<0；当x >12时，f ′(x )>0．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2． 3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对 3．答案 A 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，∴x ＝0为极大值点，也为最大值点，∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3．∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5．∴最小值是－37．故选A ．4．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的值域为( )A ．⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3B ．⎣⎡⎦0，4π3－3C ．⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0，2π]4．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋2cos x ，x ∈[0，2π]，令f ′(x )＝0，得cos x ＝－12，∴x ＝2π3或x ＝4π3，又f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3＋3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝4π3－3，f (0)＝0，f (2π)＝2π，f ⎝⎛⎭⎫4π3－f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2π3－23<0，∴f (0)<f ⎝⎛⎭⎫4π3<f ⎝⎛⎭⎫2π3<f (2π)，∴f (x )max ＝f (2π)＝2π，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )的值域为[0，2π]． 5．设0<x <π，则函数y ＝2－cos xsin x 的最小值是________． 5．答案3 解析 y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x．因为0<x <π，所以当π3<x <π时，y ′>0；当0<x <π3 时，y ′<0．所以当x ＝π3时，y min ＝3．6．若曲线y ＝x e x ＋mx ＋1(x <－1)存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为________．6．答案 ⎝⎛⎭⎫－27e 4，0 解析 由题意可得，y ′＝(x ＋1)e x －m (x ＋1)2＝0，即m ＝(x ＋1)3e x 在(－∞，－1)上 有两个不同的解．设f (x )＝(x ＋1)3e x (x <－1)，f ′(x )＝(x ＋1)2e x (x ＋4)．当x <－4时，f ′(x )<0；当－4<x <－1时，f ′(x )>0．所以f (x )min ＝f (－4)＝－27e 4，当x <－1时，f (x )<0，故m ∈⎝⎛⎭⎫－27e 4，0． 7．已知实数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则2x ＋1＋3y ＋1的取值范围是________．7．答案 (2，13] 解析 由4x ＋9y ＝1得22x ＋32y ＝1，3y ＝1－22x ，其中22x ∈(0，1)，所以2x ∈(0，1)，所以2x ＋1＋3y ＋1＝2×2x ＋3×3y ＝2×2x ＋31－22x ，令t ＝2x ，则f (t )＝2t ＋31－t 2(0<t <1)，则f ′(t )＝2－3t 1－t 2，令f ′(t )＝2－3t 1－t2＝0得t ＝21313，所以函数f (t )在⎝⎛⎭⎫0，21313上单调递增，在⎝⎛⎭⎫213，1上单调递减，且f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫21313＝13，f (1)＝2，所以2x ＋1＋3y ＋1的取值范围为(2，13]． 8．已知函数f (x )＝ln x －ax ，其中x ∈[)1，＋∞，若不等式f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[)1，＋∞B ．⎝⎛－∞， ⎦⎤1－1e C ．⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞ D ．[)0，＋∞ 8．答案 C 解析 当x ∈[)1，＋∞时，不等式f (x )≤0恒成立等价于a ≥ln x x 在[)1，＋∞上恒成立， 令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2．当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0；所以g (x )max ＝g (e)＝1e ，所以a ≥1e ．故选C ．9．已知函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．09．答案 A 解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，x ∈[－3，2]，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，在[1，2]和[－3，－1]上单调递增．f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3，2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19，又由题设知在[－3，2]上|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝20，所以t ≥20，故选A ．10．(多选)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝x e －x ，若存在x 1∈(0，＋∞)，x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)成立，则下列结论正确的是( )A ．ln x 1＝x 2B ．ln(－x 2)＝－x 1C ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为4e 2D ．⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为1e 2 10．答案 AC 解析 由f (x 1)＝g (x 2)＝k (k ＜0)，得ln x 1x 1＝x 2e －x 2＜0 (*)，∴0＜x 1＜1，x 2＜0．由(*)可得 －ln x 1x 1＝－x 2e －x 2＞0，两边同时取对数可得ln(－ln x 1)－ln x 1＝ln(－x 2)－x 2．∵函数y ＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上为增函数，∴－ln x 1＝－x 2，∴ln x 1＝x 2，∴x 2x 1＝ln x 1x 1＝k ，故⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k ＝k 2ꞏe k ．设h (k )＝k 2ꞏe k (k ＜0)，∴h ′(k )＝e k (k 2＋2k )，由e k (k 2＋2k )＞0，可得k ＜－2，故h (k )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，故h (k )max ＝h (－2)＝4e 2，因此⎝⎛⎭⎫x 2x 12ꞏe k 的最大值为4e 2．综上，AC 正确． 11．设函数f (x )＝x 2＋1－ln x ．(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．11．解析 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x ，由f ′(x )＞0，得x ＞22，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜22．∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞． (2)由题意知g (x )＝x 2＋1－ln x －x ，g ′(x )＝2x －1x －1＝(2x ＋1)(x －1)x， 由g ′(x )＞0，得x ＞1，由g ′(x )≤0，得0＜x ≤1，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴在⎣⎡⎦⎤12，2上，g (x )的最小值为g (1)＝1． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．12．解析 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x． 令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同． 又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x． 由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)， 所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5．13．(2019ꞏ全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．13．解析 (1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a 3．若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减； 若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，0时，f ′(x )<0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 3，0上单调递减． (2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递增，所以f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a ． 于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－a ，0<a <2，2，2≤a <3.所以M －m ＝⎩⎨⎧ 2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.①当0<a <2时，可知y ＝2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫827，2．②当2≤a <3时，y ＝a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，1．综上，M －m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫827，2．考点二 已知函数的最值求参数的值(范围)【例题选讲】[例1](1)函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案 －71 解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1．又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20．由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f (x )min ＝k －76＝－71．(2)若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( )。
2023届高考数学一轮复习+最值、范围问题+课件
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面 积的最小值. 解 设过点O的直线MN的方程为y＝kx(k＜0)， 联立yy2＝＝k4xx，，得(kx)2＝4x，解得 Mk42，4k， 联立xy＝2＝k4xy，，得 N(4k，4k2)， 从而|MN|＝ 1＋k2k42－4k ＝ 1＋k2k42－4k.
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方 程. 解 当l⊥x轴时不合题意； 设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当Δ＝16(4k2－3)>0，
即 k2>34时，x1＋x2＝1＋164kk2， x1·x2＝1＋124k2.
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 解 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面 积为12.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).
直线 AC 的方程为 y＋2＝y2x＋2 2x， 令 y＝－3，则 x＝－y2x＋2 2， 故点 N－y2x＋2 2，－3. |PM|＋|PN|＝y1x＋1 2＋y2x＋2 2 ＝x1（（y2y＋1＋2）2）＋（x2y（2＋y12＋）2）
＝x1（yk1xy22－＋12）（＋y1＋x2y（2）kx＋1－4 1）
训练1 (2022·长沙模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别 为F1，F2，点P(－1，－1)且F1F2⊥OP(O为坐标原点). (1)求抛物线C2的方程； 解 ∵F1(1，0)，F20，p2， ∴F→1F2＝－1，p2，F→1F2·O→P＝－1，p2·(－1，－1)＝1－2p＝0，
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第10节 圆锥曲线中的最值与范围问题
将点(-1, )的坐标代入椭圆方程 + =1,得 +
所以椭圆 E 的方程为 + =1.
=1,解得 b= ,
(2)设直线l与圆O:x2+y2=a2交于C,D两点,当
求△ABF2面积的取值范围.
2
2
|CD|∈[2 ,
] 时,
解:(2)由(1)知圆 O 的方程为 x +y =4,由题意,直线 l 的斜率不为 0,
=
+-
因为 t∈(1,+∞),所以 ∈(0,1),
所以|AB|+|DE|∈[ ,7).
,
-( - ) +
综上所述,|AB|+|DE|的取值范围为[ ,7].
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参
得最值的临界条件,得出最值.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建
立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
[针对训练] (2024·河南襄城模拟)已知抛物线C的顶点在坐标
原点,焦点在y轴的正半轴上,圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
最值问题
[例1] (2024·安徽蚌埠模拟)在椭圆 C: + =1 (a>b>0)中,c=2,
2025届高中数学一轮复习《圆锥曲线最值与范围问题》ppt
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圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决，这就是几何法． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函 数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及单 调性法等．
5－82＝2.
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圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间 的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数 的取值范围．
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即 16y20<(x0－4)2. 因为x420＋y20＝1，所以y02x－02 1＝－14， 所以 5x20－8x0>0，解得 x0>85或 x0<0. 因为 0<x0≤2，所以85<x0≤2， 所以 EF＝2 r2－d2＝2 x40－12－4xy002＝2 5－x80≤2 所以该圆被 x 轴截得的弦长|EF|的最大值为 2.
所以|AB|＝ 1＋14 x1＋x22－4x1x2＝ 解得 p＝2(负值舍去)．
1＋14 8p－22－4＝4 15，
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(2)由题知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x＝my＋b，由(1)知，抛物线
C 的方程
2025高考数学必刷题 第27讲、多元最值问题(教师版)
第27讲多元最值问题知识梳理解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型全归纳题型一：消元法例1．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数x ，y 满足ln e ln x x y y =+，则e x y --的最大值为______.【答案】21e /2e -【解析】由ln e ln xx y y =+得ln e x x y y =，所以ln e x x x x y y =，则ln e ln e x xy x x y=⋅，因为0x >，e 0x >，ln e 0xy >，所以ln 0x y>，令()0()e xf x x x =>，则()e (1)0x f x x '=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，所以由ln e ln e xxyx x y =⋅，即()ln x f x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得ln x x y =，所以e x x y =，所以11e e e exx x x x x y ---=-=，令()1()0ex x g x x -=>，则2()e x x g x -'=，令()0g x '>，得02x <<；令()0g x '<，得2x >，所以()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以max 21()(2)e g x g ==，即e xy --的最大值为21e．故答案为：21e ．例2．（2024·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习）已知实数,m n 满足：e (1)ln(1)(0)m m n n t t ⋅=--=>，则ln (1)tm n -的最大值为___________.【答案】1e【解析】由已知得，()0,10,ln 10m n n >->->，令()e (0)xf x x x =>，则()()'e 10x f x x =+>，()f x \在()0,∞+上单调递增，又因为e (1)ln(1)m m n n ⋅=--，所以()()()ln 1,f m f n =-()ln 1m n ∴=-，()()1(1)ln 1,m n n n t ∴-=-⋅-=()ln ln 1t tm n t∴=-，令()ln (0),tg t t t=>所以()'21ln tg t t -=，则当(0,e)t ∈时，'()0g t >，()g t 单调递增；当(e,)t ∈+∞时，'()0g t <，()g t 单调递减；所以max 1()(e)e g t g ==.故答案为：1e.例3．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）对任给实数0x y >>,不等式222()x y cx y x -≤-恒成立,则实数c 的最大值为__________.【答案】4【解析】因为对任给实数0x y >>,不等式222()x y cx y x -≤-恒成立，所以2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1x t y =>，则222()t c f t t t -≤=-，()222242()t t f t t t t t -+'==--当2t >()0f t '>，函数()f t单调递增；当12t <<时，()0f t '<，函数()f t 单调递减，所以当2t =+()f t取得最小值，(24f =，所以实数c的最大值为4故答案为：4题型二：判别式法例4．（2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）若,x y ∈R ，2241x y xy ++=，则当x =______时，x y +取得最大值，该最大值为______.【答案】3015【解析】令x y t +=，则y t x =-，则()()2222224441x y x t y x t x x t t x x x ++=+-=+-+-=，即22410tx t x --=+，由()221610t t ∆=--≥，解得：t ≤≤，故x y +故2241x y x y xy ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得：x =y =所以当且仅当30x =，30y =时，等号成立，例5．（2024·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-．因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=，所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭，于是24134039z z +-≤，得16z -≤，所以cos C ．故答案为：16.例6．（2024·高一课时练习）设非零实数a ，b 满足224a b +=，若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=_________.【答案】2【解析】化简得到20yx ax y b -+-=，根据0∆≥和224a b +=得到2222b b y -+≤≤，解得答案.21ax b y x +=+，则20yx ax y b -+-=，则()240a y y b ∆=--≥，即22440y yb a --≤，224a b +=，故224440y yb b -+-≤，()()22220y b y b -+--≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即2222b b y -+≤≤，即22,22b b m M -+==，2M m -=.故答案为：2.变式1．（2024·江苏·高三专题练习）若正实数,x y 满足2(21)(52)(2)xy y y -=+-，则12x y+的最大值为________．【答案】12-【解析】令1,(0)2x t t y +=>，则22(22()21)(52)(2)xy yt y y -=+--=，即22(45)(88)80t y t y -+-+=，因此222(88)32(45)02470t t t t ∆=---≥⇒+-≤，解得：012t <≤-+，当1t =-2440045t y x t ，-===-，因此12x y +的最大值为12-故答案为：12-变式2．（2024·全国·高三专题练习）设,a b R ∈，0λ>，若224λ+=a b ，且a b +的最大值λ=___________.【答案】4【解析】令a b +=d ，由224a b da b λ+=⎧⎨+=⎩消去a 得：22()4d b b λ-+=，即22(1)240b db d λ+-+-=，而b ∈R ，0λ>，则22(2)4(1)(4)0d d λ∆=-+-≥，24(1)d λλ+≤，d -≤≤，依题意，解得4λ=.故答案为：4题型三：基本不等式法例7．设x 、y 、z 是不全是0的实数.则三元函数()222,,xy yzf x y z x y z +=++的最大值是_____.【解析】引入正参数λ、μ.因为2222x y xy λλ+，2222y z yz μμ+，所以，22122xyx y λλ+，22122yz y z μμ+.两式相加得222112222xy yzx y z λμλμ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭.令112222λμλμ=+=，得λμ=故)222xy yzx y z +++.因此，()222,,xy yz f x y z x y z +=++例8．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x yx xy y --+的最大值为________.【答案】4【解析】由2221x xy y +-=，得(2)()1x y x y -+=，设12,x y t x y t-=+=，其中0t ≠.则1121,3333x t y t t t =+=-，从而2222112,522x y t x xy y t t t-=--+=+，记1u t t=-，则22225222x y u x xy y u -=-++，不妨设0u >，则124u u=+,当且仅当2u u =，即u时取等号，即最大值为4.故答案为：4.例9．（2024·全国·高三专题练习）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】22222221224233ab bc ab bc a b c a b b c ++==++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （当且仅=c =时取等号），2222ab bca b c +∴++故答案为：4题型四：辅助角公式法例10．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角α、β均为锐角，则()sin sin cos αβαβ+++的范围是______________．【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】因为角α、β均为锐角，所以sin ,cos ,sin ,cos ααββ的范围均为()0,1，所以()sin cos cos sin si i s n n s n i αβαβαβαβ=+<++，所以()()()πsin sin cos sin cos 4αβαβαβαβαβ⎛⎫+++>+++=++ ⎝⎭因为ππππ3π0,0,22444αβαβ<<<<<++<，π14αβ⎛⎫++>= ⎪⎝⎭，()sin sin cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβ+++=++-()=1sin sin cos cos sin sin βααβββ-+++sin β，当且仅当()1sin cos =sin cos βααβ-时取等，t =，()0,1t ∈，2sin 1t β=-，所以sin β22331222t t ⎛⎫+-=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭.则()sin sin cos αβαβ+++的范围是：31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：31,2⎛⎤⎥⎝⎦例11．cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是．【答案】1[4,]2-【解析】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+因为sin()[1,1]αϕ+∈-，所以(cos 1)(cos 1)y ββ++，令t =t ∈，则22t yt --，所以2221()422y t t --=-++-，（当且仅当t =即cos 1β=时取等）；且2211()222yt t -=--+，（当且仅当2t =即1cos 2β=-时取等）．故y 的取值范围为1[4,]2-．题型五：柯西不等式法例12．（2024·广西钦州·高二统考期末）已知实数i a ，i b R ∈，（i ＝1，2…，n ），且满足222121n a a a +++= ，222121n b b b +++= ，则1122n n a b a b a b +++ 最大值为（）A ．1B ．2C．D．【答案】A【解析】根据柯西不等式，()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，故11221n n a b a b a b +++≤，又当1122...n n a b b b a a =======1122n n a b a b a b +++ 最大值为1故选：A例13．（2024·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知x ，y ，z 是正实数，且5x y z ++=，则2222x y z ++的最小值为______.【答案】10【解析】由柯西不等式可得()2222222112()x y x y z z ⎡⎤++≥++⎢⎥⎦+⎢⎣+⎥，所以()22255222x y z ≥++，即222102x y z ≥++，当且仅当111x z ==即2x y z ==也即2,1,2x y z ===时取得等号，故答案为：10例14．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）已知2221x y z ++=，316+=a b ，则()()()222-+-+-x a y b z c 的最小值为______.【答案】9【解析】∵316+=≤=a b4≥,当且仅当13a b ==1,3,a b c ===，∵()()()()22222212-+-+-=-+++++x a y b z c xa by cza bc 22222211≥-++=-+++ab c a b c )219=≥，当且仅当a b cxy z ==时等号成立，可取13,,444x y z ==故答案为：9变式3．（2024·全国·高三竞赛）已知x 、y 、z R +∈，且s =，t =22s t -的最小值为.A ．B ．C ．36D ．45【答案】C【解析】由s t +=++，s t -=知()()()22212336s t s t s t -=+-≥++=.1123==时，取得最小值36.故答案为C变式4．（2024·全国·高三竞赛）设a b c d 、、、为实数，且222240a b c d ++-+=.则324a b c d ++-的最大值等于.A B ．0C ．D ．-【答案】D【解析】由题意得222222a b c d +++=，所以()(222222222224232132d a b c a b c ⎡⎤=++++++≥+++⎢⎥⎣⎦(利用柯西不等式）.从而，432d a b c ≥+++32a b c ≥+++.故324a b c d ++-≤-当且仅当a =，b =c d =±.题型六：权方和不等式法例15．（2024·甘肃·高三校联考）已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为____________.12【解析】设122(2)(1)x y x y y t λλ+=++++，可解得12133,,222t λλ===-，从而1332(2)(1)222x y x y y +=+++-13113(2)(1)22212x y y x y y ⎛⎫⎡⎤=++++-⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭12，当且仅当12x y ==.12．例16．已知实数,x y 满足0x y >>且1x y +=，则213x y x y++-的最小值是【答案】3222+【解析】)2121322x y x y x y +≥=+-+．1x y=-时，13,22x y =-=-取等号．例17．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．【答案】8【解析】20a b t +-=>，()()22222448.112a b t a b t b a a b t t+++≥==++≥--+-当2211a b a b b a +-=⎧⎪⎨=⎪--⎩时，即2,2a b ==，两个等号同时成立．变式5．已知122,0,1x y x y>+=，则的最小值是．【答案】【解析】()()()()333222111222222212122121x y x y x y +=+=+≥=+．即当22121221x y xy ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即3,x y ==，有．题型七：拉格朗日乘数法例18．0>x ，0>y ，17++=xy x y ，求23++x y 的最小值．【解析】令(,,)23(17)λλ=++-++-F x y x y xy x y 10λλ'=--=x F y ，20λλ'=--=y F x ，()170λ'=-+++=F xy x y ，联立解得5=x ，2=y ，13λ=，故23++x y 最小为12．例19．设,x y 为实数，若2241++=x y xy ，则2+x y 的最大值是．【解析】令222(41)λ=++++-L x y x y xy ，由2228301230410λλλλλ=+-=⎧⎪=+-=⎨⎪=++-=⎩x y L x y L y x L x y xy，解得⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ，所以2+x y 的最大值是10210⋅+1021055=．题型八：三角换元法例20．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）已知函数3()33333x x f x x x -=--+-+，若22(3)(1)6f a f b +-=，则________【解析】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=3 3333x x x x ---+-,所以3()3()333,()()0,x x g x x x g x g x --=--++-∴-+=所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得2()933ln 33ln 30x x g x x -=--'--<，所以函数g （x ）是减函数，因为()()22316f a f b +-=，所以()()2233130f a f b -+--=，所以g ()()2231ag b+-=0,所以g ()23a=g(1-2)b ,所以222231,31,cos ,sin ,3ab a b a b θθ=-∴+===设不妨设cos 0θ>，所以==≤，所以例21．（2024·浙江温州·高一校联考竞赛）2221x xy y ++=，则222x xy y ++的最小值为______.【答案】97-+【解析】根据条件等式可设sinx y θ==辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值. 2221x xy y ++=，则2227144x x xy y +++=，即22122x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ,sin2x y θθ=+=，则sin x y θ=，∴22222sin 2sinx xy y θθ⎛⎫⎛⎫++=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224cos 2sin7θθ=+41cos 21cos 272θθ+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭592cos 277θθ=-+()9277θϕ=++，其中ϕ是辅助角，且tan 7ϕ=，当()sin 21θϕ+=-时，原式取得最小值为97-+..题型九：构造齐次式例22．（2024·江苏·高一专题练习）已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是______.【答案】23【解析】由题意，33222242242243()2312821016()16(10x y xy xy x y xy y xx y x y x y x x y y y x +++==++++++2443()3()442()2()4x y x yy x y x x y x y x y y x y x y x++==+++++，设4x y t y x =+，则44x y t y x =+≥=，当且仅当4x y y x =，即2x y =取等号，又由2y t t =+在[4,)+∞上单调递增，所以2y t t =+的最小值为92，即292t t +≥，所以43()324223()4x yy xx yt x y y x t y x+≤=++++，所以2222242xy xy x y x y+++的最大值是23.故答案为：23.例23．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知实数,0a b >，若21a b +=，则31a b ab+的最小值为（）A ．12B．C．D ．8【答案】A 【解析】由31a b ab+，21a b +=，,0a b >，所以()23321a a b b ab b aba ++=+22434a b ab a ab b ++=+344a a b b b a=+++44448412a b b a =++≥=+=，当且仅当4413a b a b b a =⇒==时，取等号，所以31a b ab+的最小值为：12，故选：A.例24．（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a ，b ，c 满足22290a ab b c -+-=，则ab c的最大值为____________．【答案】14/0.25【解析】由22290a ab b c -+-=，得2229c a ab b =-+，∵正实数a ，b ，c∴则2219292ab ab a bc a ab b b a==-++-则96a b b a +≥=，当且仅当9a bb a=，且a ，b >0，即a =3b 时，等号成立9240a b b a+-≥>则11942a bb a≤+-所以，abc的最大值为14.故答案为：14.题型十：数形结合法例25．（2024·全国·高三专题练习）函数()2f x x ax b =++（a ，b ∈R ）在区间[0，c ]（0c >）上的最大值为M ，则当M 取最小值2时，a b c ++=_____【答案】2【解析】解法一：因为函数2y x ax b =++是二次函数，所以()2f x x ax b =++（a ，b ∈R ）在区间[0，c ]（0c >）上的最大值是在[0，c ]的端点取到或者在2ax =-处取得．若在0x =取得，则2b =±；若在2a x =-取得，则224a b -=；若在x c =取得，则22c ac b ++=；进一步，若2b =，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；若2b =-，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；由此推断24a b =，即有2b =，0a c +=，于是有2a b c ++=．解法二：设()2g x x =，()h x ax b =--，则()()()f x g x h x =-．首先作出()2g x x =在[]0,x c ∈时的图象，显然经过（0，0）和()2,c c 的直线为()1h x cx =，该曲线在[0，c ]上单调递增；其次在()2g x x =图象上找出一条和()1h x cx =平行的切线，不妨设切点为()200,x x ，于是求导得到数量关系02x c =．结合点斜式知该切线方程为()224c h x cx =-．因此2min 10224c M ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得4c =．此时()28c h x cx =-，即()42h x x =-，那么4a =-，2b =．从而有2a b c ++=．例26．（2024·江苏扬州·高三阶段练习）已知函数()ln ,024,0x x x f x x e x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（）A ．12ee-B ．21e +C D ．52e【答案】D【解析】当0x >时，()ln f x x x =，求导()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1=x e当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；作分段函数图象如下所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线24y x e =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，122x x -=，由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，令()ln 12f x x '=+=，得x e =，切点坐标为(),e e ，此时，d ==，12max52x x e ∴-==，故选：D例27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,01,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（）A ．B ．2CD ．1【答案】B【解析】设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l的倾斜角为4π，可得出12x x -，于是当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，从而12x x -取到最大值.当0x >时，()ln f x x x =，求导()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1=x e当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；如下图所示：设点A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点B ，设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，12x x -=，由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0，此时，d ==12max 2x x ∴-=，故选：B.变式6．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数()(),01,ln 2,12,x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩若存在实数1x ，2x 满足1202x x ≤<≤，且()()12f x f x =，则21x x -的最大值为（）A ．2eB ．e 12-C ．1ln 2-D ．2ln 4-【答案】B【解析】()(),01,ln 2,12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的图象如下存在实数1x ，2x 满足1202x x ≤<≤，且()()12f x f x =，即()12ln 2x x =∴21,2e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()2122ln 2x x x x -=-令()()ln 2g x x x =-，1,2e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()1x g x x -'=∴()g x 在1,2e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，故()max 122e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选：B题型十一：向量法例28．（2024·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，则当点P 满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且||2,||3b c == ，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是_____________．【答案】3+【解析】以b为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设(),a x y = ，则()()2,0,0,3b c == ，a c a b a b -=-=+=，a c ab a b ∴-+-++即为平面内一点(),x y 到()()()0,3,2,0,2,0-三点的距离之和，由费马点知：当点(),P x y 与三顶点()()()0,3,2,0,2,0A B C -构成的三角形ABC 为费马点时a c ab a b -+-++ 最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明ABC 的三个内角均小于120︒：4AB BC BC ====，22211cos 0213AB AC BCBAC AB AC+-∠==> ，222cos cos 02AB BC ACABC ACB AB BC+-∠=∠==> ，ABC ∴ 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，120,30BPC PCB ︒︒∠=∴∠=，tan 2PO OC PCB =∠== ，即0,3⎛ ⎝⎭P ，现在验证120BPA ︒∠=：3BP AP ===，2221cos 22BP AP ABBPA BP AP+-∠==-，120BPA ︒∴∠=，同理可证得120CPA ︒∠=，即此时点⎛ ⎝⎭P 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为2333BP CP AP ++=⨯-+，即a c a b a b -+-++ 的最小值为3+；故答案为：3+例29．（2024·浙江嘉兴·高一统考期末）已知平面向量a ，b ，c满足1a = ，2b = ，2||a a b =⋅ ，()02bc c ⋅-=，则22||||c a c b -+- 的最小值为________.【答案】72【解析】令OA a = ，OB b =，OC c = ，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 的中点，由||1a = ，||2b = ，2||a a b =⋅ ，得112cos ,a b =⨯⨯<>，则1cos ,2a b <>= ，,60a b <>=︒即60AOB ∠=︒，所以AB ===，所以222AO AB OB +=，即90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，所以2EF =，因为()02bc c ⋅-= ，所以102OC OC OB ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭ ，即()0OC OC OD ⋅-= ，所以0OC DC ⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，22222(||||)2(||||)c a c b CA CB -+-=+22224||||4||CE AB CE =+=+2214||34(372CE EF =+-+=- ，当且仅当C 、E 、F 共线且C 在线段EF 之间时取等号．∴22||||c a c b -+-的最小值为72故答案为：72例30．（2024·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末）已知向量a ，b 满足()0a b b +⋅= ，44a b += ，则a b b ++ 的最大值为__________．【答案】4103/4103【解析】取平行四边形OACB ，连接OC设,OA a OB b == ，则=+ OC a b ，因为向量a ，b 满足()0a b b +⋅= ，所以()a b b +⊥ ，即OC OB ^，设,OB m OC n ==，,0m n >，如图以O 为原点，,OB OC 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,,0,0,,,O B m C n A m n -所以()(),,,0a OA m n b OB m ==-== ，则()()()4,4,03,4a b m n m m n +=-+== ，故22916m n +=，所以()()0,,0a b b n m n m++=+=+ 因为22916m n +=，又22sin cos 1θθ+=，可设π34sin ,4cos ,0,2m n θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭即4sin ,4cos 3m n θθ==，所以()()4sin 4cos 3m n θθθϕθϕ+=+=+=+，其中4πtan 3,0,423ϕϕ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以()0,πθϕ+∈，所以()(]sin 0,1θϕ+∈，故m n +的最大值为3，即a b b ++ 的最大值为3.故选：3.题型十二：琴生不等式法例31．（2024·福建龙岩·高三校考阶段练习）若函数()f x 的导函数()f x '存在导数，记()f x '的导数为()f x ''．如果对()x a b ∀∈，，都有()0f x ''<，则()f x 有如下性质：1212()()()n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．其中*N n ∈，1x ，2x ，L ，()n x a b ∈，.若()sin f x x =，则在锐角ABC 中，根据上述性质推断：sin sin sin A B C ++的最大值为________.【答案】2.【解析】()sin f x x =，则()cos f x x '=，()sin f x x ''=-.在锐角ABC 中，A ，B ，02C π∈（，），则()sin 0f x x ''=-<∴sin sin sin sin sin 3332A B C A B C π++++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴sin sin sin A B C ++故答案为：2.例32．（2024·全国·高三竞赛）半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是______．2【解析】设O 的内接三角形为ABC ．显然当ABC 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值（因为若ABC 是钝角三角形，可将钝角（不妨设为A ）所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B C ''）．因此，AB C ABC S S ''> ．下面设2AOB α∠=，2BOC β∠=，2COA γ∠=，παβγ++=．则()21sin2sin2sin22ABC S R αβγ=++ ．由讨论知可设0α<、β、π2γ<，而sin y x =在()0,π上是上凸函数．则由琴生不等式知()2sin2sin2sin2sin 33αβγαβγ++++≤=所以，2213224ABC S R R ≤⨯⨯= ．当且仅当ABC 是正三角形时，上式等号成立．故答案为24R 例33．（2024·北京·高三强基计划）已知正实数a ，b 满足1a b +=，求11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值．【解析】设1()ln ,01f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，则231()x f x x x '-=+，从而()422341()0x x f x x x -+++''=>，故()f x 在(0,1)下凸，因此()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立．所以11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为华254。
「精选」人教版最新高考数学总复习之【最值问题】专题及参考答案-精选文档
精选文档 可编辑修改1 专题 最值问题【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形.考点3：线段的定比分点、平移.考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a xax x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)【重点∙难点∙热点】 问题1：函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值．思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．(1)解法一：(利用定义)2)(x x f =-＋1++a x ，2)(x x f -=-.1---a x精选文档 可编辑修改2若22),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数；若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对R x ∈恒成立，只能是0=a ．故0=a 时，)(x f 为偶数；≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数． 若0=a ，则=)(x f 1)(2++=-x x x f ，)(x f 为偶函数； 若≠a ，则12)(,1)(22++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数．（2）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若21≤a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为43)21(=f ，且)()21(a f f ≤． 当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ．若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-；若21->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ．综上所述，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是43+a ．点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(x f精选文档 可编辑修改3与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,j i AB 22+=(i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2－x －6．(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值． 点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，)(1)(x f x g +＝252+--x x x ＝x+2+21+x －5，用不等式的知识求其最小值．演变2：（05年北京卷）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ． （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 点拨与提示：本题用导数的知识求解．问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．例2：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+，然后求其最小值．解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)精选文档 可编辑修改4设点P(x ,y ),则AP ={x +6, y },FP ={x －4, y },由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩，则22x +9x －18=0, 解得 x =23或x =－6．由于y >0,只能x =23,于是y =235． ∴点P 的坐标是(23,235)(2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0． 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m ．于是26+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2．椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有 222222549(2)4420()15992d x yx x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0>>x y ．(Ⅰ) 将十字形的面积表示为θ的函数；(Ⅱ) θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 点拨与提示：将十字型面积S 用变量θ表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S 的最大值．问题3：最值的实际应用 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路分析：将帐蓬的体积用x 表示（即建立目标函数），然后精选文档 可编辑修改5求其最大值．解：设OO 1为x m ，则41<<x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ） 故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ） 求导得)312(23V'2x x -=）（． 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数． ∴当2=x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ． 点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：-1物体质量（含污物）污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(≤≤a a ．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18.0->++a x x x ．用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是a y ac y ++，其中)99.08.0(<<c c 是该物体初次清洗后的清洁度．（1）分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．（2）若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----，利用均值不等式求最值．问题4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m 恒成立，即min )(x f ＞m ；精选文档 可编辑修改6f(x)<m 恒成立，即max )(x f <m ．例4、已知函数xax x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意0)(),,1[〉+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围． 思路分析：f(x)＞0恒成立，即min )(x f ＞0．解：（1）当21=a 时，211)(',221)(zxx f x x x f -=++=． 1≥x ， ∴0)(/>x f ． ∴ )(x f 在区间),1[+∞上为增函数． ∴ )(x f 在区间),1[+∞上的最小值为27)1(=f ． （也可用定义证明221)(++=xx x f 在),1[+∞上是减函数） （2） 02)(2>++=x ax x x f 在区间),1[+∞上恒成立； ∴ 022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立； ∴ a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立； 函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3∴ 3<-a 即 3->a点评：1．（1）中，,221)(++=xx x f 这类函数，若0>x ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可．2．求函数的最小值的三种通法：利均值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现．精选文档 可编辑修改7演变5：已知函数()22xxaf x =-，其中0<a <4． （Ⅰ）将()y f x =的图像向右平移两个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，求函数()y h x =的解析式；（Ⅲ）设()()()1F x f x h x a=+，已知()F x 的最小值是m，且2m >数a 的取值范围．点拨与提示：（Ⅲ）的实质就是72)(min +>x F 恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值． 问题五：参数的取值范围问题 参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力．在历年高考中占有较稳定的比重．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．例5．设直线l 过点P （0，3）且和椭圆顺次交于A 、B 两点，求的取值范围．思路分析：=BAx x -．要求的取值范围，一是构造所求变量BAx x -关于某个参数（自然的想到“直线AB 的斜率k ”）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的．二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来．韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称式． 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称式：1221x x x x +．由此出发，可得到下面的两种解法．解法1: 当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入精选文档 可编辑修改8椭圆方程，消去y 得 ()045544922=+++kx x k解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 由椭圆关于y 轴对称，且点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形．当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PB AP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-．由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ， 所以 51592918112-<-+-≤-k，即 511-≤≤-PB AP ．解法2:设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ， 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有 5362045324422≤+≤k k ， 所以 536214≤++≤λλ，解得 551≤≤λ． 结合10≤<λ得151≤≤λ．精选文档 可编辑修改9综上，511-≤≤-PB AP ． 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等． 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法．演变6：已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，（Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域； （Ⅱ）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解． 专题小结1．函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．2．三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．3．在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．4．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m 恒成立，即min )(x f ＞m ；f(x)<m 恒成立，即max )(x f <m ．5．参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，钥解题的关键不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等． 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等． 【临阵磨枪】一．选择题1．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A43B75C85D 32．（05福建卷）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A22-B335-C－3 D27-3．（06年江西）P是双曲线22x y1916－＝的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（）A 6B 7C 8D 94．（06年福建）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A (1,2]B (1,2)C [2,)+∞ D (2,)+∞5．当2π0<<x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2++=的最小值为（）A 2 B32C 4 D346．（05天津卷）若函数)1,0()(log)(3≠>-=aaaxxxfa在区间)0,21(-内单调递增，则a的取值范围是（）A)1,41[B)1,43[C),49(+∞D)49,1(7.（06年江西）若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，12）成立，则a的取值范围是（）A 0B –2C -52D -38.(05年重庆)若x，y是正数，则22)21()21(xyyx+++的最小值是（）A 3 B27C 4 D29二．填充题9.已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是_______．10.(05上海)若yx,满足条件⎩⎨⎧≤≤+xyyx23，则yxz43+=的最大值是__________.11.（06年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90︒，AC＝6，BC＝CC1，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________ C11A精选文档可编辑修改12.对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．三．计算题 13．（06年全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值． 14． (05年重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(． (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围．15 (05天津)已知m R ∈，设P ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式21253m m x x --≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立；Q ：函数324()()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上有极值．求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围．16．（06年江西）如图，椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点 （1） 求点P 的轨迹H 的方程 （2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？参考答案1．A 提示：设抛物线上动点为P(x ,-x 2)，所以3453205|843|2=≥-+-=x x d ．2．C 提示：αα,则a+b=3sin(αϕ+),其中ϕ=,a b ∴+的最小值为－3．3．B 提示：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9．4．C 提示：依题意a b ≤3 ，结合222a c b -=，得2≥=ac e ． 5．C 提示：xxx x x x x x x x x x f cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 22sin sin 82cos 1)(222+=+=++= 4cos sin 4sin cos 2=⋅≥x x x x ，当且仅当x x x x cos sin 4sin cos =，即21tan =x 时，取“=”， ∵2π0<<x ，∴存在x 使21tan =x ，这时4)(max =x f ． 6．B 提示：记()3g x x ax =-，则()2'3g x x a =-，当1a >时，要使得()f x 是增数，则需有()'0g x ≥恒成立，所以213324a ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭．矛盾，排除C 、D ；当01a <<时，要使得()f x 是增数，则需有()'0g x ≤恒成立，所以213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，排除A ．本题答案选B7．C 提示：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－．若a 2－≥12即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1；若a 2－≤0即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0；若0≤a 2－≤12即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－52≤a 故选C8．C 提示：22)21()21(x y y x +++≥2(x+12y )(y+12x )≥当且仅当11221212x y y x x y y x ⎧+=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得,选(C) 9．3.5 提示：点P 在以A,B 为焦点,2a=3的双曲线的右支上,∴|PA|的最小值为1.5+2=3.5． 10.11 提示：求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值为11.11.提示：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒又∠BC 1C ＝45︒,∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理可求得A 1C＝12.31x x ><-或 提示：将p 视为主元，设()()()2143f p p x x x =-+-+，则当40≤≤p 时，()f p >0恒成立．等价于：()()0040f f >⎧⎪⎨>⎪⎩．即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩,解得31x x ><-或．13．cos 2cos2B C A ++2sin 22sin 212sin 2cos 2cos 2cos 2A A A A A A +-=+=-+=π 记2sinA t =（0A π<<）则原问题等价于求122)(2++-=t t t f 在]1,0(上的最大值 ()221121222f t t ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当41=t 时，即3π=A 时，f(t)取得最大值23．14．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由C 1CB A 1故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则229,,22,1313A B A BA B A B x x x x OA OB x x y y k k -+==⋅>+>--由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++22222937(1)2.131331k k k k k -+=++=---于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k ② 由①、②得.1312<<k 故k的取值范围为(1,-⋃15 解 (Ⅰ)由题设1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，得1x +2x ＝a 且1x 2x ＝－2，所以，84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x当a ∈[-1,1]时，28a +的最大值为9，即12||x x -≤3由题意，不等式212|53|||m m x x --≥-对任意实数a ∈[1,1]恒成立的m 的解集等于不等式2|53|3m m --≥的解集由此不等式得2533m m --≤-①，或2533m m --≥②不等式①的解为05m ≤≤，不等式②的解为1m ≤或m ≥ 因为，对1m ≤或05m ≤≤或6m ≥时，P 是正确的(Ⅱ)对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f令0)('=x f ，即034232=+++m mx x 此一元二次不等式的判别式 124)34(12422--=+-=∆m m m m 若∆＝0，则0)('=x f 有两个相等的实根0x ，且)('x f 的符号如下：因为，0()f x 不是函数()f x 的极值若∆>0，则0)('=x f 有两个不相等的实根1x 和2x (1x <2x )，且)('x f 的符号如下：+－因此，函数f (x )在x ＝1x 处取得极大值，在x ＝2x 处取得极小值综上所述，当且仅当∆>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值由0161242>--=∆m m 得1m <或4m >， 因为，当1m <或4m >时，Q 是正确得综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(-∞,1)⋃,6[]5,4(+∞⋃16． 解：如图，（1）设椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2⎧⎪⎨⎪⎩＋＝…………（）＋＝…………（）1︒ 当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2， 由（1）－（2）得b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0212212y y b x yx x a y x c∴－＝－＝－－∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)2︒ 当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3） 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2a c ，原点距l 的距离为2a c，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π）， 则2a c＝2sin （2θ＋4π）当θ＝2π时，上式达到最大值．此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1设椭圆Q ：22x y 12＋＝上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积S ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22x y 12＋＝中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k －＋，y 1y 2＝212k－＋， 4S 2＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2－4 y 1y 2＝2228k 1k 2（＋）（＋）令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝28t 8821t 14t 2t≤＝＝（＋）＋＋，当t ＝1，k ＝0时取等号． 因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大．【挑战自我】已知()),(23R b a b ax x x f ∈++-=．（１）若函数)(x f y =图象上任意两个不同点的连线斜率小于1，求证：33<<-a ；（２）若[]1,0∈x ，函数)(x f y =上任一点切线斜率为k ，当1≤k 时，求a 的取值范围．解：（1）、设任意不同两点为()()222111,,,y x P y x P ，且21x x ≠，则()0111222122121223221312121<-+--+-∴<--++-∴<--ex x x x e x x x ex x ex x x x y y3304340)]4()3(4[)2(,0423,02222222211<<-∴<-∴<-⨯-⨯-=∆∴<-++-<∆∴∈a e e e e ex x R x 恒成立即（2）、当[]()ax x x fk x 23,1,02'+-==∈时由题意：[]1,0,12312∈≤+-≤-x ax x ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤=≤≤≤+-=13)3(130123)1(2''aa f a a f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=13123)1('a a f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-=03123)1('a a f 解得：当1≤k 时，31≤≤a【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案 演变1：(1)由已知得A(kb-,0),B(0,b),则={k b ,b},于是k b =2,b=2． ∴k ＝1,b ＝2．(2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2－x －6,即(x+2)(x －4)<0, 得－2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x －5由于x+2>0,则)(1)(x f x g +≥－3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=－1时成立 ∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 点评：（1）要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法．如1(0)y x x x=+≠型．（2）利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可．演变2：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7． 演变3：（Ⅰ）解：设S 为十字形的面积，则22x xy S -= ).24(cos cos sin 22πθπθθθ<<-=（Ⅱ）解法一：θθθ2cos cos sin 2-=S212cos 212sin --=θθ21)2sin(25--=ϕθ（其中.552arccos =ϕ） 当S ,22,1)2sin(时即πϕθϕθ=-=-最大．所以当S ,552arccos 214时+=πθ最大． S 的最大值为215-． 解法二： 因为,cos cos sin 22θθθ-=S所以θθθθcos sin 2sin 2cos 222+-='S .2sin 2cos 2θθ+= 令0='S ，即,02sin 2cos 2=+θθ可解得)2arctan(212-+=πθ 所以，当)2arctan(212-+=πθ时，S 最大，S 的最大值为215-． 演变4：方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有99.018.0=++x x ，解得x ＝19． 由c ＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程：99.095.0=++ay ay ，解得y =4a ，故z =4a +3．即两种方案的用水量分另为19与4 a +3． 因为当1≤a ≤ 3时，x －z ＝4（4－a ）>0，即x >z ． 故方案乙的用水量较少．（II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-（*）于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----当a 为定值时，1541)1(100)1(512--=---⨯-≥+a a a c a c y x当且仅当)1(100)1(51c a c -=-时等号成立，此时a c 51011+=（不合题意，舍去）或)99.0,8.0(51011∈-=ac ．将a c 51011-=代入（*）得1152->-=a a x ，a a y -=52．故ac 51011-=时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-=a x 与a a y -=52，最少总用水量为154)(-+-=a a a T ．当1≤a ≤ 3时，0152)(/>-=aa T ，故T （a ）是增函数（也可用二次函数的单调性来判断），这说明随着a 的值的增加，最少总用水量增加．演变5：（Ⅰ）()()222422242x x x x a ag x f x --=-=-=-； （Ⅱ）设点()(),P x h x 是函数()y h x =上任一点，点()(),P x h x 关于1y =的对称点是()()',2P x h x -，由于函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，所以，点'P 在函数()y g x =的图像上，也即：()()2h x g x -=．所以，()()242242x x ah x g x =-=-+； （Ⅲ）()()()1F x f x h x a =+()111241242x x a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭解法一．注意到()F x 的表达式形同nmt t+，所以，可以考虑从11,414m n a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即和的正负入手．（1）当114410a a ⎧->⎪⎨⎪-≤⎩，即104a <≤时，()F x 是R 上的增函数，此时()F x 无最小值，与题设矛盾；(2) 当1104410a a ⎧->⎪⎨⎪->⎩，即144a <<时，()F x22≥=．等号当且仅当()11124142xx a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即2x =时成立． 由2m >144a <<，可得：()()4417144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解之得：122a <<．解法二．由()F x 2>+()11124142xx a a ⎛⎫-+-≥⎪⎝⎭．令2xt =，则命题可转化为：当0t>时，()2114104t a a ⎛⎫--+-≥⎪⎝⎭恒成立． 考虑关于t的二次函数()()211414t t a a ϕ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭． 因为1104a ->，函数()()211414t t a a ϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的对称轴0)411(27>-a ，所精选文档 可编辑修改21 以，需且只需()110411744104a a a ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪∆=---< ⎪⎪⎝⎭⎩，解之得：122a <<． 此时，014,044>->-a a a ，故21444)(+-+-=ta t a a x F 在a a a t --=4)14(4取得最小值()214442+-⋅-=a aa m 满足条件． 演变6：解：对函数()f x 求导，得()()2241672x x fx x -+-=-，()()()221272x x x --=-- 令()0f x =，解得 11x =或27x =，当x 变化时，()f x ，、()f x 的变化情况如下表： 所以，当()01x ∈，时，()f x 的值域为[]43--，（Ⅱ）对函数()g x 求导，得 ()()223g x x a =-，因此1a ≥，当()01x ∈，时， ()()2310g x a -≤，因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦， 又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有 ()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，，即212341232a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩（）（）解1（）式得 1a ≥或53a≤-解2（）式得32a≤又1a≥，故a的取值范围为312a≤≤精选文档可编辑修改22。
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误解分析
(1)误以为抛物线上距A最近的点一定为抛物线的顶点是导
(2)建立目标函数后，d2是关于x的二次函数，要进行分类讨 论求得d2的最小值，否则会出现 d！！
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延伸·拓展
5.在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x (1)设点A的坐标为(2/3，0)，求曲线上距点A最近的点P之 坐标及相应的距离|PA|； (2)设点A的坐标为(a,0),a∈R，求曲线上的点到点A距离之 最小值d，并写出d=f(a)的函数表达式.
【解题回顾】一般而言，对抛物线y2=2px，则有
2010届高考数学最值问题 复习
要点·疑点·考点
1.能够根据条件恰当地选择自变量建立目标函数，然后利 用求函数最值的方法(如配方法、基本不等式法、三角函数 的值域、函数的单调性、判别式法等)求出最大、最小值
2.能够结合曲线的定义和几何性质，运用“数形结合”或 者用“几何法”求出某些最大、最小值.
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