2018年选修4-4 《圆的参数方程》参考教案

圆的参数方程

教学目的；1.理解圆的参数方程.

2.熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程.

3.理解参数θ的意义

教学重点；理解圆心不在原点的圆的参数方程

教学难点：可将圆的参数方程化为圆的普通方程

教学方法：引导学生用创新思维去寻求新规律

学法指导：能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程

教学过程：

一、 复习回顾：

1、圆的标准方程：

若以(a ,b )为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：(x -a )2+(y -b )2=r 2

2、圆的一般方程：若D 2+E 2-4F ＞0，则方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，

（1） （2）

二、讲授新课.

点在圆O 上从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，设∠P 0OP =θ.

若设点P 的坐标是(x ,y )，不难发现，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数，

即⎩⎨⎧==θ

θsin ,cos r y r x ① 并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P （x ,y ）都在圆O 上.

这一方程也可表示圆.那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程.其中θ是参数.

若圆心为O （a ,b ）、半径为r 的圆可以看成由圆心为原点O ，半径为r 的圆按向量ν=(a ,b )平移得到的（如上图（2））.

不难求出，圆心在（a ,b ）、半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=.

sin ,cos θθr b y r a x (θ为参数）② 若将方程组②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：（x -a )2+(y -b )2=r 2.进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即： x 2+y 2-2ax -2by +a 2+b 2-r 2=0.

其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程.

对于参数方程⎩

⎨⎧==),(),(t g y t f x ③ 并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点M （x ,y )都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.

注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.

练习：

1、参数方程⎩

⎨⎧+=+=θθ2sin 512cos 52y x 表示的曲线是( ) A.圆心为(2，1)，半径为5的圆 B.圆心为(2，1)，半径为25的圆

C.圆心为(2，1)，半径为5的圆

D.不是圆

2、.两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩

⎨⎧==θθsin 3cos 3y x 的位置关系是( ) A.内切 B.外切 C.相离 D.内含

3、点(1，2)在圆⎩⎨⎧=+-=θ

θsin 8cos 81y x 的( )

A.内部

B.外部

C.圆上

D.与θ的值有关

［例1］如图所示，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0）.点P 在圆上运动时，线段P A 的中点M 的轨迹是什么？

三、课堂练习：

1.填空：已知圆O 的参数方程是

⎩⎨⎧==.

sin 5,cos 5θθy x (0≤θ＜2π） (1)如果圆上点P 所对应的参数θ=3

5π，则点P 的坐标是 . （2）如果圆上点Q 的坐标是（-2

35,25），则点Q 所对应的参数θ等于 . 2.把圆的参数方程化成普通方程：

（1）⎩

⎨⎧+-=+=;sin 23,cos 21θθy x (2)⎩⎨⎧+=+=θθsin 2,cos 2y x 3.经过圆x 2+y 2=4上任一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，求线段PQ 中点轨迹的普通方程.

四、课后作业：

五、板书设计