bernstein基函数
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》范文
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》篇一一、引言随着科学技术的发展，变分数阶微分方程在物理、工程、生物等领域的应用越来越广泛。
然而，由于变分数阶微分方程的复杂性，其求解变得非常困难。
近年来，Bernstein多项式作为一种有效的数值逼近方法，被广泛应用于各类微分方程的求解。
本文旨在利用Bernstein多项式求解五类变分数阶微分方程的数值解，以期为相关领域的研究提供参考。
二、Bernstein多项式简介Bernstein多项式是一种以Bernstein基函数为基底的多项式，具有许多优良的性质，如局部支撑性、非负性等。
由于其具有良好的逼近性能，被广泛应用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域。
三、变分数阶微分方程的描述变分数阶微分方程是一类具有分数阶导数的微分方程，其阶数可以是变量。
这类方程在描述复杂系统时具有很高的精度和灵活性。
然而，由于分数阶导数的非局部性质，使得这类方程的求解变得十分困难。
四、基于Bernstein多项式的变分数阶微分方程数值解法针对五类变分数阶微分方程，我们采用Bernstein多项式进行数值求解。
具体步骤如下：1. 将变分数阶微分方程转化为等价的积分方程；2. 利用Bernstein基函数的性质，将积分方程转化为关于Bernstein系数的线性方程组；3. 通过求解线性方程组，得到Bernstein系数的值；4. 利用得到的Bernstein系数，通过Bernstein反演公式，求得原函数的近似解。
五、五类变分数阶微分方程的数值解法实例以五类典型的变分数阶微分方程为例，我们分别采用上述方法进行求解。
通过比较数值解与真实解的误差，验证了该方法的有效性和准确性。
实验结果表明，基于Bernstein多项式的数值解法能够有效地求解变分数阶微分方程，且具有较高的精度。
六、结论本文提出了基于Bernstein多项式的变分数阶微分方程的数值解法。
通过五类典型方程的求解实例，验证了该方法的有效性和准确性。
基于Bernstein基函数的石油价格预测
图4
真实值与拟合值的残差比图
图5
残差与平均数比图
图2
原始数据走势图
根据以上分析， 设 m = 27 ， γ1 = 97． 5% ， γ2 = 2． 5% 。 按照 以上模型进行移动模拟预测 ， 计算 ζ= X（ t） － X（ t） × 100 % X（ t）
∧
由于以上模型是在等间隔时间的基础上建立的 ， 所以令 并以此为依据对原始数据进行筛选 。 在 时间间隔为一个月， 预测中， 取控制点个数为 27 个， 即令 m = 27 ， 得到拟合曲线Байду номын сангаас 如图 3 所示。
m j B j， 其中， m （ t） = C j t （ 1 － t ） m－j ∧ m
X （ t ） = ∑ b j B j， m （ t ） （ t ） bj ， j = 0， 1 …， m 为控制点； （ t） 为干扰项。 其中， X ， 首先对 参数化 设所选用的数据资料的时间间隔是 相等的 。 设 △ t = μ i + 1 － μ i = C（ C 为常数 ） 且 μ i 为整数序列 ， 再将其参数化序列规范化后 ， 得 t i = μ i / n， i = 0， 1 …， n
→ →
t， j = 0， 1， …， m
X （ t ） = ∑ b j B j， 0 ≤t≤1 ， m＜n 即， m （ t） ， 由此， 可建立 Bernstein 基函数模型为
·79·
图1
预测拟合函数走势示意图
→
1 / n 个单位为垂 如图 1 所示， 我们可以得出以 λ 为方向， 直投影长度的点为下一个预测值 。 四、 实例分析 根据上述模型， 使用纽约商品交易所 WTI 从 2000 年 5 月到 2011 年 3 月的数据， 用以检验模型的预测效果 。数据分 布如图 2 所示。
南通大学计科院胡彬老师论文
计算机图形学课程报告作者：专业：学号：完成日期：目录一Bezier简介 (3)1.1历史演变 (3)1.2研究背景和意义 (3)二Bezier知识概论 (4)2.1Bezier曲线 (4)2.1.1Bezier曲线的定义和性质 (4)2.1.2Bernstein基函数的性质 (5)2.2.3Bezier曲线的性质 (7)2.1.4 Bezier曲线的几何作图法及其应用 (8)2.2Bezier曲线算法 (8)2.2.1Bezier曲线的递归分割算法 (8)2.3Bezier曲线的拼接 (9)2.3.1Bezier曲线的升阶与降阶 (11)2.4Bezier曲线中的等周问题 (14)2.4.1等周问题的概述 (14)2.4.2等周问题的一些总结 (14)三Bezier应用和发展 (14)3.1应用 (14)3.2发展 (15)3.2.1求解最优化问题的常用方法 (16)3.2.2全局最优化方面的发展 (16)四总结与致谢 (16)本文总结 (16)致谢 (17)参考文献 (17)一Bezier简介1.1历史演变曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。
1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD 系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。
B样条基础解析
Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边 形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中： (1) 只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上； (2) 其余的顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形 状； (3) 第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点 处的切线方向。
一、 Bé zier曲线的定义和性质
1. 定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi ( i=0,1,2,…,n )，则Bé zier曲线可定 义为： n P(t) Pi B i,n (t), t 0,1
i 0
其中，Pi(i=0,1, …,n)构成该Bé zier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次 Bernstein基函数： n! i i B i,n (t) Cn t (1 t)n i t i (1 t)n i , (i 0,1,..., n) (n i )!i ! 其中，00=1，0！=1。 控制顶点 特征多边形
1 ti t ti 1 N i ,1 (t ) 0 Otherwise
t ti ti k t N i ,k (t ) N i ,k 1 (t ) N i 1,k 1 (t ) ti k 1 ti ti k ti 1
and t0 , t1 ,, tk 1 , tk ,, tn , tn1 ,, tn k 1 , tn k
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
(2) 端点性质
1, i=0 Bi,n(0)= 1, i=n Bi,n(1)=
0, i≠0
0, i≠n
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
B
i 0
n
bernstein基函数
bernstein基函数Bernstein基函数是一种用于表示多项式曲线的基函数系列。
它由Sergei Natanovich Bernstein在20世纪提出，并在数值分析中得到广泛应用。
Bernstein基函数由二项式系数和Bernstein多项式组成。
对于给定的度数n，Bernstein基函数包括n+1个多项式，并且对于每个多项式，其值在[0,1]之间变化。
基函数的数学表示形式如下所示：B_{i,n}(t)=C(n,i)t^i(1-t)^{n-i}其中，C(n,i)为二项式系数，表示为：C(n,i)=\frac{n!}{i!(n-i)!}Bernstein基函数的主要特点是非负性、局部性和分界性。
非负性指的是基函数始终大于等于零，即B_{i,n}(t) \geq 0。
局部性指的是Bernstein基函数只在一小段区间上有显著的非零值。
分界性是指基函数在[0,1]的定义域上形成一个分界，每个基函数在不同的区间上起到作用。
Bernstein基函数的优点在于它们构成了一个完备的基函数系列，即任何n次多项式曲线都可以被这些基函数线性组合表示。
此外，它们具有简单的计算形式和可控的形状。
通过改变系数，可以调整曲线的形状和弯曲程度，实现对曲线的精细控制。
Bernstein基函数在计算机图形学、数值逼近和曲线拟合等领域中得到广泛应用。
在计算机图形学中，Bernstein基函数被用于表示和渲染三次和高阶贝塞尔曲线。
在数值逼近中，它们可以用于近似函数和数据，提供一种灵活的拟合方法。
在曲线拟合中，Bernstein基函数可以通过最小二乘法来拟合曲线，并找到最佳的逼近多项式。
然而，Bernstein基函数也有一些限制。
由于基函数在整个定义域上的正态分布，高阶基函数可能在一些区间上振荡，导致曲线的不稳定性。
此外，当需要表示复杂的曲线形状时，需要更多的基函数，从而增加了计算的复杂性和存储需求。
为了解决这些问题，研究人员提出了改进和扩展的Bernstein基函数方法。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
带权Bernstein基的对偶基函数在等距逼近中的应用
带权Bernstein基的对偶基函数在等距逼近中的应用一、导言- 简述等距逼近理论以及带权Bernstein基在其中的应用- 阐述对偶基函数的概念及其在等距逼近中的重要性二、带权Bernstein基- 理论与定义- 带权Bernstein基的性质- 与传统Bernstein基的对比三、对偶基函数- 定义与性质- 对偶基函数的求解方法- 与带权Bernstein基的关系四、带权等距逼近中的应用- 带权等距逼近的问题描述- 基于带权Bernstein基的等距逼近方法- 对偶基函数的应用五、实验结果与分析- 数值模拟实验设计及数据分析- 对比实验结果，展示带权Bernstein基与传统方法之间的差异- 对偶基函数的效果分析六、结论与展望- 总结带权Bernstein基在等距逼近中的应用- 对对偶基函数的优化提出展望- 探讨带权Bernstein基在其他领域的应用前景导言数学和计算机科学中，等距逼近是一种研究函数逼近过程的重要方法。
其思想是通过将一个连续函数逼近为一组给定基函数的线性组合，这些基函数通常是由多项式形成的。
Bernstein基是广泛应用于多项式逼近和拟合问题的一种基函数形式，其通过给定区间上的多项式系数来逼近任何连续函数。
带权Bernstein基在此基础上扩展，通过对每个基函数引入权重来更加精确地逼近函数。
本文主要研究带权Bernstein基在等距逼近中的应用，并引入对偶基函数的概念，探索其在等距逼近中的重要性。
在本文中，我们将首先讨论带权Bernstein基的理论和定义，然后探究对偶基函数的概念及其在等距逼近中的作用。
接着我们将详细介绍在带权等距逼近问题中使用带权Bernstein基和对偶基函数的方法，最后通过数值模拟实验来展示带权Bernstein基与传统方法在等距逼近过程中的差异。
通过这些研究，我们希望能够为多项式逼近和拟合问题提供更加准确、高效的解决方案。
这些方法越来越广泛地应用于计算机图形学、信号处理、信息检索、神经网络等领域，具有重要的理论和现实意义。
带权Bernstein基的对偶基函数在等距逼近中的应用
带 权 Ｂ ｒ ｓ ｉ 的对 偶基 函数在 等 距 逼 近 中的应 用 ｅｎｔ ｎ基 ｅ
张 莉” 檀结庆 ， 军” 董致远” ， 时 ，
”（ 合肥 工 业 大 学 数学 学 院 合肥 ２００ ） ３ ０ ９ 。（ 合肥 工 业 大 学 计算 机 学 院 合肥 ２０ ０ ） ３ ０ ９
Ｂｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｉ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ｎ ｈ ｅ ｓ — ｑ ａ ｅ ｐ ｒ ｘ ｍ ａ ｉｎ ｐ ｌ ｎ ｍｉｌ ａ ｉｆ ｉ ｇ ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｇ ｒ ｓ ｅ ｎ ｂ ｓｓ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｌ ａ ｔｓ ｕ ｒ ｓ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏ ｙ ｏ ａｓ ｓ ｔｓ ｙ ｎ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ｏ ｎ
第 ２ ３卷 第 １ 期 ２
２１ ０ １年 １ ２月
计算 机辅 助设 计与 图形 学学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＣｏ ｕ ｅ— ｄ ｄＤｅ ｉｎ ＆ Ｃ ｍｐ ｔｒＧｒ ｐ ｉｓ ｏ ｒ ａ ｍｐ ｔｒ Ａｉｅ ｓｇ ｏ ｏ ｕｅ ａ ｈｃ
Ｖｏ Ｉ ３ Ｎｏ １ Ｉ２ ． ２
（ ｇ ｚｉ １ ． ｏ ） ｈ ｄ ｌ＠ ２６ ｃ ｒ ｎ
摘 要 ：利 用 带 权 Ｂ ｒｓｅｎ基 的 对 偶 基 函 数 ， 出 了 Ｂ ｒｓｅ ｅｎｔｉ 给 ｅｎ ｔｉ 的 对 偶 泛 函 和 平 方 可 积 函数 的 最 小 二 乘 逼 近 算 ｎ基 法 ， 考 虑 了满 足 端 点 高 阶 约 束 条 件 时 的 情 形 ． 该 算 法 应 用 于 Ｂ ｚ ｒ曲 线 等 距 曲 线 多 项 式 逼 近 算 法 中 ， 仅 可 以 并 将 ６ｉ ｅ 不
Hale Waihona Puke 。 （ ｏ ｌｇ ｏ ｕ ｅ ｎ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ Ｃ ｌ ｅ ｆ Ｃ ｍｐ ｔｒａ ｄ Ｉ ｆ ｒ ｔ ，ＨＰ ｅ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｅ ｏ ｏ ｆ ｉ ｎ ｖ ｒ ｉ ｆ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ，Ｈ ｔ
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》
《基于Bernstein多项式求五类变分数阶微分方程的数值解》篇一一、引言在科学和工程领域，变分数阶微分方程（Variable Fractional Differential Equations, VFDEs）的求解问题日益受到关注。
这类方程在描述复杂系统时具有很高的精度和灵活性，但同时它们的解析解也较为困难。
本文提出一种新的数值求解方法——基于Bernstein多项式的数值求解法，用于求解五类变分数阶微分方程。
二、Bernstein多项式简介Bernstein多项式是一组用于逼近和求解函数的特殊多项式。
它具有许多优良的性质，如局部支撑性、非负性和端点插值性等，因此常被用于数值分析和逼近理论中。
利用Bernstein多项式的这些特性，我们可以对变分数阶微分方程进行数值求解。
三、变分数阶微分方程的数值求解方法1. 方程类型：本文将针对五类变分数阶微分方程进行数值求解，包括线性、非线性、时变、空间变以及时间和空间都变化的微分方程。
2. 方法描述：我们将使用Bernstein多项式对变分数阶微分方程进行离散化处理，将微分方程转化为代数方程组，然后利用数值方法求解该代数方程组。
四、具体实施步骤1. 确定微分方程的类型和形式，包括变分数阶的取值范围和变化规律。
2. 构造Bernstein基函数，确定多项式的阶数和节点。
3. 将微分方程在离散节点上进行离散化处理，得到一系列代数方程。
4. 利用数值方法（如高斯消元法、迭代法等）求解代数方程组，得到数值解。
5. 对数值解进行后处理，如误差分析、结果可视化等。
五、实验结果与分析1. 实验设置：我们针对五类变分数阶微分方程进行数值求解，并比较了Bernstein多项式法和传统数值方法的求解效果。
2. 结果展示：通过图表展示了Bernstein多项式法求解变分数阶微分方程的数值解，并分析了其精度和效率。
3. 结果分析：相比传统方法，Bernstein多项式法在求解变分数阶微分方程时具有更高的精度和效率。
Bézier曲线
t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t
i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在 点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理 。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
Cni ti (1 t)ni
(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i
0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =
计算机图形学-学习指南 选择题 1 在计算机的二维造型软件系统中
计算机图形学-学习指南一、选择题1.在计算机的二维造型软件系统中，提供给用户多种图形的输入方式，但不包含_______。
A．交互方式 B.参数化方式 C.事件方式 D.识别方式2. 下列有关平面几何投影的叙述，错误的是_______。
A.透视投影又可分为一点透视、二点透视、三点透视B.斜投影又可分为等轴测、斜二测C.正轴测又可分为等轴测、正二测、正三测D.正视图又可分为主视图、侧视图、俯视图3. 在三维几何变换中的透视投影中灭点最多可以有______个。
D:\liyi计算机图形学网上教程TESTd.htmA.4B.3C.2D.14. 在齐次坐标表示中，是将n维空间中的点放到_____维空间中来考虑。
D:\liyi 计算机图形学网上教程TESTd.htmA.2B.n-1C.nD.n+15. 如果不采用齐次坐标表示法，则_____不能使用变换矩阵来实现。
D:\liyi计算机图形学网上教程TESTd.htmA.平移变换B.对称变换C.旋转变换D.比例变换6. 在直线段的参数方程表示方法中，参数t的取值范围为_____。
A.[0,1]B. [0,)∞C. [1,1]- D. [1,0]-7. 在三维造型中，不可以使用垂直扫掠造型方法构造的有_____。
A.园柱B.长方体C.三棱锥D.正十二面体8.Bézier曲线不具备的性质有_____。
A. 对称性B.几何不变性C.局部控制性D.凸包性9. 双线性法向插值法（Phong Shading）优点______。
A. 法向计算精确B. 高光区域准确C. 对光源和视点没有限制D.速度较快10.在多种颜色模型中，应用于光栅显示器的模型为______。
A.原色模型B.RGB模型C.CMY模型D.HSV模型11. 在光线跟踪(Ray Tracing)算法中,在______情况下应继续跟踪光线。
A. 光线的光强度已经很弱B. 光线跟踪的深度已经很深C. 光线遇到某一物体D. 光线碰到背景 12. 多边形填充时，下述论述错误的是______。
bezier曲线
n
n
P * (t) Pi*Bi,n (t) PniBi,n (t)
i0
i0
n
n
PniBni,n (1 t) PiBi,n (1 t)
i0
i0
P(1 t) , t 0,1
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(3) 凸包性
n
由于
Bi,n (t) 1,
(7) 最大值
Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(1) 端点性质
曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn ;
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。
4.2 Bézier曲线
Bézier Curves
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近 为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成 了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该 系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心 应手。
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2,,n 1)
(2) 端点性质
Bi,n(0)=
1, i=0 0, i≠0
Bi,n(1)=
1, i=n 0, i≠n
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
n
Bi,n (t) 1, t 0,1
第4讲-贝齐尔曲线
7
3. Bezier 曲线---性质
（2）对称性
* P 由控制顶点 i = Pn −i ,(i = 0,1,..., n),
构造出的新Bezier曲线，与原
Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
C * (t ) = ∑ Pi Bi ,n (t ) = ∑ Pn −i Bi ,n (t )
* i =0 i =0
2 0 2 2
17
3. Bezier 曲线---递推(de Casteljau)算法
当t从0变到 1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义 的一条二次 Bezier 曲线 。 并且表明：这二次 Bezier 曲线 P20 可以定义为分别由前两个顶点（ P0 ， P1 ）和后两个顶 点（ P1 ， P2 ）决定的一次 Bezier 曲线的线性组合。依次 类推，由四个控制点定义的三次 Bezier 曲线 P30可被定义 为分别由 (P0 ， P1 ， P2) 和 (P1 ， P2 ， P3) 确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，
}
if ((pow ((d.x - t2.x),2) + pow ((d.y-t2.y),2))>25){ bezier_DeC (t2, t5, t3, d); } else { ::Sleep(5); ddaline (t2.x, t2.y, t5.x, t5.y, COLOR); ddaline (t5.x, t5.y, t3.x, t3.y, COLOR); ddaline (d.x, d.y, t3.x, t3.y, COLOR); }
车 身 CAD
吴 娜
山东交通学院 汽车工程系
1
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
主要讲授内容
7.6 Bezier曲线性质
三、Bezier曲线的性质
1、端点性质
P 1 P0 P2 P3 P0 P2 P 1 P3
顶点p0和pn分别位于实际曲线段的起点和终点上
PDF pdfFactory
Bezier曲线段的参数方程表示如下：
p (t ) =
∑
n
n
i= 0
P i B i , n ( t ) = P 0 B 0 , n ( t ) + P1 B 1 , n ( t ) + K + P n B n , n ( t )
i=1
i
− p
i−1
)B
i−1,n −1
当 t=0：
p ' ( 0 ) = n ( p1 − p 0 )
当 t=1：
p ' (1 ) = n ( p n − p n − 1 )
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这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边 形的第一条边及最后一条边的走向一致
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P 1 P0
P2
P2
P3
P1
P3
P0
B i , n ( t ) = B n − i , n (1 − t )
B n − i , n ( 1 − t ) = C nn − i [1 − ( 1 − t )] n − ( n − i ) ⋅ ( 1 − t ) n − i
p (0 ) = p (1 ) =
∑ ∑
n i= 0
i= 0
P i B i , n ( 0 ) = P 0 B 0 , n ( 0 ) + P1 B 1 , n ( 0 ) + K + P n B n , n ( 0 ) = P 0 P i B i , n ( 1 ) = P 0 B 0 , n ( 1 ) + P1 B 1 , n ( 1 ) + K + P n B n , n ( 1 ) = P n
cadcam实验贝齐尔(Bezier)曲线曲面的生成方法
1贝齐尔曲面设计 1.1 贝齐尔曲面定义设),1,0;,1,0(m j n P ij =为)1()1(+⨯+m n 个空间点列，则m ×n 次Bezier 曲面定义为：]1,0[,)()(),(00,,∈=∑∑==v u v B u B P v u P m i nj n j m i ij （式2-1）其中im ii m m i u u C u B --=)1()(, ，jn j j n n i v v C v B --=)1()(,是Bernstein 基函数。
依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。
Bezier 曲面的矩阵表示式是：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(,),(),(),(,,1,0101111000100,,1,0v B v B v B P P P P P PP P P u B u B u B v u P m n m m nm n n m m n m n n （式2-2）在一般实际应用中，n 、m 不大于4。
(1) 双线性Bezier 曲面 当m=n=1时∑=∑==1010)()(),(1,1,i j p w B u B w u S ijj i u ，w ∈[0,1] （式2-3）定义一张双线性Bezier 曲面。
已知四个角点之后，则11100100)1()1()1)(1(),(uwpup w p u u w w u S -+-+--= (式2-4)(2) 双二次Bezier 曲面 当m=n=2时∑∑===2022,2,)()(w)S(u,i j ijj i p w B u B ]1,0[,∈w u （式2-5）由此式定义的曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。
(3) 双三次Bezier 曲面 当m=n=3时∑∑===3033,3,)()(w)S(u,i j ijj i p w B u B ]1,0[,∈w u (式2-6)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()]()()()([),(3,33,23,13,0333231302322212013121110030201003,33,23,13,0w B w B w B w B p p p p p p p p p p p p p p p p u B u B u B u B w u S (式2-7)其矩阵表示为TTZ Z Z W M B UM w u S =),(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----===0001003303631331],1[],1[2323z M w w w W u u u U （式2-8）1.2 贝齐尔曲面性质1．Bezier 曲面特征网格的四个角点正好是Bezier 曲面的四个角点，即P(0,0)=P00 P(1,0)=PM0 P(0,1)=P0N P(1,1)=PMN 2. Bezier 曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier 曲面的四条边界；Bezier 曲面边界的跨界切矢只能与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且P00P10P01, P0nP1nP0,n-1, Pm0Pm-1,0Pm1,分别是四个角点的切平面；跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关。
bernstein基函数
bernstein基函数本斯坦基函数是空间中常用的基函数，它可以用来表示任意函数。
它是二次多项式的基函数。
它的特点是低复杂度，可以简单快速地进行计算，因此被广泛应用于空间上的数学模型计算。
本斯坦基函数由美国数学家雷布伦斯坦（Ray Bernstein）所发明，主要用于描述任意函数的多边形函数。
本斯坦基函数的定义如下：n-1BN(x) =Σ bi(x) 且 i=0i=0其中，b i (x)为n次多项式。
本斯坦基函数有以下特点：1.具有一定对称性：BN（x）具有一定的对称性，即当n为偶数时，BN（-x）=BN（x）；当n为奇数时，BN（-x）=-BN（x）。
2.具有收敛性：BN(x)在[-1, 1]内收敛，即当x在[-1, 1]时，BN(x)相当于一阶多项式，当x离[-1, 1]越远时，BN(x)的值越小。
3.具有可积性：即本斯坦基函数是可积的，可以用它来表示任意函数的积分，这也是本斯坦基函数最重要的用途之一。
本斯坦基函数的用途：1.本斯坦基函数可以用来表示任意函数，可以用来进行函数拟合，用于数据分析，定量分析等。
2.本斯坦基函数在描述特定函数时经常被用到，在统计、空间模拟、数值求解和科学计算等领域有广泛的应用。
3.本斯坦基函数可以用来表示一个多项式的系数。
由此可以进行多项式拟合，用来拟合各类实际问题，如优化设计、最小二乘法计算等。
4.本斯坦基函数也可以作为差分运算的基本单元，用于进行分析和计算。
5.本斯坦基函数也可以作为图像处理的有效工具，例如可以用它来表示图像，并计算图像灰度和角度变换等。
综上所述，本斯坦基函数是一种可以用来表示任意函数、有良好收敛特性、可积性和高效的基函数。
它的应用非常广泛，包括数据分析、函数拟合、空间模拟、数值求解、多边形函数拟合、图像处理等，是一种重要的数学工具。
拟bernstein基表示圆的渐开线的充要条件
拟bernstein基表示圆的渐开线的充要条件
渐开线作为绘制出圆弧的重要工具，被广泛地应用在图形图像处理领域。
Bernstein基底在介绍渐开线常用表示形式时，被认为是一种有效的方法。
在探讨Bernstein基底表示圆的渐开线的充要条件、这一内容前，我们先来了解下布恩斯坦基底。
什么是布恩斯坦基底？布恩斯坦基底，即布恩斯坦多项式基，它是在一定范围内划分的有限个单位子集的基底。
它的定义如下：定义第n+1个索引为i的布恩斯坦多项式函数Bn,i(u)，如下：
Bn,i(u)=Cn,i (1-u)^n-i u^i
其中，Cn,i= (n!/(i!(n-i)!))。
Bernstein基底表示圆的渐开线，充要条件有二：
（1）曲面参数方程解析解的存在：
通过Bernstein基底构建圆的渐变线，需要用Bernstein基底多项式和原方程做比较，要求Bernstein多项式与原方程有相同的解，从而保证Bernstein多项式仍是圆；
（2）Bernstein多项式构建渐变线的一致性：
在构建圆的渐变线中，要求Bernstein多项式处处连续，即当r和s交替时，多项式应该不断变化。
因此，我们在实践中，对这种不断变化的限制作出明确的讨论，以确保Bernstein多项式构建的圆渐变线的一致性。
得出结论，当满足以上两个条件时，已有的Bernstein基底可以用来完成渐变线构建。
而在开展实际工程时，除了应用Bernstein基底构建渐变线外，还需要考虑现有方程本身的解析解情况，以及与其构建出的渐变线的一致性，以保证渐变线构建的准确性。
参数方程Bernstein基构建函数数据Matlab代码
参数方程Bernstein基构建函数数据Matlab代码参数方程Bernstein基构建函数数据Matlab代码%================参数方程Bernstein基构建函数数据(二元)==========================%%see alsoclearX=load('IO.txt');hold onplot(X(:,1),X(:,2),'b');plot(X(:,1),X(:,3),'r');%figure;%plot(X(:,2),X(:,3));hold off%===看图形确定Bernsein基的次数==============m=input('请输入第一个方程Bernsein基的次数m(即m+1阶):');n=input('请输入第二个方程Bernsein基的次数n(即n+1阶):');%m=5;n=4;%数据参数化,将X(:,1),即时间变换为[0,1]间数据,minX=min(X(:,1));maxX=max(X(:,1));t=0;for i=1:length(X)复制代码本帖隐藏的内容t(i)=(X(i,1)-minX)/(maxX-minX);end%得到Bernstein基矩阵.HA=0;for i=1:length(t)for j=0:mHA(i,j+1)=nchoosek(m,j)*(1-t(i))^(m-j)*t(i)^j;endendHB=0;for i=1:length(t)for j=0:nHB(i,j+1)=nchoosek(n,j)*(1-t(i))^(n-j)*t(i)^j;endend%最小二乘法得到控制点BA=inv(HA'*HA)*HA'*X(:,2);BB=inv(HB'*HB)*HB'*X(:,3);%画出原数据图形和拟合后的图形figure;hold on;%plot(X(:,2),X(:,3),'--');x=(0:0.002:1);first=0;second=0;for i=1:length(x)first(i)=0;for j=0:mfirst(i)=first(i)+BA(j+1)*nchoosek(m,j)*(1-x(i))^(m-j)*x(i)^j;endsecond(i)=0;for j=0:nsecond(i)=second(i)+BB(j+1)*nchoosek(n,j)*(1-x(i))^(n-j )*x(i)^j;endendplot(first,second,'r');plot(X(:,2),X(:,3),'--');hold off;figure;hold onplot(t,X(:,2),'--');plot(x,first,'r');hold offfigure;hold onplot(t,X(:,3),'--');plot(x,second,'r');hold off%计算残差resid=0;for i=1:length(t)first=0;for j=0:mfirst=first+BA(j+1)*nchoosek(m,j)*(1-t(i))^(m-j)*t(i)^j;endsecond=0;for j=0:nsecond=second+BB(j+1)*nchoosek(n,j)*(1-t(i))^(n-j)*t(i) ^j; endresid(i)=sqrt((first-X(i,2))^2+(second-X(i,3))^2);end%画出残差figure;plot(t,resid,'.');title('残差');%画出残差比figure;hold onresidrate=0;for i=1:length(resid) residrate(i)=resid(i)/X(i,3); end plot([0,1],[0.05,0.05],'r-.');plot([0,1],[0.02,0.02],'m--'); plot(t,residrate,'.');title('残差比');hold off。
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Bernstein基函数是一类二次卷积样条，它们能够很好地近似多元函数。它们可以用来建立一个样条曲线或曲面，并提供一种简单、有效的方法来表示这些曲线或曲面。
Ber得到。它们的形式如下：
B_{i,n}(t) = {n \choose i}t^i(1-t)^{n-i}
其中，i = 0, 1, 2, …, n，t∈[0,1]。
Bernstein基函数的一个重要性质是它们在t=0和t=1处取得值1，而在其它地方取值为0。这使得它们能够很好地插入数据点，并使插值后的曲线在数据点处具有C1连续性。