工程力学论文 移动载荷简支梁

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程

论

文

--移动载荷作用于简支梁的剪力及弯矩问题研究

移动载荷作用于简支梁的剪力及弯矩问题研究

-----工程力学论文

【内容摘要】

应用所学的知识，对简支梁及简支梁在移动载荷作用下的剪力及弯矩进行分析与研究，并且对其应用进行简单的论述。【关键词】

移动载荷简支梁剪力弯矩

【正文】

1.引言

所谓简支梁就是梁的两端搭在两个支撑物上，梁端和支撑物铰接，支撑物只能给梁端提供水平和竖直方向的约束，不能提供转动约束的梁。

简支梁的剪力及弯矩计算是工程力学课程中非常重要的一部分内容。在课本中，我们需要计算的简支梁截面的剪力以及弯矩，大多都是在简支梁上载荷的位置固定的条件之下。而在实际工程中，例如载重卡车或火车过桥以及炮弹出膛等现象，都是典型的梁受移动载荷作用的例子。

移动载荷作用于梁的模型广泛地应用于“车辆-桥梁”系统、塔吊和

起重机等系统的研究中。移动载荷是对车辆载荷和重物的简化模型，当载荷移动着经过简支梁时，简支梁中每一横截面上的剪力和弯矩的大小将发生变化。本文将对这类移动荷载在梁上引起的剪力及弯矩的问题进行分析和讨论。

2.理论概述

2.1．剪力

任一简支梁截面上的最大剪力都等于其最大的支座反力。所以，只要求出最大支座反力，即可确定其最大剪力。然而，支座反力大小是随着移动载荷在梁上位置的不同而变化的。显然，当移动载荷作用在支座上的时候，支座反力是最大的。因此，在保证各个移动载荷间的距离不变的条件下，将载荷向右或向左方向移动，直到载荷分别位于两边支座上时，计算反力的大小。此时，最大支座反力即为该简支梁截面的最大剪力，而移动载荷在梁上的位置即是产生最大剪力的位置。

2.2．弯矩

根据弯曲梁上分布荷载q(x)，梁横截面上的剪力Q(x)和弯矩M（x)三者之间的微分关系，可以断定，简支梁在载荷作用下的最大弯矩发生在集中载荷作用的载面。因此，只需计算出每一个载荷下的最大弯矩值，就可找到简支梁的最大弯矩。由于载荷是移动的，载荷作用截面的弯矩在发生变化。

3.分析计算

3.1．单个移动载荷

如图分析单个移动载荷作用于梁。梁上最大弯矩随x的变化是：

Mmax=（L-p）x/L

Mmax是一条抛物线，且当x=L/2时其最大值为pl/4。不难理解当0＜a＜L/2时，梁在x=a的D截面上，有Mmax=(L-a)ap/L 当L/2≤a＜L时，在x=L/2的梁之中点有最大弯矩Mmax=Pl/4。

3.2.一对移动载荷

如图分析一对移动载荷作用于梁。极值位置，不是x截面，就是在x+a的截面。这时，A，B的支座反力为：

FA= (1-x/L)(P1+P2)-a*P2/L (1)

FB= x（P1+P2）/L+a*P2/L (2) C和D截面上的弯矩分别为：

MC= FA*x= x(1-x/L)(P1+P2)-a*P2/L (3)

MD= FB(L-x-a)= x(L-x-a)( P1+P2)/L+ a*P2((L-x-a)/L(4)

当MC取得极值时，有dMC/dx=0，由（3）式可求得：

xC=[L(P1+P2)-a*P2]/[2(P1+P2)] (5)

将（5）式代入（3）式得：

MCmax=（L(P1+P2)-a*P2）^2/[4L(P1+P2)] (6) 当MD取得极值时，有dMD/dx=0，由（4）式可求得

xD=[L(P1+P2)-a*(P1+2*P2)]/[2(P1+P2)] (7)

将（7）式代入（4）式得：

MDmax=（L(P1+P2)-a*P1）^2/[4L(P1+P2)](8) 上述式中的xC和xD分别为MC和MD取得极值的x值。当P1

Mmax= MDmax

(9)

Mmax所在的截面是P2作用的D截面上。由于P1，P2只能在AB之间移动, 所以取得Mmax的x= xD必须满足：

0≤x= xD≤L-a (10)

如果a也可以变化，由（7）式和（10）式解得能满足(10) 式的a为：0＜a≤（P1+P2）L/(P1+2*P2) (11) 这表明当L，P1和P2确定以后，之后使（11）式得到满足时，才可用（9）式求梁上的最大弯矩。

由于前提是P1＜P2，所以对P1取极限有：

P1→0 (P1+P2)L/(P1+2*P2)=L/2 (12) P1→P2 (P1+P2)L/(P1+2*P2)=2L/3(13)

(12)和（13）表明，当P1＜P2时，随着P1和P2数值的变化，a只能在（0，L/2]或（0，2L/3]内变化，否则不能用（9）式计算Mmax。

当a满足（11）式的条件下，由（8）式可知，当a逐渐增大时，Mmax= MDmax的值将逐渐减小。当a=（P1+P2）L/(P1+2*P2)时，由（7）式可知，x=xD=0，即AD=a，P1移到支座A上，这时Mmax 数值最小，由（8）式求得

Mmax=L(P1+P2)P2^2/(P1+2*P2)^2=(L-a)a*P2/L

(14)

当a超出（11）式范围时，即（P1+P2）L/(P1+2*P2)≤a＜L时，P1移出支座外。因此，当P1，P2限制在梁AB上移动时，梁上最大弯矩只能是x=xD=0时的Mmax值，即（14）式。

当P2＜P1时，分析结果同理可得，将上述表达式P1，P2互换即可。

当P1≒P2时，易得Mmax=（L-a）ap/L=2Pl/9

下面就用两个例题进行论述：

例1 已知P1=10kN，P2=40kN，L=10m。求a分别为2m，5.5m，5.6m 时的最大弯矩。

解：P1，P2限制在梁AB上移动。因(P1+P2)L/(P1+2*P2)=5.56m，故

a=2m时，xD=3.2m，Mmax=115.2kN·m；