5.1任意角和弧度制-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修一同步讲义

5.1 任意角和弧度制

1、角的概念的推广

（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

（2）分类：⎩

⎪⎨

⎪⎧

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合},|{Z k k S ∈+==

360αββ。 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．

2、弧度制的定义和公式

（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是０． （3）公式：

角α的弧度数公式 |α|＝l

r

(l 表示弧长)

角度与弧度的换算

①1°＝π180

rad ；②1 rad ＝ )(π180

弧长公式 l ＝|α|r 扇形面积公式

S ＝12

lr ＝12

|α|r 2

3、有关角度与弧度的两个注意点

（1）角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． （2）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

知识梳理

题型一 终边相同的角

例 1 下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒ B ．153︒

C ．207︒

D ．387︒

【答案】D 【分析】

写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】

与27︒角终边相同的角的集合为{}

27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D

下列各角中，与2019°终边相同的角为（ ） A ．41° B ．129°

C ．219°

D ．﹣231°

【答案】C 【分析】

根据20195360219=⨯+可得答案. 【详解】

因为20195360219=⨯+， 所以219与2019°终边相同. 故选：C. 巩固练习

知识典例

题型二 角度制与弧度制

例2 （多选）下列转化结果正确的是（ ） A ．6730'

化成弧度是

38

π B ．103

π

-

化成角度是600- C ．150-化成弧度是76

π- D ．

12

π

化成角度是5

【答案】ABD 【分析】

根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项. 【详解】

对于A,3673067.5180

8

π

π

'=⨯

=

,正确; 对于B,1010180

60033πππ

-

=-⨯=-,正确; 对于C,5150150180

6

π

π

⨯

-=-=-

,错误; 对于D,

180

1512

12

π

π

π

=

⨯

=,正确.

故选ABD

24︒=_________弧度；49

π弧度=________.

【答案】

2

15

π 80° 【分析】

根据角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】

根据角度制与弧度制的互化公式180

1,1180

rad π

π

==

，

可得2180

241245π

π︒=

=⨯，44

1808099

π=⨯=. 故答案为：2

15

π，80. 巩固练习

题型三 角的表示

例 3 将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ） A ．

3

π B ．3

π-

C ．

6

π D ．6

π-

【答案】C 【解析】

分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案． 详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为2π 将分针拨慢是逆时针旋转

∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为1 2.12

6

π

π⨯=

故选C ．

将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( ) A ．

3

π B ．

6

π C ．3

π-

D ．6

π-

【答案】A 【解析】

将表的分针拨慢10分钟，则分针逆时针转过60°，即分针转过的角的弧度数是3

π. 本题选择A 选项.

题型四 象限角

例 4 给出下列四个命题： ①34

π-

是第二象限角；②43π是第三象限角；③400-︒是第四象限角；④315-︒是第一象限角．其中正确的命题有

（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【分析】

利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误. 【详解】 －

是第三象限角，故①错误.

＝π＋，从而

是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正

确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 巩固练习