2021年人教版数学九年级上册《切线长定理》同步专项练习卷(含答案)

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人教版数学九年级上册《切线长定理的相关计算》必考题型专项分类专题练习(专题分类练习详细答案)

《切线长定理的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）题型一：切线长定理与三角形问题1. 如图所示,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是( )A.PA=PBB.∠APO=20°C.∠OBP=70°D.∠AOP=70°2. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC,BC相切于点D,E.则AD为( )A.2.5B.1.6C.1.5D.13. 如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB 上,若BG=√2-1,则△ABC的周长为 .4.如图,PA,PB分别切圆O于点A,B,并与圆O的切线CD,分别相交于点D,C,已知△PCD的周长等于10cm,求PA.1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.382. 如图,四边形ABCD中,AD∥BC,DC⊥AD,DC⊥BC,以CD为直径的半圆O与AD,BC 以及AB均相切,切点分别是点D,C,E.若半圆O的半径为2,AB长为5,则该四边形的周长是( )A.9B.10C.12D.143. 如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm.(1)求证:BO⊥CO.(2)求BE和CG的长.1. 在直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=-2x+√5与☉O的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.无法确定2. 如图,在平面直角坐标系中,☉P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2√3.若将☉P向左平移,则☉P与y轴相切时点P的坐标为 _.3. (1)已知,如图1,△ABC的周长为l,面积为S,其内切圆圆心为O,半径为r,求.证:r=2Sl(2)已知,如图2,△ABC中,A,B,C三点的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),C(0,4).若△ABC内心为D.求点D的坐标.(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的△ABC位于第一象限的旁心的坐标.1. 如图,一个钢管放在V 形架内,点O 为钢管的圆心.如果MP=10cm,∠MON=120°,则钢管的半径OM 的值为 ( )A.10√33cm B.10√3cm C.50√33cm D.5√3cm2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” ( )A.3步B.5步C.6步D.8步3.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E 两点,经测量发现AD 和BE 的长恰是方程x 2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.4. 等腰Rt△ABC和☉O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,☉O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,☉O不动,则经过多长时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,☉O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?《切线长定理的相关计算》必考经典题型专项分类专题练习（专题分类练习+详细解析）题型一：切线长定理与三角形问题1. 如图所示,PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,下列说法不正确的是( )A.PA=PBB.∠APO=20°C.∠OBP=70°D.∠AOP=70°【解析】选C.∵PA,PB是☉O的切线,且∠APB=40°,∴PA=PB,∠APO=∠BPO=20°,∠PAO=∠PBO=90°, ∴∠BOP=∠AOP=70°,∴C 是错误的.2. 如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC,BC 相切于点D,E.则AD 为 ( )A.2.5B.1.6C.1.5D.1【解析】选B.连接OD,OE,OC,设OD=r,∵AC,BC 切☉O 于D,E, ∴∠ODC=∠OEC=90°,OD=OE, ∵S △AOC +S △BOC =S △ABC ,即12OD ·AC+12OE ·BC=12BC ·AC,12r ·4+12r ·6=12×6×4, r=2.4,AD=AC-r=1.6.3. 如图,半圆O 与等腰直角三角形两腰CA,CB 分别切于D,E 两点,直径FG 在AB 上,若BG=√2-1,则△ABC 的周长为 .【解析】如图,连接OD,OE,∵半圆O 与等腰直角三角形两腰CA,CB 分别切于D,E 两点,∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°,∴四边形ODCE是矩形.∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形,∴CD=CE=OE.∵∠A=∠B=45°,∴△OEB是等腰直角三角形.设OE=r,则BE=r,∴OB=OG+BG=√2-1+r,∵OB=√2OE=√2r,∴√2-1+r=√2r,解得r=1.∴AC=BC=2r=2,AB=2OB=2×(1+√2-1)=2√2.∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=4+2√2.4.如图,PA,PB分别切圆O于点A,B,并与圆O的切线CD,分别相交于点D,C,已知△PCD的周长等于10cm,求PA.【解析】设DC与☉O的切点为E.∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,∴PA=PB.同理,可得:DE=DA,CE=CB,则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10cm.∴PA=PB=5cm.题型二：切线长定理与多边形问题1. 如图,一圆内切于四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )A.32B.34C.36D.38【解析】选B.如图,根据切线长定理可知,AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH.所以AE+DG=AH+DH=AD,BE+CG=BF+CF=BC,所以AB+BC+CD+DA=AE+BE+BC+CG+DG+DA=2AD+2BC=2×7+2×10=34.2. 如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,DC ⊥AD,DC ⊥BC,以CD 为直径的半圆O 与AD,BC 以及AB 均相切,切点分别是点D,C,E.若半圆O 的半径为2,AB 长为5,则该四边形的周长是( )A.9B.10C.12D.14【解析】选D.根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以四边形ABCD 的周长是5×2+4=14.3. 如图,AB,BC,CD 分别与☉O 相切于E,F,G,且AB ∥CD,BO=6cm,CO=8cm. (1)求证:BO ⊥CO. (2)求BE 和CG 的长.【解析】(1)∵AB ∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°.∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切于点E,F,G, ∴BO 平分∠ABC,CO 平分∠DCB, ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠DCB,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠DCB)=12×180°=90°, ∴∠BOC=90°,∴BO ⊥CO. (2)连接OF,则OF ⊥BC, ∴Rt △BOF ∽Rt △BCO, ∴BF BO =BOBC . ∵在Rt △BOC 中, BO=6cm,CO=8cm, ∴BC=√62+82=10(cm), ∴BF 6=610, ∴BF=3.6cm,∵AB,BC,CD 分别与☉O 相切, ∴BE=BF=3.6cm,CG=CF, ∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm). ∴CG=CF=6.4cm.题型三：切线长定理与坐标问题1. 在直角坐标系中,☉O 的半径为1,则直线y=-2x+√5与☉O 的位置关系是 ( ) A.相离B.相交C.相切D.无法确定【解析】选C.如图所示,过O 作OC ⊥直线AB,垂足为C, 直线AB 为y=-2x+√5. 令x=0,解得:y=√5; 令y=0,解得:x=√52, ∴A (√52,0),B(0,√5), 即OA=√52,OB=√5.在Rt △AOB 中,根据勾股定理得:AB=2+OB 2=52, 又S △AOB =12AB ·OC=12OA ·OB, ∴OC=OA·OB AB =√52×√552=1,又圆O 的半径为1,则直线y=-2x+√5与圆O 的位置关系是相切.2. 如图,在平面直角坐标系中,☉P 与x 轴分别交于A,B 两点,点P 的坐标为(3,-1),AB=2√3.若将☉P 向左平移,则☉P 与y 轴相切时点P 的坐标为 _.【解析】(2,-1)或(-2,-1)3. (1)已知,如图1,△ABC 的周长为l ,面积为S,其内切圆圆心为O,半径为r,求证:r=2Sl .(2)已知,如图2,△ABC 中,A,B,C 三点的坐标分别为A(-3,0),B(3,0),C(0,4).若△ABC 内心为D.求点D 的坐标.(3)与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆,叫旁切圆,圆心叫旁心.请求出条件(2)中的△ABC 位于第一象限的旁心的坐标.【解析】(1)连接OA,OB,OC,设△ABC 的三边分别为a,b,c 则: S=S △OAB +S △OBC +S △OAC =12(a+b+c)r=12l r. ∴r=(2)∵A(-3,0),B(3,0),C(0,4),∴AB=6,AC=BC=5.l =AB+AC+BC=16,S=12AB ·OC=12.由条件(1)得:r==2×1216=32,得D (0,32). (3)如图,设∠B 和∠C 的外角平分线交于点P,则点P 为旁心.∵∠MCB=2∠PCB=2∠CBA,∴∠PCB=∠CBA,∴CP ∥AB.过点P 分别作PE ⊥x 轴于E,PF ⊥CB 于F,则PF=PE=OC=4.在Rt △PFC 中,PC=PF sin∠PCF =PF sin∠CBO =445=5.∴P 点坐标为(5,4).即条件(2)中的△ABC 位于第一象限的旁心的坐标为(5,4).题型四：切线长定理与实际问题1. 如图,一个钢管放在V 形架内,点O 为钢管的圆心.如果MP=10cm,∠MON=120°,则钢管的半径OM 的值为 ( )A.10√33cmB.10√3cmC.50√33cmD.5√3cm【解析】选A.由题意可得OM ⊥MP,ON ⊥NP.∵∠MON=120°,∴∠MOP=60°,设OM=xcm,则OP=2xcm,在Rt △OPM 中,OM 2+MP 2=OP 2,即x 2+102=(2x)2,解得x=10√33,∴OM 的值为10√33cm. 2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” ( )A.3步B.5步C.6步D.8步【解析】选A.3.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB 处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E 两点,经测量发现AD 和BE 的长恰是方程x 2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为________cm.【解析】连接OD,OE.解方程x 2-25x+150=0,得x 1=10,x 2=15,∴设AD=10,BE=15,半径为r,∴AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB 2,即(10+r)2+(15+r)2=252,解得:r=5.答案:54. 等腰Rt △ABC 和☉O 如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,☉O 的半径为1,圆心O 与直线AB 的距离为5.(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,☉O不动,则经过多长时间△ABC的边与圆第一次相切?(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,☉O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?【解析】(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,A′C′与☉O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.设☉O与直线l切于点D,连OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l.由切线长定理可知C′E=C′D;设C′D=x,则C′E=x,易知C′F=√2x,∴√2x+x=1,则x=√2-1,∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-(√2-1)=5-√2;∴△ABC运动的时间为5−√2秒.2(2)设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切,设经过t秒△ABC的边与☉O第一次相切时,△ABC移至△A″B″C″处,☉O与BC所在直线的切点D移至D′处,A″C″与☉O切于点E,连OE并延长,交B″C″于F.∵CC″=2t,DD′=t,∴C″D′=CD+DD′-CC″=4+t-2t=4-t.由切线长定理得C″E=C″D′=4-t;又∵FC″=√2C″E=√2C″D′,而FC″+C″D′=FD′=1,∴(√2+1)C″D′=(√2+1)(4-t)=1,解得:t=5-√2.答:经过5-√2秒△ABC的边与圆第一次相切.学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

3.7 切线长定理(练习)(解析版)

第三章圆第七节切线长定理精选练习一、单选题1．（2021·北京九年级专题练习）如图，PA ，PB 为⊙O 的两条切线，点A ，B 是切点，OP 交⊙O 于点C ，交弦AB 于点D ．下列结论中错误的是（）A ．PA ＝PBB ．AD ＝BDC ．OP ⊥ABD ．∠PAB ＝∠APB【答案】D【分析】利用切线长定理、等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：由切线长定理可得：∠APO =∠BPO ，PA =PB ，从而AB ⊥OP ，AD =BD ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出∠PAB =∠APB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、等腰三角形的性质，关键是利用切线长定理、等腰三角形的性质解答．2．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PA ＝AO ，PD 与⊙O 相切于点D ，BC ⊥AB 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为1，则BC的长是（）A ．1.5B ．2CD 【答案】D【分析】连接OD ，根据切线的性质求出∠ODP ＝90°，根据勾股定理求出PD ，证明BC 是⊙O 的切线，根据切线长定理得出C D ＝BC ，再根据勾股定理求出BC 即可．【详解】连接OD ，如图所示∵PC 切⊙O 于D ∴∠ODP ＝90°∵⊙O 的半径为1，PA ＝AO ，AB 是⊙O 的直径 ∴PO ＝1+1＝2，PB ＝1+1+1＝3，OD ＝1∴由勾股定理得：PD ==∵BC ⊥AB ，AB 过O ∴BC 切⊙O 于B ∵PC 切⊙O 于D ∴CD ＝BC设CD ＝CB ＝x 在Rt △PBC 中，由勾股定理得：PC 2＝PB 2+BC 2即222)3x x +=+ 解得：x 即BC故选：D【点睛】本题考查了切线的性质和判定，及切线长定理，切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径，切线长定理为：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．同时考查了利用勾股定理解直角三角形．3．（2021·湖北武汉市·九年级一模）如图，经过A 、C 两点的⊙O 与△ABC 的边BC 相切，与边AB 交于点D ，若∠AD C ＝105°，BC ＝CD ＝3，则AD 的值为（）A ．B ．CD 【答案】A【分析】连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．易求出75CBD CDB Ð=Ð=°，30BCD Ð=°．再由切线的性质，即可求出60OCD Ð=°，即三角形OCD 为等边三角形．得出结论60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．从而即可求出45ADO Ð=°，即三角形OED 为等腰直角三角形，由此即可求出DE 的长，最后根据垂径定理即可求出AD 的长．【详解】如图，连接OC 、OD ，作OE AB ^于点E ．∵BC CD =，∴CBD CDB Ð=Ð，∵105ADC Ð=°，∴75CBD CDB Ð=Ð=°，∴18027530BCD Ð=°-´°=°．由题意可知OC BC ^，即90OCB Ð=°，∴903060OCD OCB BCD Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵OD =OC ，∴三角形OCD 为等边三角形．∴60ODC Ð=°，3OC OD CD ===．∴1056045ADO ADC ODC Ð=Ð-Ð=°-°=°，∴三角形OED 为等腰直角三角形，∴3DE ===∴22AD DE ===故选：A ．本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．4．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB//CD，若OB=3cm，OC=4cm，则四边形EBCG的周长等于（）A．5cm B．10cm C．745cm D．625cm【答案】C【分析】连接OF，利用切线性质和切线长定理可证明BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质证得∠BOC=90°，进而由勾股定理求得BC长，根据三角形的面积公式求得OF，进而可求得四边形的周长．【详解】解：连接OF，∵直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴BE=BF，CG=CF，∠OBE=∠OBF，∠OCG=∠OCF，OF⊥BC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBF+∠OCF=90°，即∠BOC=90°，∴在Rt△BOC中，OB=3cm，OC=4cm，由勾股定理得：BC==，由1122OB OC BC OF××=××得：OF=341255´=cm，∴OE=OG=OF= 125cm，∴四边形EBCG的周长为BE+BC+CG+EG=2OE+2BC=2×125+2×5=745cm，【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握切线长定理的运用，证得∠BOC =90°和利用等面积法求出OF 是解答的关键．5．（2021·山西吕梁市·九年级月考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝BC ．AT 是⊙O 的切线，∠BAT ＝55°，则∠D 等于（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．125°【答案】A【分析】连接AC ，OA ，OB ，先结合切线的性质以及圆的性质求得ACB BAT Ð=Ð，再结合等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质求得2D ACB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，连接AC ，OA ，OB ，则()11802AOB OBA OAB =°-ÐÐÐ=，∵2AOB ACB Ð=Ð，∴90ACB OAB =°-ÐÐ，∴90ACB OAB Ð=°-Ð，∵AT 是⊙O 的切线，∴90BAT OAB Ð=°-Ð，∴55ACB BAT Ð=Ð=°，∵AB BC =，∴1802ABC ACB Ð=°-Ð，根据圆的内接四边形可得：180D ABC Ð=°-Ð，∴2110D ACB Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解圆的切线的性质以及内接四边形的性质是解题关键．6．（2021·浙江九年级专题练习）如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，若OM 的最小值是3，则⊙O 的半径是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，根据垂径定理得到AH ＝BH ＝4，利用垂线段最短得到OH ＝3，然后利用勾股定理计算出OA 即可．【详解】解：过O 点作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，如图，∵OH ⊥AB ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝12×8＝4，∵OM 的最小值是3，∴OH ＝3，在Rt △OAH 中，OA ＝5，即⊙O 的半径是5．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理：直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．7．（2020·聊城市茌平区实验中学九年级月考）如图，P 为O 外一点，PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E 且分别交PA 、PB 于点C ，D ，若PA =4，则△PCD 的周长为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【答案】C【分析】根据切线长定理求解即可【详解】解：∵PA 、PB 分别切O 于点A 、B ，CD 切O 于点E ，PA=4，∴PA=PB=4，AC=CE ，BD=DE ，∴△PCD 的周长为PC+CE+DE+PD=PC+AC+BD+PD=PA+PB=4+4=8，故选：C ．【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理及其应用是解答的关键．8．（2021·北京九年级专题练习）如图，ABC D 的内切圆O e 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且2AD =，ABC D 的周长为14，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】根据切线长定理得到AF =AD =2，BD =BE ，CE =CF ，由△ABC 的周长为14，可求BC 的长．【详解】解：O Qe 与A B ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F2AF AD \==，BD BE =，CE CF =，ABC D Q 的周长为14，14AD AF BE BD CE CF \+++++=2()10BE CE \+=5BC \=故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．二、填空题9．如图，PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，A 、B 、E 是切点，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠COD =70°，则∠AP B =_______.【答案】40°【分析】先利用切线长定理，得出∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，再利用三角形内角和求出∠CDO +∠DCO 后得到∠BDC+∠A CD 的值，最后利用三角形外角的性质得到关于∠P 的方程，解方程即可得出答案．【详解】解：∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠BDO =∠CDO ，∠ACO =∠DCO ，∵∠COD =70°，∴∠CDO +∠DCO =180°－70°=110°，∴∠BDC +∠ACD =2（∠CDO +∠DCO ）=2 ×110°=220°，∵∠BDC =∠DCP +∠P ，∠ACD =∠CDP +∠P ，∴∠DCP +∠P +∠CDP +∠P =220°，即180°+∠P =220°，∴∠P =40°，即∠APB =40°，故答案为：40°．【点睛】本题综合考查了圆的切线长定理、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，解决本题的关键是要牢记各定理与性质的内容，能灵活运用它们进行不同的角之间的转化，考查了学生推理分析的能力．10．（2021·浙江九年级其他模拟）如图，已知AD 是BAC Ð的平分线，以线段AB 为直径作圆，交BAC Ð和角平分线于C ，D 两点．过D 向AC 作垂线DE 垂足为点E ．若24DE CE ==，则直径AB =_______．【答案】10【分析】连接CD 、OD 、OC 、BD ，运用勾股定理求得CD 的长,再证明DE 是圆O 的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出∠CDE =∠BAD ,易得BD =CD ，然后再根据正切函数求得AD ，最后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图：连接CD 、OD 、OC 、BD∵AE ⊥DE , 24DE CE ==∴CD =∵OA =OD∴∠OAD =∠ODA∴∠BOD =∠OAD +∠ODA = 2∠OAD∵∠ODA =∠OAD∴∠EAD =∠ODA∴OD //AE∴OD ⊥DE ，即DE 是圆O 的切线∴∠CDE +∠ODC =90°∵AB是直径∴∠BAD+∠B=90°在△BOD和△DOC中OC=OB,DO=DO,BD=CD ∴△BOD≌△DOC∴∠ODC=∠OBD∴∠CDE=∠BAD∵∠BAD=∠DAC∴∠COD=∠BOD∴BD=CD=∵tan∠BAD=BDAD= tan∠CDE=12CEDE=,∴AD=∴AB10=．故填10．【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．11．（2020·湖北孝感市·九年级月考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝108°，则∠B+∠D＝_____．【答案】216°【分析】连接AB，根据切线得出PA＝PB，求出∠PBA＝∠PAB＝36°，根据圆内接四边形的对角互补得出∠D+∠CBA＝180°，再求出答案即可．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠APB＝108°，∴∠PBA＝∠PAB＝12×（180°﹣∠APB）＝36°，∵A、D、C、B四点共圆，∴∠D+∠CBA＝180°，∴∠PBC+∠D＝∠PBA+∠CBA+∠D＝36°+180°＝216°，故答案为：216°．【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．12．（2021·河北石家庄市·石家庄外国语学校九年级月考）已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若B C＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于_____．-【答案】2【分析】连接IA，IA与⊙I半径的差即为点A到圆上的最近距离，只需求出IA和⊙I半径即可得答案．【详解】解：连接IA，设AC、BC分别切⊙I于E、D，连接IE、ID，如图：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I为△ABC的内切圆，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四边形IDCE是正方形，设它的边长是x，则IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切线长定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA，∴点A到圆上的最近距离为﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查勾股定理、切线长定理、三角形的内切圆等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．三、解答题13．（2021·浙江温州市·九年级一模）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆O 上， AD BC=，切线DE 交AC 的延长线于点E ，连接OC ．（1）求证：∠ACO ＝∠ECD ．（2）若∠CDE ＝45°，DE ＝4，求直径AB 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由 AD BC=，可得∠A ＝∠B ，内接四边形可得出∠ECD=∠B ，进而得出∠ACO ＝∠ECD ；（2））连接OD ，由切线的性质可得出∠ODE ＝90°，进而得出∠CDO ＝∠DCO=45°，再根据已知条件计算出∠E=∠ECD ，得到CD=DE ＝4，再利用勾股定理求出半径，进而得出答案；【详解】（1）证明：∵ AD BC=，∴∠A ＝∠B ；∵ABDC 是内接四边形∴∠ECD=∠B∴∠ECD=∠A∵AO ＝CO ；∴∠ACO ＝∠A∴∠ACO ＝∠ECD（2）连接OD∵DE 是圆的切线∴∠ODE ＝90°，∵∠CDE ＝45°，OC=OD∴∠CDO ＝∠DCO =45°，∴∠COD ＝90°，∵ AD BC=，∴ AC DC=，∴∠AOC ＝∠DOB=45°，∴AO ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A=1804567.52°-°=° ；∵∠DCO =45°，∴∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∵∠E=180°-∠CDE -∠ECD =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠E=∠ECD∴CD=DE ＝4，∵∠COD ＝90°，∴222CD OC OD =+∴2216OC OD +=，即28OC =∴OC= 故⊙O 的半径为∴直径AB 的长，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，内接四边形，切线性质定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．14．（2021·江苏无锡市·九年级期中）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥P O 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB ＝3，tan ∠PDB ＝34，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）32【分析】（1）根据三角形的内角和定理可证E PBO Ð=Ð，然后根据垂直定义可得90E Ð=°，从而得出半径CB PB ^，根据切线的判定定理即可证出结论；（2）连接OC ，根据题意求出45BD PD ==，，再结合切线长定理得到3PC =，2CD =，从而设O e 的半径是r ，利用勾股定理求解即可．【详解】（1）,EDB EPB DOE POB Ð=ÐÐ=ÐQ ，E PBO \Ð=Ð，DE PO ^Q ，90E \Ð=°，90PBO \Ð=°，\半径CB PB ^，PB \是O e 的切线．（2）如图，连接OC ，33tan 904PB PDB PBD =Ð=Ð=°Q ，，tan 45BD PB PDB PD \=Ð===g ，．PB Q 和PC 是O e 的切线，3PC PB \==，2CD PD PC \=-=，设O e 的半径是r ，则4OD DB OB r =-=-，PD Q 切O e 于点C ，OC PD \^，222CD OC OD \+=，()22224r r \+=-，32r \=．【点睛】本题考查圆的综合问题，理解切线的判定与性质定理以及正切函数的定义是解题关键．15．（2021·天津九年级学业考试）已知AB 为O e 的直径，点C ，D 为O e 上的两点，AD 的延长线于BC 的延长线交于点P ，连接CD ，30CAB Ð=°．（Ⅰ）如图①，若 2=CBCD ，4AB =，求AD 的长；（Ⅱ）如图②，过点C 作O e 的切线交AP 于点M ，若6CD AD ==，求CM 的长．【答案】（1）AD =；（2）CM = ．【分析】（1）根据弧、圆周角之间的关系可求得∠BAD =45°，连接BD ，可得△ABD 为等腰直角三角形，求解即可；（2）根据弦、圆心角之间关系、等边对等角以及三角形外角的性质可求得∠PDM =60°，OC //AP ，再根据切线的性质定理易得△CDM 为直角三角形，解直角三角形即可．【详解】解：（1）∵ 2=CBCD ，30CAB Ð=°，∴1152CAD CAB Ð=Ð=°,∴∠BAD =45°，连接BD ，∵AB 为直径，∴∠BDA =90°，∴cos45AD AB =×°=（2）连接OD 、OC ，∵30CAB Ð=°，∴∠COB =60°，∠AOC =120°，∵6CD AD ==，∴∠AOD =∠COD =60°，∴∠ACD =∠CAD =30°，∠BAP =∠CAD +∠CAB =60°=∠COB ，∴OC //AP ，∠CDP =∠ACD +∠CAD =60°，∵CM 为O e 的切线，∴∠OCM =90°，∴∠AMC =180°-∠OCM =90°，在Rt △CDM 中，sin 60CM CD =×°=．【点睛】本题考查切线的性质定理，等腰三角形等边对等角，弧、圆心角、圆周角、弦之间的关系，解直角三角形．正确作出辅助线是解题关键．。

人教版九年级上《切线的判定与性质》专题练习题含答案

人教版九年级数学上册第二十四章圆24．2点和圆、直线和圆的位置关系切线的判定与性质专题练习题1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．5. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70°B．35°C．20°D．40°6．如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20°B．25°C．30°D．40°7．如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．48．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD ＝4，那么⊙O的半径是______．9．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.10．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC11. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．12. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．13．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．16．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17．如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：1. D2. 相切3. ∠ABC＝90°4. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线5. D6. A7. D8. 69. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A10. C11. 4512. 413. 6014. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD ＝6－x，AF＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF ＝6。

九年级数学切线长定理同步练习含答案

第 2 章对称图形 —— 圆第 4 课时切线长定理知识点切线长定理的应用1．如图 2－ 5－ 32，PA ，PB 分别切⊙ O 于 A ， B 两点．若∠ P ＝60° ， PA ＝ 2，则弦 AB的长为 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4图 2－ 5－32图 2－ 5－33.如图 2－5－ 33， CD 是⊙ O 的切线，切点为 E ， AC ， BD 分别与⊙ O 相切于点 A ， B.如果 CD ＝7， AC ＝ 4，那么 BD 等于 ()A ． 5B ．4C ． 3D ． 23． [教材习题 2.5 第 13 题变式 ]如图 2－ 5－ 34，四边形 ABCD 的边AB ， BC ，CD ， DA 和⊙ O 分别相切．若四边形ABCD 的周长为 20，则 AB ＋ CD 等于 ()A ． 5B ． 8C ． 10D ．12︵4．已知线段 PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，AB120°， ⊙ O 的半径为 4，则的度数为线段 AB 的长为 ()A ． 8B ． 43C ． 6 3D ． 83图 2－ 5－34图 2－ 5－35.如图 2－5－ 35， PA， PB 是⊙ O 的切线，A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠P＝ 40°，则∠ BAC 的度数为 ________．6．如图 2－ 5－ 36，PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，∠ AOP ＝50°，则∠PAB ＝ ________°，∠ OPB＝ ________°.图2－ 5－36图2－ 5－377．如图 2－ 5－ 37，PA ， PB， DE 分别切⊙ O 于点 A， B， C，若⊙ O 的半径为5， OP＝13，则△ PDE 的周长为 ________．图2－ 5－388．如图 2－ 5－ 38，P 是⊙ O 的直径 AB 的延长线上一点， PC， PD 分别切⊙ O 于点C，D. 若 PA ＝ 6，⊙O 的半径为 2，则∠ CPD 的度数为 ________．9．如图 2－ 5－ 39，PA ， PB 为⊙ O 的两条切线， A ， B 为切点．若是⊙ O 的半径为5，∠OPA ＝ 30°，求两条切线的夹角∠APB 的度数及切线PA 的长．图2－ 5－39图 2－ 5－40 10． [2016 ·梁溪区一模 ]AB ＝ 4， AD ＝ 5，AD ， AB ， BC 分别与⊙BC 于点 M ，切点为 N ，则 DM 的长为 (O 相切于点)如图2－5－40，在矩形ABCD 中，E，F， G，过点 D 作⊙ O 的切线交139 A. 34 13C. 39D． 2511．如图 2－ 5－ 41， PA， PB 是⊙ O 的切线， A ， B 为切点， AC 是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 70°.求∠ P 的度数．图2－ 5－4112．如图 2－ 5－ 42，△ ABC 的内切圆⊙ O 与 AC ， AB ， BC 分别相切于点D， E， F，且AB ＝5 cm， BC＝ 9 cm， AC ＝ 6 cm，求 AE ， BF 和 CD 的长．图2－ 5－4213．如图 2－ 5－ 43， PA， PB 为⊙ O 的两条切线，切点分别为 A ，B ，直线 CD 切⊙ O 于点 E.(1)试试究△ PCD 的周长与线段 PA 的数量关系；(2)若∠ P＝α，求∠ COD 的度数．图2－ 5－4314．如图 2－ 5－ 44， AB 是⊙ O 的直径， AM ， BN 分别切⊙ O 于点 A ， B， CD 分别交AM ， BN 于点 D ，C， DO 均分∠ ADC.(1)求证： CD 是⊙ O 的切线；(2)若 AD ＝ 4， BC＝9，求⊙ O 的半径 R.图2－ 5－4415．如图 2－ 5－ 45， PA， PB 分别与⊙ O 相切于点 A ， B，点 M 在 PB 上，且OM ∥ AP， MN ⊥ AP，垂足为 N.(1)求证： OM ＝ AN ；(2)若⊙ O 的半径 R＝ 3， PB＝ 9，求 OM 的长．图2－ 5－ 45详解详析1． B2． C3． C4． B5． 20°[ 剖析 ]∵ PA，PB是⊙ O的切线，A，B为切点，1∴PA ＝ PB，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝2×(180° － 40° )＝ 70° .由 PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，AC 是⊙ O 的直径，得∠ PAC ＝ 90°，∴∠ BAC ＝90° － 70°＝20°. 6． 50 407． 24 [ 剖析 ]∵ PA，PB，DE分别切⊙ O于A，B，C三点，∴AD ＝ CD ， CE＝ BE ， PA＝ PB，OA ⊥ PA.在Rt△ OAP 中，依照勾股定理，得 AP ＝ 12，∴△ PDE 的周长为PD＋ DE＋ PE＝ PD＋ AD ＋ BE ＋ PE＝ 2PA ＝ 24.8． 60°[ 剖析 ] 连接 OC.∵ PA＝ 6，⊙O 的半径为2，∴OP＝ PA － OA ＝4.∵PC， PD 分别切⊙ O 于点 C，D ，∴∠ OPC＝∠ OPD， OC⊥ PC.∵OP＝ 2OC，∴∠ OPC＝ 30°，∴∠ CPD＝60° .9．解：连接 OA ， OB，则 OA ⊥PA， OB ⊥ PB.∵OA ＝ OB ，OP＝ OP，∴Rt△ OAP≌ Rt△ OBP ，∴∠ OPA＝∠ OPB，∴∠ APB ＝2∠ OPA＝ 60° .在Rt△ AOP 中，可求得 OP＝ 2OA ＝ 10，∴PA＝ OP2－ OA 2＝5 3.10． A [剖析 ] 如图，连接 OE， OF，ON ， OG.在矩形 ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝ 90°， CD ＝ AB ＝ 4.∵ AD ， AB ，BC 分别与⊙ O 相切于点 E， F，G，∴∠ AEO ＝∠ AFO ＝∠ OFB＝∠ BGO ＝ 90°.又∵ OE＝ OF＝ OG，∴四边形AFOE ，四边形 FBGO 是正方形，∴AF ＝ BF＝ AE ＝ BG ＝2，∴DE ＝ 3.∵ DM 是⊙ O 的切线，∴DN ＝ DE ＝3， MN ＝ MG ，∴CM ＝5－ 2－ MG ＝ 3－ MN.在Rt△ DMC 中， DM 2＝ CD2＋ CM 2，∴ (3＋ MN) 2＝ 42＋ (3－ MN) 2，4 4 13∴MN ＝3，∴ DM ＝ 3＋3＝3.应选 A.11．解：连接 AB.∵AC 是⊙ O 的直径，∴∠ CBA ＝ 90°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ ACB ＝ 20° .∵PA ， PB 是⊙ O 的切线，∴PA ＝ PB，∠ CAP＝ 90°，∴∠ PAB ＝90° － 20°＝ 70°.∵PA ＝ PB，∴∠ PBA ＝∠ PAB ＝ 70°，∴∠ P＝180° －∠ PAB －∠ PBA ＝ 40°.12．解：∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴AE ＝ AD ，BE ＝ BF ，CD ＝ CF.设AE ＝ x cm， BF＝ y cm， CD＝z cm，x＋ y＝ 5，x＝1，{y＋z＝9，) {y＝4，)则 z＋ x＝ 6，解得z＝ 5.即AE ＝ 1 cm， BF＝ 4 cm， CD＝5 cm.13．解： (1) △ PCD 的周长＝ 2PA. 原由以下：∵ PA ， PB 分别切⊙ O 于点 A ， B ，CD 切⊙ O 于点 E，∴PA ＝ PB， AC ＝ CE， BD ＝ DE，∴△ PCD 的周长＝ PD＋DE ＋ PC＋ CE＝ PB＋ PA＝ 2PA ，即△ PCD 的周长＝ 2PA.(2)如图，连接 OA， OE， OB.由切线的性质，得OA⊥ PA，OB⊥PB，OE⊥ CD，BD＝DE，AC＝CE.∵OA ＝ OE＝OB ，易证△ AOC ≌△ EOC ，△EOD ≌△ BOD ，∴∠ AOC ＝∠ EOC，∠ EOD＝∠ BOD ，11∴∠ COD ＝∠ EOC＋∠ EOD＝ 2(∠ AOE ＋∠ BOE) ＝ 2∠ AOB.∵∠ P＝α，OA ⊥ PA， OB⊥PB ，∴∠ AOB ＝ 180°－α，1∴∠ COD ＝ 90°－2α.14 解： (1)证明：如图，过点 O 作 OE⊥ CD 于点 E.∵ AM 切⊙ O 于点 A，∴OA ⊥ AD.又∵ DO 均分∠ ADC ，∴OE＝ OA.∵ OA 为⊙ O 的半径，∴OE 是⊙ O 的半径，∴CD 是⊙ O 的切线．(2) 过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F.∵ AM ，BN 分别切⊙ O 于点 A， B，∴AB ⊥ AD ，AB ⊥ BC，∴四边形 ABFD 是矩形，∴AD ＝ BF ， AB ＝ DF.又∵ AD ＝4， BC ＝ 9，∴ FC＝ 9－ 4＝5.∵AM ，BN ， DC 分别切⊙ O 于点 A ， B， E，∴ AD ＝ DE ，BC＝ CE，∴CD ＝ DE ＋ CE＝AD ＋ BC ＝ 4＋9＝13. 在 Rt△ DFC 中， CD2＝ DF2＋ FC2，∴DF ＝ CD2－ FC2＝ 12，∴AB ＝ 12，∴⊙ O 的半径 R 为 6.15．解： (1) 证明：如图，连接 OA ，则 OA ⊥PA.∵MN ⊥PA ，∴ MN ∥OA.∵OM ∥PA ，∴四边形ANMO 是平行四边形．又∵ MN ⊥ AP，∴?ANMO 是矩形，∴OM ＝AN.(2)如图，连接 OB，则 OB⊥ PB，∴∠ OBM ＝∠ MNP ＝ 90° .∵四边形ANMO 是矩形，∴OA ＝ MN.又∵ OA ＝OB ，∴OB ＝ MN.∵OM ∥AP ，∴∠ OMB ＝∠ MPN ，∴△ OBM ≌△ MNP ，∴ OM ＝ MP.设OM ＝x，则 MP＝ x， AN ＝ x.∵PA ＝ PB＝ 9，∴NP ＝9－ x.在Rt△ MNP 中，有 x2＝ 32＋ (9－ x)2，解得 x＝ 5，即 OM ＝ 5.。

人教版九年级数学上册24.2.2 第3课时切线长定理同步测试题及答案

第3课时切线长定理一、选择题1.下列说法中，不正确的是 ( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．184.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A的度为________．P BAO6题图 7题图 8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．三、解答题9.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC 的周长．10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长．11.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．12．已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．13．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．14. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC=90o，在AB 上取一点E ，以BE 为直径的⊙O 恰与AC 相切于点D ，若AE=2 cm ，AD=4 cm ． (1)求⊙O 的直径BE 的长； (2)计算△ABC 的面积．15．已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=90°． (1)若AC=12cm ，BC=9cm ，求⊙O 的半径r ； (2)若AC=b ，BC=a ，AB=c ，求⊙O 的半径r ．四、体验中考16.（2011年安徽）△ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°17.（2011年绵阳）一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3350cm D ．503cm 18. (2011年甘肃定西)如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．17题图 18题图 19题图19. （2011年湖南怀化）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且ο60=∠AEB ，则=∠P __ ___度．参考答案◆随堂检测 1. C2. B (提示：②④错误)3. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760） 4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150) ◆课下作业 ●拓展提高1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900∴cos300=ABAC∴AB=6. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90° ∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA°＝7. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC ∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16 解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线 ∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x = ∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考 1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3.（提示：连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=OBOA =）4. ∠P=600。

九年级数学切线长定理专题练习(含解析)

∴梯形对边和为：8+8=16，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为 16．故选：D．分析：直接利用圆外切四边形对边和相等，进而求出即可． 6.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，点 D、E 分别为边 AB、AC 上的点，且 DE 为⊙O 的切线，若△ABC 的周长为 25，BC 的长是 9，则△ADE 的周长是（） A．7 B．8 C．9 D．16
答案：C
解析：解答： ∵AB、AC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点， ∴∠B=∠C=90°，∠BOC=180°-∠A=110°．故选 C．分析：利用切线的性质可得，∠B=∠C=90°，再用四边形的内角和为 360 度可解． 10.如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点是 A、B．如果 OP=4，PA= 2 3 ，那么∠AOB 等于（） A．90° B．100° C．110° D．120°
答案：B 解析：解答：∵PA、PB 都是⊙O 的切线， ∴PA=PB，又∵∠P=60°， ∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8，故选 B．分析：根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长． 8.如图，PA、PB 分别是⊙O 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC=35°， ∠P 的度数为（） A．35° B．45° C．60° D．70°
答案：D 解析：解答：根据切线的性质定理得∠PAC=90°， ∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°．根据切线长定理得 PA=PB，所以∠PBA=∠PAB=55°，所以∠P=70°．故选 D．分析：根据切线长定理得等腰△PAB，运用内角和定理求解． 9.如图， AB、 AC 是 ⊙O 的两条切线， B、 C 是切点，若 ∠A=70°，则 ∠BOC 的度数为（） A．130° B．120° C．110° D．100°

部编数学九年级上册专题24.7切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题24.7 切线长定理及三角形的内切圆【七大题型】【人教版】【题型1 利用切线长定理求周长】 (1)【题型2 三角形内切圆中求角度】 (5)【题型3 三角形内切圆中求面积】 (9)【题型4 三角形内切圆中求线段长度】 (13)【题型5 三角形内切圆中求半径】 (17)【题型6 三角形内切圆中求最值】 (20)【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】 (25)【题型1 利用切线长定理求周长】【例1】（2022秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD ＝10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形（△AMN ），则剪下的△AMN 的周长为　20cm ．【分析】利用切线长定理得出DM ＝MF ，FN ＝EN ，AD ＝AE ，进而得出答案．A B C I【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．【变式1-1】（2022秋•莒南县期末）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D．若PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，求△PCD的周长．【分析】由PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理，可得PA＝PB，又由PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，根据根与系数的关系，可求得PA与PB的长，又由CD切⊙O于点E，即可得△PCD的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根，∴PA+PB＝m，PA•PB＝m﹣1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，∴PA＝PB=m2，即m2•m2=m﹣1，即m2﹣4m+4＝0，解得：m＝2，∴PA＝PB＝1，∵PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴AD＝ED，BC＝EC，∴△PCD的周长为：PD+CD+PC＝PD+DE+EC+PC＝PD+AD+BC+PC＝PA+PB＝2．【变式1-2】（2022•雨花区校级三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D、E、F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长为（）A．14B．20C．24D．30【分析】设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，根据题意可得四边形OECF为正方形，则CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出x，然后求其周长．【解答】解：连接OE、OF，设AD＝x，由切线长定理得AE＝x，∵⊙O与Rt△ABC的三边分别点D、E、F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴四边形OECF为正方形，∵⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，即（x+2）2+52＝（x+3）2，解得x＝10，∴△ABC的周长为12+5+13＝30．故选：D．【变式1-3】（2022秋•崇川区月考）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是劣弧AB上任意一点，过C作⊙O切线DE，交PA、PB于点D、E，已知PA的长为5cm，∠DOE＝65°，点M、N分别在PA、PB的延长线上，MN与⊙O相切于点F，已知DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．（1）求∠P的度数；（2）求△PDE的周长；（3）求四边形DEMN的周长．【分析】（1）只要证明∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，再利用四边形内角和定理即可解决问题；（2）利用切线长定理即可解决问题；（3）因为DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．可得DN+EM＝10，再利用切线长定理即可解决问题；【解答】解：（1）连接OA、OB、OC．∴PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA⊥OA，OB⊥PB，∠DOA＝∠DOC，∠EOB＝∠EOC，∵∠DOE＝65°，∴∠AOB＝130°，∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°．（2）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB＝5，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DA+PE+EB＝PA+PB＝10．（3）∵DN、EM的长是方程x2﹣10x+k＝0的两根．∴DN+EM＝10，∴PN，PM，MN是⊙O的切线，∴AN＝NF，MF＝MB，DA＝DC，EC＝EB，∴四边形EMND的周长＝EM+MN+DN+DE＝EM+BM+NA+DA+EB+DN＝2（DN+EM）＝20．【题型2 三角形内切圆中求角度】【例2】（2022•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若∠ACB＝40°，则∠DOE＝　130°　．【分析】利用直角三角形性质求出∠ABC＝50°，再利用切线性质求出∠BDO＝∠BEO＝90°，再利用四边形内角和为360°，即可求得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∴AB、BC是⊙O的切线，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝360°﹣∠BDO﹣∠BEO﹣∠ABC＝130°，故答案为：130°．【变式2-1】（2022秋•昌平区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知∠A＝40°，连接OB，OC，DE，EF，则∠BOC＝　110　°，∠DEF＝　70　°．【分析】连接OD和OF，根据内切圆的性质可得OB，OC平分∠ABC，∠ACB，再根据三角形内角和定理即可求出角BOC的度数；根据切线的性质可得∠DOF的度数，进而根据圆周角定理可得∠DEF的度数．【解答】解：如图，连接OD和OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠A＝40°，∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝180°−12×140°＝180°−12＝110°，∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴∠ADO＝∠AFO＝90°，∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∠DOF＝70°．∴∠DEF=12故答案为：110，70．【变式2-2】（2022•万年县校级模拟）如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，（1）若∠A＝40°，求∠BIC与∠FDE的度数．（2）若∠BIC＝α；∠FDE＝β，试猜想α，β的关系，并证明你的结论．（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB 【分析】（1）根据圆I是△ABC的内切圆求出∠IBC+∠ICB=12的度数，求出∠IBC+∠ICB即可；连接IF、IE，求出∠FIE，即可求出∠FDE；（2）由（1）得出∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB），∠FDE＝180°﹣2∠A，根据三角形的内角和定理求出∠BIC ＝90°+12∠A ，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =12（∠ABC +∠ACB ），∵∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠IBC +∠ICB ＝70°，∴∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝110°，如图，连接IF 、IE ，∵圆I 是△ABC 的内切圆，∴∠IFA ＝∠IEA ＝90°，∵∠A ＝40°，∴∠FIE ＝360°﹣∠IFA ﹣∠IEA ﹣∠A ＝140°，∴∠EDF =12∠EIF ＝70°，答：∠BIC ＝110°，∠FDE ＝70°；（2）解：α＝180°﹣β，证明：由圆周角定理得：∠FIE ＝2∠FDE ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，即∠A ＝180°﹣2∠FDE ，∴∠A ＝180°﹣∠EIF ，由（1）知：2∠FDE ＝180°﹣∠A ，∴∠A ＝180°﹣2∠FDE ＝180°﹣2β，∠BIC ＝180°﹣（∠IBC +∠ICB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−1（180°﹣∠A）2∠A，＝90°+12（180°﹣2β），∴∠BIC＝α＝90°+12即α＝180°﹣β．【变式2-3】（2022秋•邗江区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y﹣x＝18°，在△ANM中，∠NAM+∠ANM＝180°﹣108°，∴x+2y＝72°，y−x=18°2y+x=72°，解得x=12°y=30°，∴∠BAC＝4x＝48°．故选：B．【题型3 三角形内切圆中求面积】【例3】（2022秋•黄冈期中）如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E 为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．【分析】设AF＝x，由切线长定理可得EF＝AF＝x，则FD＝1﹣x，CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．【解答】解：设AF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF＝AF＝x，∴FD＝1﹣x，∵CB⊥AB，∴CB为⊙O的切线，∴CB＝CE，∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，解得x=14，∴DF＝1﹣x=34，∴S△CDF =12×1×34=38．【变式3-1】（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E是△ABC的内心，OE⊥EB．若AE＝ABE的面积为（）A ．B ．2CD ．1【分析】延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，根据AB 是⊙O 的直径，可得∠AFB ＝∠C ＝90°，证明△FEA 是等腰直角三角形，可得AF ＝EF ＝2，根据垂径定理可得EF ＝BE ＝2，进而可得△ABE 的面积．【解答】解：如图，延长BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，OF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB ＝∠C ＝90°，∴∠CAB +∠CBA ＝90°，∵E 是△ABC 的内心，∴∠EAB =12∠CAB ，∠EBA =12∠CBA ，∴∠EAB +∠EBA =12（∠CAB +∠CBA ）＝45°，∴∠FEA ＝45°，∴△FEA 是等腰直角三角形，∴AE ==，∵AE ＝∴AF ＝EF ＝2，∵OE ⊥EB ，∴EF ＝BE ＝2，∴△ABE 的面积为：12BE •AF =12×2×2＝2．故选：B ．【变式3-2】（2022春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm ．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（）A ．150πB ．C ．D ．200【分析】画出图形，连接AD ，OB ，则AD 过O ，求出∠OBD ＝30°，求出OB ，根据勾股定理求出BD ，同法求出CD ，求出BC 的长后求得一个三角形的面积即可求得花边的面积．【解答】解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，⊙O 切AB 于F ，切AC 于E ，切BC 于D ，连接AD ，OB ，则AD 过O （因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴∠OBC =12∠ABC ＝30°，∵⊙O 切BC 于D ，∴∠ODB ＝90°，∵OD ＝1，∴OB ＝2，由勾股定理得：BD ==∴BC ＝∴S △ABC =12BC •AD =12××3＝∴这条花边的面积＝100S △ABC ＝故选：C ．【变式3-3】（2022•齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（）cm2A．12B．24C．8D．6【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC；设EF＝EC＝xcm．则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．【解答】解：∵AE与圆O切于点F，显然根据切线长定理有AF＝AB＝4cm，EF＝EC，设EF＝EC＝xcm，则DE＝（4﹣x）cm，AE＝（4+x）cm，在三角形ADE中由勾股定理得：（4﹣x）2+42＝（4+x）2，∴x＝1cm，∴CE＝1cm，∴DE＝4﹣1＝3cm，＝AD•DE÷2＝3×4÷2＝6cm2．∴S△ADE故选：D．【题型4 三角形内切圆中求线段长度】【例4】（2022秋•乌兰察布期末）如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB ＝5，AC＝6，BC＝7，求AD、BE、CF的长．【分析】由切线长定理，可知：AF ＝AD ，CF ＝CE ，BE ＝BD ，用未知数设AD 的长，然后表示出BD 、CF 的长，即可表示出BE 、CE 的长，根据BE +CE ＝7，可求出AD 的长进而求出BE 、CF 的长．【解答】解：假设AD ＝x ，∵⊙O 分别切△ABC 的三条边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ；∴根据切线长定理得出AD ＝AF ，BD ＝BE ，EC ＝FC ，∴AF ＝x ，∵AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，∴BE ＝BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣x ，FC ＝EC ＝AC ﹣AF ＝6﹣x ，∴BC ＝BE +EC ＝5﹣x +6﹣x ＝7，解得：x ＝2，∴AD ＝2，BE ＝BD ＝5﹣2＝3，CF ＝AC ﹣AF ＝6﹣2＝4．【变式4-1】（2022秋•崇川区月考）如图，已知△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，∠A ＝60°，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，则DF 的长等于（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm【分析】利用三角形内切圆的性质以及切线长定理得出BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，进而得出△ADF 是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC 的内切圆O 与三边分别切于D 、E 、F ，CB ＝6cm ，△ABC 的周长为16cm ，∴BD ＝BE ，CE ＝CF ，AD ＝AF ，∵BE +EC ＝BD +FC ＝6，∴AD ＝AF =12（AB +AC +BC ﹣BC ﹣BD ﹣CF ）=12（16﹣6﹣6）＝2，∵∠A ＝60°，∴△ADF 是等边三角形，∴DF ＝2．故选：A ．【变式4-2】（2022秋•龙凤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，⊙O 是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长度是．【分析】如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理求出AB＝5，根据△ABC的内切圆，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，推出四边形CFOE是正方形，得到CE＝CF＝OF＝OE，根据3﹣r+4﹣r＝5求出r、AQ、OQ的长求出AD、DQ的长【解答】解：如图连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB=5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF，AE＝AQ，BF＝BQ，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE＝CF＝OF＝OE，∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝1，AQ＝AE＝3﹣1＝2，OQ＝1，∵D是AB的中点，，∴AD=52，∴DQ＝AD﹣AQ=12∴OD2＝OQ2+DQ2，∴OD=【变式4-3】（2022•永定区模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，点E、F为切点，则EF的长是　4　cm．【分析】根据矩形的性质得到AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，由∠B＝90°，推出四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，过O1作O1M⊥FO2于M，则O1M＝PQ＝8，QM＝BN＝4，同法可得DG＝4，根据EF＝AC﹣AE﹣CF计算即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，∴AC＝20，△ABC≌△CDA，则⊙O1和⊙O2的半径相等．如图，过O1作AB、BC的垂线分别交AB、BC于N、P，过O2作BC，CD、AD的垂线分别交BC，CD、AD于Q，G、H，∵∠B＝90°，∴四边形O1NBP是正方形，设圆的半径为r，根据切线长定理12﹣r+16﹣r＝20，解得r＝4，∴BP＝BN＝4，同法可得DG＝4，∴AN＝AE＝CG＝CF＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝20﹣16＝4故答案为：4．【题型5 三角形内切圆中求半径】【例5】（2022•定安县二模）如图，在矩形ABCD中，AD＜AB，AD＝9，AB＝12，则△ACD内切圆的半径是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据矩形性质和勾股定理可得AC＝15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，然后根据切线长定理即可解决问题．【解答】解：在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝9，AB＝12，根据勾股定理，得AC==15，设△ACD内切圆的圆心为O，△ACD内切圆的半径为r，如图，连接OE，OF，OG，得四边形DFOG是正方形，∴DF＝DG＝r，∴AG＝AE＝AD﹣DG＝9﹣r，CF＝CE＝CD﹣DF＝AB﹣DF＝12﹣r，∵AE+CE＝AC，∴9﹣r+12﹣r＝15，解得r＝3．∴△ACD内切圆的半径是3．故选：C．【变式5-1】（2022秋•张店区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC 的内切圆，则⊙O的半径为（）A ．1BC ．2D ．【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可．【解答】解：∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，∴AC ==4，如图，分别连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，∵⊙O 是△ABC 内切圆，D 、E 、F 为切点，∴OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB 于D 、E 、F ，OD ＝OE ＝OF ，∴S △ABC ＝S △BOC +S △AOC +S △AOB =12BC •DO +12AC •OE +12AB •FO =12（BC +AC +AB ）•OD ，∵∠C ＝90°，∴12×AC •BC =12（BC +AC +AB ）•OD ，∴OD =3×4345=1．故选：A ．【变式5-2】（2022秋•虎丘区校级期中）若四边形ABCD 有内切圆（与四边形四边均相切），四边形面积为S ，各边长分别为a ，b ，c ，d ，则该圆的直径为（）A ．a b c d SB ．S a cC ．c−d S(a b)D ．2S a b c d【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD ．由S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD ，由S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，即可推出r =2S a b c d ．【解答】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ．∵S 四边形ABCD ＝S △OAB +S △OBC +S △OCD +S △AOD又∵S △OAB =12AB •r ，S △OBC =12BC •r ，S △OCD =12CD •r ，S △AOD =12AD •r ，∴S 四边形ABCD =12AB •r +12BC •r +12CD •r +12AD •r =12（a +b +c +d ）•r ＝S ，∴r =2S a b c d ．故选：D ．【变式5-3】（2022秋•南丹县期末）如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则⊙O 的半径等于 2　．【分析】连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，根据勾股定理可得AB ＝10，证明四边形OECF 是正方形，可得CF ＝CE ＝OF ＝r ，然后根据切线长定理可得AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连结OD ，OE ，OF ，设⊙O 半径为r ，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ==10，∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，AC 分别相切于点D ，F ，E ，∴AC ⊥OE ，AB ⊥OD ，BC ⊥OE ，且OF ＝OD ＝OE ＝r ，∴四边形OECF 是正方形，∴CF ＝CE ＝OF ＝r ，∴AE ＝AE ＝AC ﹣CE ＝6﹣r ，BF ＝BD ＝BC ﹣CF ＝8﹣r ，∵AD +BD ＝AB ＝10，∴6﹣r +8﹣r ＝10，∴r ＝2．∴⊙O 的半径等于2．故答案为：2．【题型6 三角形内切圆中求最值】【例6】（2022春•长兴县月考）如图，矩形ABCD ，AD ＝6，AB ＝8，点P 为BC 边上的中点，点Q 是△ACD 的内切圆圆O 上的一个动点，点M 是CQ 的中点，则PM +1　．【分析】由矩形性质和勾股定理可得AC ＝10，设△ADC 内切圆半径为r ，由面积法可得r ＝2，连接BQ ，易证PM 为△BCQ 的中位线，得出PM =12BQ ，当BQ 经过圆心O 时，BQ 最长，则此时PM 最大，作OE ⊥AD 与点E ，OF ⊥AB 与点F ，则BF ＝AB ﹣AF ＝8﹣2＝6，OF ＝AE ＝AD ﹣DE ＝6﹣2＝4，由勾股定理可得BO =BQ ＝BO +OQ ＝2，从而可得PM 的结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D ＝90°，CD ＝AB ＝8，∴AC ==10，设△ADC 的内切圆半径为r ，则有12r(AC +AD +DC)=12×6×8，即12r(10+6+8)=24，解得：r ＝2．连接BQ ，∵P为BC中点，M为CQ中点，∴PM为△BQC的中位线，BQ，∴PM=12当BQ经过圆心O时，BQ最长，则此时PM最大，作OE⊥AD与点E，OF⊥AB与点F，则BF＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，OF＝AE＝AD﹣DE＝6﹣2＝4，∴BO=∴BQ＝BO+OQ＝+2，BQ=1．∴PM=12+1．【变式6-1】（2022秋•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　4πcm2．　．r 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：12•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为12ABC的面积，可得r，求得圆的面积．【解答】解：如图1所示，S △ABC =12•r •（AB +BC +AC ）=12r ×42＝21r ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，如图2，设CD ＝x ，由勾股定理得：在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2﹣BD 2＝400﹣（7+x ）2，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2﹣x 2＝225﹣x 2，∴400﹣（7+x ）2＝225﹣x 2，解得：x ＝9，∴AD ＝12，∴S △ABC =12BC ×AD =12×7×12＝42，∴21r ＝42，∴r ＝2，该圆的最大面积为：S ＝πr 2＝π•22＝4π（cm 2），故答案为：4πcm 2．【变式6-2】（2022•温州自主招生）设等边△ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足PI ＝1，则△ABC 与△APC 的面积之比的最大值为　6　．【分析】P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上，当P 是⊙O 和BE 的交点时，△ACP 的面积最小，即△ABC 与△APC 的面积之比最大．此时PE ＝2﹣1＝1，则△ABC 与△APC 的面积的比值是BE 与PE 的比值，据此即可求解．【解答】解：点P 满足PI ＝1，则P 在以I 为圆心，以1位半径的圆上．作BE ⊥AC ，则BE 一定过点I ，连接AI ．∵在直角△AIE 中，∠IAE =12∠BAC =12×60°＝30°，IE ＝2，∴AI ＝2IE ＝4，∴BE ＝IE +BI ＝IE +AI ＝2+4＝6．当P是⊙I和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE＝2﹣1＝1，则△ABC与△APC的面积的比值是BEPE =61=6．故答案是：6．【变式6-3】（2022秋•滨湖区期末）已知点C是⊙O上一动点，弦AB＝6，∠ACB＝120゜．（1）如图1，若CD平分∠ACB，求证：AC+BC＝CD；（2）如图2，△ABC内切圆半径为r．①用含r的代数式表示AC+BC；②求r的最大值．【分析】（1）在CD上截取CE＝BC，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到△BCE为等边三角形，根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝60°，则BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，所以∠1＝∠2，于是可根据“AAS”判断△ACB≌△DEB，得到AC＝DE，由此得到CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC于F，根据内心的性质得PF＝PQ＝PH＝r，由∠ACD＝∠BCD＝60°得到∠CPF＝∠CPH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CF，CH==，然后根据切线长定理得到AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，所以AC+BC＝6，整理得AC+BC＝6+；②由于AC+BC＝CD得到CD＝6，所以当CD为直径时，r最大；当CD为直径，根据垂径定理的推论得CD⊥AB，AM＝BM=12AB＝3，AC＝BC，可计算出CD=AC＝2CD＝+=6+，可解得r＝6﹣【解答】（1）证明：在CD上截取CE＝BC，如图1，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴△BCE为等边三角形，∠ABD＝∠ACD＝60°，∴BE＝BC＝CE，∠1+∠ABE＝60°，∠ABE+∠2＝60°，∴∠1＝∠2，在△ACB和△DEB中∠A=∠D∠1=∠2，BC=BE∴△ACB≌△DEB，∴AC＝DE，∴CD＝CE+DE＝BC+AC；（2）解：①作弦CD平分∠ACB，设△ABC的内心为P点，作PQ⊥AB于Q，PH⊥BC于H，PF⊥AC 于F，如图，则PF＝PQ＝PH＝r，∵CD平分∠ACB，∠ACB＝120゜，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∴∠CPF＝∠CPH＝30°，∴CF=，CH==，∴AF＝AQ＝AC﹣CF＝AC，BH＝BQ＝BC﹣CH＝BC，而AB＝AQ+BQ，∴AC+BC＝6，∴AC+BC＝6+；②∵AC+BC＝CD，∴CD＝6+，∴当CD为直径时，r最大，如图3，当CD为直径，∴CD⊥AB，垂足为M，AB＝3，AC＝BC，∴AM＝BM=12∵∠ACD＝60°，∴∠CAM＝30°，∴CD∴AC＝2CD＝∴+6，∴r＝6﹣即r的最大值为6﹣【题型7 外接圆和内切圆的综合运用】【例7】（2022秋•滨湖区期末）设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r，则R﹣r＝　1.5　．【分析】利用三角形的外心与内心的性质即可进行计算．【解答】解：因为直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，所以R==2.5；如图，若Rt △ABC 的边AC ＝3，BC ＝4，根据勾股定理，得AB =5，其内切圆⊙O 分别切AB 、BC 、AC 于D 、E 、F ．设OE ＝OF ＝OD ＝r ，∴S △ABC ＝S △AOB +S △BOC +S △AOC ，即12AC •BC =12AB •OD +12BC •OE +12AC •OF ，12×3×4=12×5×r +12×4×r +12×3×r ，6=12r （5+4+3），6＝6r ，∴r ＝1，则R ﹣r ＝2.5﹣1＝1.5．故答案为：1.5．【变式7-1】（2022•鞍山模拟）如图，⊙O 内切于Rt △ABC ，切点分别为D 、E 、F ，∠C ＝90°．已知∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝　15　°，∠B ＝　60　°．已知AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，则△ABC 的外接圆的半径为　52　cm ，内切圆的半径为　1　cm ．【分析】由三角形内心的性质得到OC 平分∠ACB ，求得∠ACO =12∠ACB ＝45°，根据三角形的内角和得到结论；根据勾股定理得到AB ==5，于是得到结论．【解答】解：∵⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C ＝90°，∴OC 平分∠ACB ，∴∠ACO =12∠ACB ＝45°，∵∠AOC ＝120°，∴∠OAC ＝180°﹣45°﹣120°＝15°，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠OAC ＝30°，∴∠B ＝90°﹣30°＝60°；∵AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，∠C ＝90°，∴AB ==5，∴△ABC 的外接圆的半径为52；设内切圆的半径为r ，∴r =34−52=1，故答案为：15，60，52，1．【变式7-2】（2022•游仙区模拟）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，其周长为20，⊙I 是△ABC 的内切BIC 的外接圆直径为．【分析】设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，根据三角形内心定义可得S △ABC =12lr =12×20×=12AB •CD ，可得bc ＝40，根据勾股定理可得BC ＝a ＝7，再根据I 是△ABC 内心，可得IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC ＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB 的长．【解答】解：如图，设△BIC 的外接圆圆心为O ，连接OB ，OC ，作CD ⊥AB 于点D ，在圆O 上取点F ，连接FB ，FC ，作OE ⊥BC 于点E ，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵∠BAC ＝60°，∴AD =12b ，CD ，∴BD ＝AB ﹣AD ＝c −12b ，∵△ABC 周长为l ＝20，△ABC 的内切圆半径为r∴S △ABC =12lr =12×20×12AB •CD ，∴=•c ，∴bc ＝40，在Rt △BDC 中，根据勾股定理，得BC 2＝BD 2+CD 2，即a 2＝（c −12b ）2+）2，整理得：a 2＝c 2+b 2﹣bc ，∵a +b +c ＝20，∴a 2＝c 2+b 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（20﹣a ）2﹣3×40，解得a ＝7，∴BC ＝a ＝7，∵I 是△ABC 内心，∴IB 平分∠ABC ，IC 平分∠ACB ，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，，∠BOE＝60°，∴BE＝CE=72÷∴OB=72【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°．⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．【分析】连接ID、IE、IF，如图，由AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，根据圆周角定理的推论和勾股定理AB＝5，连接OI，设⊙I的得到AB为△ABC的外接圆的直径，AB＝10，则外心O为AB的中点，BO=12半径为r，根据切线的性质和切线长定理得ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，易得四边形IDCE为正方形，则DC＝CE＝r，所以AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，即AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，利用AF+BF＝AB得8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，所以BF＝4，则OF＝OB﹣BF＝1，在Rt△IOF中，根据勾股定理得IO【解答】解：连接ID、IE、IF，如图，∵AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，AB=10，∴外心O为AB的中点，AB＝5，∴BO=12连接OI，如图，设⊙I的半径为r，∵⊙I分别切AC，BC，AB于点D，E，F，∴ID⊥AC，IE⊥BC，IF⊥AB，AD＝AF，BE＝BF，而∠C＝90°，∴四边形IDCE为正方形，∴DC＝CE＝r，∴AD＝AC﹣DC＝8﹣r，BE＝BC﹣CE＝6﹣r，∴AF＝8﹣r，BF＝6﹣r，而AF+BF＝AB，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴BF＝6﹣r＝4，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣4＝1，在Rt△IOF中，IF＝2，OF＝1，∴IO=即Rt△ABC的内心I与外心O。

2.5 直线与圆的位置关系(第四课时切线长定理)(练习)-2021届九年级数学上册同步精品试题解析版

2021届九年级数学上册同步精品试题第二章圆2.5 直线与圆的位置关系（第四课时切线长定理）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2019·宜兴市期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．10【答案】C【详解】解:PA、PB为圆的两条相交切线,PA=PB,同理可得: CA=CE, DE=DB.△PCD的周长=PC+CE+ED+PD,△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA,△PCD的周长=8,故选C.2．（2018·无锡市期中）如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，，如果，，那么弦AB的长是（）A ．B．C．D．【答案】C【详解】解：，PB为的切线，，，为等边三角形，．故选C．3．（2019·江阴市期中）如图，△ABC是一张周长为17 cm的三角形纸片，BC＝5 cm，⊙O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为()A．12 cmB．7 cmC．6 cmD．随直线MN的变化而变化【答案】B【解析】试题解析：设分别是的切点，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，则故故选：B.4．（2018·泰州市期末）如图，P A、PB分别与圆O相切于A、B两点，C为圆上一点，∠P ＝70°，则∠C＝（）A．60°B．55°C．50°D．45°【答案】B【分析】连接OB，OA.利用切线性质得∠OBP=∠OAP=90°,由四边形内角和360°，得∠BOA=180°-∠P=110°,再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.【详解】连接OB，OA.因为，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，所以，∠OBP=∠OAP=90°,又因为，四边形OBPA的内角和是360°，所以，∠P+∠BOA=180°,所以，∠BOA=180°-∠P=110°,所以，∠C=,故选B5．（2019·泰州市期中）如图，AB、AC是O的两条切线，切点为B、C，BAC=30°，则BAO度数为( )A．60B．45C．30D．15【答案】D【详解】∵AB、AC是O的两条切线，切点为B、C，∴AO平分∠BAC，∴BAO=∠BAC=15°，故选D.6．（2019·宜兴市期中）如图，PA、PB是⊙O的两条切线， A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于（）A．B．1C．2D．【答案】B【详解】由PA、PB是⊙O的两条切线，得到PO为角APB的平分线，则由∠APB=60°，求出∠APO=∠APB=30°，且OA垂直于PA，即三角形OAP为直角三角形，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，由PO=2即可求出OA=PO=1，即为⊙O的半径为1．故选B．7．（2017·无锡市月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠A=25°，，若使DC切⊙O于点C，则∠D等于( )A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解析】如图，连接OC，∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD=90°.∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=25°．∴∠DOC=∠OCA+∠A=50°，∴∠D=180°-90°-50°=40°.故选C.8．（2019·深圳市期末）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是（）A．32°B．48°C．60°D．66°【答案】D【详解】解：∵CA、CD是⊙O的切线，∴CA=CD，∵∠ACD=48°，∴∠CAD=∠CDA=66°，∵CA⊥AB，AB是直径，∴∠ADB=∠CAB=90°，∴∠DBA+∠DAB=90°，∠CAD+∠DAB=90°，∴∠DBA=∠CAD=66°，故选：D．9．（2019·和平区期末）如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB的大小为（）A．25°B．30°C．45°D．50°【答案】D【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．【详解】解：∵MA切⊙O于点A，AC为直径，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA＝65°，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选：D．10．（2020·河北区期末）已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，⊙O与三角形的边相切，下列选项中，⊙O的半径为的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：①∵⊙O是△ABC的内切圆，∴⊙O的半径=，∴A不正确；②∵⊙O与AB，BC相切，∴r2+（c-a）2=（b-r）2∴r=，∴B不正确；③∵⊙O与AC，BC相切，圆心在AB上，∴=，∴r=，∴C正确，④∵⊙O与AB，AC相切，圆心在BC 上，∴（a-r）2=r2+（c-b）2，∴r=，∴D不正确．故选C.二、填空题（共5小题)11．（2019·南通市期中）如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝_________°．【答案】219【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB＋∠C＝180°，于是得到结论．【详解】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°−102°）＝39°，∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，故答案为：219°．12．（2019无锡市期中）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点．若AB＝5 cm，AC＝3 cm，则BD的长为________ cm.【答案】2【详解】∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB-AP=5-3=2．故答案是：2．13．（2019·连云港市期中）小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________ cm．【答案】6．【详解】解：∵∠CAD=60°，∴∠CAB=120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB=∠OAC=∠CAB=60°，∴∠AOB=30°，∵AB=3cm，∴OA=6cm，∴所以直径为2OB=6cm故答案为：6．14．（2020·泰州市期末）如图，△ABC周长为20cm，BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆，圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N，则△AMN的周长为________cm.【答案】8【详解】解：∵圆O是△ABC的内切圆，MN是圆O的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC周长为20cm, BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是815．（2018·苏州市期中）如图，△ABC的内切圆⊙O分别切BC，AB，AC于点D，E，F，△ABC的周长为28cm，BC＝12cm，则AF＝_____cm．【答案】2．【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆，分别切BC、AB、AC于点D、E、F，设AF＝AE＝x；BD＝BE＝y；CF＝CD＝z，根据题意得：，解得x＝2，∴AF＝2cm．故答案是：2．三、解答题（共2小题）16．（2020·盐城市期末）如图所示，分别切的三边、、于点、、，若，，．（1）求的长；（2）求的半径长．【答案】（1）4；（2）2【详解】解：（1）设，分别切的三边、、于点、、，，，，，，，，即，得，的长为．（2）如图，连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OD=OE=OF=2，∵，，,∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B是直角，∴△ABC的面积=,∴,∴OD=2,即的半径长为2.17．（2019·无锡市期中）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=4∠A．（1）求∠D的度数；（2）若CD=2，求BD的长．【答案】（1）∠D=60°；（2）BD= 4-2.【详解】解：（1）连接OC，如图，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥DP，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A，∴∠OCD=∠A+∠OCA=2∠A，∵∠OCD+∠D=90°，而∠D=4∠A．∴2∠A+4∠A=90°，解得∠A=15°，∴∠D=4×15°=60°；（2）在Rt△OCD中，∠OCD=30°，∴OC=CD=2，OD=2CD=4，∴BD=OD-OB=4-2．。

人教版九年级数学上教案第24章第09课时切线长定理含课堂练习+每课一测有答案

第8课时切线长定理【教学目标】1．能够说出切线长，并能区分切线长与切线；2．知道切线长定理，能用切线长定理进行证明或计算；3．能够作出三角形的内切圆，能快速确定直角三角形的内切圆的半径．【知识要点】1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角．3．三角形的内切圆：与三角形的各边都的圆叫三角形的内切圆．它的圆心是的交点，也叫三角形的．【探究新知】例1．（切线长定理）如图，BD是⊙O的直径，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，连接CD、AO．求证：CD∥AOACDO B【练习】如图，AB、CD、BD和⊙O相切，且BO⊥DO．求证：AB∥CD．AOC DB例2．（三角形的内切圆）△ABC中，∠C＝90°，内切圆⊙I与BC、CA分别切于点D、E．⑴判断四边形CDIE的形状，并证明；⑵若此直角三角形的两直角边长分别为9和40，试求出ID的长C ED B IA【练习】如图，△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，它的内切圆分别和AB、BC、AC切于点D、E、F，则AD＝，BE＝，CF＝，若∠A＝70°，则∠DEF＝．AFDC E B1．如图，四边形ABCD四条边都和⊙O相切，且AB＝16，CD＝10，则四边形ABCD的周长为（）A．50B．52C．54D．56CDO AAAPOODCBCA第1题图B C B第2题图第3题图B第4题图2．如图，P A、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，那么∠BAC的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC＝80°，则∠BOC＝．4．如图，AC、BC分别与⊙O相切，∠C＝80°，则∠D＝．5．斜边为26的直角三角形的内切圆的半径为4，则此直角三角形的周长为．16．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．求证：∠ABO＝∠APB2AOB P7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是它的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝12．求BC的长．BOC A8．如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点，CD切⊙O于点E，若P A＝6，∠APB＝60°．求：⑴△PDC的周长；⑵⊙O的半径；⑶∠COD的度数．AC PO ED B（完成时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（每题5分，共25分）1．（2009绵阳）一个钢管放在V 形架内（如图），O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN＝60︒，则OP ＝()A ．50 cmB ．253cmC ．503cm3D ．503cmDOM P 第1题图NDB A EABCy B OAx第2题图第3题图C第4题图第5题图2．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A ．2B ．3C ．3D ．233．如图，△ABC 与⊙O 分别切于点D 、E 、F ，DE ∥BC ，AB ＝8，AD ＝5，则BC 的长为（）A ．3B ．6C ．5D ．无法求出4．如图，若AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，延长OB 到D 使BD ＝OB ，连AD ，∠DAC ＝78°，则∠ADO的度数为（）A ．56°B ．39°C ．64°D ．78°5．如图，在坐标系中A 、B 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则Rt △ABO 内心的坐标是（）A ．（3，2）B ．（1，2）C ．（1，1）D ．不能求出2二、填空题（每题5分，共25分）6．如图，⊙O 的外切梯形ABCD 中，若AD //BC ，那么∠DOC 的度数为．7．（2009年广西钦州）如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB⌒上，若P A 长为2，则△PEF 的周长是_．于点E 、F ，切点C 在AB 8．（2009湖北省荆门市）Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．则△ABC 的内切圆半径r =______．E CA∙∙PO第7题图9．（09湖南怀化）如图，P A 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P＝____度．10．P A 、PC 分别切⊙O 于点A 、C ，点B 是⊙O 上与A 、C 不重合的一点，若∠P ＝50°，则∠ABC 的度数为____．C r第6题图FBA第8题图B第9题图三、解答题（每题5分，共50分）11．（2009年天津市）如图，已知A、B为⊙O的直径，P A、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC ＝30°，（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB＝2，求P A的长（结果保留根号）．PCA O B12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A 点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点．求：△ADE的面积．AFB O EC D13．(2009年义乌市)如图，AB是⊙O的的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD//OC,⌒的中点；弦DF⊥AB于点G．（1）求证：点E是BD（2）求证：CD是⊙O的切线；CDEA GFO B14．如图，在△ABC，∠C=90°，AC+BC＝8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E．当AC＝2时，求⊙O的半径；CDAO BE15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，求⊙O的半径．BOC PA【参考答案】【要点梳理】1．这点，切点；2．两，相等，平分；3．相切，三角形三条角平分线，内心．【问题探究】1例1．方法一：连接OC，证∠OCD＝∠AOC＝∠BOC，方法二：连接BC，证DC⊥BC，AO⊥BC2练习：由切线长定理可知∠ABD＝2∠OBD，∠BDC＝2∠BDO，又根据BO⊥DO，可证∠ABD＋∠BDC ＝180°，则AB∥CD例2．⑴CDIE为正方形；⑵先求出AB＝41，令ID＝x，则CD＝CE＝x，AE＝40－x，BD＝９－x，所以有40－x＋９－x＝41，从而解得x＝4．练习：AD＝3，BE＝2，CF＝5；∠DFE＝55°【课堂操练】1．A；2．B；3．130°；4．50°；5．60；6．提示：连接OP；7．先求出∠A＝30°，从而求出BC＝6；8．⑴12；⑵23；⑶∠COD＝60°【每课一测】一、选择题1．A；2．D；3．B；4．C；5．C二、填空题6．90；7．4；8．2；9．60°；10．65°或115°三、解答题11．⑴∠P＝60°；⑵P A＝312．12（提示：设CE＝x，则AE＝4＋x，DE＝4－x）13．⑴连接OC，利用平行线的性质可证∠BOC＝∠COD；⑵证OD⊥CD即可14．2 315．1（提示：如图，连接OD、OE，设半径OE为x，则AD＝AE＝x＋2，于是有BE＝10－（x＋2）＝8－x，BO＝62-2x，所以(62-2x)2＝x2＋（8－x）2）BEOC D P A。

新人教版九年级数学上册24.2.2.3切线长定理习题

新人教版九年级数学上册24.2.2.3切线长定理习题要点感知1 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的____.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的____相等，这一点和圆心的连线平分____.预习练习1-1 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若PA=6 cm，则PB=____.1-2 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠APB＝60°,OA=2 cm,则OP=____.要点感知2 与三角形各边____的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是____的交点，叫做三角形的____.三角形的内切圆只有____个，而圆的外切三角形有____个.预习练习2-1 如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=____.知识点1 切线长定理1.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A.4B.8C.43D.832.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( )A.9B.10C.12D.143.(青海中考)如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上的一点，且∠ACB=65°，则∠P=____.4.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5 cm，求铁环的半径.知识点2 三角形的内切圆5.如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=( ) A.130° B.120° C.100° D.90°6.如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=____.7.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则△ABC 的内切圆的半径为____.8.△ABC 的内切圆⊙O 与BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，且AB=18 cm ，BC=28 cm ，CA=26 cm ，求AF ，BD ，CE 的长.9.一个钢管放在V 形架内，如图是其截面图，O 为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN=60°，则OP=( ) A.50 cmB.253cmC.3350cm D.503 cm10.如图，若AB 、AC 分别切⊙O 于B 、C ，延长OB 到D 使BD=OB ，连接AD ，∠DAC=78°，则∠ADO 的度数为( ) A.56° B.39° C.64° D.78°11.(青岛中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC=110°.连接AC ，则∠A 的度数是____.12.如图,已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的半径为____.13.如图，PA,PB 分别与⊙O 相切于点A,B ，⊙O 的切线EF 分别交PA,PB 于点E,F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是____14.如图所示，点I 为△ABC 的内心，点O 为△ABC 的外心，若∠BOC=140°，求∠BIC 的度数.15.(河南中考)如图，CD 是⊙O 的直径，且CD=2 cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点分别为点A、B.(1)若∠APO=90°证明：△ACP是等腰三角形(2)填空：①当DP=____cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=____cm时，四边形AOBP是正方形.挑战自我16.(曲靖中考)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，AC、PB的延长线相交于点D.(1)若∠1=20°，求∠APB的度数；(2)当∠1为多少度时，OP=OD，并说明理由.参考答案要点感知1 切线长.切线长，两条切线的夹角.预习练习1-1 6 cm.1-2 4 cm.要点感知2 都相切，三角形三条角平分线，内心.一，无数.预习练习2-1 如115°.1.B2.D3.50°4.设圆心为O，连接OA，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO=60°.又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA=90°.∴∠POA=30°.∵PA=5 cm，OP=53cm.即铁环的半径为53 cm. 5.A 6.90度. 7.2.8.根据切线长定理得 AE=AF ，BF=BD ，CE=CD. 设AF=AE=x cm ，则CE=CD=(26-x)cm ， BF=BD=(18-x)cm. ∵BC=28 cm ，∴(18-x)+(26-x)=28.解得x=8.∴AF=8 cm ，BD=10 cm ，CE=18 cm.9.A10.C11.35°.12.331. 13.4.14.∵点O 为△ABC 的外心，∠BOC=140°， ∴∠A=70°.又∵点I 为△ABC 的内心，∴∠BIC=125°.15.(1)连接OA.∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠OAP=90°. 在Rt △AOP 中，∠AOP=90°-∠APO=90°-30°=60°. ∴∠ACP=21∠AOP=21×60°=30°. ∴∠ACP=∠APO.∴AC=AP .∴△ACP 是等腰三角形.(2)1，2-1(提示：①当四边形AOBD 是菱形时，AO=AD=OD ，∠AOP=60°，而∠OAP=90°，∴OP=2OA=2，∴DP=OP-OD=2-1=1；②当四边形AOBP 是正方形时，OP=2OA=2，∴DP=OP-OD=2-1.) 挑战自我16.(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠PAO=90°.∵∠1=20°，∴∠BAP=90°-∠1=70°. 又∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB. ∴∠BAP=∠ABP=70°.∴∠APB=180°-70°×2=40°.(2)当∠1=30°时，OP=OD.理由如下：当∠1=30°时，由(1)知∠BAP=∠ABP=60°， ∴∠APB=180°-60°×2=60°.∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OPB=12∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°，∴∠OPB=∠D.∴OP=OD.。

24.2.2 第2课时切线的判定和性质人教版数学九年级上册同步练习(含答案)

24.2.2第二课时切线的判定和性质1．下列命题中，真命题是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点3．如图，«Skip Record If...»是⊙O的直径，«Skip Record If...»交⊙O于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，下列说法不正确的是（）A．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线B．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线C．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线D．若«Skip Record If...»是⊙O的切线，则«Skip Record If...»4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（）A．44°B．88°C．46°D．92°5．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A.C，点D在⊙O上，则∠B的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．65°6．如图，«Skip Record If...»为⊙O的直径，弦«Skip Record If...»于点E，直线l切⊙O 于点C，延长«Skip Record If...»交l于点F，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的长度为（）A．2B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．47．下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙«Skip Record If...»及⊙«Skip Record If...»上一点«Skip Record If...»．求作：直线PN，使得PN与⊙«Skip Record If...»相切．作法：如图2，①作射线OP；②在⊙«Skip Record If...»外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；③连接MQ并延长交⊙Q于点N；④作直线PN．所以直线PN即为所求作直线．根据小石设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»（）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（）（填推理的依据）．8．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．9．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．10．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，«Skip Record If...»于点F，连接OF，且«Skip Record If...»．（1）求证：DF是«Skip Record If...»的切线；（2）求线段OF的长度．11．如图，AB为«Skip Record If...»的直径，E为«Skip Record If...»上一点，点C为«Skip Record If...»的中点，过点C作直线CD垂直直线AE，垂足为D．（1）求证：DC为«Skip Record If...»的切线；（2）若AB=4，∠CAD=30°，求AC．12．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，⊙O的切线DE交BC于E，且点E是BC的中点．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）①当∠BAC＝ °时，四边形OBED为正方形；②若AB＝4，当BC＝时，四边形ODCE是平行四边形．参考答案1．B【分析】根据圆的有关概念和性质、垂径定理进行判断解答．【详解】解：A.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原命题是假命题；B.垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧，是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，原命题是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，原命题是假命题；故选：B．【点拨】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关概念和性质、垂径定理等知识．2．D【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．【详解】解：A.∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；B.∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；C.∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；D.∵⊙A与AC的交点是AC中点，∴AB＝«Skip Record If...»AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；故选：D．【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．3．A【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O 的切线，可判断B选项正确；若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；若«Skip Record If...»，没有理由可证明DE是⊙O的切线．【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；当CD=BD时，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．若«Skip Record If...»，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．故选：A．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．4．B【分析】根据切线的性质得到∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∵∠C＝46°，∴∠B＝90°﹣46°＝44°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠B＝88°，故选B．【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.5．C【分析】连接OA.OC，由AB，BC与⊙O相切，可得∠BAO=∠BCO=90°，可求∠B+∠AOC=80°，由四边形ABCD为菱形，可得∠B=∠D，，由点D在⊙O上，根据同弧所对圆心角与圆周角∠AOC=2∠D，可得∠B+2∠B =180°求解即可．【详解】解：连接OA.OC，∵AB，BC与⊙O相切，∴OA⊥AB，OC⊥BC，∴∠BAO=∠BCO=90°，∴∠B+∠AOC=360°-∠BAO-∠BCO=180°∵四边形ABCD为菱形，∴∠B=∠D，又∵点D在⊙O上，∴∠AOC=2∠D，∴∠B+2∠B =180°∴∠B＝60°．故选：C．【点拨】本题考查圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质，掌握圆的切线性质，圆周角定理，菱形的性质是解题关键．6．B【分析】根据垂径定理求得«Skip Record If...»，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED 是等腰直角三角形，得出«Skip Record If...»，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=«Skip Record If...»．【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...» AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴«Skip Record If...»，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．7．（1）作图见解析；（2）«Skip Record If...»，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理可得∠MPN=90°，根据切线的判定定理即可得结论.【详解】（1）（1）补全图形如下图；（2）证明：∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的直径，∴«Skip Record If...»＝90 «Skip Record If...»（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴«Skip Record If...»．又∵«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的半径，∴«Skip Record If...»是⊙«Skip Record If...»的切线（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点拨】本题考查了切线的判定及圆周角定理，正确作出图形是解题关键.8．（1）①OA⊥EF；②∠FAC=∠B；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA⊥EF或∠FAC=∠B根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，等量代换得到∠BAC=∠B，所以点C在AB的垂直平分线上，得到OC垂直平分AB．【详解】（1）①OA⊥EF②∠FAC=∠B，理由是：①∵OA⊥EF，OA是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点拨】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．9．（1）见解析；（2）AC＝4．【分析】（1）根据«Skip Record If...»和«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»，再根据经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线来判定；（2）根据（1）中的结论和∠ADB＝30°来说明在«Skip Record If...»中，直角边OA等于斜边OD的一半，又因为OA=OB，所以OA=OB=DB=2，所以AC=2OA=4．【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，又∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．【点拨】这道题考察的是切线的判定和30°所对直角边是斜边一半的概念．对圆相关概念、性质，以及特殊直角三角形性质熟练掌握是解题的关键．10．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）连接OD，先说明«Skip Record If...»是等边三角形得到«Skip Record If...»，说明«Skip Record If...»，进而得到«Skip Record If...»即可证明；（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到«Skip Record If...»，最后运用勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：连接OD∵«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»是等边三角形∴«Skip Record If...»∴OD//AB∵«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴DF是«Skip Record If...»的切线；（2）∵OD//AB，«Skip Record If...»∴OD为«Skip Record If...»的中位线∴«Skip Record If...»∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»由勾股定理，得：«Skip Record If...»∴在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．11．（1）见解析；（2）«Skip Record If...»．【分析】（1）利用在同一个圆中等弧对等角得出∠BAC=∠CAD，根据等腰三角形的性质、等量代换以及平行线的判定得到AD∥OC，再根据垂线的性质可以证明出OC⊥DC，根据切线的判定即可得出结论；（2）求«Skip Record If...»可以放在«Skip Record If...»中，结合（1）的结论以及利用勾股定理求解即可．【详解】（1）连接OC，则：∵点C为«Skip Record If...»的中点∴«Skip Record If...»∴∠BAC=∠CAD∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA∴∠CAD=∠OCA∴AD∥OC∵AD⊥DC∴∠ADC=90°∴∠OCD=90°∴OC⊥DC又OC是«Skip Record If...»的半径∴DC为«Skip Record If...»的切线；（2）过点«Skip Record If...»作«Skip Record If...»的垂线交于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为等腰三角形，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»AB=4，∠CAD=30°，«Skip Record If...»，由（1）知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»【点拨】本题考查了圆的切线、等弧对等角、平行线的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识点、添加适当辅助线进行解答．12．（1）见解析；（2）①45；②4．【分析】（1）连接OD.OE，如图1所示，然后证明△ODE≌△OBE，从而得到OB⊥BC即可；（2）①连接BD.OD，当∠BAC＝45°，△ABC是等腰直角三角形，然后得到DE为△ABC的中位线，证得∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，根据OD＝OB即可求证；②连接OE，当BC＝4，E是BC的中点，则有CE=OD，只需证明CE∥OD即可【详解】解：（1）证明：连接OD.OE，如图1所示：∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠DOE＝∠ODA，∠BOE＝∠A，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠DOE＝∠BOE，在△ODE和△OBE中，«Skip Record If...»∴△ODE≌△OBE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当∠BAC＝45°时，四边形OBED是正方形，理由如下：如图2，连接BD.OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，由（1）得：OB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∵BD⊥AC，∴AD＝CD，∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB＝∠OBE＝∠ODE＝90°，∴四边形OBED是矩形，∵OD＝OB，∴四边形OBED为正方形，故答案为：45；②当BC＝4时，四边形ODCE是平行四边形，理由如下：如图3，∵AB＝4，BC＝4，∴OD＝OA＝2，AB＝BC，∴∠A＝∠ODA，∠A＝∠C，∴∠ODA＝∠C，∴OD∥CE，∵点E是BC的中点，∴CE＝2，∴OD＝CE，∴四边形ODCE是平行四边形，故答案为：4．【点拨】本题主要考查了圆的性质，圆切线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，正方形的判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.。

【2021中考数学】切线长定理专题含答案

切线长定理一．选择题1．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B，P A＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交P A、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm2．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD ＝6，则CB长（）A．4B．5C．6D．无法确定3．图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（）A．B．C．D．4．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°5．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3B．4C．D．6．如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°7．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A．B．C．D．18．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）A．9B．10C．3D．29．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3C．3D．10．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE 二．填空题11．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是cm．12．已知：P A切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A、B的一点，过点C 作⊙O的切线分别交P A和PB于点D、E，若P A＝10cm，DE＝7cm，则△PDE的周长为cm．13．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为．14．已知：P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若P A＝15cm，那么△PEF周长是cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝．15．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为．三．解答题16．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）求证：AO2＝AE•AD；（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．18．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求⊙O的半径OF的长．参考答案一．选择题1．解：∵P A、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝P A＝10cm，∵EA与EC为⊙的切线，∴EA＝EC，同理得到FC＝FB，∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF＝PE+EA+FB+PF＝P A+PB＝10+10＝20（cm）．故选：C．2．解：方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．设CD＝y，CB＝x．设S梯形ABCD＝S则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）S＝S△BOC+S△COD+S△DOA＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）联立（1）（2）得x＝4；方法2、连接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切线，∴∠ADO＝∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD，∴∠ADO＝∠AOD∴AD＝OA∵AD＝6，∴OA＝6，∵AB＝10，∴OB＝4，同理可得OB＝BC＝4，故选：A．3．解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F ∵AB，AE都为圆的切线∴AE＝AB∵OB＝OE，AO＝AO∴△ABO≌△AEO（SSS）∴∠OAB＝∠OAE∴AO⊥BE在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2∵OB＝1，AB＝3∴AO＝易证明△BOF∽△AOB∴BO：AO＝OF：OB∴1：＝OF：1∴OF＝sin∠CBE＝＝故选：D．4．解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．5．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．6．解：∵P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，∴CE＝CA，DE＝DB，∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，∴∠CAE＝∠PCD，∠DBE＝∠PDC，即∠P AE＝∠PCD，∠PBE＝∠PDC，∵∠P＝40°，∴∠P AE+∠PBE＝∠PCD+∠PDC＝（∠PCD+∠PDC）＝（180°﹣∠P）＝70°．故选：D．7．解：连OM，ON，如图∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2，同理得∠3＝∠4，而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC∴∠2+∠3+∠B＝180°；而∠1+∠MOB+∠B＝180°，∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，∴△OMB∽△NOC，∴＝，∴BM•CN＝BC2，∴＝．故选：B．8．解：作DH⊥BC于H，如图，∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∵AB为直径，∴AD和BC为⊙O切线，∵CD和MN为⊙O切线，∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，∵四边形ABHD为矩形，∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2，在Rt△DCH中，∵CH2+DH2＝DC2，∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x＝，∴CB＝CE＝，∴△MCN的周长＝CN+CM+MN＝CN+CM+NF+MF＝CN+CM+NF+MB＝CE+CB＝9．故选：A．9．解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0）、B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴AB＝6∴OP＝AB＝3，∵OQ＝2，∴PQ＝＝，故选：D．10．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB＞CE＞CD．故选：A．二．填空题11．解：∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB＝∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3cm，∴光盘的直径6cm．故答案为：6．12．解：分两种情况：①点C在劣弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝P A+PB＝2P A＝20cm．②点C在优弧AB上时，如图，当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，P A＝PB，则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝2P A+2DE＝20+2×7＝34cm．综上，△PDE的周长为20或34cm．故答案为：20或34．13．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．14．解：∵P A、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴P A＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝DB，∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝P A+PB＝30（cm）即△PEF周长是30cm；∵P A、PB为⊙O的切线，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；连OD，如图，∴∠ODE＝∠ODF＝90°，易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝∠AOB＝65°，则∠EOF＝65°．15．解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD ＝10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．故答案是：20cm．三．解答题16．解：连接OA，OP，则OA⊥P A，根据题意可得：CA＝CE，DE＝DB，P A＝PB，∵PC+CE＝DE+PD＝18，∴PC+CA+DB+PD＝18，∴P A＝×18＝9（cm），∵P A、PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠APB＝30°，在Rt△AOP中，PO＝2AO，AO＞0，故OA2+92＝（2AO）2，解得：OA＝3，故⊙O的半径为：3cm．17．（1）证明：根据切线长定理可知：∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠AOD＝90°，∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，∴△AOE∽△ADO，∴＝，即AO2＝AE•AD；（2）解：在Rt△AOD中，OD＝＝3（cm），∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD即5×EO＝4×3，∴EO＝（cm），∵OE是⊙O的半径，∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．18．（1）答：△OBC是直角三角形．证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，∵AB∥CD，∴∠EBF+∠GCF＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴△OBC是直角三角形；（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，∴BC＝＝10；（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，∴OF⊥BC，∴OF＝＝＝4.8．。

2021年人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习(含答案)

人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习1.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是弧DE的中点.（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径.3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．4.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，求线段OG的长．5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．6.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.8.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.11.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．(1)求的度数．(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．12.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.13.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．15.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．16.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.参考答案1.（1）证明：连接DE，OA.∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线.（2）作OH⊥PA于H.∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，2.（1）证明：连接OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r.过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE=4，CH=OE=r，∴BH=FH=CH－CF=r－2，在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，∴42+（r－2）2=r2，解得r=5.∴⊙O的半径为5.3.解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB=DH，∴AC与⊙D相切4.解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，∴∠OAD=∠EAD=30°，∴∠OAC=60°，∵OA=OD，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOG=60°，∵∠OAD=30°，∴∠AGO=90°，∴OG=2.5．5.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．6.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.8.（1）证明：如图1，连结OC，∴OC=OA=OB.∴点C 在⊙O 上，∵BD=OB ，∴AB=DO ，∵CD=CA ，∴∠A=∠D ，∴△ACB ≌△DCO ，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，在Rt △ABC 中，BC=ABsin ∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4.9.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.10.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ，∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.∴⊙O的直径的长为6.11.解：(1)连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∴的度数为45°；(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，则HO===t，∵OC=2OH，∴∠OCE=30°．12.解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴(x﹣2)2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点.∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴13.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．14.解：15.解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．16. (1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。

【2021年最新】人教版九年级数学上册专题十有关切线的辅助线作法同步测试及答案

有关切线的辅助线作法一切线的性质(教材P101习题24.2第5题)如图1，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，求证：AP ＝BP . .∵AB 是小圆的切线，∴OP ⊥AB .在大圆中由垂径定理得AP ＝BP .图2【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以作过切点的半径得到垂直关系是常用的辅助线作法．如图2，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为( C )B ．4 cmC ．6 cmD ．8 cm如图3，已知点O 为Rt △ABC 斜边AC 上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ，与AC 相交于点D ，连接AE .(1)求证：AE 平分∠CAB ；C 的数量关系，并求当AE ＝EC 时∠C 的值．图3变形2答图解：(1)证明：如图，连接OE ，∵BC 是⊙O 的切线，且切点为E ，∴OE ⊥BC ，∴∠OEC ＝90°.又∵△ABC 是直角三角形，∴∠B ＝90°，∴∠OEC ＝∠B ，∴OE ∥AB ，∴∠BAE ＝∠OEA .∵OA ＝OE ，∴∠1＝∠OEA ，∴∠BAE ＝∠1，∴AE 平分∠CAB .(2)∵△ABC 是直角三角形，∴∠BAC ＋∠C ＝90°.∵AE 平分∠CAB ，∴∠BAC ＝2∠1，∴2∠1＋∠C ＝90°，即∠1＝12(90°－∠C )．当AE ＝EC 时，∠1＝∠C ，则2∠C ＋∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.图4 如图4，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过点T 作AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝3，求AD的长．解：(1)证明：连接OT∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC又∵CT⊥AT，∴CT⊥OT∴CT为⊙O的切线．(2)解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点又∵CT⊥AC，∴OE∥CT∴四边形OTCE为矩形∵CT＝3，∴OE＝ 3又∵OA＝2∴在Rt△OAE中，AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1∴AD＝2AE＝2.二切线的判定(教材P101习题24.2第4题)如图5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．证明：连接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．∴OC⊥AB.【思想方法】证明某直线为圆的切线时，(1)如果该直线与已知圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径，证垂直”；(2)如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即“作垂直，证半径”．注意：在证明垂直时，常用到直径所对的圆周角是直角．如图6，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．解：CD与⊙O相切．理由如下：连接DO，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CDO ＝∠AOD＝90°.又∵OD是⊙O的半径，CD经过点D，∴CD是⊙O的切线．[2012·温州]如图7，△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB.E是BC 上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D .(1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若CD 的弦心距为1，BE ＝EO ，求BD 的长．图7变形2答图解：(1)证明：如图，连接OD ，∵∠DOB ＝2∠DCB ，又∵∠A ＝2∠DCB ，∴∠A ＝∠DOB .又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠DOB ＋∠B ＝90°，∴∠BDO ＝90°，∴OD ⊥AB ，∴AB 是⊙O 的切线．(2)解法一：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，∵OD ＝OE ＝BE ＝12BO ，∠BDO ＝90°，∴∠B ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∴∠DCB ＝30°， ∴OC ＝2OM ＝2，∴OD ＝2，BO ＝4，∴BD ＝2 3.解法二：如图，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连接DE ，∵OM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵OC ＝OE ，∴DE ＝2OM ＝2.∵Rt △BDO 中，OE ＝BE ，∴DE ＝12BO ， ∴BO ＝4，∴OD ＝OE ＝2，∴BD ＝2 3.图8 如图8，已知⊙O 的半径为1，DE 是⊙O 的直径，过D 作⊙O 的切线，C 是AD 的中点，AE 交⊙O 于B 点，四边形BCOE 是平行四边形．(1)求AD 的长；(2)BC 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．解：(1)连接BD ，则∠DBE ＝90°.∵四边形BCOE 是平行四边形，∴BC ∥OE ，BC ＝OE ＝1.在Rt △ABD 中，C 为AD 的中点，∴BC ＝12AD ＝1. ∴AD ＝2.(2)连接OB ，由(1)得BC ∥OD ，且BC ＝OD .∴四边形BCDO 是平行四边形．又∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .∴四边形BCDO 是矩形．∴OB ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．图9 如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的切线，CD 是垂直于AB 的弦，垂足为E ，过点C 作DA 的平行线与AF 相交于点F ，CD ＝43，BE ＝2.求证：(1)四边形F ADC 是菱形；(2)FC 是⊙O 的切线．解：(1)连接OC ，依题意知：AF ⊥AB ，又CD ⊥AB ，∴AF ∥CD ，又CF ∥AD ，∴四边形F ADC 是平行四边形，由垂径定理得：CE ＝ED ＝12CD ＝23，设⊙O 的半径为R ，则OC ＝R ，OE ＝OB －BE ＝R －2，在△ECO 中，由勾股定理得：R 2＝(R －2)2＋(23)2，解得：R ＝4，∴AD ＝AE 2＋DE 2＝62＋（23）2＝43，∴AD ＝CD ，因此平行四边形F ADC 是菱形；(2)连接OF ，由(1)得：FC ＝F A ，又OC ＝OA ，FO ＝FO ，∴△FCO ≌△F AO ，∴∠FCO ＝∠F AO ＝90°，因此FC 是⊙O 的切线．第3课时切线长定理和三角形内切圆 [见B 本P46]1．如图24－2－30，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B .如果∠APB ＝60°，P A ＝8，那么弦AB 的长是( B )图24－2－30A ．4B ．8C ．6D ．10【解析】 ∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，又∵∠P ＝60°，∴△P AB 是等边三角形，即AB ＝P A ＝8，2．如图24－2－31，P A 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是( D ) 图24－2－31A ．∠1＝∠2B ．P A ＝PBC ．AB ⊥OPD ．P A 2＝PC ·PO3．如图24－2－32，已知△ABC 中，⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，则I 是△DEF 的( A )图24－2－32A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解析】 ⊙I 是△DEF 的外接圆．4．如图24－2－33，已知P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，C 是劣弧AB ︵上一动点，过C 作⊙O 的切线交P A于M ，交PB 于N ，已知∠P ＝56°，则∠MON ＝( C )图24－2－33A ．56°B ．60°C ．62°D ．不可求【解析】连接OA ，OB ，则∠AOB ＝124°，∴∠MON ＝12∠AOB ＝12×124°＝62°，故选C. 5．△ABC 中∠A ＝80°，若O 为外心，M 为内心，则∠BOC ＝__160__度，∠BMC ＝__130__度．【解析】根据分析，得∠BOC ＝2∠A ＝160°；∠BMC ＝90°＋12∠A ＝130°. 6．[2013·天津]如图24－2－34，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，若∠P ＝70°，则∠C 的大小为__55°．图24－2－34【解析】连接OA ，OB ，∵P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，即∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－∠P AO －∠P －∠PBO ＝360°－90°－70°－90°＝110°，∴∠C ＝12∠AOB ＝55°. 7．[2012·菏泽]如图24－2－35，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠P ＝46°，则∠BAC ＝__23°__．图24－2－35【解析】 ∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，又∠P ＝46°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝180°－46°2＝67°. 又P A 是⊙O 的切线，AO 为⊙O 的半径，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP ＝90°，∴∠BAC ＝∠OAP －∠P AB ＝90°－67°＝23°.8．如图24－2－36，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC ，BC ，求证：AC ＝BC .图24－2－36证明：∵P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，∴P A ＝PB ，∠APC ＝∠BPC .又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC .∴AC ＝BC .9．如图24－2－37，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∠BCA ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.(1)求△ABC 的面积；(2)求⊙O 的半径；(3)求AF 的长．图24－2－37解：(1)∵∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴△ABC 的面积为：12×3×4＝6；(2)连接OE ，OD ，∵⊙O 为△ABC 的内切圆，D ，E ，F 为切点，∴EB ＝FB ，CD ＝CE ，AD ＝AF ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，又∵∠C ＝90°，OD ＝OE ，∴四边形ECDO 为正方形，∴设OE ＝OD ＝CE ＝CD ＝x ，∴BE ＝3－x ，DA ＝4－x ；∴FB ＝3－x ，AF ＝4－x ，∴3－x ＋4－x ＝5，解得x ＝1.(3)∵CD ＝1，∴AF ＝AD ＝4－1＝3.10．如图24－2－38所示，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P .若已知⊙O 的半径为1，则△P AB 的周长为__33__．图24－2－38【解析】 ∵AP ，BP 是⊙O 的切线，∴∠P AC ＝90°，P A ＝PB .∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－60°＝30°，∴∠P AB ＝90°－30°＝60°，∴△P AB 是等边三角形．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AC ＝12×2＝1， ∴AB ＝AC 2－BC 2＝22－12＝3，∴△P AB 的周长为3 3.11．如图24－2－39，已知AB 为⊙O 的直径，P A ，PC 是⊙O 的切线，A ，C 为切点，∠BAC ＝30°.(1)求∠P 的大小；(2)若AB ＝2，求P A 的长(结果保留根号)．图24－2－39第11题答图解：(1)∵P A 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴P A ⊥AB ，∴∠BAP ＝90°.∵∠BAC ＝30°，∴∠CAP ＝90°－∠BAC ＝60°.又∵P A ，PC 切⊙O 于点A ，C ，∴P A ＝PC ，∴△P AC 为等边三角形，∴∠P ＝60°.(2)如图，连接BC ，则∠ACB ＝90°.在Rt △ACB 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∴BC ＝12AB ＝12×2＝1， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝22－12＝3，∴P A ＝AC ＝ 3. O 相切，AB ＝8 cm.求圆O 的直径．解：作出示意图如答图，连接OE ，OA ，OB ，∵AC ，AB 都是⊙O 的切线，切点分别是E ，B ，∴∠OBA ＝90°，∠OAE ＝∠OAB ＝12∠BAC . ∵∠CAD ＝60°，∴∠BAC ＝120°，∴∠OAB ＝12×120°＝60°， ∴∠BOA ＝30°，∴OA ＝2AB ＝16 cm.由勾股定理得OB ＝OA 2－AB 2＝162－82＝83(cm)，即⊙O 的半径是83cm ，∴⊙O 的直径是163cm.13．如图24－2－41，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B ，连接PO ，AB 相交于D ，C 是⊙O 上一点，∠C ＝60°.(1)求∠APB 的大小；的面积．图24－2－41解：(1)∵P A ，PB 分别为⊙O 的切线，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB .∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.∵∠C ＝60°，∴∠AOB ＝2∠C ＝120°.在四边形APBO 中，∠APB ＝360°－∠OAP －∠OBP －∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°.(2)∵P A ，PB 分别为⊙O 的切线，∴P A ＝PB .∵OA ＝OB ，PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO ，∴∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°， ∴PO ⊥AB ，∴∠DAO ＝∠APO ＝30°，∴OA ＝12×OP ＝12×20＝10 (cm)．在Rt △AOD 中，∠DAO ＝30°，OA ＝10 cm ，∴AD ＝32×OA ＝32×10＝53(cm)， OD ＝12×OA ＝12×10＝5 (cm)， ∴AB ＝2AD ＝103cm ，∴S △AOB ＝12·AB ·OD ＝12×103×5 ＝25 3 (cm 2)．14．如图24－2－42，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DC 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，(1)求证：OD ∥BE ；CD 的长．⊥AM ，OE ⊥CD .又OA ＝OE ，OD ＝OD ，∴△OAD ≌△OED (HL)，∴∠AOD ＝∠DOE .∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB .∵∠AOE ＝∠OBE ＋∠OEB ＝2∠OBE ＝2∠AOD ，∴∠AOD ＝∠OBE ，∴OD ∥BE .(2)由(1)得∠AOD＝∠DOE.∵CD，BC是⊙O的切线，∴OE⊥CD，OB⊥BC.∵OB＝OE，OC＝OC，∴△OEC≌△OBC，∴∠EOC＝∠BOC，∴∠DOC＝∠DOE＋∠EOC＝∠AOD＋∠BOC＝90°，∴CD＝OD2＋OC2＝62＋82＝10(cm)．。

人教版九年级数学上册 24.2.2.3 切线长定理同步练习题(含答案)

人教版九年级数学上册第24章24.2.2.3 切线长定理同步练习题一、选择题1．平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(C) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高的交点3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝3，则PB＝(B) A．2 B．3 C．4 D．54．如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是(D)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD5．将一把直尺，含60°角的直角三角板和光盘如图摆放，点A为60°角与直尺的交点，AB ＝3，则光盘的直径是(D)A．3 B．3 3 C．6 D．6 36．如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为(A)A．1 B. 3 C．2 D．2 37．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB 均相切，切点分别是D，C，E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是(D)A．9 B．10 C．12 D．148．如图，等边△ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O 的半径为(A)A．2 3 B．3 C．4 D．4－ 39．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是(A)A．4 B．6.25 C．7.5 D．910．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(C) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BFC．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF11.如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为(B)A．4.5 B．4 C．3 D．2二、填空题12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝76°．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝219°．14．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．15．如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3，则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)三、解答题16．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(26－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm.∵BC＝28 cm，∴(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm.17．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，若∠BOC＝90°，求证：AB∥CD.证明：∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.又∵BE与BF为⊙O的切线，∴BO为∠EBF的平分线．∴∠OBE＝∠OBC.同理可得∠OCB＝∠OCG.∴∠OBE＋∠OCG＝∠OBC＋∠OCB＝90°.∴∠OBC＋∠OCB＋∠OBE＋∠OCG＝180°，即∠ABF＋∠DCF＝180°.∴AB∥CD.18．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.求证：(1)DG∥CA；(2)AD＝ID.证明：(1)∵点I 是△ABC 的内心，∴∠2＝∠7＝12∠ABC.∵DG 平分∠ADF ， ∴∠1＝12∠ADF.∵∠ADF ＝180°－∠ADC ＝∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴DG ∥AC. (2)∵点I 是△ABC 的内心，∴∠5＝∠6. ∴∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，即∠4＝∠DAI. ∴DA ＝DI.。

2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步练习第06讲切线长定理与弦切角定理(原卷版)

第06讲切线长定理与弦切角定理课程标准学习目标①切线长的定义与切线长定理②三角形的内切圆与内心③弦切角的定义与弦切角定理1.掌握切线长的定义与切线长定理，并能够熟练的运用切线长解决问题。

2.掌握并能够画三角形的内切圆，掌握三角形的内心极其性质，并能够运用其解决相关问题。

3.掌握弦切角的定义与定理并熟练运用。

知识点01 切线长定理1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

即如图，若PA与PB是圆的切线，切点分别是A与B，则PA 与PB的长度是切线长。

2.切线长定理：从圆外一点作圆的切线，可以作条，它们的长度。

圆心和这一点的连线两条切线的夹角。

即P A PB，∠APO∠BPO。

推广：有切线长定理的结论可得：①△APO△BPO⇒∠AOP∠B OP⇒AM⌒AM⌒⇒AB OP。

题型考点：①切线长定理的应用。

【即学即练1】1．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为．【即学即练2】2．如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．6【即学即练3】3．如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交P A、PB于点C、D，若P A＝5，则△PCD的周长为（）A．5B．7C．8D．104．如图所示，P是⊙O外一点，P A，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交P A，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则P A的长为（）A．12B．6C．8D．4知识点02 三角形的内切圆与内心1.内切圆的定义：如图：与三角形各边都的圆叫三角形的。

三角形叫做圆的。

2.内心：三角形的的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角的交点。

所以圆心到三角形三边的距离相等。

人教版九年级数学上册切线长定理同步练习题 (3)

人教版九年级数学试题第2课时切线的判定与性质1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．3．下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相切，那么⊙P 与OB的位置位置是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定6．如图，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．7．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．9．在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为M（a，0），半径为2，如果⊙M与y轴相离，那么a 的取值范围是______．10．菱形的对角线相交于O，以O为圆心，以点O到菱形一边的距离为半径的⊙O•与菱形其它三边的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定11．平面直角坐标系中，点A（3，4），以点A为圆心，5为半径的圆与直线y=－x的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能12．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．13．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B•点，OC=BC，AC=12 OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．14．如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．15．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结OG并延长与BE相交于点F，延长AF•与CB 的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD和FG的长度．答案:1．1，2，不存在 2．直角三角形 3．B 4．B 5．A 6．（1）略（2）37．（1）略（2）928．（1）略（2）1529．a>2或a<－210．C 11．C 12．（1）略（2）3 13．（1）略（262 14．提示：连结OA，证OA⊥AP15．（1）略（2）略（3）2，FG=3习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。