14第十四讲：直线与圆的位置关系、三角形内切圆

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直线与圆的位置关系,切线及三角形内切圆

直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆学习目标］1.直线为,OO的半径为r，圆心到直线的距离为d。

(1)直线与OO 相离无公共点；(2)直线与OO 相切，唯一公共点；(3)直线与OO 相交，两公共点。

注意：①由直线与圆的位置关系数量关系反之，数量关系位置关系；②直线与圆的位置关系，d , r数量关系，公共点个数三者互相转化。

2. 重要公式：在Rt△ ABC中，/ C= 90°,CD是AB边上的高，则:即：AC- BC= AB・CD (是求斜边上高的常用方法)3.切线的判定方法①定义法(不常用) ，即：唯一公共点；②数量关系推理法，③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

4.切线的性质：①与判定均为互逆定理； ②其中性质定理及推论要熟练掌握。

实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。

5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。

关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。

与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。

典型例题】例1.已知半径为3的O0上一点P 和圆外一点Q ,如果0Q = 5, PQ = 4，贝y PQ 和圆的位置关系是（B. 相切 D. 位置不解：••• 0P=3, PQ = 4, OQ = 5 ,7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到A. 相交 C. 相离•••△ OPQI直角三角形，且/ OPQ= 90°, ••• PQ! OR即圆心O 到PQ 的距离等于圆的半径。

••• PQ和圆的位置关系相切，故选B。

点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。

本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

直线与圆的位置关系讲义

九年级数学时间: 学生:第讲直线与圆的位置关系【知识点】1直线和圆的位置关系有三种：, 。

2设r为O O的半径，d为圆心O到直线l的距离， d r, 则直线l与O O相交。

d r,则直线l与O O相切d r,则直线l与O O相离。

3圆的切线的性质：圆的切线垂直于_________________ 的半径。

4圆的切线的判定定理：经过直径的一端，并且____________ 这条直径的直线是圆的切线。

5圆的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

6.三角形的内切圆：（1）定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆。

（2）_________________________________ 内切圆的作法；______ .（3）_________________________ 内心的性质：内心是 _______ 的交点，内心到的距离相等，内心与三角形顶点的连线________ 这个内角。

【课前自测】1. （2011?成都）已知O O的面积为9n cm2,若点0到直线I的距离为n cm则直线l与。

O的位置关系是（）A、相交B、相切 C 、相离D无法确定2.如图，从O O外一点A引圆的切线AB切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC若/ A= 26°，则/ ACB的度数为▲.3.已知O O的半径为5,圆心O到直线AB的距离为2,则O O上有且只有_______________ 到直线AB的距离为3.4.如图，已知AB是O O的一条直径，延长AB至C点，使得AC= 3BQ 个占I 八、、CD与O O相切，切点为D.若CD= d，则线段BC的长度等于5.如图23, PA与O O相切，切点为A, PO交O O于点C,点B是优弧CBA上一点，若 / ABC=32，则/ P的度数为【例题讲解】例1.如图，AB是O O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O O于点C,若/ A=25°, 则/ D 等于A. 20°B.30°C.40°D.50°例2已知BD是O O的直径，OAL OB,M是劣弧AB上的一点，过M作O O的切线MP交OA的延长线于点P, MD交OA于点N。

直线与圆的位置关系课件

则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，解得 8k2＋6k＝0，即 k＝0 或 k＝－34，因此，所求直线 l 的方程为 y＝4 或 3x＋4y－13＝0.
类型 3 弦长问题 [典例 3] 设直线 y＝x＋2a 与圆 C：x2＋y2－2ay－2 ＝0 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，则圆 C 的面积为 ________．
解析：由圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 可得 x2＋(y－a)2＝ |－a＋2a|
a2＋2，所以圆心 C(0，a)，由题意可知 2 ＝ a2＋2－3，解得 a2＝2，所以圆 C 的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案：4π
归纳升华 1．求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之间的关系 r2＝d2＋2l 2求弦长．
0)为圆心，以 3为半径长的圆．
设xy＝k，即 y＝kx. 当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值．
|2k－0|
此时
＝ 3，
k2＋1
解得 k＝± 3. 故xy的最大值为 3，最小值为－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值．
法二 (几何法)圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0，0)，半径
r＝10，则圆心到直线的距离 d＝ 3|2a＋| 42＝|a5|， ①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a
＝－50；
③当直线和圆相离时，d>r, 即|a5|>10，a<－50 或 a>50.

直线与圆的位置关系讲义

直线与圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3．切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心三、三角形内切圆1．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系（1）（2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S _l_ A_ O_ F _ E_ D _ C _ B_ A_ C_ B _ A _ C_ B_ A_c_b _a_c_b_a_ A_l _ T _ A 2M ⎪⎭为切点_ A_l则内切圆半径（1）srp=，其中()12p a b c=++；图（2）中，90C∠=︒，则()12r a b c=+-四、典例分析：切线的性质及判定【例1】如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作O的切线，切点为C，若25A=︒∠，则D=∠______．例1 例2【例2】如图，直线AB与O⊙相切于点A，O⊙的半径为2，若30OBA∠=︒，则OB的长为( )A． B．4C． D．2【例3】如图，若O的直径AB与弦AC的夹角为30︒，切线CD与AB的延长线交于点D，且O的半径为2，则CD的长为（）A．B．C．2 D．4例3【例4】如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D C E，，．求证：以AB为直径的圆与CD相切．例4【例5】已知：如图，在ABC∆中，AB AC=，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE AC⊥，垂足为点E．求证：（1）ABC∆是等边三角形；（2）13AE CE=．AD_A_O_C_B_O【例6】如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点D 。

三角形的内切圆

三角形的内切圆
直线与圆的位置关系
一、基本知识
1、直线和圆的位置关系:
(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.
(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
2、直线与圆的位置关系的数量特征:
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d<===> 直线L和⊙O相交.②d=r<===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.
3、切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
4. 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
（1）、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
（2）、内心是三角形三角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。

二、练习。

直线与圆的位置关系-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)

直线与圆的位置关系知识点一、直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，如下所示：判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法：（1）根据直线与圆的公共点的个数判断；（2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理1. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.如图所示，OA 的一条半径，直线l 经过点A 且OA ⊥l ，则l 的切线.判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法：（1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切；（2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；（3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.如图所示：直线l的切线，切点为点A，则OA⊥l.例：如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径.【解答】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3.知识点三、三角形的内切圆1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部.3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径.补充：三角形外心与内心对比：例：直角三角形的两条直角边分别为8和15，那么这个直角三角形最大能容纳一个直径为几的圆？【解答】6【解析】如图所示：由勾股定理可求出三角形斜边AB＝17，设三角形的内切圆的半径为r即，解得半径，则直径为6.知识点四、切线长及切线长定理1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：.巩固练习一．选择题1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．50°B．65°C．70°D．80°【解答】A【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线， ∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ， ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∵∠P +∠PAO +∠AOB +∠PBO ＝360°， ∴∠P ＝180°﹣∠AOB ， ∵∠ACB ＝65°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝130°， ∴∠P ＝180°﹣130°＝50°，故选A ．2．平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P 与y 轴的位置关系是（） A ．相交 B ．相离 C ．相切 D ．以上都不是【解答】A【解析】∵⊙P 的圆心坐标为（﹣4，﹣5）， ∴⊙P 到y 轴的距离d 为4 ∵d ＝4＜r ＝5 ∴y 轴与⊙P 相交故选A ．3．三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解答】B【解析】∵62+82＝100，102＝100， ∴三角形为直角三角形，设内切圆半径为r ，则12（6+8+10）r =12×6×8，解得r ＝2，所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时，有0个交点，当一条边与圆相切时，有1个交点，当一条边与圆相交时，有2个交点，当圆为三角形内切圆时，有3个交点，当两条边与圆同时相交时，有4个交点，故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个，故选B．4．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P ＝40°，那么∠B的度数为（）A．40°B．25°C．35°D．45°【解答】B【解析】∵PC与圆O相切，切点为C，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣40°＝50°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠POC＝∠B+∠C，∠POC＝25°．∴∠B=12故选B．5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】C【解析】∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选C．6．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（）①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12A．①②B．①②③C．②③D．①②③④【解答】D【解析】∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，选项①正确；连接OD，如图，∵D为BC中点，O为AB中点，∴DO为△ABC的中位线，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE为圆O的切线，选项④正确；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，选项②正确；由D为BC中点，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，AB，∴AC＝AB，又OA=12AC，选项③正确；∴OA=12则正确的结论为①②③④．故选D．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'C'D'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5 B．1.5 C．3 D．4【解答】D【解析】如图，连接OE并延长交CF于点H，∵矩形ABCD 绕点C 旋转得矩形A 'B 'C 'D '， ∴∠B ′＝∠B ′CD ′＝90°，A ′B ′∥CD ′，BC ＝B ′C ＝4，∵边A 'B '与⊙O 相切，切点为E ， ∴OE ⊥A ′B ′，∴四边形EB ′CH 是矩形， ∴EH ＝B ′C ＝4，OH ⊥CF ，∵AB ＝5，∴OE ＝OC =12AB =52， ∴OH ＝EH ﹣OE =32，在Rt △OCH 中，根据勾股定理，得CH =√OC 2−OH 2=√(52)2−(32)2=2，∴CF ＝2CH ＝4．故选D ．8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 切⊙O 于点B ，AB ＝AC ，若∠CBD ＝40°，则∠ABC 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解答】D【解析】∵BD 切⊙O 于点B ， ∴∠DBC ＝∠A ＝40°， ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ，∴∠ABC ＝（180°﹣40°）÷2＝70°．故选D．9．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA 的值是（）A．32B．23C．12D．34【解答】A【解析】∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝3，∴PA=32．故选A．10．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】D【解析】∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选D．11．如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB为4，则花边上正三角形的内切圆半径为（）A．√33B．23√3C．1 D．√3【解答】A【解析】如图，选择一个等边三角形和其内切圆，圆O是等边三角形ACE的内切圆，圆O切三角形的边CE于点D，∵这条花边的总长度AB为4，∴CE＝2，连接OC，AD，则AD过点O，∴CD＝DE=12CE＝1，∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°，∵圆O是等边三角形ACE的内切圆，∴∠OCD＝30°，∴OD＝CD•tan30°=√33．∴花边上正三角形的内切圆半径为√33．故选A．二．填空题12．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是．【解答】103＜AO＜203【解析】在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴OECD =AOAC，∴AO10=26，∴AO=103，如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴OCAC =OFAB，∴OC10=26，∴OC=103，∴AO=203，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203，故答案为103＜AO＜203．13．如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s 的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为时，BP与⊙O相切．【解答】2秒或10秒【解析】连接OP∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB＝OA，OA＝OP，∴OB＝2OP，∠OPB＝90°；∴∠B＝30°；∴∠O＝60°；∵OA＝6cm，=2π，弧AP=60π×6180∵圆的周长为：12π，∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π；∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．故答案为2秒或10秒．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于．【解答】2√2cm【解析】过C点作CD⊥AB于D，如图，∵⊙C与AB相切，∴CD为⊙C的半径，即CD＝2，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴△CDB为等腰直角三角形，∴BC=√2CD＝2√2（cm）．故答案为2√2cm．15．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝4，以CD为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为M，边CD′与⊙O相交于点N，则CN的长为．【解答】4√2【解析】连接OM，延长MO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OMB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝6，BC＝B′C＝4，∴四边形OMB′H和四边形MB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝3，∴B′H＝OM＝3，∴CH＝B′C﹣B′H＝1，∴CG＝B′M＝OH=√OC2−CH2=2√2，∵四边形MB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CN＝2CG＝4√2，故答案为4√2．16．如图，正方形ABCD的边长为8，E为AB中点，F为BC边上的动点，连接EF，以点F为圆心，EF长为半径作⊙F．当⊙F与AD边相切时，CF的长为．【解答】8﹣4√3【解析】当⊙F与直线AD相切时．设切点为K，连接FK，如图：则FK⊥AD，四边形FKDC是矩形．∴FE＝FK＝CD＝2BE，∴BE＝4，FE＝8，在Rt△FBE中，FB=√FE2−BE2=√82−42=4√3，∴CF＝BC﹣FB＝8﹣4√3．故答案为8﹣4√3．17．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．【解答】125【解析】如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO=12．5．故答案为12518．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．【解答】14【解析】设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为14．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝．【解答】1【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理，得AB＝5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C＝90°，∴四边形EOFC是矩形，根据切线长定理，得CE＝CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE＝CF＝r，∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，∵AD+BD＝AB，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．则△ABC的内切圆半径r＝1．故答案为1．20．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，则△ABC的内切圆半径＝．【解答】1【解析】∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4√b−1−19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（√b−1−2）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5，∴r＝1，故答案为1．21．如图，在Rt△AOB中，OB＝2√3，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O 的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．【解答】2√2【解析】连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−1，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A＝30°，=6，∴OA=OBtanA在Rt△AOP′中，∠A＝30°，OA＝3，∴OP′=12∴线段PQ长度的最小值=√32−1=2√2，故答案为2√2．三．解答题22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）BD=1207【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AEAD =ADAC，10 8=8AC，∴AC =325，∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245， ∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC=BD BC ， ∴5325=BD BD+245， ∴BD =1207．23．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为H ，P 是CD 延长线上一点，DE ⊥AP ，垂足为E ，∠EAD ＝∠HAD ．（1）求证：AE 为⊙O 的切线；（2）已知PA ＝2，PD ＝1，求⊙O 的半轻和DE 的长．【解答】（1）见解析；（2）DE 的长为35，⊙O 的半径为32 【解析】（1）证明：连接AO 并延长交⊙O 于点M ，连接MD ，如图，∵AB ⊥CD ，∴AD̂=BD ̂， ∴∠M ＝∠BAD ，∵∠EAD ＝∠HAD ．∴∠M ＝∠EAD ，∵AM 为直径，∴∠ADM ＝90°，∴∠M +∠MAD ＝90°，∴∠EAD +∠MAD ＝90°，即∠MAE ＝90°，∴AM ⊥AE ，∴AE 为⊙O 的切线；（2）∵∠EAD ＝∠HAD ，DH ⊥AH ，DE ⊥AE ，AD ＝AD ，∴△AHD ≌△AED （AAS ）∴DE ＝DH ，AH ＝AE ，设DE ＝x ，AH ＝y ，则DH ＝x ，AE ＝y ，∵∠EPD ＝∠HPA ，∠PED ＝∠PHA ＝90°，∴Rt △PED ∽Rt △PHA ，∴DE AH =PE PH =PD PA ，即x y =2−y 1+x =12， ∴解得x =35，y =65，即DE 的长为35，AH =65，设圆的半径为r ，则OH ＝r −35，在Rt △OAH 中，（r −35）2+（65）2＝r 2，解得r =32，即⊙O 的半径为32．答：⊙O 的半轻和DE 的长分别为：32，35．24．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ，OC ＝5，BC 与⊙O 交于点D ，点E 是BD ̂的中点，EF ∥BC ，交OC 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．【解答】（1）见解析；（2）CG=173【解析】证明：（1）连接OE，交BD于H，∵点E是BD̂的中点，OE是半径，∴OE⊥BD，BH＝DH，∵EF∥BC，∴OE⊥EF，又∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，∴OB＝3，∴BC=√OB2+OC2=√9+25=√34，∵S△OBC=12×OB×OC=12×BC×OH，∴OH=√34=15√3434，∵cos∠OBC=OBBC =BHOB，∴√34=BH3，∴BH=9√3434，∴BD＝2BH=9√3417，∵CG∥OD，∴ODCG =BDBC，∴3CG =9√3417√34，∴CG=173．25．如图，△ABC中，BC＝14，AC＝9，AB＝13，它的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，求AE，BD 和CF的长．【解答】AE＝4，BD＝9，CF＝5【解析】设AE＝x，∵△ABC的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，∴AF＝AE＝x，BE＝BD，CD＝CF，而BE＝BA﹣AE＝13﹣x，CF＝CA﹣AF＝9﹣x，∴BD＝13﹣x，CD＝9﹣x，而BD+CD＝BC，∴13﹣x+9﹣x＝14，解得x＝4，∴AE＝4，BD＝9，CF＝5．26．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA＝6，求△PCD的周长．（2）若∠P＝50°求∠DOC．【解答】（1）△PCD的周长＝12；（2）∠COD＝65°【解析】（1）连接OE，∵PA、PB与圆O相切，∴PA＝PB＝6，同理可得：AC＝CE，BD＝DE，△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12；（2）∵PA PB与圆O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，在Rt△AOC和Rt△EOC中，{OA=OEOC=OC，∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），∴∠AOC＝∠COE，同理：∠DOE＝∠BOD，∠AOB＝65°．∴∠COD=1227．已知PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．【解答】24cm【解析】连接OA，则OA⊥PA．在直角三角形APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm．∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长＝2PA＝24cm．28．如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点．（1）求证：AB+CD＝AD+BC；（2）求∠AOD的度数．【解答】（1）见解析；（2）∠AOD＝90°【解析】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE＝AN，BE＝BM，DF＝DN，CF＝CM，∴AE+BE+DF+CF＝AN+BM+DN+CM，∴AB+DC＝AD+BC；（2）连OE、ON、OM、OF，∵OE＝ON，AE＝AN，OA＝OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE＝∠OAN．同理，∠ODN＝∠ODF．∴∠OAN+∠ODN＝∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN＝180°，×180°＝90°，∴∠OAN+∠ODN=12∴∠AOD＝180°﹣90°＝90°．。

2.5直线与圆的位置关系内切圆课件

A
2 1
I
3
B
4 5
D
E
C
练习：
1、如图，已知 ABC内心为O,且 BOC=110, 40°. 则 A=
2、已知三角形ABC的外心为O，且∠BOC=110°则 55或125 ∠A=____ __度。 3、三角形ABC中， ∠A= 50°,I是三角形的内心， 115° O是三角形的外心，则∠ BIC=______ ∠ BOC=________ 100°
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
2.5 直线与圆的位置关系（3）
例1
典型例题
如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D
E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，
求∠EDF的度数．拓展：∠A与∠EDF有什么关系？
变式：若G点是圆上任意点（不与E,F重合）求∠EGF度数变式：连接BO,CO,求∠BOC度数变式：（1）若∠A=80 °,则∠BOC= （2）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。度。
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
变式：如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A，B，在AB 上任取一点C 作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E
连结OD，OE，若∠P=400，则∠DOE=_____; 若∠P=n° ,则∠DOE=_______ 连结OA，OB，若∠P=400，则∠AOB=_____; D P C E
D
C
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点 ②三角形的内心到三边的距离相等 ③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质

初三数学直线和圆的位置关系、圆的切线、三角形的内切圆知识精讲首师大版

初三数学直线和圆的位置关系、圆的切线、三角形的内切圆知识精讲首师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：直线和圆的位置关系、圆的切线、三角形的内切圆1. 直线和圆的三种位置关系：相离、相切、相交。

2. 直线和圆的三种位置关系的判定：（1）根据直线和圆的公共点来判定⇔无公共点直线和圆相离⇔有一个公共点直线和圆相切⇔有两个公共点直线和圆相交（2）根据直线到圆心的距离d与圆的半径r间的关系来判定d r直线和圆相离⇔>d r直线和圆相切⇔=d r直线和圆相交⇔<3. 切线的判定（1）直线和圆只有一个公共点，则此直线为该圆的切线。

（2）直线到圆心的距离d等于圆的半径r，则此直线为该圆的切线。

（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是该圆的切线。

4. 切线的性质（1）圆的切线垂直于经过切点的半径。

（2）推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

（3）推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

5. 用尺规作三角形的内切圆6. 三角形内心的概念：三角形的三个内角的平分线相交于一点，这点叫做三角形的内心。

7. 三角形内心的性质：三角形的内心到三角形各边的距离都相等。

二. 重点和难点：重点是圆的切线的判定和性质。

难点是运用切线的判定和性质证明几何问题。

三. 易疏误点分析：1. 切线的判定与切线的性质要区分开，切线的判定是在未知相切而要证明相切的情况下运用。

切线的性质是在已知相切而要得到一些结论时运用，两者在运用时不能混淆。

2. 在判定某一直线是圆的切线时，必须导出：垂直和经过半径外端才能得出直线是圆的切线。

3. 在使用切线的性质定理及推论时，对定理或推论的条件和结论要分清，在每个命题中就是三个内容：①是过圆心，②是过切点，③是垂直切线，三条中，只要其中的两条成立，那么第三条就成立。

【例题分析】例1. 如图所示，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，直角边AC=4cm，以C点为圆心，以2cm 和4cm长为半径画圆，这两个圆有怎样的位置关系？当半径多长时，AB与⊙C相切？A BCD解：过C 点作CD ⊥AB 于D ，∵AB=8cm ，AC=4cm ，由勾股定理，在Rt △ABC 中，BC cm =-=641643。

直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、三角形的内切圆,切线长...

直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、三角形的内切圆, 切线长定理及弦切角知识要点：重点、难点：这一部分内容可以根据知识的性质分为两部分。

第一部分：和圆有关的线段、角、弧的等量关系。

其中这一部分包括：垂径定理及其推论，弧、弦、弦心距、圆心角之间的对应关系这两类性质。

事实上，它们都可以由圆的对称性得出。

从圆的轴对称性可推出垂径定理及其推论；从圆的中心对称性可以推出弦、弦心距、弧、圆心角四个量间的对应关系。

另外，这部分内容还包括圆周角定理和弦切角定理，要注意在这两个定理的证明中都用到了分类讨论的思想。

第二部分：和圆有关线段的比例关系。

其中切线可以与其它许多典型图形组合，形成复杂图形，在做题过程中，要灵活运用切线的有关知识。

另外很重要的一部分是切割线定理及其推论和相交弦定理及其推论。

这些都可以归结为交于一点的两直线与圆相交或相发，若设此交点为P，其中一直线与圆的交点为A、B，另一直线与圆的两交点为C、D，无论P点在什么位置，均会有PA·PB=PC·PD。

结合这些定理来看，当P在圆内时，即相交弦定理，当P在圆外时，一直线与圆相切，另一条直线与圆相交，即为切割线定理；两直线均与圆相切，即为切线长定理；两直线均与圆相交，即为切割线定理推论。

如图1—5所示。

相交弦定理相交弦定理推论切线长定理 PA PB PC PD ··=()PA PB PC PD 22=· PA PB PC PDPA PC··=∴=切割线定理切割线定理推论 PA PB PC PD ··=PA PB PC PD ··=PA PC PD 2=·基础知识(1)知识内容及要求直线和圆的位置关系是从运动的观点研究的, 相切是位置中的一种特殊情况, 切线的判定和性质定理是研究相切问题的重点, 三角形的内切圆是两个基本图形的组合, 切线长定理是切线的数量的研究, 弦切角又是圆中十分重要的角。

直线与圆的位置关系_切线及三角形内切圆知识精讲,圆

初三数学直线与圆的位置关系切线及三角形内切圆知识精讲2. 重要公式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，则：1 212AC BC AB CD ··=即：AC·BC＝AB·CD（是求斜边上高的常用方法）3. 切线的判定方法①定义法（不常用），即：唯一公共点；②数量关系推理法，即d r=；③判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

4. 切线的性质：①与判定均为互逆定理；②其中性质定理及推论要熟练掌握。

实际上①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。

5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。

关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。

6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。

与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。

7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。

三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。

例1. 已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 位置不定例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径r=12，问m在什么范围内取值时，AC与圆：（1）相离；（2）相切；（3）相交。

例3. 已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。

求证：AF＝DF；例4. 已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是⊙O 的切线。

例5. 如图所示，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证：AC与⊙O相切。

九年级数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

九年级数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。

则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。

2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，相等。

1、直线与圆的位置关系有种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆，这时直线叫圆的线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆，这时直线叫圆的线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆，这时直线叫圆的线。

2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的。

【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。

⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线。

【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。

4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的；⑵三角形内心的形成：是三角形的交点；（3）内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分。

【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。

切线长定理及三角形内切圆

A
E F
O
B
D
C
例2. 如图，四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O分别相切于L、M、N、P。
（1）图中有几对相等的线段？
（2）由此你能发现什么结论？为什么？
解：∵ AB，BC，CD，DA都与⊙O相切， D N
L，M，N，P是切点，
P
C
∴AL=AP，LB=MB，
M
O
DN=DP，NC=MC
A
∴AL+ LB+ DN+ NC = AP+ MB+DP+MC
L
B
即 AB+ CD = AD+BC
圆的外切四边形的两组对边的和相等（可做定理用）
练习：
1、已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，经过点P有 ⊙O的两条切线，则切线长为 P ______cm。这两条切线的夹角为 _____度6。0
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 的结论
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点引圆的两条
切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线
平分两条切线的夹角。
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
。
P
O
A
PA = PB ∠OPA=∠OPB
思考：
如何在一块三角形的铁皮上截下一块圆形
的用料,并且使得圆的面积尽可能大?
大
中分校初三数学备课
三角形的内切圆
切线长定理及
组
复习1：直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
直线和圆相交
直线和圆相切直线和圆相离

《直线与圆的位置关系》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】精选全文完整版

新课学习
直线Ax+By+C=0(A，B不同时为零)和圆(x－a)2+(y－b)2=r2,则圆心(a，b)到此直线的距离为
d<r
d=r
d>r
d与r
2个
1个
0个
交点个数
图形
相交
相切
相离
位置
r
d
r
d
r
d
则有以下关系：
课堂小结
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
A
变式练习
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解：选A.因为直线x+ y=0的倾斜角为150°，所以顺时针方向旋转30°后的倾斜角为120°，旋转后的直线方程为x+y=0. 将圆的方程化为(x－2)2+y2=3，所以圆心的坐标为(2，0)，半径为，圆心到直线x+y=0的距离为 =圆的半径，所以直线和圆相切.
所以直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A(2,0),B(1,3).
（几何法）
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1.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为( ) A.± B.±2 C.±2 D.±4【解析】选B.由已知，可知直线方程为y=x+a，即x－y+a=0，所以有，得a=±2.
典型例题
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即两边平方，并整理得到 2k2－3k－2=0，解得k= ，或k=2.所以所求直线l有两条，它们的方程分别为y+3= (x+3)，或 y+3=2(x+3).即x+2y+9=0，或2x－y+3=0.
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直线x+ y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2－4x+1=0的位置关系是( )A.直线与圆相切 B.直线与圆相交但不过圆心C.直线与圆相离 D.直线过圆心

直线与圆的位置关系—知识讲解

直线与圆的位置关系—知识讲解【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1.切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.2．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．3．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的性质定理和判定定理1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.2．切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3.（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．【思路点拨】（1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．【答案与解析】证明：（1）解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=4；（2）证明：连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切线．【总结升华】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．在Rt△DOF中，DF4．∴DE＝DF＝4．【总结升华】本题综合考察了平行线的判定，全等三角形的判定和勾股定理的应用，是一道很不错的中档题.举一反三：【变式1】（2015•盐城）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．C B举一反三：【变式2】如图所示，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B，则AC 等于( )AC．．【答案】因为以AB 为直径的⊙O 与BC 相切于点B ，所以∠ABC ＝90°，在Rt△ABC中，AC==C ．类型三、三角形的内切圆5．如图，已知O 是△ABC 的内心，∠A=50°，求∠BOC 的度数.【思路点拨】O 是△ABC 的内心，∠A=50°，根据内切圆的性质可求∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠ ，在△BOC 中，根据三角形内角和求出∠BOC 的度数. 【答案与解析】解：∵O 是△ABC 的内心，∠A=50°，∴∠OBC+∠OCB=11(180)=(18050)=6522A ︒-︒-︒︒∠， ∴∠BOC=180°-65°=115°.【变式】如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切与△ABC，则△ABC去除⊙O剩余阴影部分的面积为（）A.12-πB. 12-2πC. 14-4πD. 6-π【答案】D.C B。

14第十四讲：直线与圆的位置关系、三角形内切圆

直线与圆的位置关系,切线及三角形内切圆

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